2.2 简谐运动的描述（举一反三·讲义）物理人教版选择性必修第一册

本高中物理讲义聚焦简谐运动的描述，系统梳理振幅（定义、物理意义及与能量关系）、周期和频率（全振动、周期频率的定义与关系、圆频率）、相位（简谐运动表达式及相位物理意义）三大核心知识点，构建从振动空间特征到时间特征再到数学描述的递进式学习支架。 资料以弹簧振子模型情景导入结合问题情境激发科学探究，通过表格对比振幅、位移、路程及例题变式题培养科学思维，课后作业分层设计助力巩固物理观念。课中辅助教师引导学生深化理解，课后帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

2.2简谐运动的描述 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（3个知识归纳+2个题型）+课后作业】 情景导入 如图所示为水平方向的弹簧振子模型。除了上一节提到的位移、速度、加速度，要想准确描述弹簧振子的运动，还需要引入哪些物理量呢？ 知识归纳 【知识点1 振幅】 1．定义：做机械运动的物体离开__________的最大距离，用__________表示。 2．物理意义：描述振动__________的物理量。振幅的大小反映了弹簧振子系统总机械能的大小（__________），振幅越大，系统的能量越__________。 3．国际单位：__________（__________） 4．阵子做简谐运动的范围：振幅的__________倍，即__________。 【知识点2 周期和频率】 【问题情境】如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称。 （1）从振子某一时刻经过O点开始计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？ （2）先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？ 1．全振动 （1）定义：做振动的质点从某位置出发第__________次回到该位置，并保持与出发时__________运动方向的过程叫做一次全振动。经过一次全振动，__________（__________）、__________（__________）、__________（__________）三者第一次同时与初始状态相同。 （2）经过一次全振动，振子历时__________。 （3）经过一次全振动，振子的路程为振幅的__________倍。 2．周期和频率： （1）周期：做简谐运动的物体完成一次__________所需要的时间，叫作振动的周期，用__________表示。在国际单位制中，周期的单位是__________（__________）。 （2）频率：物体完成全振动的__________与__________之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成__________的次数，用__________表示。在国际单位制中，频率的单位是__________，简称__________，符号是__________。 （3）一个振动系统的周期和频率有__________的值，由____________________决定，与__________无关。 （4）周期和频率的关系：__________。周期和频率都是表示物体__________的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越__________。 （5）圆频率ω：表示简谐运动的__________，其与周期T、频率f间的关系式为__________，__________。 3．振幅与位移、路程的区别与联系： 振幅 位移 路程 定义 物体离开平衡位置的__________距离 从平衡位置指向物体所在位置的__________线段 物体在一段时间内通过的运动轨迹的__________ 标矢性 __________量 __________量 __________量 随时间的变化 __________随时间变化 ____________________ 随时间周期性变化 随时间不断__________ 即： ①振幅__________最大位移的大小。 ②对于一个给定的振动，振子的位移是__________的，但振幅是__________的。 ③振动物体在一个周期内的路程为__________个振幅。 振动物体在半个周期内的路程为__________个振幅。 振动物体在个周期内的路程__________等于一个振幅。 【例1】如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为30 cm B．该弹簧振子在时和时的速度相同 C．在时，该弹簧振子的加速度大小不为零 D．在到的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小 【变式1-1】如图所示为一水平方向弹簧振子的振动图像，弹簧的劲度系数为20N/cm，下列说法正确的是（　　） A．图中A点对应的时刻振子所受的弹力大小为50N，方向指向x轴正方向 B．图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴正方向，且处于减速运动阶段 C．在0~1.5s内振子做了3.75次全振动 D．在0~1.5s内振子通过的路程为75cm 【变式1-2】如图甲所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水面，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动，取竖直向上为正方向，试管振动的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．该试管的振幅为1 m，周期为4 s B．t＝0.5 s与t＝1.5 s时试管的速度方向相同 C．t＝1.5 s与t＝2.5 s时试管的位移方向不同 D．t＝0.5 s时试管向下运动，加速度方向竖直向上 【变式1-3】如图甲所示，水面上有两个浮球A、B，水面上的振源O垂直于水面持续沿竖直方向振动，形成沿水面传播、波长λ=20m的水波。当浮球B起振时开始计时，以竖直向上为z轴正方向，浮球B的振动图像如图乙所示。已知OB=15m，OA=20m，下列说法正确的是（　　） A．浮球的振动频率为1.5Hz B．t=1s时，浮球A开始振动 C．t=1.5s时，浮球A位于最高点 D．t=1.5s时，浮球A的速度最大 【知识点3 相位】 怎样用数学语言描述做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律？ 正弦函数、简谐运动图像的值域各是多少？ 应做怎样的变换，才能使正弦函数的值域与简谐运动图像一致？ 正弦函数、简谐运动图像的周期各是多少？ 应做怎样的变换，才能使正弦函数的周期与简谐运动图像一致？ 是哪一个物理量？ 由刚才讨论的结果，简谐运动图像的形状与计时起点有关，所以需要将正弦（余弦）曲线沿x轴平移，使计时起点与振子的位移相对应。怎样能实现这种平移？ 图中的正弦曲线图像表示质点从平衡位置开始振动，则其表达式是什么？若从时开始运动呢？含义是什么？图像是怎样的？ 1．简谐运动的表达式：____________________ 2．相位： （1）定义：在简谐运动的表达式中，__________叫做简谐运动的相位。 （2）物理意义：表示物体振动__________的物理量，用来描述简谐运动在一个全振动中__________。 （3）初相位（简称：初相）：t＝__________时的相位。 物理意义：反映振动的计时__________的物理量。 （4）相位差：两个具有相同圆频率的简谐运动的初相之差。 表达式：__________ 【例2】如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在BC两点之间做简谐运动。小球经过B点时开始计时，小球离开平衡位置的位移x和时间t的关系式为。不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期为2.0s B．BC两点相距0.2m C．小球由C点到O点加速度不断减小 D．振动过程中小球机械能守恒 【变式2-1】如图所示为一弹簧振子做简谐振动的位移—时间图像。振子的振动周期为T，振幅为A，t0（t0为未知量）时刻该振子处于平衡位置，则下列说法正确的是（     ） A．时刻，振子的加速度最大 B．t=0时刻振子正在向远离平衡位置的方向运动 C． D．振子的振动方程为 【变式2-2】一个弹簧振子做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为（　　） A．若时刻和时刻振子位移的大小相等，方向相同。则一定等于的整数倍 B．若时刻和时刻振子速度的大小相等，方向相反。则一定等于的整数倍 C．时，质点到达距平衡位置最远处 D．时位移为 【变式2-3】一列简谐横波在介质中沿x轴传播，先后经过A和B两点且均已振动，A和B是介质中平衡位置相差半个波长的两个质点。已知A质点的位移随时间变化的关系为：，则下列判断正确的是（     ） A．这列波的传播周期为2 s B．质点B的振动方程为 C．时质点A偏离平衡位置的位移是 D．时质点B偏离平衡位置的位移是 一、单选题（共10道） 1．如图1所示，可视为质点的两相同物块A、B和中间拴接的轻质弹簧组成一个系统，静止放在光滑水平地面上。其中物块A被锁定在固定位置，解锁后可自由滑动。时刻给物块B一个瞬时冲量，物块A解锁前，物块B位移随时间变化的规律如图2，物块B最大动能为2J。下列说法中正确的是（　　） A．物块B的振动方程为m B．任意0.1s内物块B的路程一定为10cm C．在0.1s时刻或0.3s时刻解锁后，系统的机械能和动量都相同 D．在0.05s时刻或0.35s时刻解锁后，系统的机械能相同，动量不同 2．如图所示，弹簧振子在、间振动，振子从到历时，振子经、两点时速度相同，若它从再回到的时间为，则该振子的振动周期为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像（x⁃t图像），由图可推断，振子（　　） A．在t1和t2时刻具有相同的动量 B．在t3和t4时刻具有相同的动量 C．在t4和t6时刻具有相同的速度 D．在t1和t6时刻具有相同的位移 4．如图为小李老师钓鱼时浮漂竖直漂浮在水面的示意图，可将浮漂视为长度为L的均匀细圆柱体，此时浮漂露出水面的长度恰好为。某次垂钓过程中，鱼咬钩时将浮漂竖直向下拉动，直至浮漂仅剩余的长度未没入水中；随后鱼儿警觉松口，此后浮漂在水面处上下浮动，运动过程中若仅考虑浮漂的重力和水的浮力，不计其他作用力，则可视为简谐运动。已知浮漂的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．浮漂从最低点到最高点上浮过程中一直超重 B．一个周期内，浮漂做简谐运动通过的路程为 C．鱼儿松口时浮漂上浮的回复力为 D．浮漂上浮到最高点时加速度大小为 5．如图所示，为一个水平弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子的振动方程为 B．t=1s到t=2s内弹簧振子的动能不断减小 C．t=3s时弹簧振子的加速度沿x轴正方向 D．t=0到t=4s内，弹簧振子加速度与位移的方向始终相同 6．如图甲所示，竖直悬挂的弹簧振子在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置，振子到达点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的图像，则（　　） A．弹簧振子在O点时弹力为零 B．弹簧振子从点经过点再回到点为一次全振动 C．弹簧振子的振动方程为 D．弹簧振子在前内的路程为 7．如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．振子每次经过同一位置时，其加速度和速度都相同 B．当振子的振动位移减小时，则其速度和加速度均增加 C．从任意时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，合力做功为零 D．从任意时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，合力冲量为零 8．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．该振子的振幅为16cm B．t=0.9s时，振子的位移为-8cm C．t=0.3s到t=0.6s的时间内，振子的加速度逐渐增大 D．t=0到t=1.2s的时间内，振子通过的路程为3.2m 9．如图甲所示，物块与叠放在一起，以为平衡位置，在、之间做简谐运动，两者始终保持相对静止，取向右为正方向，其振动的位移随时间变化的图像如图乙，则下列说法正确的是（　　） A．在时间内，物块的速度和所受摩擦力都沿负方向，且都在增大 B．从时刻开始计时，接下来内，两物块通过的路程一定小于 C．在某段时间内，两物块速度增大时，加速度可能增大，也可能减小 D．两物块运动到最大位移处时，若轻轻取走，则的振幅不变，最大速度增大 10．在我国，近年垂钓运动正成为休闲和体育结合的新时尚。鱼漂是垂钓时反映鱼儿咬钩讯息的工具。如图甲所示，当鱼漂静止时，P点恰好在水面处。将鱼漂缓慢向下压，松手后，鱼漂在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示，取竖直向上为位移的正方向，则（　　） A．在t=0.3s时刻，鱼漂的速度方向竖直向下 B．在t=0.3s时刻，鱼漂的加速度方向竖直向下 C．该鱼漂的振动频率为0.8Hz D．该鱼漂在振动的过程中，存在速度和加速度均减小的时间段 二、多选题（共6道） 11．一质点在xOy平面内做简谐运动，其在x方向的位移-时间图像如图所示，该质点在y方向的位移-时间图像可能为（　　） A． B． C． D． 12．某质点的振动图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．t=0时刻该质点向x轴正方向运动 B．t=0时刻该质点向x轴负方向运动 C．该质点振动的周期为T=12 s D．该质点振动的周期为 13．如图甲所示，底部固定有砂粒的塑料管竖直浮于水面，将塑料管向下压一小段距离后释放，砂粒（视为质点）随塑料管在竖直方向做简谐运动（阻力不计）。取竖直向上为正方向，一段时间内砂粒的振动图像如图乙所示，则砂粒（　　） A．在时加速度与速度方向相同 B．振动的振幅为 C．在时位移为 D．在时回复力最大，处于超重状态 14．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可视为竖直方向上的简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．回复力等于浮力 B．回复力等于重力和浮力的合力 C．振动周期与按压的深度有关 D．振动周期与按压的深度无关 15．如图甲所示，质量为m的底座B放在水平面上，通过轻弹簧与质量同样为m的物块A连接，现在竖直方向给物块A一初速度，当物块A运动到最高点时，底座B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物块A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．振动过程中物块A的机械能守恒 B．物块A在任意1s内通过的路程均为20m C．底座B对水平面的最大压力为4mg D．物块A的振动方程为 16．如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的x-t图像。下列说法正确的是（　　） A．振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动 B．图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向 C．振子的振动方程为 D．振子初相 三、解答题（共2道） 17．如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块A，物块沿竖直方向做简谐运动，以平衡位置为原点，竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1cos（2.5πt） m，t1＝0时刻，物块A开始振动，当t1＝0时刻，一小球B从距物块 h高处开始自由落下；t2＝1.2s时，小球B恰好与物块A处于同一高度；取重力加速度的大小g＝10 m/s2。求： （1）简谐运动的振幅为A和周期T； （2）t＝1.2 s内物块A运动的路程s； （3）A开始振动时A、B的高度h的大小？ 18．弹簧振子以O点为平衡位置在A、B两点间做简谐运动，A、B之间的距离为30cm。某时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动，经1.2s振子速度第一次变为-v，再经过0.6s振子速度第二次变为-v，求∶ （1）弹簧振子振动的振幅A和周期T； （2）振子在P点时相对平衡位置的位移大小。 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2简谐运动的描述 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（3个知识归纳+2个题型）+课后作业】 情景导入 如图所示为水平方向的弹簧振子模型。除了上一节提到的位移、速度、加速度，要想准确描述弹簧振子的运动，还需要引入哪些物理量呢？ 知识归纳 【知识点1 振幅】 1．定义：做机械运动的物体离开平衡位置的最大距离，用A表示。 2．物理意义：描述振动强弱的物理量。振幅的大小反映了弹簧振子系统总机械能的大小（E＝Ek＋Ep），振幅越大，系统的能量越大。 3．国际单位：米（m） 4．阵子做简谐运动的范围：振幅的2倍，即2A。 【知识点2 周期和频率】 【问题情境】如图所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称。 （1）从振子某一时刻经过O点开始计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？ 不是。经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度均第一次同时与初始时刻相同。 （2）先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？ 周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关。位移相同，均为零。路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关。 1．全振动 （1）定义：做振动的质点从某位置出发第一次回到该位置，并保持与出发时相同运动方向的过程叫做一次全振动。经过一次全振动，位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同时与初始状态相同。 （2）经过一次全振动，振子历时一个周期。 （3）经过一次全振动，振子的路程为振幅的4倍。 2．周期和频率： （1）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒（s）。 （2）频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。 （3）一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。 （4）周期和频率的关系：。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 （5）圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为，。 3．振幅与位移、路程的区别与联系： 振幅 位移 路程 定义 物体离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向物体所在位置的有向线段 物体在一段时间内通过的运动轨迹的长度 标矢性 标量 矢量 标量 随时间的变化 不随时间变化 大小和方向 随时间周期性变化 随时间不断增加 即： ①振幅等于最大位移的大小。 ②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 ③振动物体在一个周期内的路程为四个振幅。 振动物体在半个周期内的路程为两个振幅。 振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅。 【例1】如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子的周期为1.6 s，振幅为30 cm B．该弹簧振子在时和时的速度相同 C．在时，该弹簧振子的加速度大小不为零 D．在到的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小 【答案】B 【详解】A．由题图乙可知，该振动的振幅为15cm、周期为1.6s，故A错误； B．由振动图像可知，斜率代表速度，弹簧振子在时和时的速度相同，故B正确； C．因为周期为1.6s，根据简谐运动的周期性可知在时，该弹簧振子处于平衡位置，合力为零，加速度大小为零，故C错误； D．在到的时间内，该弹簧振子从平衡位置右侧运动到平衡位置左侧，所以加速度先减小后增大，速度先增大后减小，故D错误。 故选B。 【变式1-1】如图所示为一水平方向弹簧振子的振动图像，弹簧的劲度系数为20N/cm，下列说法正确的是（　　） A．图中A点对应的时刻振子所受的弹力大小为50N，方向指向x轴正方向 B．图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴正方向，且处于减速运动阶段 C．在0~1.5s内振子做了3.75次全振动 D．在0~1.5s内振子通过的路程为75cm 【答案】B 【详解】A．图中A点对应的时刻振子离开平衡位置的位移为2.5cm，故所受的弹力大小为 方向指向x轴负方向，故A错误； B．由振动图线可知，图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴正方向，且处于减速运动阶段，故B正确； C．振子振动的周期为 故在0~1.5s内振子做了7.5次全振动，故C错误； D．在0~1.5s内振子通过的路程为，故D错误。 故选B。 【变式1-2】如图甲所示，装有砂粒的试管竖直静浮于水面，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动，取竖直向上为正方向，试管振动的图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．该试管的振幅为1 m，周期为4 s B．t＝0.5 s与t＝1.5 s时试管的速度方向相同 C．t＝1.5 s与t＝2.5 s时试管的位移方向不同 D．t＝0.5 s时试管向下运动，加速度方向竖直向上 【答案】B 【详解】A．由图可知该试管的振幅为A=1 cm，周期为T=4 s，故A错误； B．由图可知t＝0.5 s与t＝1.5 s时试管的速度方向均沿y轴负方向，故B正确； C．由图可知t＝1.5 s与t＝2.5 s时试管的位移方向均为负，故C错误； D．由图可知t＝0.5 s时试管向下运动，加速度方向竖直向下，故D错误。 故选B。 【变式1-3】如图甲所示，水面上有两个浮球A、B，水面上的振源O垂直于水面持续沿竖直方向振动，形成沿水面传播、波长λ=20m的水波。当浮球B起振时开始计时，以竖直向上为z轴正方向，浮球B的振动图像如图乙所示。已知OB=15m，OA=20m，下列说法正确的是（　　） A．浮球的振动频率为1.5Hz B．t=1s时，浮球A开始振动 C．t=1.5s时，浮球A位于最高点 D．t=1.5s时，浮球A的速度最大 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，波的周期为T=1s 频率，故A错误； B．因为 浮球A的振动比浮球B的振动滞后，所以时，浮球A开始振动，故B错误； CD．浮球A在t=1.5s时相对平衡位置的位移等于浮球B在t=1.25s时相对平衡位置的位移，此时浮球位于波峰位置，速度为零，故C正确，D错误。 故选C。 【知识点3 相位】 怎样用数学语言描述做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律？ 简谐运动图像是一条正弦曲线，结合x-t图，正弦函数的表达式是。 正弦函数、简谐运动图像的值域各是多少？ 正弦函数的值域是，简谐运动图像的值域应该是。 应做怎样的变换，才能使正弦函数的值域与简谐运动图像一致？ 变换为。 正弦函数、简谐运动图像的周期各是多少？ 正弦函数的周期为2π，简谐运动图像的周期为T。 应做怎样的变换，才能使正弦函数的周期与简谐运动图像一致？ 变换为。 是哪一个物理量？ 角速度ω，。 变换为。 由刚才讨论的结果，简谐运动图像的形状与计时起点有关，所以需要将正弦（余弦）曲线沿x轴平移，使计时起点与振子的位移相对应。怎样能实现这种平移？ 变换为。 图中的正弦曲线图像表示质点从平衡位置开始振动，则其表达式是什么？若从时开始运动呢？含义是什么？图像是怎样的？ 图中简谐运动的表达式为： 若从时开始运动，则有，表示质点从正向最大位移处开始振动。 1．简谐运动的表达式： 2．相位： （1）定义：在简谐运动的表达式中，叫做简谐运动的相位。 （2）物理意义：表示物体振动步调的物理量，用来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。 （3）初相位（简称：初相）：t＝0时的相位。 物理意义：反映振动的计时起点的物理量。 （4）相位差：两个具有相同圆频率的简谐运动的初相之差。 表达式： 【例2】如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在BC两点之间做简谐运动。小球经过B点时开始计时，小球离开平衡位置的位移x和时间t的关系式为。不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期为2.0s B．BC两点相距0.2m C．小球由C点到O点加速度不断减小 D．振动过程中小球机械能守恒 【答案】C 【详解】A．小球振动的周期为，故A错误； B．BC两点之间的距离为，故B错误； C．根据简谐运动特点，小球由C点到O点，小球的回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知小球的加速度不断减小，故C正确； D．振动过程中小球机械能不守恒，小球和弹簧组成的系统的机械能守恒，故D错误。 故选C。 【变式2-1】如图所示为一弹簧振子做简谐振动的位移—时间图像。振子的振动周期为T，振幅为A，t0（t0为未知量）时刻该振子处于平衡位置，则下列说法正确的是（     ） A．时刻，振子的加速度最大 B．t=0时刻振子正在向远离平衡位置的方向运动 C． D．振子的振动方程为 【答案】A 【详解】A．时刻，振子位于正向位移最大处，可知此时的加速度为负向最大，A正确； B．由图像可知，t=0时刻振子正在从平衡位置上方向平衡位置的方向运动，B错误； CD．因，则根据振子的振动方程为 当时x=0，即； 当时，即 可得， 振子的振动方程为，则CD错误； 故选A。 【变式2-2】一个弹簧振子做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为（　　） A．若时刻和时刻振子位移的大小相等，方向相同。则一定等于的整数倍 B．若时刻和时刻振子速度的大小相等，方向相反。则一定等于的整数倍 C．时，质点到达距平衡位置最远处 D．时位移为 【答案】D 【详解】由位移公式得角频率 周期 振幅 A．位移大小、方向相同说明两时刻振子在同一位置，此时相位差满足或（为整数） 对应不一定是的整数倍，例如和时位移均为1.5cm，不是的整数倍，故A错误； B．速度大小相等、方向相反时，速度的相位差满足（为整数） 对应不一定是（即）的整数倍，例如和时速度大小相等方向相反，不是的整数倍，故B错误； C．代入，得 所以此时振子在平衡位置，故C错误； D．代入得，故D正确。 故选D。 【变式2-3】一列简谐横波在介质中沿x轴传播，先后经过A和B两点且均已振动，A和B是介质中平衡位置相差半个波长的两个质点。已知A质点的位移随时间变化的关系为：，则下列判断正确的是（     ） A．这列波的传播周期为2 s B．质点B的振动方程为 C．时质点A偏离平衡位置的位移是 D．时质点B偏离平衡位置的位移是 【答案】D 【详解】A．由A的振动方程得角频率 周期，故A错误； B．A、B平衡位置相差半个波长，振动相位差为，因此B的振动方程为 相位项应为或，故B错误； C．将代入A的振动方程：，故C错误； D．A、B反相，任意时刻 时 因此，故D正确。 故选D。 一、单选题（共10道） 1．如图1所示，可视为质点的两相同物块A、B和中间拴接的轻质弹簧组成一个系统，静止放在光滑水平地面上。其中物块A被锁定在固定位置，解锁后可自由滑动。时刻给物块B一个瞬时冲量，物块A解锁前，物块B位移随时间变化的规律如图2，物块B最大动能为2J。下列说法中正确的是（　　） A．物块B的振动方程为m B．任意0.1s内物块B的路程一定为10cm C．在0.1s时刻或0.3s时刻解锁后，系统的机械能和动量都相同 D．在0.05s时刻或0.35s时刻解锁后，系统的机械能相同，动量不同 【答案】C 【详解】A．根据图2可知，物块B的振动方程为，故A错误； B．根据图2可知，周期 由于 当B从平衡位置（或远离平衡位置最大距离的位置）开始运动，则0.1s内运动路程为10cm，若从平衡位置到远离平衡位置最大距离的位置之间的某一位置开始运动，当B初速度方向远离平衡位置时，0.1s内运动的路程小于10cm，当B初速度方向靠近平衡位置时，0.1s内运动的路程大于10cm，故B错误； C．当解锁A后，对A、B与弹簧构成的系统，只有弹簧弹力做功，则系统的机械能守恒，由于系统所受外力的合力为0，则系统的动量守恒，即解锁A后，系统的机械能和动量都守恒，在0.1s时刻或0.3s时刻解锁后，由于刚刚解锁时，B的速度为0，则系统的机械能相同，系统的动量均为零，故C正确； D．根据简谐运动的对称性可知，在0.05s时刻或0.35s时刻解锁时，B的速度相同，结合上述可知，系统的机械能相同，系统的动量也相同，动量均不为零，故D错误。 故选C。 2．如图所示，弹簧振子在、间振动，振子从到历时，振子经、两点时速度相同，若它从再回到的时间为，则该振子的振动周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】振子经、两点时速度相同，说明、关于对称；振子从到历时，由对称性可知，从到与从到的时间相等，即 设从到的时间为，则从向右到再向左回到的时间为，从再回到的时间为，则 解得 因此，从到的时间为 解得 故选B。 3．如图所示是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像（x⁃t图像），由图可推断，振子（　　） A．在t1和t2时刻具有相同的动量 B．在t3和t4时刻具有相同的动量 C．在t4和t6时刻具有相同的速度 D．在t1和t6时刻具有相同的位移 【答案】B 【详解】A．由图可知，在 t1时刻振子正在向正方向运动，速度 ，动量 ；在t2时刻振子处于正向最大位移处，速度 ，动量 。两时刻动量不同，故A错误； B．在t3时刻，位移 ，图像切线斜率为负，速度方向沿 轴负方向；在t4时刻，位移 ，图像切线斜率为负，速度方向沿 轴负方向。根据简谐运动的对称性，位移大小相等时速度大小相等，即。由于两时刻速度大小相等、方向相同，可知两时刻动量相同，故B正确； C．在t4时刻，图像切线斜率为负，速度方向沿 轴负方向；在t6时刻，图像切线斜率为正，速度方向沿 轴正方向。两时刻速度方向相反，速度不同，故C错误； D．由图可知，在 t1时刻，位移，在t6 时刻位移 。位移是矢量，方向不同，故位移不同，故D错误。 故选B。 4．如图为小李老师钓鱼时浮漂竖直漂浮在水面的示意图，可将浮漂视为长度为L的均匀细圆柱体，此时浮漂露出水面的长度恰好为。某次垂钓过程中，鱼咬钩时将浮漂竖直向下拉动，直至浮漂仅剩余的长度未没入水中；随后鱼儿警觉松口，此后浮漂在水面处上下浮动，运动过程中若仅考虑浮漂的重力和水的浮力，不计其他作用力，则可视为简谐运动。已知浮漂的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．浮漂从最低点到最高点上浮过程中一直超重 B．一个周期内，浮漂做简谐运动通过的路程为 C．鱼儿松口时浮漂上浮的回复力为 D．浮漂上浮到最高点时加速度大小为 【答案】D 【详解】A．由图可知，浮漂从最低点至最高点上浮的过程中，浮漂先加速上浮，后减速上浮，所以浮漂在上浮过程中先超重后失重，故A错误； B．浮漂做简谐运动的振幅为 在一个周期内其通过的路程应为，故B错误； C．浮漂静止时，浮漂浸泡在水中部分的长度为总长度的一半，此时所受浮力等于重力。则当有部分体积没入水中时，其浮力应等于倍重力，即鱼儿松口时浮漂所受的浮力为 所以鱼儿松口时浮漂上浮的回复力为，故C错误； D．由牛顿第二定律可知 可得浮漂运动过程中的最大加速度为 所以浮漂上浮到最高点时加速度大小为，故D正确。 故选D。 5．如图所示，为一个水平弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子的振动方程为 B．t=1s到t=2s内弹簧振子的动能不断减小 C．t=3s时弹簧振子的加速度沿x轴正方向 D．t=0到t=4s内，弹簧振子加速度与位移的方向始终相同 【答案】A 【详解】A．由题图可知，振幅，周期，则角频率。 时刻振子从平衡位置向x轴负方向运动，故振动方程为，故A正确； B．时振子位于负向最大位移处，时振子回到平衡位置，则到内振子向平衡位置运动，速度增大，动能不断增大，故B错误； C．时振子位于正向最大位移处，位移为正，根据 可知加速度沿x轴负方向，故C错误； D．简谐运动中回复力方向始终与位移方向相反，则加速度方向始终与位移方向相反，故D错误。 故选A。 6．如图甲所示，竖直悬挂的弹簧振子在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置，振子到达点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的图像，则（　　） A．弹簧振子在O点时弹力为零 B．弹簧振子从点经过点再回到点为一次全振动 C．弹簧振子的振动方程为 D．弹簧振子在前内的路程为 【答案】D 【详解】A．弹簧振子在O点时弹力等于振子重力，故A错误； B．由于点不是图像的极值点，因此弹簧振子从点经过点再回到点的过程不是一次全振动，故B错误； C．由图乙知周期为，弹簧振子的振幅为 根据角速度与周期之间的公式有 规定竖直向下为正方向，振子到达点开始计时,时刻位移为，可知初相为 则弹簧振子的振动方程为，故C错误； D．弹簧振子在前内的路程为 代入得，故D正确。 故选D。 7．如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．振子每次经过同一位置时，其加速度和速度都相同 B．当振子的振动位移减小时，则其速度和加速度均增加 C．从任意时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，合力做功为零 D．从任意时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，合力冲量为零 【答案】C 【详解】A．振子每次经过同一位置时，其加速度相同，速度大小相同，方向可能相反，故A错误； B．当振子的振动位移减小时，回复力减小，加速度减小，但速度增大，故B错误； C．从任意时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，方向改变，由动能定理可知合力做功为零，故C正确； D．除从速度为0开始经过二分之一周期时间振子动量没有发生变化，其它时刻开始经过二分之一周期时间，振子速度大小不变，方向改变，由动量定理可知合力冲量不为零，故D错误。 故选C。 8．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t变化的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．该振子的振幅为16cm B．t=0.9s时，振子的位移为-8cm C．t=0.3s到t=0.6s的时间内，振子的加速度逐渐增大 D．t=0到t=1.2s的时间内，振子通过的路程为3.2m 【答案】B 【详解】A．由图乙可知该振子的振幅A为8cm，故A错误； B．由图乙可知t=0.9s时，振子的位移为-8cm，故B正确； C．由图乙可知t=0.3s到t=0.6s的时间内，振子的位移逐渐减小，根据 可知回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律，可知振子加速度减小，故C错误； D．1.2s恰好为一个周期，故t=0到t=1.2s的时间内，振子通过的路程为，故D错误。 故选B。 9．如图甲所示，物块与叠放在一起，以为平衡位置，在、之间做简谐运动，两者始终保持相对静止，取向右为正方向，其振动的位移随时间变化的图像如图乙，则下列说法正确的是（　　） A．在时间内，物块的速度和所受摩擦力都沿负方向，且都在增大 B．从时刻开始计时，接下来内，两物块通过的路程一定小于 C．在某段时间内，两物块速度增大时，加速度可能增大，也可能减小 D．两物块运动到最大位移处时，若轻轻取走，则的振幅不变，最大速度增大 【答案】D 【详解】A．在时间内，由图像的斜率为负且增大可知，物块的速度沿负方向在增大，受摩擦力方向沿负方向，据可知，位移在减小，加速度在减小，所以摩擦力在减小，故A错误； B．两物块在平衡位置速度最大，因此两物块从的平均速率要小于从开始经时间内的平均速率，所以从开始经通过的路程大于，故B错误； C．在某段时间内，两物块速度增大时，可知两物块向平衡位置移动，则加速度减小，故C错误； D．简谐运动是一种无能量损失的振动，它只是动能和势能间的转化，总机械能守恒。其能量由振幅决定，即振幅不变，振动系统能量不变。当将在最大位移处轻轻取走，说明取走时动能为零，取走前后能量不变，则振幅没有改变，但由于取走后整体的质量减少，则最大速度变大，故D正确。 故选D。 10．在我国，近年垂钓运动正成为休闲和体育结合的新时尚。鱼漂是垂钓时反映鱼儿咬钩讯息的工具。如图甲所示，当鱼漂静止时，P点恰好在水面处。将鱼漂缓慢向下压，松手后，鱼漂在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示，取竖直向上为位移的正方向，则（　　） A．在t=0.3s时刻，鱼漂的速度方向竖直向下 B．在t=0.3s时刻，鱼漂的加速度方向竖直向下 C．该鱼漂的振动频率为0.8Hz D．该鱼漂在振动的过程中，存在速度和加速度均减小的时间段 【答案】B 【详解】AB．由图乙可知在t=0.3s时刻，鱼漂的速度方向竖直向上，此时鱼漂的位移竖直向上，则鱼漂的加速度方向竖直向下，故A错误，B正确； C．该鱼漂的振动频率为 故C错误； D．鱼漂离平衡位置越远，速度越小，位移越大，加速度越大；鱼漂离平衡位置越近，速度越大，位移越小，加速度越小；则该鱼漂在振动的过程中，不存在速度和加速度均减小的时间段，故D错误。 故选B。 二、多选题（共6道） 11．一质点在xOy平面内做简谐运动，其在x方向的位移-时间图像如图所示，该质点在y方向的位移-时间图像可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A．由题图可知，质点在x方向的位移-时间关系为 选项中质点在y方向的位移-时间关系为 则质点在直线上做简谐运动，平衡位置为原点，振幅为，故A正确； B．质点在y方向的位移-时间关系为 质点在直线上做简谐运动，平衡位置为，振幅为，故B正确； C．质点在y方向做匀速直线运动，合位移与时间不满足正弦规律，故C错误； D．质点在y方向不运动，在x方向做简谐运动，故D正确。 故选ABD。 12．某质点的振动图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．t=0时刻该质点向x轴正方向运动 B．t=0时刻该质点向x轴负方向运动 C．该质点振动的周期为T=12 s D．该质点振动的周期为 【答案】AC 【详解】AB．振动图像斜率表示振动速度，t=0时刻速度方向为正方向，故A正确，B错误； CD．质点振动图像显示t=0时刻位于处且向正方向运动，由题意得 解得T=12s，故C正确，D错误。 故选AC。 13．如图甲所示，底部固定有砂粒的塑料管竖直浮于水面，将塑料管向下压一小段距离后释放，砂粒（视为质点）随塑料管在竖直方向做简谐运动（阻力不计）。取竖直向上为正方向，一段时间内砂粒的振动图像如图乙所示，则砂粒（　　） A．在时加速度与速度方向相同 B．振动的振幅为 C．在时位移为 D．在时回复力最大，处于超重状态 【答案】AC 【详解】A．根据题意，由图可知，在时，加速度与速度均沿轴正方向，方向相同，故A正确； B．根据题意，由图可知，振动的振幅为，故B错误； C．根据题意，由图可知，砂粒的振动方程为 则在时位移为，故C正确； D．由图可知，在时处于最大位移处，回复力最大，加速度方向向下，处于失重状态，故D错误。 故选AC。 14．装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示。把玻璃管向下缓慢按压后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可视为竖直方向上的简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．回复力等于浮力 B．回复力等于重力和浮力的合力 C．振动周期与按压的深度有关 D．振动周期与按压的深度无关 【答案】BD 【详解】AB．装有一定量液体的玻璃管受到重力和液体的浮力，所以玻璃管做简谐运动的回复力来源于重力和浮力的合力，故A错误，B正确； CD．结合简谐运动的特点可知，振动的周期与振幅无关，即该振动的周期与按压的深度无关，C错误，D正确。 故选BD。 15．如图甲所示，质量为m的底座B放在水平面上，通过轻弹簧与质量同样为m的物块A连接，现在竖直方向给物块A一初速度，当物块A运动到最高点时，底座B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物块A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．振动过程中物块A的机械能守恒 B．物块A在任意1s内通过的路程均为20m C．底座B对水平面的最大压力为4mg D．物块A的振动方程为 【答案】CD 【详解】A．振动过程中，由于弹簧弹力对A做功，所以物块A的机械能不守恒，故A错误； B．物块A做简谐运动，任意一个周期内通过的路程均为，物块A振动的周期为，而 所以任意1s内通过的路程小于，故B错误； C．物块A运动至最高点时，设弹簧弹力大小为，根据题意有 物块A运动至最低点时，设弹簧弹力大小为，根据简谐运动回复力的对称性可知 联立解得 根据物块B受力平衡得 解得 根据牛顿第三定律可知，底座B对水平面的最大压力为 故C正确； D．物块A的振动方程的形式为 由图乙可知，物块A的振幅为，又 当时， 得 所以物块A的振动方程为 故D正确。 故选CD。 16．如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的x-t图像。下列说法正确的是（　　） A．振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动 B．图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向 C．振子的振动方程为 D．振子初相 【答案】BD 【详解】A．振子从C点经过O点运动到B点，再从B点经过O点回到C点才是一次全振动，故A错误； B．图乙中的P点时刻，振子正向负方向运动，故振子的速度沿负方向，故B正确； C．图乙可知振子的振幅A为0.1m，周期T为1s，故振子的振动方程为，故C错误； D．由C选项可知，振子初相为，故D正确。 故选BD。 三、解答题（共2道） 17．如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块A，物块沿竖直方向做简谐运动，以平衡位置为原点，竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1cos（2.5πt） m，t1＝0时刻，物块A开始振动，当t1＝0时刻，一小球B从距物块 h高处开始自由落下；t2＝1.2s时，小球B恰好与物块A处于同一高度；取重力加速度的大小g＝10 m/s2。求： （1）简谐运动的振幅为A和周期T； （2）t＝1.2 s内物块A运动的路程s； （3）A开始振动时A、B的高度h的大小？ 【答案】（1）0.1m，0.8s （2）0.6m （3）7m 【详解】（1）根据物块简谐运动的表达式y＝0.1cos（2.5πt） m 可知：简谐运动的振幅为A＝0.1 m、ω＝2.5π rad/s                     简谐运动的周期s （2）因，且起始位置为平衡位置，则t＝1.2 s内物块A运动的路程 s＝6A＝6×0.1 m＝0.6 m （3）t2＝1.2 s时A的位置y＝0.1cos（2.5π×1.2） m＝ - 0.1 m 小球B做自由落体运动，有 解得h＝7.0 m 18．弹簧振子以O点为平衡位置在A、B两点间做简谐运动，A、B之间的距离为30cm。某时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动，经1.2s振子速度第一次变为-v，再经过0.6s振子速度第二次变为-v，求∶ （1）弹簧振子振动的振幅A和周期T； （2）振子在P点时相对平衡位置的位移大小。 【答案】（1）15cm，3.6s （2）7.5cm 【详解】（1）由题意可知，振幅为A=15 cm 根据弹簧振子简谐运动的对称性可得= s 解得T=3.6 s （2）从平衡位置开始计时，则x=A sin ωt 圆频率为ω== rad/s 则x=15sint cm 根据题意及对称性，可知从O到P运动的时间t=0.3 s 则振子在P点时相对平衡位置的位移大小xP=15sin（×0.3） cm=7.5 cm 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $