精品解析：陕西省西安市铁一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

陕西西安铁一中学 2025—2026高三上学期开学考试数学试题 一、单选题 1. 已知样本数据5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求解. 【详解】因为：， 所以样本数据5，6，6，6，8，9，10，11的第60百分位数是第5个数为8. 故选：C 2. 已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接写出答案. 【详解】已知命题：有些实数的相反数是正数，即， 则， 故选：B. 3. 已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据 单价/元 40 50 60 70 80 90 /件 45 39 38 35 30 23 由表中数据，求得经验回归方程为，下列说法错误的是（　　） A. 产品的销售量和单价呈负相关 B. 该经验回归直线过点 C. 样本点的残差为 D. 当单价定为100元时，销量估计为21件 【答案】C 【解析】 【分析】由线性回归方程中的回归系数，即可判断选项A；由表中数据求得，，所以该经验回归直线必过样本中心点，即可判断选项B；由，解得，所以.当时，结合残差定义即可判断选项C；令时求出对应的即可判断选项D. 【详解】由线性回归方程中的回归系数，可知产品的销售量和单价呈负相关，故选项A正确； 由表中数据得，，所以该经验回归直线过点，故选项B正确； 由得，解得，所以. 当时，所以样本点的残差为，故选项C错误； 当时，所以当单价定为100元时，销量估计为21件，故选项D正确. 故选：C. 4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， ， 即，可得， ，即， 所以， 所以. 故选：. 5. 全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.54 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】设去西安市与汉中市旅游分别为事件，，则，. 设事件为去游乐园，则，. 所以. 故选：D 6. 已知复数z满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由可得，，故的最大值为点到圆上的点的最大距离，继而即可求解. 【详解】设，由，可得， 所以， 故的最大值为点到圆上的点的最大距离， 即. 故选：. 7. 已知以为顶点且底面重合的两个圆锥内接于半径为的球，圆锥底面圆的半径为，若两圆锥的侧面积之和与球的表面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设以为顶点的圆锥的母线分别为，圆锥的底面圆心为，半径为，利用勾股定理和相似关系可得，，代入圆锥的侧面积公式和球的表面积公式化简即可求解. 【详解】作出图象如图所示，设以为顶点的圆锥的母线分别为，圆锥的底面圆心为，半径为， 易得，，所以，即①， 又因为，所以，则，即，所以②， 由圆锥侧面积公式可得两圆锥的侧面积之和为，球的表面积为， 故，即， 由①②2得，化简得， 故选：D 【点睛】关键点点睛：观察发现图象含有多个直角三角形，故考虑利用勾股定理和相似三角形的性质结合已知得到相关关系． 8. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件应用赋值法计算判断A，求已知等式的导数结合对称性定义判断B，应用函数的对称性赋值化简得出函数的周期再应用周期性求出函数值判断C，D. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以，取可得，A正确． 对于B，因为，所以， 所以．又， 故，所以函数的图象关于点对称，B错误． 对于D，因为，所以， 所以为常数． 因为，所以， 所以，取可得，所以． 又，所以，所以， 所以，故函数为周期为4的函数． 因为，所以， 所以， 所以，D正确． 对于C，因为，所以，所以， 故函数为周期为4的函数，， 所以函数为周期为4的函数，又， 所以， 所以，C正确． 故选：B. 二、多选题 9. 已知正实数a，b满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解即得. 【详解】正实数a，b满足，由， 对于A，，当且仅当时取等号， 于是，解得，因此的最大值为4，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，则，B错误； 对于C，，则， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 10. 已知直线和平面与所成锐二面角为.则下列结论正确的是（ ） A. 若，则与所成角为 B. 若，则与所成角为 C. 若，则与所成角最大值为 D. 若，则与所成角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线线角，线面角，二面角的定义结合题意逐一分析判断即可. 【详解】对于A，因为，与所成锐二面角为， 所以与所成角为，故A正确； 对于B，若，此时不能确定与所成角， 如直线时，此时与所成角为，故B错误； 对于C，如图，设平面的交线为直线， 当时，与所成角为， 当与不平行时，设，在直线上取点，过点作于点， 作于点，连接， 因为，所以， 又，所以平面， 又平面，所以，则即为与所成锐二面角的平面角， 则， 因为所以即为与所成的角， 则， 当且仅当时，取等号， 所以与所成角最大值为，故C正确； 对于D，因为，与所成锐二面角为， 所以与所成角为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知三角形三个内角分别为，，，且满足，则下列说法正确的是（ ）（提示：，） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用降幂公式可得A选项，利用三角形性质和倍角公式可判断B，由A可判断C，由，转化为边，利用余弦定理和基本不等式可判断D. 【详解】因为，所以, 整理可得, , 化简可得， 又，所以，A正确. ，B错误. 由可得， 因为，所以，C正确. 由B选项可得，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 又因为在单调递减，所以，D错误. 故选：AC 三、填空题 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项并化简，令的指数等于，解得的值代入系数即得. 【详解】的展开式的通项， 令，得， 故的系数为. 故答案为： 13. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求出的值，再结合双曲线的离心率公式以及来计算离心率. 【详解】已知该双曲线的一条渐近线方程为，所以.  双曲线的离心率（其中为双曲线的半焦距），且满足. 将两边同时平方可得，把代入可得. 由步骤1可知，将其代入上式可得. 因为，所以.  故答案为：. 14. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作平行于轴的直线，过点作，得到表示的长度，根据，求得，得到，进而化简得到，得出垂直直线时，最小，利用圆的性质，求得的值，结合，即可求解. 【详解】如图（1）所示，过点作平行于轴的直线交直线于点， 过点作于点，表示的长度， 因为直线的方程为，即直线的斜率，则， 又因为，所以， 所以，可得，即， 所以， 当固定点时，且平行轴时，此时点与点重合， 此时为定值，此时为0时，最小，如图（2）所示， 过点作直线的垂线，垂足为，交圆于点， 可得， 又由直线的斜率，可得， 在直角中，可得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用直线斜率，结合新定义将所求转化为点到直线的距离问题求解即可. 四、解答题 15. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据： 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ （2）根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为，求的分布列和期望． 附：． 【答案】（1）不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系 （2）的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据题意求，并与临界值对比分析. （2）根据的取值情况列出分布列，通过期望公式求解即可. 【小问1详解】 零假设为：性别因素与锻炼的经常性无关， 因为， 所以，，，，， 则，则， ，，，， 所以， 则， 根据小概率值的独立性检验为6.635，由， 因此可以认为成立，即不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系. 【小问2详解】 经常锻炼的学生为50人（男生30人，女生20人），按比例抽取5人，其中男生抽取3人，女生抽取2人. 则的可能取值为：0，1，2，则： ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 . 16. 设为实数，函数． （1）求函数的定义域； （2）设，把函数表示为的函数，并写出定义域． 【答案】（1）； （2），定义域为． 【解析】 【分析】（1）根据函数特征得到不等式，求出定义域； （2）两边平方得，求出定义域，并得到函数解析式． 【小问1详解】 由题意，得，解得，故定义域为； 【小问2详解】 将两边平方，得， 整理得，解得， 所以，所求，定义域为． 17. 如图，在四棱锥中，底面. （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，且； （i）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：由余弦定理， 有， 因为，即， 所以， 因为底面平面， 所以， 因为平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）（i）证明：连接， 因为平面平面， 所以， 因为为的中点， 所以，同理，有， 因为底面平面， 所以， 因为为的中点， 所以，因此，有， 所以为四棱锥的外接球的球心. 按如图所示建立空间直角坐标系，连接，取的中点，连接， 由，有， 又，所以是正三角形， 有，易知， 设，则，有， 因为，所以， 有，得， 即，有， 故四棱锥的外接球的半径为. 球的半径为；（ii） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得，由，则，再由线面垂直的性质，得到，即有平面，即可得证； （2）（i）连接，易证，，故由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，即可证得四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，且为四棱锥的外接球的球心；进而建立空间直角坐标系，设，由，，求得的值，进而根据，利用勾股定理即可求解；（ii）求得平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量法求得二面角的余弦值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii），得， 设平面的法向量为， 由有 则，取，得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由有 取，则， 得平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则. 18. 已知拋物线的焦点是，点是拋物线上一点（异于坐标原点），当时，． （1）求抛物线的方程； （2）若是以为直径的圆，证明：与轴只有一个公共点，且直线与抛物线只有一个公共点； （3）设，过的直线与交于另一点，交轴于点，过作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先确定点的坐标，然后根据两点距离公式求出，进而求出抛物线方程. （2）先求出圆的方程，确定该圆与轴只有一个公共点，然后求出直线的方程，联立直线与抛物线方程组可求得公共点. （3）设，先求出的斜率，进而求出直线的方程，进而得到点的中点，根据已知条件求出最小值即可. 【小问1详解】 根据题意，当时，，此时点. 而，所以. 化简得，解得. 继续化简得，因为， 所以. 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由题意知，，设中点为，则. 而的半径，因此到轴的距离等于的半径，说明与轴相切， 有唯一公共点. 直线的斜率，因此. . 故直线与抛物线相切，只有一个公共点. 【小问3详解】 设，的斜率. 同理斜率. 由于，有. 直线的方程为，令. 因此，由（2）可得，若是抛物线的切线，有. 即，整理得. 由可得，因此. 故的最小值为. 19. 已知为实数，记. （1）当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； （2）若函数为偶函数，若对于任意，关于的不等式均成立，求实数的取值范围； （3）求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 【答案】（1） （2） （3）证明：充分性：当时，在上是严格增函数， 且， ，设在时恒大于零， 故在上是严格增函数，故，故. 又由于的图象是连续曲线，由零点存在性定理，可知存在，使得，由在上是严格增函数， 可知函数有且只有一个零点， 且当时，是严格减函数， 当时，是严格增函数， 函数在处取到最小值. 必要性： 当存在正数，使得函数在处取到最小值，必有， 当时，在上是严格增函数，不存在最小值，故， 所以在上是严格增函数， 由于，所以，即， 故. 因此，“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 【解析】 【分析】（1）当，利用函数奇偶性可知，代入求得时的解析式，从而得到分段函数解析式； （2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，利用分离常数法，求导求出的单调性求得的取值范围. （3）先证明充分性，通过求导得出，，由于的图像是连续曲线，由零点存在性定理可知函数有且只有一个零点，再证明函数在处取到最小值，最后再证明必要性． 【小问1详解】 当时，， 所以当时，. 所以. 【小问2详解】 当函数为偶函数时，必有，解得， 经检验，此时确为偶函数. 此时，令，解得， 故当时，，函数是严格减函数； 当时，，函数是严格增函数， 结合函数为偶函数，所以等价于. 化简得，即对恒成立. 令， 则有当时，为严格减函数， 当时，为严格增函数， 结合， 可知 解得. 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于先证明充分性，通过求导得出，，由于的图像是连续曲线，由零点存在性定理可知函数有且只有一个零点，再证明函数在处取到最小值，最后再证明必要性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西西安铁一中学 2025—2026高三上学期开学考试数学试题 一、单选题 1. 已知样本数据5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据 单价/元 40 50 60 70 80 90 /件 45 39 38 35 30 23 由表中数据，求得经验回归方程为，下列说法错误的是（　　） A. 产品的销售量和单价呈负相关 B. 该经验回归直线过点 C. 样本点的残差为 D. 当单价定为100元时，销量估计为21件 4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.54 6. 已知复数z满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知以为顶点且底面重合的两个圆锥内接于半径为的球，圆锥底面圆的半径为，若两圆锥的侧面积之和与球的表面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 二、多选题 9. 已知正实数a，b满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知直线和平面与所成锐二面角为.则下列结论正确的是（ ） A. 若，则与所成角为 B. 若，则与所成角为 C. 若，则与所成角最大值为 D. 若，则与所成角为 11. 已知三角形三个内角分别为，，，且满足，则下列说法正确的是（ ）（提示：，） A. B. C. D. 三、填空题 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________. 14. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为______． 四、解答题 15. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据： 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ （2）根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为，求的分布列和期望． 附：． 16. 设为实数，函数． （1）求函数的定义域； （2）设，把函数表示为的函数，并写出定义域． 17. 如图，在四棱锥中，底面. （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，且； （i）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； （ii）求二面角的正弦值. 18. 已知拋物线的焦点是，点是拋物线上一点（异于坐标原点），当时，． （1）求抛物线的方程； （2）若是以为直径的圆，证明：与轴只有一个公共点，且直线与抛物线只有一个公共点； （3）设，过的直线与交于另一点，交轴于点，过作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值． 19. 已知为实数，记. （1）当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； （2）若函数为偶函数，若对于任意，关于的不等式均成立，求实数的取值范围； （3）求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $