4.1比例线段、平行线与比例线段（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦比例线段、比例性质（基本、合比、等比）、黄金分割、平行线分线段成比例定理及推论等核心知识点，从概念到性质逐步深入，通过特殊应用与几何定理搭建代数比例与几何图形的联系，为相似三角形学习奠定递进式支架。 资料亮点在于“特别提醒”精准指出易错点，“随学随练”即时巩固，拓展辅助线构造规律培养几何直观。题型分类结合解题贴士，如黄金分割联系汉字结构培养数学眼光，辅助线构造提升推理能力，助力课中教学与课后查漏补缺。

第4章 相似三角形 4.1比例线段、平行线与比例线段 课标要点 1. 理解比例线段的概念，掌握比例的基本性质，能进行比例式、等积式之间的互化，会求线段的比、判断四条线段是否成比例。 2. 了解黄金分割的定义，知道黄金比的数值，能识别简单的黄金分割相关图形，体会几何中的比例美。 3. 掌握平行线分线段成比例基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，能直接利用定理列比例式计算线段长度。 4. 掌握平行线分线段成比例的推论（三角形平行线定理）：平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边延长线），所得对应线段成比例；会由平行线得到比例，也会由线段成比例判定两直线平行。 5. 能结合图形，运用比例线段、平行线分线段成比例进行线段计算、简单证明，为后续相似三角形的学习打好基础，建立几何图形与比例代数运算的联系。 学习重难点 重点： 理解比例线段概念，熟练运用比例基本性质，实现比例式与等积式的相互转化，完成线段长度计算。 掌握平行线分线段成比例定理及其三角形推论，能在图形中准确找出对应线段，正确列出比例关系式。 会用三角形平行线相关结论，解决线段求值、简单几何证明问题，搭建代数比例和几何图形的联系。 难点： 在复杂、变式图形（含延长线、多条平行线）中准确识别对应线段，容易找错线段造成比例列式错误。 区分定理的正向运用（由平行线得比例）与逆向运用（由线段成比例证平行），混淆两个命题成立条件。 结合几何图形，把几何条件转化为比例方程求解，比例变形计算容易出错，对识图和代数运算综合能力要求高。 知识点 比例线段 线段的比 在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作或a:b，其中a叫做比的前项，b叫做比的后项。特别提醒：计算两条线段的比时，必须使用统一的长度单位，单位不统一时要先换算再计算；线段的比是一个正数，没有单位。 比例线段 在四条线段a,b,c,d中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，即（或），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时称这四条线段成比例。 特别提醒 1.比例线段是有顺序的，若说a,b,c,d是第四比例项，对应的比例式是，顺序改变含义也会改变；2.在比例式中，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项，若，则b叫做a,c的比例中项，此时满足。 随学随练 1．如果线段a，b的长分别是3和12，线段c是线段a，b的比例中项，那么线段c的长为（     ） A．4 B．±4 C．6 D．±6 2．若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 4．已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 5．若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则_____． 知识点 比例的性质 比例的基本性质 若，则；反过来，若（），则。 合比性质 若，则。 等比性质 若，且，则。 特别提醒 1.由比例基本性质可知，所有比例式都可以转化为等积式，反之非零的等积式也可以转化为不同的比例式，变形时交叉相乘即可验证正确性。 2.合比性质可以推广，若，则（k为常数），推导的核心是在等式两边同时加/减1后整理得到。 随学随练 1．如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 2．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值是________ ． 5．已知，则的值是____________． 知识点 黄金分割 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值叫做黄金比 特别提醒 一条线段有两个黄金分割点，黄金比是比值，没有单位，约为0.618，准确值是。 随学随练 1．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 2．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 知识点 平行线截线段成比例 平行线分线段成比例基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线的性质 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 特别提醒 1.必须是对应线段成比例，不是任意线段成比例，找准对应关系是应用的关键，即平行组在两条截线上截出的线段，位置相同的线段就是对应线段 2.这个结论是平行线分线段成比例基本事实在三角形中的特殊应用，截的是三角形的两边或两边的延长线，依然要保证对应线段成比例，不能错配线段。 随学随练 1．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 2．如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 4．如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 5．如图，在中，，若，，，则的值为________． 拓展 平行线分线段成比例的辅助线构造规律探究 平行线截得比例线段的核心结论可拓展为“构造平行线转化比例”的通法，归纳规律如下： 1. “叉型”“A 型”图的比例转化规律：在非平行的三角形中，若已知一组对边的比例，要求另一组边的比例，过分点作某一边的平行线，必然可以得到一个A 型相似和一个叉型（X型）相似，两个相似组合就能把已知比例和未知比例建立关联； 2. 中点→平行线→中位线的衍生规律：如果已知条件中出现一边的中点，过中点作平行线可直接得到三角形中位线，比例自动转化为1:2的关系，比设参数计算更简洁； 3. 逆用结论的素养拓展：若一线段被分成两段的比等于另外两条对应线段的比，则该线段平行于三角形第三边，该逆定理可用于快速证明平行，打破了“只有已知平行才能得比例”的思维定式，培养了“比例→平行”逆向推理的几何直观素养。 活学活用 1．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 3．如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 题型求比例线段的长度 解题贴士 先利用比例的基本性质（交叉相乘）将比例式转化为等积式，再结合已知线段长度计算未知线段；若涉及成比例线段的顺序问题，需注意分情况讨论，避免漏解。 ▌例1已知线段，，线段是线段，的比例中项，则线段的长为（   ） A． B． C． D． ▌例2．在的地图上，A，B两地相距，那么A，B两地的实际距离是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______． 题型 判断四条线段是否成比例 解题贴士 先将四条线段按长度从小到大排序，再依次计算前两条线段的比与后两条线段的比，若比值相等则成比例；也可验证排序后最大与最小线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，等积成立即为成比例线段。 ▌例1．下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 ▌例2．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， ▌对点练1-1．下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， ▌对点练1-2．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型 由平行线证线段成比例 解题贴士 找准被平行线截得的对应线段，严格遵循“对应线段成比例”的原则，若存在多条平行线，先确认平行线的平行关系，再逐层对应写出比例式，不要混淆线段的对应关系 ▌例1如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． ▌例2如图，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型由平行线分线段成比例求线段比值 解题贴士 先根据平行线确定对应线段的比例关系，再将所求的线段比值通过等线段代换、比例的合比/反比性质转化为已知比例，化简后得到最终结果。 ▌例1如图，在中，点，分别在边，的延长线上，且，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． ▌例2如图，，则下列线段的比中，与相等的是（  ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，已知直线，直线、交于点，直线、分别与直线、、相交于点、、、、、．若，则的值是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在中，，，则______． ▌对点练1-3如图，在中，，则的值为________． 题型 比例的性质 解题贴士 比例的核心性质是内项积等于外项积，遇到等比式优先交叉相乘转化成等式计算。做比例题要注意分母不能为零，不要随意约掉可能等于0的字母，避免漏解。看到连等比例，可灵活设参数k，把多个未知数统一用k表示，简化运算。解题还要看清是求比值还是化简比，区分好最终结果的书写形式。 ▌例1若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． ▌例2已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． ▌对点练1-3若，则______． 题型 黄金分割 解题贴士 黄金分割比值约为0.618，一条线段有两个黄金分割点，做题要留意两种位置情况。记住较长线段与整条线段的比为，直接代入可快速计算线段长度。遇到黄金分割相关几何题，优先套线段关系式，不要死记复杂图形。注意区分较长段、较短段，审题看清所求线段，避免数值代反出错。 ▌例1已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． ▌例2黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 ▌对点练1-2“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距 离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） ▌对点练1-3勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点，已知，则长为______． 基础通关 1．已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 3．在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．下列各组线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则下面结论成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知点是线段的黄金分割点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点D、E分别在、上，且，那么下列比例式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 9．在中，点D、E分别在、上，，，，，则的长为______． 10．由，可得比例式：____． 11．已知则代数式的值为________． 12．已知：，则_____． 13．已知，满足，求、、的值． 14．如图，，如果，求线段的长． 15．已知：如图，，，求的长． 素养提升 1．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 2．已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 3．如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 4．如图，直线和被所截，直线，，则的长为（     ） A．1 B． C． D．2 5．若，则___________． 6．已知，则的值为_______． 7．如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么___________． 8．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 9．如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 10．如图，已知，且．求：线段的长． 迁移创新 1．黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 2．综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相似三角形 4.1比例线段、平行线与比例线段 课标要点 1. 理解比例线段的概念，掌握比例的基本性质，能进行比例式、等积式之间的互化，会求线段的比、判断四条线段是否成比例。 2. 了解黄金分割的定义，知道黄金比的数值，能识别简单的黄金分割相关图形，体会几何中的比例美。 3. 掌握平行线分线段成比例基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，能直接利用定理列比例式计算线段长度。 4. 掌握平行线分线段成比例的推论（三角形平行线定理）：平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边延长线），所得对应线段成比例；会由平行线得到比例，也会由线段成比例判定两直线平行。 5. 能结合图形，运用比例线段、平行线分线段成比例进行线段计算、简单证明，为后续相似三角形的学习打好基础，建立几何图形与比例代数运算的联系。 学习重难点 重点： 理解比例线段概念，熟练运用比例基本性质，实现比例式与等积式的相互转化，完成线段长度计算。 掌握平行线分线段成比例定理及其三角形推论，能在图形中准确找出对应线段，正确列出比例关系式。 会用三角形平行线相关结论，解决线段求值、简单几何证明问题，搭建代数比例和几何图形的联系。 难点： 在复杂、变式图形（含延长线、多条平行线）中准确识别对应线段，容易找错线段造成比例列式错误。 区分定理的正向运用（由平行线得比例）与逆向运用（由线段成比例证平行），混淆两个命题成立条件。 结合几何图形，把几何条件转化为比例方程求解，比例变形计算容易出错，对识图和代数运算综合能力要求高。 知识点 比例线段 线段的比 在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作或a:b，其中a叫做比的前项，b叫做比的后项。特别提醒：计算两条线段的比时，必须使用统一的长度单位，单位不统一时要先换算再计算；线段的比是一个正数，没有单位。 比例线段 在四条线段a,b,c,d中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，即（或），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时称这四条线段成比例。 特别提醒 1.比例线段是有顺序的，若说a,b,c,d是第四比例项，对应的比例式是，顺序改变含义也会改变；2.在比例式中，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项，若，则b叫做a,c的比例中项，此时满足。 随学随练 1．如果线段a，b的长分别是3和12，线段c是线段a，b的比例中项，那么线段c的长为（     ） A．4 B．±4 C．6 D．±6 【答案】C 【分析】根据比例中项的定义得到，代入数值计算后，结合线段长度为正数的性质，即可得到正确结果． 【详解】解：∵线段是线段的比例中项，，， ∴， 解得， ∵线段长度为正数， ∴． 2．若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求线段的比例关系． 利用将用来表示，从而求出线段的比值． 【详解】解：延长线段到点C，由，可知． 所以． 故选：D． 3．如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，设在地图上图距是的两地，实际距离是，，利用比例尺的定义得到，然后根据比例的性质求出即可，对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  （即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．理解比例尺的定义是解决问题得关键． 【详解】 解：设在地图上图距是的两地，实际距离是， 根据题意得，解得， 故选：C． 4．已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 【答案】 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设线段，的比例中项是， 则， 解得， ∵线段长度为正数，舍去负值， ∴． 5．若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中，，，则_____． 【答案】4 【分析】本题考查了比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即，则这四条线段成比例．据此得到，进而得到，代入数据即可求解． 【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得，即， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：4． 知识点 比例的性质 比例的基本性质 若，则；反过来，若（），则。 合比性质 若，则。 等比性质 若，且，则。 特别提醒 1.由比例基本性质可知，所有比例式都可以转化为等积式，反之非零的等积式也可以转化为不同的比例式，变形时交叉相乘即可验证正确性。 2.合比性质可以推广，若，则（k为常数），推导的核心是在等式两边同时加/减1后整理得到。 随学随练 1．如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例基本性质，内项之积等于外项之积，计算判断即可； 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求；     D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； 2．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． 3．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可通过设比例系数的方法，将、用同一参数表示后，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴设（） 可得， 将，代入得 4．若，则的值是________ ． 【答案】4 【详解】解：设， ∴， ∴． 5．已知，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 知识点 黄金分割 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值叫做黄金比 特别提醒 一条线段有两个黄金分割点，黄金比是比值，没有单位，约为0.618，准确值是。 随学随练 1．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 2．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 3．黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 4．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 知识点 平行线截线段成比例 平行线分线段成比例基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线的性质 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 特别提醒 1.必须是对应线段成比例，不是任意线段成比例，找准对应关系是应用的关键，即平行组在两条截线上截出的线段，位置相同的线段就是对应线段 2.这个结论是平行线分线段成比例基本事实在三角形中的特殊应用，截的是三角形的两边或两边的延长线，依然要保证对应线段成比例，不能错配线段。 随学随练 1．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 2．如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 5．如图，在中，，若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据，可得，代入数值求出的长，再根据计算即可． 【详解】， ， ，，， ， ， ． 拓展 平行线分线段成比例的辅助线构造规律探究 平行线截得比例线段的核心结论可拓展为“构造平行线转化比例”的通法，归纳规律如下： 1. “叉型”“A 型”图的比例转化规律：在非平行的三角形中，若已知一组对边的比例，要求另一组边的比例，过分点作某一边的平行线，必然可以得到一个A 型相似和一个叉型（X型）相似，两个相似组合就能把已知比例和未知比例建立关联； 2. 中点→平行线→中位线的衍生规律：如果已知条件中出现一边的中点，过中点作平行线可直接得到三角形中位线，比例自动转化为1:2的关系，比设参数计算更简洁； 3. 逆用结论的素养拓展：若一线段被分成两段的比等于另外两条对应线段的比，则该线段平行于三角形第三边，该逆定理可用于快速证明平行，打破了“只有已知平行才能得比例”的思维定式，培养了“比例→平行”逆向推理的几何直观素养。 活学活用 1．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． 2．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解． 【详解】解：作交于点H，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型求比例线段的长度 解题贴士 先利用比例的基本性质（交叉相乘）将比例式转化为等积式，再结合已知线段长度计算未知线段；若涉及成比例线段的顺序问题，需注意分情况讨论，避免漏解。 ▌例1已知线段，，线段是线段，的比例中项，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例中项的概念，熟练掌握比例中项的性质并结合线段长度为正的性质是解题的关键．根据比例中项的定义建立等式，代入数值计算并结合线段长度为正的性质确定结果． 【详解】解：∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：C． ▌例2．在的地图上，A，B两地相距，那么A，B两地的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例尺的应用；根据图上距离：实际距离=比例尺，建立方程即可求解． 【详解】解：设A，B两地的实际距离是，， 由题意得： 解得： 即A，B两地的实际距离是； 故选：C． ▌对点练1-1若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例线段的定义：对于四条线段，如果两条线段的比与另外两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段成比例，得出，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：∵，，，成比例线段， ∴可得：， 又∵，，， ∴， 解得：， ∴线段的长为． 故选：B 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解本题的关键． ▌对点练1-2．已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据物高与影长的比值为，利用比例关系直接计算塔高，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设塔高为米，由题意得， 解得， 故答案为：． 题型 判断四条线段是否成比例 解题贴士 先将四条线段按长度从小到大排序，再依次计算前两条线段的比与后两条线段的比，若比值相等则成比例；也可验证排序后最大与最小线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，等积成立即为成比例线段。 ▌例1．下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 【答案】A 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． ▌例2．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． ▌对点练1-1．下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念，若四条线段成比例，则最小线段与最大线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此依次判断即可． 【详解】解：对各选项依次判断： 选项A：∵，，， ∴该组线段不成比例，A错误； 选项B：∵，，，且， ∴该组线段成比例，B正确； 选项C：∵，，， ∴ 该组线段不成比例，C错误； 选项D：∵，，， ∴该组线段不成比例，D错误． ▌对点练1-2．下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段． 根据成比例线段的概念，对各组线段按从小到大排序，计算判断即可． 【详解】解：A．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； B．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； C．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； D．排序为，，，，，，，该组线段成比例． 故选：D． 题型 由平行线证线段成比例 解题贴士 找准被平行线截得的对应线段，严格遵循“对应线段成比例”的原则，若存在多条平行线，先确认平行线的平行关系，再逐层对应写出比例式，不要混淆线段的对应关系 ▌例1如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． ▌例2如图，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解． 【详解】解：∵ A. ，故该选项正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，符合题意；     C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． ▌对点练1-1如图，在中，、分别为、边上的点，点为边上一点，连接交于点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 故选项A结论错误，不合题意； 在中，， ， 不一定等于， 不一定正确， 故选项B结论错误，不合题意； 在中，， ， 故选项C结论正确，符合题意； 在中，， ， 故选项D结论错误，不合题意； 故选C． ▌对点练1-2如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，由，可得，，由，可得，，再进一步分析判断即可． 【详解】∵， ∴，，故A不符合题意； ∵， ∴，， ∴，故B不符合题意；C符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-3如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比是解题的关键． 根据平行线分线段成比例对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，A、D正确，故不符合要求； ∴，C正确，故不符合要求； ，B错误，故符合要求； 故选：B． 题型由平行线分线段成比例求线段比值 解题贴士 先根据平行线确定对应线段的比例关系，再将所求的线段比值通过等线段代换、比例的合比/反比性质转化为已知比例，化简后得到最终结果。 ▌例1如图，在中，点，分别在边，的延长线上，且，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行截线求相关线段的长或比值． 由，可得，即可得的值． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． ▌例2如图，，则下列线段的比中，与相等的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． ▌对点练1-1如图，已知直线，直线、交于点，直线、分别与直线、、相交于点、、、、、．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故选：A． ▌对点练1-2如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由，可得到，由，可得到，从而可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． ▌对点练1-3如图，在中，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，得到，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 题型 比例的性质 解题贴士 比例的核心性质是内项积等于外项积，遇到等比式优先交叉相乘转化成等式计算。做比例题要注意分母不能为零，不要随意约掉可能等于0的字母，避免漏解。看到连等比例，可灵活设参数k，把多个未知数统一用k表示，简化运算。解题还要看清是求比值还是化简比，区分好最终结果的书写形式。 ▌例1若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设参数法，将，用含同一参数的式子表示，再代入各选项验证即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，（）． 对于，根据比例的基本性质，由可得，故错误； 对于，，仅满足比例关系，具体值不固定，因此不一定等于，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故正确． ▌例2已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． ▌对点练1-1若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可． 【详解】解：由可设，（）， 对选项A，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项A错误； 对选项B，由交叉相乘得，与不符，故选项B错误； 对选项C，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项C错误； 对选项D，，等式一定成立，故选项D正确，符合题意． ▌对点练1-2已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】设已知连等式的比值为，根据等式性质得到的关系，求出的值，推出，代入所求代数式化简计算即可得到结果； 【详解】解：设， ∴，，， 将三式左右两边分别相乘，得， 移项得， 因为均为分式的分母，故，，，即， 因此， 解得：， ∴，且， 将代入所求代数式，得． ▌对点练1-3若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质． 通过设参数法，将比例关系转化为具体值，然后代入所求表达式进行计算． 【详解】解：设， 则，， 代入得． 故答案为：． 题型 黄金分割 解题贴士 黄金分割比值约为0.618，一条线段有两个黄金分割点，做题要留意两种位置情况。记住较长线段与整条线段的比为，直接代入可快速计算线段长度。遇到黄金分割相关几何题，优先套线段关系式，不要死记复杂图形。注意区分较长段、较短段，审题看清所求线段，避免数值代反出错。 ▌例1已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． ▌例2黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观，其中竖笔画起点为A，终点为C，交接处点B恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段等于全线段乘以黄金比，直接代入计算即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，是较长线段， ∴， ∵， ∴． ▌对点练1-1若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． ▌对点练1-2“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距 离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据比例关系列式计算即可． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为， 由题意得，， 解得， ∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为． ▌对点练1-3勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点，已知，则长为______． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点C为线段的黄金分割点，， ． 故答案为：． 基础通关 1．已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∴． 2．如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，理解题意是关键． 设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．在比例尺为地图上，量得甲、乙两地间的距离为3厘米，则甲、乙两地的实际距离为（     ）千米． A．18 B．180 C．1800 D．18000 【答案】B 【分析】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系．要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可． 【详解】解：（厘米） 18000000厘米千米 答：两地间的实际距离是180千米． 故选：B． 4．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将所求分式拆分变形后，代入已知比例即可计算结果，用到分式的基本运算性质． 【详解】解：∵． 又∵． ∴． 5．下列各组线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判断．判断一组线段是否成比例，可将其按长度从小到大排列，检验最小线段与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积，若相等，则这四条线段成比例；反之，则不成比例，根据成比例线段的概念判断各选项即可． 【详解】解：A、选项中，，∴A选项的线段不成比例； B、，∴B选项的线段不成比例； C、，∴C选项的线段不成比例； D、，∴D选项的线段成比例； 故选：D． 6．已知，则下面结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键． 根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 【详解】解：A、由得，故选项符合题意； B、由得，故选项不符合题意； C、由得，故选项不符合题意； D、由得，故选项不符合题意． 故选：A． 7．已知点是线段的黄金分割点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，掌握较长线段是全线段的是解题的关键． 由题意知，，由已知即可求得结果． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴． 故选：D． 8．如图，在中，点D、E分别在、上，且，那么下列比例式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，相似三角形的判定和性质，根据平行线截线段对应成比例、相似三角形的判定和性质逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵ ∴，，故A，C正确 ∵ ∴ ∴，故D正确， 不一定成立， 故选：B． 9．在中，点D、E分别在、上，，，，，则的长为______． 【答案】9 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 解得． 10．由，可得比例式：____． 【答案】 【分析】把等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】解：∵，且由题意得， ∴，即． 11．已知则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据给出等式得到与的数量关系，再将其代入所求代数式化简计算得到结果． 【详解】解：已知，根据比例的基本性质可得， 整理得， 将代入得： ． 12．已知：，则_____． 【答案】/ 【详解】解：， 设， ． 13．已知，满足，求、、的值． 【答案】，， 【分析】设，则，，，求出的值，即可求出、、的值． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 14．如图，，如果，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段的书写顺序是解答的关键．根据平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：， ， ∵， ， ∵， ∴， ． 15．已知：如图，，，求的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 素养提升 1．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 2．已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题可利用设参数法表示出a，b，c，再代入已知等式求出参数值，即可得到b的值，用到比例的基本性质． 【详解】∵ ， ∴设（）， 可得，，， ∵， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ． 3．如图，已知直线，直线m交直线a、b、c于点A、B、C，直线n交直线a、b、c于点D、E、F，若，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，据此列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 4．如图，直线和被所截，直线，，则的长为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可； 【详解】解：， ， ， ， ， 解得； 5．若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了比例性质，根据合比性质求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 6．已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质、代数式求值等知识点，掌握比例的性质是解题的关键． 设比例常数为，用表示、、，然后代入所求分式计算即可． 【详解】解：设（），则，，． 代入得：． 故答案为：． 7．如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，找准对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到，然后代数求解； （2）由得到，然后结合得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ，即， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 10．如图，已知，且．求：线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质与判定，可证明四边形是平行四边形求出的长，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴，即， ∴． 迁移创新 1．黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，点就是线段的黄金分割点： 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法． 【详解】设，则， ， ， ， 所以点就是线段的黄金分割点 2．综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $