陕西西安市西北大学附属中学2026-2027学年高三上学期摸底质量监测数学试题

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A A D D D ABC BCD 题号 1 答案 AC 12.169 13. 14.(14,18] 15.(1)如图所示，取PA中点F,连结EF,BF.由题意可知，EFIAD, EF-LAD 且BCI∥AD BC=1 .故BCIEF且BC=EF,故四边形BCEF为平行四边形. ∴.CEIBF CElIBF,CE4平面PAB,BFc平面PAB,∴.CE∥平面PAB D E D B (2)1 【详解】(1)略 (2)(法一)取AD中点O,连结EO,CO,AD=2,BC=1,AD/BC E B .CO∥AB,由题意可知，PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, 因此PA⊥AB,而AD⊥AB,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, AB⊥平面PAD. 故CO⊥平面PAD,则∠CEO为直线CE与平面PAD所成角 EO=PA 即∠CE0=45°，故C0=E0=1,而 故PA=2. Vp-ABCD=Sh= 11+2 ×1×2=1 四棱锥P-ABCD的体积 32 (法二)由题意可知，PA⊥平面ABCD且AD⊥AB, 以点A为坐标原点，AB,DA,AP为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系. 则各点坐标4000)，B.Q0).C-10),D@-20,PQ0je>0),E0,-l E T面PD附法有i=(L00).正-（-10写引 设直线CE与平面PAD所成角为B, R.CE 1 √2 sin= .C 2 2 1/1+ 则 4 ，解得t=2, 3% 1 11+2 同理 P-ABCD ×1×2=1 32 16.(1)选择模型②更适宜，理由如下： 根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差： 模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜 (2)①y=60.825+6.3V:②该公司2030年的年利润最大 【详解】(1)略 (2)①设t=Vx,所以y=c+, w6- 28.35 =6.3 4.5 所以 2a-可 c=y-dt=75-6.3×2.25=60.825 所以y关于x的经验回归方程为y=60.825+6.3 ②由题设可得 L=(111.225-y)Vx=(111.225-6.3V-60.825V=-6.3x+50.4 G=50.4 =4 当 2×6.3,即x=16时，年利润L有最大值， 故该公司2030年的年利润最大. 25-2.acsinB=acsinB=(b-a)sinB 17.(1)证明：由题可知 因为sinB≠0，故ac=b2-a2. 根据正弦定理得：4Rsin4sinC=4R2(sim2B-sin2A) sindsin(B)=1-cosB1-cas2cos2cosin(B)sin(B) 2 2 因为sin(A+B)≠0，所以sinA=sin(B-A), 在ac=b-a2中，ac>0,故b2-a2>0,即b>a. 由正弦定理b>a→B>A(大边对大角)， 因此在0<B-A<π且siA=sin(B-A)的条件下，只能是B-A=A,故B=2A. _171-35 2) 8’2 【详解】(1)略 CosB、 3sin24 =c0s2A-3sin21=2c0s24-1-3cos4 (2) 2sinA 2sinA =COS4. 0=r-01-〔-号 在锐角三角形中A为锐角，且B=2A为锐角， A、π 所以4， Asπ <A<→5<1=co<5 又C=π-3A为锐角，所以6，所以642 ,f(在 2之处取最小值8，当‘→之4→60→1 335-1-1-35 Γ2（开区间）， f()e 171-3W3 所以 8’2 1.1)431 (2)设过点V(L,0)且斜率不为0的直线P的方程为x=my+1,设P(:,H,(,乃)， x=my+1 2+y =1 由椭圆方程可知4(-2,0），B(2,0),联立43 整理得3m2+4)y2+6my-9=0 6m 9 由根与系数的关系 得+5=3m+4,5=3m+4, y=片（x+2) 设直线AP的方程为x+2 线0的方装方’产-2列 》.四-习 将5=1名=以+2小F-2习 所以m2y(x+2)-(,+2)=myy2(-2)+3y,(x。-2) 即4my2y-(y+3y2)(x。-2）-4y=0 6m 9 又由当+%=3m+4,5=3m+4可符4m%=60+), 化简整理得（4-)，+3y,)=0 因为直线PQ的斜率不为0，片，不能同时为0，且若假设乃+3y=0,片=-3y, 6m 3m +少=3m2+4,得 代入到 为=3m+4: 22= 3 代入到2=3m2+4,程 3m2+4, 3m 2= 3 将3+4代入到 3m2+4中，整理得9m2=9m2+12,即0=12矛盾，故假设不成立， 即片+3y2≠0 故只能4-=0，即)=4， 因此点M在定直线x=4上. (i)(,3) e=之= 【详解】(1)由椭圆的定义得2a=4,解得a=2,又因为离心率a2, 所以c=1,则b2=a2-c2=4-1=3, x2,y2 =1 因此椭圆标准方程为4”3 (2)(i)略 (ii)由题可知 S=A×=x4×=2, BN-1,2N-为=y-为 S=24 4 所以 2出-5出- 6m 9 由(i)可知 +h=3m+4,4=3m+4,且3(0+)=2m4. t=(t<0) 设当 ,则为=，S(1-1-‘代入到根与系数关系中， 9 m+）=3m4.=3n+4. 6m （1+t}4m2 将上式化简整理得 t3m2+4, 9 再结合3(1+)=2m, 3m+4)消去4， 得m(3r+10+3)小=-41+t 司s,1m+30,购8-引 所以31<413 43 ,则1- S=4y4 则81--73) S 故5，的取值范围为，3) B 19.(1)y=(e-l)x (2)函数F(的单调增区间为-0，-)和(0，+0），单调减区间为(-1,0)： 实数m的取值范围为(e-1,2)】 3)（-0,-] 【详解11)函数f(x)=e-x,所以f'()=e-1,得')=e-l.而f0=e-1, 所以切线方程为-(e-l)=(e-l(r-l),即y=(e-)x 2当a=e时，F(=e-er-e-F-e-e- e ,由F'()=0,得x=-1或 x=0, 当x<-1或x>0时，F'()>0,当1<x<0时，F'(水0， 因此函数F()的单调增区间为(0，-)和(0，+切），单调减区间为(1,0)。 极大值F(-)=2,极小值F(0)-e-1, 女F0=2-e1e-02日42 e F(-2)=e1+2e-e2+2=(e-1)+(e'+e+3-e2)e-1 如图所示，函数'=F()m有三个零点等价于函数'=F()的图象与直线y=m有三个交点， 所以函数y=F()m有三个零点时m的取值范围为(e-12) y=F(x) -m 20 g图为f()oe-小e-,uF-ae-+e-1-儿ae-l e'=1>1 令F'()=0,得e=1或a之，解得x=0或 x=In-=-Ina>0 a 当x<0或x>-lna时，F'()>0,当0<x<-lna时，F'(x)<0, 即函数F()在(o,0）,（←lna,+o)上单调递增，在(0，-a）上单调递减， 因此当x=0时，F()取得极大值，当x=-na时，F()取得极小值，即有=0，名=-ha F(F0)-10 F()=F(-ha)a-nh0 又不等式F(:)+F(:)>0对任意a∈(0，)恒成立，于是1<0， i设(a)=F(x)+F()=a-1+[(a+)ina+1-a].a∈(0，l). ()0()) 今o)=+后，aea,求导相a)-日-2c0 则函数m(a)在(0,1上严格递减，有m(a)>m(0=1, 当t≤-1时， (a)sI-na+)0 则有函数p(@)在(0,1)上严格递减，p(a>p(0)=0,符合题意， 当-1<1<0时，存在4，∈(0，)，使得'(a)=0 当0<a<a时，p(a)0.当4<a<l时，p(a)>0, 因此函数(a)在(a,l1)上严格递增，有0(a)<p()=0,不符合题意， 所以实数1的取值范围为（一0，一] 西北大学附属中学2026-2027学年度第一学期摸底质量监测试题 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。 1．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．m，n表示直线，，，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ ） （1），，，则 （2），，，则 （3），，，则 （4），，，则 A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（4） 3．已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（ ） A．99 B．78 C．66 D．52 4．已知函数，恰有两个极值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（ ） A．42 B．43 C．44 D．45 6．若函数，恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（ ） A． B． C．0 D． 8．已知抛物线C：焦点为，设是焦点为的等轴双曲线下支上一点，过作抛物线的两条切线，，其中A，B为切点，则的最小值为（ ）． A．5 B．2 C．3 D．6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．给出下列命题，则（ ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若，，则 C．若为非零向量，则与同向 D．已知，为实数，若，则与共线 10．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（ ） A．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B．若，则 C．复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D．复平面中，将直线l：绕点顺时针旋转得到直线： 11．设M，N为随机事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_______． 13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，边上的中线的长度为_______． 14．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有4个正整数满足，则实数的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．（13分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 16．（15分）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1—10分别对应年份2015—2024． 根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． （2）①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大? 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 17．（15分）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求证：； （2）求的取值范围． 18．（17分）已知椭圆C：（）的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，过点且斜率不为0的直线交椭圆于P，Q两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 19．（17分）已知函数，，， （1）求函数的图像在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间，并求当函数有三个零点时，实数的取值范围； （3）当时，、分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $