专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型（几何模型讲义）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学讲义通过框架图系统构建圆的翻折模型知识体系，整合翻折变换性质与圆的核心定理，用模型提炼表呈现“弧翻折必出等腰”等核心结论，清晰梳理几何溯源、知识储备与模型类型的内在联系，突出弧相等转化、垂径定理应用等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，A组基础题巩固双翻折角度计算，C组压轴题结合扇形翻折与轨迹问题，通过六步解题法培养推理能力与模型观念，易错点总结帮助学生规避弧相等忽略等常见错误，支持教师实施分层教学与学生自主复习提升。

专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆的翻折模型是初中几何高频考点，核心考查圆的性质与翻折变换性质的综合运用。基础知识点涵盖：翻折前后图形全等，对应边、对应角相等，对应点连线被折痕垂直平分；圆的半径相等、垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧弦关系、圆内接四边形性质等。 考查方向以几何计算与证明为主：一是线段、弦长、半径、圆心到弦的距离计算，常结合垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理求解；二是角度求解，依托翻折等角、圆周角转化推导角度关系；三是最值、轨迹问题，分析翻折后动点的圆轨迹；四是综合压轴，结合相似、三角函数、阴影面积计算，侧重模型转化与数形结合思想，侧重考查学生几何迁移与综合推理能力。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 23 圆的翻折模型的几何溯源可追溯至中外古代几何研究，是东西方对称几何思想融合发展的成果。西方起源于古希腊，阿基米德最早研究圆内折弦性质，提出经典折弦定理，奠定圆内翻折构图的理论基础。文艺复兴后，欧洲数学家完善圆对称翻折原理，近代法国数学家布里昂雄总结出圆翻折对偶性质，明确折痕两侧弧、弦、角的对称等价规律，完善模型核心理论体系。中国古代对此亦有深入研究，宋代数学家结合圆弦、弧的运算规律，总结出“等弧翻折得等弦”的几何结论，依托垂径、弦弧对应思想，形成本土化的圆对称解题思路。近现代中外几何体系融合，圆翻折模型逐步标准化，结合全等、圆的核心定理定型为初中经典几何模型，沿用至今。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 1）轴对称性质：折叠前后图形全等，对应弧相等，对应圆周角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2）圆周角定理：同弧 / 等弧所对圆周角相等； 3）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的弧 4）勾股定理：在半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形中列式计算 5）圆内接四边形对角互补、外角等于内对角 6）等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 7）弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 【模型提炼与证明】 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏盐城·二模）如图，AB是的直径，BC是的弦，先将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿AB翻折交BC于点E，若，设，则为_______°． 【答案】22.5 【分析】根据同圆中等弧对的圆周角相等，可得，进而根据题意可得，，根据直径所对的圆周角等于90度，即可求解． 【详解】解：连接，如图， AB是的直径， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同圆中等弧对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，理解等弧的意义是解题的关键． 【典例2】如图，为的一条弦，为上一点，，将劣弧沿弦翻折，翻折后的交于点，若为翻折后的中点，则的度数为______．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，三角形内角和定理，连接，，，，设，通过圆周角定理和三角形的外角性质用表示出，，利用三角形内角和定理，构建方程即可求解，解题的关键是理解题意，学会利用参数，构建方程解决问题． 【详解】解：连接，，，，设，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为翻折后的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【典例3】（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，结合圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ， ， 由翻折得：， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ， 故选：C． 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，将劣弧沿翻折，与交于，连接. (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的半径. 【答案】(1) (2)的半径为2 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、折叠的性质及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、折叠的性质及圆周角的定理是解题的关键； （1）在上取点D关于的对称点E，连接，由折叠的性质可知：，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解； （2）连接，由（1）及折叠的性质可知：，，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在上取点D关于的对称点E，连接，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： 由（1）及折叠的性质可知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的半径为2． 【典例5】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接．    (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ① 当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ② 如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为 H，、求的长； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①AQ弧长为；② (2) 【分析】（1）①连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解； ②过点O作，垂足为点G，则，根据可得，由此即可求解； （2）将沿着翻折得△AQP，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，则四边形是矩形，中，可求出，在中，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）连接，由翻折得    ∵， ∴为等边三角形 ∴ ∴弧长为： ②过O作    ∴ ∵翻折 ∴ 在与中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）如图所示，将沿着翻折得 过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D    ∵ ∴四边形是矩形 由折叠和 (1) 可知， ∵， ∴ ∴， 中， ∴的长为． 【点睛】本题考查圆的几何图形的综合，掌握折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 模型常见易错点 1）只看到线段折叠，忽略 “弧相等” 这一核心条件 错误：把翻折只当成三角形全等，看不到圆弧相等，无法进行圆周角转化。 正解：圆中的翻折，第一优先级是：等弧 ⇒ 等圆周角。 2）分不清折叠后的弧的位置，混淆内外圆周角 错误：依旧用原来的圆外角圆周角公式，没有替换成折叠后圆内的等角。 正解：翻折之后，弧进入圆内部，对应圆周角在弦的同侧，注意角度位置。 3）不会作弦心距，无法构造直角三角形 很多圆翻折计算题，必须作圆心向弦的垂线，依靠垂径定理建立直角三角形，学生缺少辅助线意识，只会观察原图。 4）翻折过圆心题型，错误判断弦心距长度 在弧折叠过圆心的题型中，弦心距不等于半径，而是半径的一半，极易代错数值，导致勾股方程出错。 5）大题只写结论，缺少弧相等的推导过程 几何书写扣分点：直接写角度相等，没有先说明 “由折叠得弧相等，故圆周角相等”，逻辑链条断裂。 解题方法总结 步骤 1：找折痕，定等弧：观察翻折的弦，写出：由折叠可知，两段弧相等。 步骤 2：角转化，做倒角：由等弧推得圆周角相等，完成角度代换，寻找等腰三角形。 步骤 3：作垂线，构造直角三角形：过圆心向折痕弦作垂线段，利用垂径定理平分弦、平分弧。 步骤 4：设未知数，表示边长：设圆半径为 r，用 r 表示弦心距、半弦长。 步骤 5：勾股定理列方程，求解计算：在 Rt△中列出方程，解出半径或者弦长。 步骤 6：整理作答，补齐几何书写过程。 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，圆周角定理等知识，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、，进而垂直平分垂直平分，结合圆周角定理推出，即可求出的度数． 【详解】解：作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、， ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴的度数为， 故选：B． 2．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠和圆的相关知识得出，再利用圆周角知识进而得到，在等腰中，由勾股定理得到，由垂径定理及中垂线判定与性质可得，数形结合求值即可得到答案． 【详解】解：设圆的半径为，连接，，，，，，，，如图所示： 由题中折叠性质可知， ， ， ， ， ， 在等腰中，，则由勾股定理可得， ， 如图④所示： ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，垂直平分线判定与性质，翻折变换（折叠问题），掌握圆的相关知识是解题的关键． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连结，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，进一步求出和的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到，由此即得答案． 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连结， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 __________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理，由题意可得，从而求出，连接、，作于，证明、都是等腰直角三角形，得出，设，则，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是， ∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接、，作于， ， ∴， ∴， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴、都是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心O，已知．若点C是的中点，点P在弦上，则周长的最小值为______． 【答案】 【分析】由折叠的性质得，，，连接，当点为和的交点时，的周长最小，最小值为．由垂径定理得，由勾股定理得，证明为正三角形，求出，然后利用勾股定理求出，进而可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，设翻折前后点O的对称点为D，连接， ∵点翻折到点，点在上， ∴，，． 连接，当点为和的交点时，的周长最小， 此时，，周长的最小值为． ，， ∴． ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∵，， ∴， ∴为正三角形． ∵为中点， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，确定出点P的位置是解答本题的关键． 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．如图，延长交于点，连接，利用折叠的性质可判断和所在圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理可计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 劣弧沿弦翻折，交翻折后的弧于点，而和都对， ， ， 为直径，的半径长为， ，， 在中，， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在扇形中，，，点C在半径上，将沿着翻折，点O的对称点D恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧 （点是点A的对称点），那么的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接，由翻折得，，，证出是等边三角形，设，在中，根据勾股定理列方程并解出进而求出结论． 【详解】解：连接， 由翻折得：，，，， ， 是等边三角形， ， ， ∴ ∴是等腰直角三角形 设，则， 在中， ， 解得：，（舍去）， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，是的内接三角形，是直径，是的中点，交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)点是上一点，连接，，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，再将分别沿，向内翻折，若，求图中阴影部分的面积和．（结果保留） 【答案】(1) 证明：如图，连接， 是的内接三角形，是直径， ， 在中，， 是的中点， ，是的半径， 根据圆周角和圆心角定理得， 交的延长线于， ， ， 在中，， ， 又是的半径， 是的切线； (2) 【分析】本题主要考查勾股定理，圆的切线判定以及扇形面积的计算，掌握圆的切线的判定与扇形的面积计算是解题的关键． （1）通过连接，利用圆周角定理、平行线性质等证明，从而判定直线是圆的切线； （2）连接，先根据已知条件判断是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出，进而计算，最后求出阴影部分面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 点是上一点，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上， ， 是的内接三角形，是直径，， ，， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， 又， ． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．首先证明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a． ∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有，，， ∴AC＝CD＝DE， ∵CH⊥AD， ∴AH＝DH， ∵AD＝2OD， ∴AH＝DH＝OD＝a， 在Rt△OCH中，CH＝， 在Rt△ACH中，AC＝， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 10．（25-26·安徽·模拟预测）如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接OC，BC．证明△OBC是等边三角形，利用分割法求解即可． 【详解】解：如图，连接OC，BC．可得OB=OC=4， ∵∠CAO=∠CAB， ∴， ∴OC=BC=OB， ∴∠COB=60°， ∴∠AOC=180°-60°=120°， ∵， ∴∠COD=60°， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 11．（25-26·上海虹口·二模）如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点A的对称点），那么的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接，由翻折得，证出是等边三角形，设，在中，根据勾股定理列方程并解出进而求出结论． 【详解】解：连接， 由翻折得：，， ， 是等边三角形， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：（舍去）， ， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，勾股定理．连接、、，作于F，设，则，，，先利用折叠的性质和圆周角定理得到 ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到，然后利用勾股定理计算出，接着再计算出即可． 【详解】解：连接、、，作于F，如图所示， 设，则，， ∴， ∵上的沿弦翻折交半径于点D，再将沿 翻折交于点E， ∴为等圆中的弧， ∵它们所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ， ∴． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，将的劣弧翻折，为优弧上一点，交翻折后的弧于点，若，则的大小是 ____． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接、，由圆内接四边形可得：，又，所以，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接、，作所对的圆周角，如图，     ∵点和关于对称， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆内接四边形，圆周角定理，折叠性质等知识，解题的关键在于对知识的灵活运用． 14．（25-26·四川成都·三模）如图，中，，斜边，以边为直径在另一侧作半圆，点为半圆上一点，将半圆沿所在直线翻折，翻折后的与边相切于点，与边相交于点，则的长为____________．    【答案】 【分析】作点O关于的对称点，连接，，作于点F，证明四边形为正方形，得，即，作于G，利用垂径定理、勾股定理、含30度角的三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，作点O关于的对称点，连接，，      ∵中，，斜边， ∴， ∴，， 过A作于点F，则， ∴， ∴，且， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 作于G， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质． 15．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的综合应用、折叠的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图1：过点O作于E，由垂径定理可得到的长，由折叠的性质可得，根据勾股定理计算即可求得半径r，然后运用三角函数求得，再运用弧长公式求解即可； （2）如图2：连接，根据翻折的性质弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，在根据角的和差求解即可； （3）如图3：过C作于G，连接、，可求得半径的长度，根据计算得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴， 在中，，即，解得； ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的长为． （2）解：如图2，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3：过C作于G，连接、， ∵， ∴的半径为， 由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， 在中，． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)∠ACD=38° (3) 【分析】（1）设D在原来弧上的对应点为，连接、，根据折叠的地性质得出，，在根据垂径定理得出，设， 根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设D在原来弧上的对应点为，连接，易得，则，根据圆内接四边形的性质得出，再根据折叠的性质得出，最后根据三角形内角和即可求解； （3）过点C作于点H，易得，则，，通过证明，得出，则，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：设D在原来弧上的对应点为，连接、， ∵点D和点关于对称， ∴，， ∵点D与圆心O重合， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴求出半径为．    （2）解：设D在原来弧上的对应点为，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由沿折叠得到， ∴， ∴．    （3）解：过点C作于点H， ∵，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握折叠前后对应角相等，圆内接四边形对角互补． 17．（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】过点O作于点E，连接，由垂径定理得到，根据勾股定理得到．连接，则．连接，，根据和所对圆周角都是，得到，由点C是的中点，得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而可得的最小值为． 【详解】解：过点O作于点E，连接， ∴， ∵， ∴在中，． 连接，则， ∴的最小值为． 连接，， ∵和所对圆周角都是， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 18．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】取点在上的对应点，连接、、、、、，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，有，进而求得，再通过勾股定理求得，易证得是等边三角形，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接、、、、、，过点作于点，如图， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点， ∴根据折叠的性质有：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆中折叠的问题，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到是解答本题的关键． 19．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，点C是半圆O上的一个动点，将沿着折叠交直径于点D，点E是的中点，连结．若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质．作点D关于的对称点交原上，连接，作点O关于的对称点交上，连接，，，，，过点C作，利用倒角及圆周角定理得出相关角度的表达式，再利用，列出α的方程求解α的值，通过垂径定理证得是等腰直角三角形，从而求得的值，由三角形任意两边之差小于第三边得出，当C，O，E三点共线时，有最小值，即可解答． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点交原上，连接，作点O关于的对称点交上，连接，，，，，过点C作， ∵为半圆直径，， ∴， ∵E是中点， ∴， 设的度数为α，则的度数为， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可知，，，，， ∴的度数为α，的度数为α， ∴， ∴，即， ∴的度数为， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， 由垂径定理可知，E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴当C，O，E三点共线时，有最小值， ∴， 即最小值为， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图，是的直径，，沿弦 折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 小鹿说：取弦和弦的中垂线的交点即可； 小鸣说：如图，只需作点关于弦的对称点，点即为所求； 小鹿说：这样看来，折叠后，切点E在直径上运动，可以看成'在直径上滚动； 小鸣说：所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是 ； 【拓展】如图，若切点为的中点，求弦的长． 【答案】；平行； 【分析】发现：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变，与的半径相等，即半径为； 探究：根据切点在直径上运动，与相切于点，可得折叠后圆的半径为定值，即可得出点的运动路线与直径平行； 拓展：设与交于点，连接，，如图，则，，根据轴对称可得，，得，根据勾股定理，，即可解答． 【详解】发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变， ∵是折叠得到， ∴与的半径相等，即半径为， 故答案为：； 探究：连接，则， ∵的半径为， ∴， 即到的距离始终为， ∴点的运动路线和直径的位置关系是平行， 故答案为：平行； 拓展：设与交于点，连接，，如图，则，， 根据轴对称可得，， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴． 【点晴】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，折叠的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．（2025·河北廊坊·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为_____； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是_____； 【拓展】 （1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 【答案】【发现】2；【探究】平行；【拓展】（1）；（2）弦的最大值为，最小值为． 【分析】发现：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变，所在圆的半径为的半径，即； 探究：根据切点在直径上运动，与相切于点，可得折叠后圆的半径为定值，即可得出点的运动路线与直径平行； 拓展：（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角和切线的性质，可得，，再结合勾股定理即可求解弦的长； （2）设，与交于点，连接，根据勾股定理，垂径定理可得，再结合的取值范围为，即可求解． 【详解】发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变， ∴所在圆的半径为的半径，即， 故答案为：； 探究：解：∵切点在直径上运动，与相切于点， ∴即点到直径的距离为半径，即为定值， ∴点的运动路线与直径平行． 故答案为：平行； 拓展：（1）解：如图1，连接， ∵点在上，对应的弦为的直径， ∴． 又∵点是的切点， ∴． 在和中，，， ∴， ∴． ∵点为的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）最大值为，最小值为． 如图2，设，与交于点，连接． ∴． ∵点是的中点， ∴． 由垂径定理得点为的中点， ∴， ∴． ∵点在线段上， ∴的取值范围为， ∴． ∴弦的最大值为，最小值为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，切线的性质，折叠的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）是的两条弦，且． (1)如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． (2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． (3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 【答案】(1) 证明：小明同学：过点作，，垂足为，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 小华同学：连接，则由圆周角定理得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； 小刚同学：连接， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； (2) (3) 【分析】（）小明同学：过点作，，垂足为，连接，由弦、弧、圆心角、弦心距的关系可得，进而可得，得到，再根据垂径定理得，进而即可求证； 小华同学：连接，则由圆周角定理得，由弦、弧、圆心角的关系可得，进而得，得到，再证明即可求证； 小刚同学：连接，同理小华同学证明，再根据圆周角定理得到即可求证； （）连接，过点作交于点，则，由过点，可得点与点关于对称，即得，再根据勾股定理即可求解； （）连接，先证明四边形是正方形，过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值，利用正方形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作交于点，则，， ∵过点， ∴点与点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线，点三点共线，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 由正方形性质可得，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， 根据折叠可知，， ∴， ∴， ∴折叠后上的一点到最小值为． 【点睛】本题考查了弦、弧、圆心角的关系，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）探究圆中折叠． 如图1，是圆的直径，是圆上一点（不与，重合），连接，沿着把翻折交于点，连接，． (1)小浩发现并展示了两种思维方式，请帮他补充完整： 依据：同弧或等弧所对的弦相等 思维方式1 思维方式2 对于，所对两个圆中的弧分别是和______，所以，所以． 如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以=______，即可证． (2)如图3，E是的中点． ①若的半径为，连接，的长度是否改变，若不改变，求出的长度，若改变，请说明理由． ②连接，若的最小值为，求的半径． 【答案】(1)， (2)①的长度不变，为 ②的半径为 【分析】（1）思维方式1：由圆周角定义可知：对于，所对两个圆中的弧分别是和； 思维方式2：，由圆周角定义可知所对的弧是，所对的，由圆周角定理的推论可得； （2）①的长度不会改变，如图3，作交于点，作交于点，连接，，，由是的中点，是的中点，是直径，可得，由勾股定理可得长，由折叠得即可得出； ②由三角形两边之差小于第三边可得，当、、三点共线时，最小，设的半径为，则，由，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：思维方式1：对于，所对两个圆中的弧分别是和，所以，所以． 思维方式2：如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以，即可证． 故答案为：，； （2）①的长度不会改变，如图3，作交于点，作交于点，连接，，， 由（1）知：是的中点， ∵是的中点，是直径， ∴， ∵， ∴， 由折叠得：； ②如图4，连接，中，，当，，三点共线时，有最小值， 设的半径为，则，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，折叠问题、圆心角的计算，勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 24．（25-26·江苏盐城·一模）（1）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，则AB长为 cm； 请同学们进一步研究以下问题： （2）如图2，⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过C的中点D，AB=10cm，求的半径； （3）如图3，的半径为4cm，劣弧AB沿弦AB折叠后与直径CD相切于点E，ED=2cm，求弦AB的长．    【答案】（1）cm；（2） cm；（3）cm 【分析】（1）过点O1作O1F⊥AB于F，得出O1F＝O1F，再根据勾股定理，即可得出结论； （2）同（1）的方法先判断出O2C＝2r cm，再根据勾股定理建立方程求解，即可得出结论； （3）先求出OO3，进而求出O3E，进而利用勾股定理求出AH，即可得出结论． 【详解】（1）如图1，过点O1作O1F⊥AB于F，并延长O1F交虚线劣弧AB于E，    ∴AB＝2AF， 由折叠知，EF＝O1F＝O1E＝×4＝2（cm）， 连接O1A， 在Rt△O1FA中，O1A＝4， 根据勾股定理得，AF＝（cm）， ∴AB＝2AF＝（cm）， 故答案为：； （2）如图2，延长O2C交虚线劣弧AB于G， 由折叠知，CG＝CD，    ∵D是O2C的中点， ∴CD＝O2D， ∴CG＝CD＝O2D， 设⊙O2的半径为3r cm，则O2C＝2r（cm）， ∵O2C⊥弦AB， ∴AC＝AB＝5（cm）， 连接O2A， 在Rt△ACO2中，根据勾股定理得，（3r）2−（2r）2＝25， ∴r＝（舍去负值）， ∴O2A＝3r＝（cm）， 即⊙O2的半径为cm； （3）如图3，记实线劣弧AB所在的圆心为O，连接OE，O3A，OA，OO3， 则O3A＝OA＝OE＝4（cm），    ∵折叠后与直径CD相切， ∴∠OEO3＝90°， ∵⊙O3的半径为4cm， ∴O3A＝O3D＝4（cm）， ∵DE＝2cm， ∴O3E＝O3D−DE＝2（cm）， 在Rt△OEO3中，根据勾股定理得，OO3＝（cm）， ∵AB是⊙O和⊙O3的公共弦， ∴OO3⊥AB， ∴AB＝2AH，O3H＝OO3＝（cm）， 在Rt△O3HA中，根据勾股定理得，AH＝（cm）， ∴AB＝2AH＝2（cm）． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，相交两圆的连心线垂直于勾股弦，构造出直角三角形是解本题的关键． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆的翻折模型是初中几何高频考点，核心考查圆的性质与翻折变换性质的综合运用。基础知识点涵盖：翻折前后图形全等，对应边、对应角相等，对应点连线被折痕垂直平分；圆的半径相等、垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧弦关系、圆内接四边形性质等。 考查方向以几何计算与证明为主：一是线段、弦长、半径、圆心到弦的距离计算，常结合垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理求解；二是角度求解，依托翻折等角、圆周角转化推导角度关系；三是最值、轨迹问题，分析翻折后动点的圆轨迹；四是综合压轴，结合相似、三角函数、阴影面积计算，侧重模型转化与数形结合思想，侧重考查学生几何迁移与综合推理能力。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 16 C组（综合压轴题） 23 圆的翻折模型的几何溯源可追溯至中外古代几何研究，是东西方对称几何思想融合发展的成果。西方起源于古希腊，阿基米德最早研究圆内折弦性质，提出经典折弦定理，奠定圆内翻折构图的理论基础。文艺复兴后，欧洲数学家完善圆对称翻折原理，近代法国数学家布里昂雄总结出圆翻折对偶性质，明确折痕两侧弧、弦、角的对称等价规律，完善模型核心理论体系。中国古代对此亦有深入研究，宋代数学家结合圆弦、弧的运算规律，总结出“等弧翻折得等弦”的几何结论，依托垂径、弦弧对应思想，形成本土化的圆对称解题思路。近现代中外几何体系融合，圆翻折模型逐步标准化，结合全等、圆的核心定理定型为初中经典几何模型，沿用至今。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 1）轴对称性质：折叠前后图形全等，对应弧相等，对应圆周角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2）圆周角定理：同弧 / 等弧所对圆周角相等； 3）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所对的弧 4）勾股定理：在半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形中列式计算 5）圆内接四边形对角互补、外角等于内对角 6）等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 7）弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 【模型提炼与证明】 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏盐城·二模）如图，AB是的直径，BC是的弦，先将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿AB翻折交BC于点E，若，设，则为_______°． 【典例2】如图，为的一条弦，为上一点，，将劣弧沿弦翻折，翻折后的交于点，若为翻折后的中点，则的度数为______．    【典例3】（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，等腰内接于，，将劣弧沿翻折，与交于，连接. (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的半径. 【典例5】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接．    (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ① 当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ② 如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为 H，、求的长； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 模型常见易错点 1）只看到线段折叠，忽略 “弧相等” 这一核心条件 错误：把翻折只当成三角形全等，看不到圆弧相等，无法进行圆周角转化。 正解：圆中的翻折，第一优先级是：等弧 ⇒ 等圆周角。 2）分不清折叠后的弧的位置，混淆内外圆周角 错误：依旧用原来的圆外角圆周角公式，没有替换成折叠后圆内的等角。 正解：翻折之后，弧进入圆内部，对应圆周角在弦的同侧，注意角度位置。 3）不会作弦心距，无法构造直角三角形 很多圆翻折计算题，必须作圆心向弦的垂线，依靠垂径定理建立直角三角形，学生缺少辅助线意识，只会观察原图。 4）翻折过圆心题型，错误判断弦心距长度 在弧折叠过圆心的题型中，弦心距不等于半径，而是半径的一半，极易代错数值，导致勾股方程出错。 5）大题只写结论，缺少弧相等的推导过程 几何书写扣分点：直接写角度相等，没有先说明 “由折叠得弧相等，故圆周角相等”，逻辑链条断裂。 解题方法总结 步骤 1：找折痕，定等弧：观察翻折的弦，写出：由折叠可知，两段弧相等。 步骤 2：角转化，做倒角：由等弧推得圆周角相等，完成角度代换，寻找等腰三角形。 步骤 3：作垂线，构造直角三角形：过圆心向折痕弦作垂线段，利用垂径定理平分弦、平分弧。 步骤 4：设未知数，表示边长：设圆半径为 r，用 r 表示弦心距、半弦长。 步骤 5：勾股定理列方程，求解计算：在 Rt△中列出方程，解出半径或者弦长。 步骤 6：整理作答，补齐几何书写过程。 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 __________． 5．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段检测）如图，将沿弦向下翻折，使翻折后的弧恰好经过原所在圆的圆心O，已知．若点C是的中点，点P在弦上，则周长的最小值为______． 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则_______． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在扇形中，，，点C在半径上，将沿着翻折，点O的对称点D恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧 （点是点A的对称点），那么的长为______． 8．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，是的内接三角形，是直径，是的中点，交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)点是上一点，连接，，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，再将分别沿，向内翻折，若，求图中阴影部分的面积和．（结果保留） 9．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE． 若AD＝2OD，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26·安徽·模拟预测）如图，是的直径，且，点是上一点，连接，过点作于点，将沿直线翻折．若翻折后的圆弧恰好经过点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26·上海虹口·二模）如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点A的对称点），那么的长为________． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值_________． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，将的劣弧翻折，为优弧上一点，交翻折后的弧于点，若，则的大小是 ____． 14．（25-26·四川成都·三模）如图，中，，斜边，以边为直径在另一侧作半圆，点为半圆上一点，将半圆沿所在直线翻折，翻折后的与边相切于点，与边相交于点，则的长为____________．    15．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 17．（25-26九年级下·浙江金华·阶段检测）如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为__________． 18．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为______． 19．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，点C是半圆O上的一个动点，将沿着折叠交直径于点D，点E是的中点，连结．若，则的最小值是______． 20．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图，是的直径，，沿弦 折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为______； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 小鹿说：取弦和弦的中垂线的交点即可； 小鸣说：如图，只需作点关于弦的对称点，点即为所求； 小鹿说：这样看来，折叠后，切点E在直径上运动，可以看成'在直径上滚动； 小鸣说：所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是 ； 【拓展】如图，若切点为的中点，求弦的长． 21．（2025·河北廊坊·二模）【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为_____； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是_____； 【拓展】 （1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 22．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）是的两条弦，且． (1)如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． (2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． (3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 23．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）探究圆中折叠． 如图1，是圆的直径，是圆上一点（不与，重合），连接，沿着把翻折交于点，连接，． (1)小浩发现并展示了两种思维方式，请帮他补充完整： 依据：同弧或等弧所对的弦相等 思维方式1 思维方式2 对于，所对两个圆中的弧分别是和______，所以，所以． 如图2，找到点折叠前的对应点，由折叠的性质可知，，所以=______，即可证． (2)如图3，E是的中点． ①若的半径为，连接，的长度是否改变，若不改变，求出的长度，若改变，请说明理由． ②连接，若的最小值为，求的半径． 24．（25-26·江苏盐城·一模）（1）在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，则AB长为 cm； 请同学们进一步研究以下问题： （2）如图2，⊥弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过C的中点D，AB=10cm，求的半径； （3）如图3，的半径为4cm，劣弧AB沿弦AB折叠后与直径CD相切于点E，ED=2cm，求弦AB的长．    2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $