第09讲 函数的概念及其表示（九大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第09讲 函数的概念及其表示（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 函数的概念 在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗?又如，你能用已有的函数知识判断y=x与是否相同吗?要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念. 【知识点1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 【知识点2 函数的定义域与值域】 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型1 函数的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·山东烟台·期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义判断D，利用特殊值判断A、B、C. 【解答过程】对于A：，，则，故A错误； 对于B：，，则，故B错误； 对于C：，，则，故C错误； 对于D：，当时，，即， 又， 所以为从到的函数，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据函数的定义进行判断即可. 【解答过程】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 【变式1-3】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【解题思路】由函数的定义逐项判断即可. 【解答过程】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 【题型2 求具体函数的定义域】 【例2】（25-26高一上·山西阳泉·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据根号和分式定义去求解. 【解答过程】由得，，解得, 由得，，解得, 综合两个条件，函数的定义域为. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【解题思路】根据函数要有意义列出不等式组解出即可. 【解答过程】由题意函数要有意义则：，解得， 即函数的定义域为或或， 故选：D． 【变式2-2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数解析式存在的意义列不等式组求解即可. 【解答过程】由，解得或， 故的定义域是. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高一上·河北沧州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据零次幂底数不为0，分母不为0，二次根式被开方数非负列不等式求解即可. 【解答过程】由题意知，，解得且. 所以函数的定义域为. 故选：D. 【题型3 求抽象函数、复合函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【解答过程】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【解答过程】因为的定义域为，所以中， 所以， 在中令，解得， 所以的定义域为. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【解答过程】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D. 【变式3-3】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数定义域的求法求解. 【解答过程】因为函数的定义域为， 则对于函数，由，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C. 【题型4 求函数的值域】 【例4】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【解答过程】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【解答过程】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【解答过程】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可. 【解答过程】由题意得，令， 可得，则，即原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，当时，， 可得，即的值域为，故B正确. 故选：B. 【题型5 求函数值或由函数值求参】 【例5】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【解答过程】函数，令，则，而， 所以. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】利用赋值法并结合题意求出函数解析式，进而求解函数值即可. 【解答过程】对于，且，， 令，可得，解得， 因为，所以，解得， 令，可得，得到， 则，故D正确. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【解题思路】中令，结合可得答案. 【解答过程】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用赋值法求解. 【解答过程】因为，， 所以令，得， 所以令6，得. 故选：D. 模块三 函数的相等 【知识点3 函数的相等】 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【题型6 判断两个函数是否相等】 【例6】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【解答过程】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据相同函数的概念逐项分析可得. 【解答过程】函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以A不正确； 对于B，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以B不正确； 对于C，函数的定义域为，且对应关系相同，所以与函数是同一函数，所以C正确； 对于D，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以D不正确. 故选：C. 【变式6-3】（25-26高一上·重庆·期中）下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，由两个函数是同一函数的定义，结合函数的定义域与对应关系，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数为同一函数，所以A符合题意； 对于B，的定义域为，的定义为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域和对应关系都不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不符合题意. 故选：A. 模块四 函数的表示法 【知识点4 函数的表示法】 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型7 函数的表示法】 【例7】（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可. 【解答过程】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【解答过程】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高一上·河北邯郸·期中）根据表中数据，可得（    ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用表格计算即可求解. 【解答过程】因为，所以. 故选：D. 【变式7-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】根据给定的扇形，结合该同学的速度一定，离家距离的变化情况判断即可得结论. 【解答过程】由题意可知，该同学速度一定，从家出发时在一定时间内离家距离均匀增加， 到达扇形的弧上时，离家距离不变，最后一段沿扇形的半径往家的方向走时， 离家距离均匀减小，只有D选项符合题意，ABC均不符合题意. 故选：D. 【题型8 函数解析式的求解】 【例8】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解答过程】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制. 【解答过程】设，则，因为，可得， 所以函数 ． 故选：C． 【变式8-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用换元法求函数解析式即可； （2）构造方程，解方程组即可求出函数解析式. 【解答过程】（1），设，则， 则， 故. （2）因为，故可将变换为得， 解得. 【变式8-3】（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【解题思路】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【解答过程】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 【题型9 分段函数】 【例9】（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的分段函数，分段判断代入计算求出函数值. 【解答过程】函数，则， 所以. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则（   ） A．10 B．2 C．1 D． 【答案】B 【解题思路】根据分段函数解析式求解即可. 【解答过程】函数，则. 故选：B. 【变式9-2】（25-26高一上·河南·期中）已知函数，则（   ） A． B．5 C．2 D．-3 【答案】B 【解题思路】先根据函数解析式求得，，然后再利用求解即可. 【解答过程】由题意可知，，， 所以，所以. 故选：B. 【变式9-3】（25-26高一上·河南·期中）已知函数，则（   ） A． B．5 C．2 D．-3 【答案】B 【解题思路】先根据函数解析式求得，，然后再利用求解即可. 【解答过程】由题意可知，，， 所以，所以. 故选：B. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） 【答案】C 【解题思路】根据二次根式有意义的条件得出被开方数大于或等于0，再解一元二次不等式即可. 【解答过程】要使有意义，只需，即， 解得或，所以函数的定义域为. 故选：C. 2．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可. 【解答过程】. 故选：D. 3．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【解答过程】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D. 4．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【解答过程】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 5．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换元法，令，，代入化简即可求解． 【解答过程】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 故选：B. 6．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由函数的定义域求解的定义域，再结合函数求解定义域. 【解答过程】因为函数的定义域为，即，所以， 所以的定义域为，又，则， 所以，因此函数的定义域为， 故选：C． 7．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【解答过程】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 8．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法计算即可. 【解答过程】由对于任意实数，都有，得 又，则，而，解得， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【解答过程】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD. 10．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【解题思路】利用相等函数的定义可判断. 【解答过程】对于A： 的定义域为 ，对应法则为 ； 定义域也为 ，且 ， 即对应法则相同，因此，两者是同一个函数，故A正确； 对于B： 的定义域为 ， 而 的定义域为 ， 定义域不同，故两者不是同一个函数，故B错误； 对于C： 两者定义域均为 ，对应法则相同， 因此，两者是同一个函数，故C正确； 对于D： 的定义域为 ， 对应法则为 ，值域也为， 而的值域为， 因此，两者不是同一个函数，故D错误. 故选：AC. 11．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】由函数的类型设，结合已知列方程求参数值，即可得解析式. 【解答过程】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或 . 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【解题思路】根据使函数有意义得到，即可求出函数的定义域. 【解答过程】对于函数，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．（25-26高一上·广东深圳·期末）设函数，则__________. 【答案】3 【解题思路】由分段函数解析式代入计算即可. 【解答过程】， ， 故答案为：3. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【解答过程】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【解答过程】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 16．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)6 (2)0或2． 【解题思路】（1）根据分段函数解析式依次求得,; （2）根据分段函数解析式分类求解方程，检验后即得参数的值. 【解答过程】（1）， ． （2）当时，由，得，解得，符合题意； 当时，由，得，解得（舍去）. 故的值为0或2． 17．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【解答过程】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 18．（25-26高一上·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 【答案】(1) (2)， (3)， 【解题思路】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域. （2）（3）代入自变量值，计算得函数值. 【解答过程】（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是. 所以，这个函数的定义域是， （2）； . （3）因为，所以，有意义. ； . 19．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解题思路】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【解答过程】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 函数的概念及其表示（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 函数的概念 在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗?又如，你能用已有的函数知识判断y=x与是否相同吗?要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念. 【知识点1 函数的概念】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 【知识点2 函数的定义域与值域】 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型1 函数的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·山东烟台·期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式1-3】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【题型2 求具体函数的定义域】 【例2】（25-26高一上·山西阳泉·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【变式2-2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·河北沧州·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【题型3 求抽象函数、复合函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3-1】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·安徽·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求函数的值域】 【例4】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【题型5 求函数值或由函数值求参】 【例5】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【变式5-1】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式5-2】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【变式5-3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，若，，则（   ） A． B． C． D． 模块三 函数的相等 【知识点3 函数的相等】 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【题型6 判断两个函数是否相等】 【例6】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·广东汕头·期中）与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·重庆·期中）下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 模块四 函数的表示法 【知识点4 函数的表示法】 1．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 2．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型7 函数的表示法】 【例7】（25-26高一上·河南漯河·阶段检测）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·北京·期中）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·河北邯郸·期中）根据表中数据，可得（    ） 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 4 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】（25-26高一上·江苏苏州·期中）某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（   ）    A．   B．   C．   D．   【题型8 函数解析式的求解】 【例8】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·云南·期末）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求下列函数的解析式： (1)已知函数，求函数的解析式； (2)已知函数满足，求函数的解析式. 【变式8-3】（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【题型9 分段函数】 【例9】（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则（   ） A．10 B．2 C．1 D． 【变式9-2】（25-26高一上·河南·期中）已知函数，则（   ） A． B．5 C．2 D．-3 【变式9-3】（25-26高一上·河南·期中）已知函数，则（   ） A． B．5 C．2 D．-3 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） 2．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 3．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽合肥·期末）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为__________. 13．（25-26高一上·广东深圳·期末）设函数，则__________. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为__________. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 16．（25-26高一上·黑龙江绥化·阶段检测）已知函数. (1)求； (2)若，求实数的值． 17．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 18．（25-26高一上·吉林松原·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求，的值； (3)当时，求，的值. 19．（25-26高一上·江西宜春·期末）（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $