七年级数学上学期第一次学情自测·培优卷（新教材沪教版五四制，举一反三，测试范围：第10章 整式的加减～第11章 整式的乘除）

**基本信息** 聚焦整式运算与几何直观，通过28题分层设计（单选6/12、填空12/36、解答10/52），融合生活情境（乒乓球旋转、餐桌摆放）与跨学科应用（面积问题、新运算定义），可精准量化学生知识掌握与核心素养发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|同类项、整式乘除|结合乒乓球旋转数据比较，发展数感与运算能力| |填空题|12/36|完全平方公式、整式加减|设计长方形与正方形面积差问题，强化几何直观| |解答题|10/52|数形结合、新运算定义|以餐桌摆放探究模型构建，通过“以形释数”培养推理意识与创新应用能力|

七年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 测试范围：第10章 整式的加减~第11章 整式的乘除 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共28题，单选6题，填空12题，解答10题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果，下列与之相同的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山西运城·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 5．（25-26七年级下·江苏南京·期末）若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26六年级下·上海·期末）多项式的二次项系数是______． 8．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）若，则的值为____________． 9．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）计算： ______． 10．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 11．（25-26七年级下·北京·期末）若，，则__________． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，，则_____． 13．（25-26七年级下·山东聊城·期末）如果多项式是一个完全平方式，则m的值是_________． 14．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 15．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等．若图乙的面积与图甲的面积的差（即是一个常数，则这个常数为____． 16．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个运算程序，若输入的m为，代数式p为，则输出的x为________． 17．（25-26七年级上·河南·期末）如果整式A与整式B的差为整数a，我们称A，B为a的“和睦整式”，例如：与为1的“和睦整式”；与为3的“和睦整式”．若关于x的整式与为n的“和睦整式”，则的值为________． 18．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26七年级下·江西景德镇·期末）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 20．（4分）（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 21．（4分）（25-26七年级下·安徽安庆·期中）思考并解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 22．（4分）（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 23．（4分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为、宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形 (1)根据图1和图2，直接写出、、之间的一个等量关系 ． (2)利用（1）中的结论解决下列问题： ①若，，求的值． ②如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为51，求的值． 24．（4分）（25-26七年级上·河南信阳·期末）在数学实践活动中，老师带领同学们来到学校餐厅，利用学校餐桌使用情况进行数学问题实践探究活动：学校现有的餐桌，一张桌子可坐6人，同学们讨论以下两种摆放方式，请你利用所学知识解决问题： (1)当有5张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (2)当有n张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？请说明理由． 25．（6分）（25-26八年级上·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 26．（6分）（24-25七年级上·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 27．（8分）（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算， 可用竖式除法如图： 所以除以， 商式为，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题（直接填空）： (1)________； (2)能被整除，则________，________． (3)被除后的余数是多少？ 28．（8分）（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)【算法赏析】：若满足，求的值． 解：设，，则， …… 请继续完成计算． (2)【算法体验】：若满足，求的值； (3)【算法应用】：如图，已知数轴上、、表示的数分别是、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为137，求长方形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学上学期第一次学情自测·培优卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据同类项的定义求出，，代入即可求出答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果，下列与之相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，先去括号，再合并即可，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（25-26七年级下·山西运城·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A，，错误； 对选项B，，错误； 对选项C，，错误； 对选项D，，正确． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小． 先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ，即， 甲球员击出的球更转． 故选：A． 5．（25-26七年级下·江苏南京·期末）若，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的运算性质，先得到，，，再逆用积的乘方得到，再结合得到与的等量关系，最后代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解∶，， ∴，， 即，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图1阴影部分面积得出，根据图2阴影部分形状得出面积为，利用已知方程组通过平方差公式变形建立与的关系求解． 【详解】解：由图1可知，阴影部分为长方形，长为，宽为； 图1阴影面积． 图2阴影部分为长方形，长为，宽为， 图2阴影面积． 已知，即；，即． ∴， ∴， ， ， ． ， ， ， 即图2中阴影面积为8． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26六年级下·上海·期末）多项式的二次项系数是______． 【答案】3 【分析】由多项式知道二次项为，从而得到二次项系数． 【详解】解：多项式的二次项为：，系数为：3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查多项式的项，单项式的系数，牢记相关知识点并能灵活应用是解题关键． 8．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）若，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ∴ 9．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键．根据积的乘方、幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为: ． 10．（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知某个整式与的和是，则这个整式是_______． 【答案】 【分析】根据题意列出算式，然后去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：∵某个整式与的和是， ∴ ∴这个整式是． 11．（25-26七年级下·北京·期末）若，，则__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件求出，再计算最终结果． 【详解】解：； ∵， ， 解得， 则． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用．通过将两个已知等式相加，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故答案为：． 13．（25-26七年级下·山东聊城·期末）如果多项式是一个完全平方式，则m的值是_________． 【答案】9或 【分析】利用即可解决问题． 【详解】解：， ∵多项式是一个完全平方式， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上所述，m的值是9或． 14．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 15．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等．若图乙的面积与图甲的面积的差（即是一个常数，则这个常数为____． 【答案】 【分析】先根据长方形的面积求出它的宽，再求出周长，然后根据正方形的周长及长方形的周长相等得出正方形的边长，最后再表示出面积相减即可得出答案． 【详解】解∶ ∵长方形甲的面积为，它的长为， ∴长方形甲的宽； ∴甲的周长为， ∵长方形甲和正方形乙的周长相等， ∴正方形乙边长为， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个运算程序，若输入的m为，代数式p为，则输出的x为________． 【答案】 【分析】根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：根据运算程序得， ∵， ∴， ∴输出的x为． 17．（25-26七年级上·河南·期末）如果整式A与整式B的差为整数a，我们称A，B为a的“和睦整式”，例如：与为1的“和睦整式”；与为3的“和睦整式”．若关于x的整式与为n的“和睦整式”，则的值为________． 【答案】49 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是关键．根据“和睦整式”的定义，两个整式的差为常数n，因此合并后x的二次项和一次项系数必须为零，从而求出m和k的值，再代入求n，最后计算代数式的值． 【详解】解： ， ∵与为n的“和睦整式”， ∴，，， ∴，，， ∴ 故答案为：49． 18．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图1，一个大正方形和一个小正方形摆放在一起，点，，在同一条线上，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．将小正方形往左平移，使得点与点重合，得到图2，点为的中点，图中阴影部分的面积记为．若，则小正方形的面积为_________． 【答案】36 【分析】延长交的延长线于点，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图像列出的代数式，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 延长交的延长线于点， ∵点为的中点， ∴， 则， ， ， ∵点为的中点， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴， 化简，得， ∴小正方形的面积为． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26七年级下·江西景德镇·期末）计算： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)化简结果为，值为 【分析】（1）先根据乘方的定义计算，再利用积的乘方逆运算对进行变形，最后进行计算即可； （2）根据完全平方公式以及多项式除以单项式的运算法则进行化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ， 当时， 原式 ． 20．（4分）（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 【答案】(1)化简结果为，值为 (2)化简结果为，值为 【分析】（1）先去括号再合并同类项，最后将，代入计算即可； （2）先去括号再合并同类项，再根据非负性求出，最后代入计算即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 解得 原式． 21．（4分）（25-26七年级下·安徽安庆·期中）思考并解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂的除法公式逆用以及幂乘方公式逆用求解即可． （2）根据幂的乘方公式得出，然后列出关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：∵ ∴ 则 ∴ ∴ 22．（4分）（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)小明的计算不正确，正确的整式为 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，以及整式的值与的取值无关的条件． （1）利用等式关系，移项展开求出被遮住的整式，验证小明答案． （2）代入计算，合并同类项后令的系数为，求解的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为； （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：． 23．（4分）（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如图1，一个长为、宽为的长方形，分成四块完全相同的小长方形，再拼成如图2的正方形 (1)根据图1和图2，直接写出、、之间的一个等量关系 ． (2)利用（1）中的结论解决下列问题： ①若，，求的值． ②如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形和，延长和交于点H，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为51，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）用代数式表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）①利用（1）的结论进行解答即可；②设，，则，根据，图中阴影部分面积为51，可得，，由（1）可得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图2整体上是边长为的正方形，面积为，中间小正方形的边长为，面积为，个长方形的面积为， ； （2）解：①由（1）可得，， ， ， ； ②设，则， ，图中阴影部分面积为51， ， 由（1）可得，， ， ， ，即， 的值为． 24．（4分）（25-26七年级上·河南信阳·期末）在数学实践活动中，老师带领同学们来到学校餐厅，利用学校餐桌使用情况进行数学问题实践探究活动：学校现有的餐桌，一张桌子可坐6人，同学们讨论以下两种摆放方式，请你利用所学知识解决问题： (1)当有5张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (2)当有n张桌子时，第一种方式能坐______人，第二种方式能坐______人． (3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有50张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？请说明理由． 【答案】(1)22；14 (2)； (3) 解：选择第一种方式．理由如下： 第一种方式：50张坐（人）； 第二种方式：50张坐（人）； ∵， ∴选择第一种方式． 【分析】本题考查规律型-数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． （1）旁边2人除外，每张桌可以坐4人，由此即可解决问题；旁边4人除外，每张桌可以坐2人，由此即可解决问题； （2）根据（1）中所得规律列式可得； （3）分别求出两种情形坐的人数，即可判断． 【详解】（1）解：当有5张桌子时， 第一种摆放方式能坐（人）， 第二种摆放方式能坐（人）， 故答案为：22；14； （2）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人， 即有n张桌子时是； 第二种中，有一张桌子是6人，后边多一张桌子多2人， 即， 故答案为：；． （3）略 25．（6分）（25-26八年级上·湖北十堰·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3) 证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解： ， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）略 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 26．（6分）（24-25七年级上·四川成都·期末）定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【答案】(1)，；； (2)． 【分析】（1）根据规定的新运算可知，又因为方程为一元一次方程，可得为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知、，从而求出的值，把的值代入方程中可得方程为，解方程即可； 根据可以求出，根据中不含一次项可以求出的值，把、的值代入计算求值即可； （2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出、的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解：， 又方程为一元一次方程， 为一元一次方程， ， 解得：， 方程为， 解得：， ，； 解： 的值满足， ， ， ， 解得：， ，， ， 整理得：， 不含一次项， ， 解得：， ； （2）解：数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 整理得到， ∴ 数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 整理得到，， ∴ 【点睛】本题主要考查了新运算、一元一次方程的定义、同底数幂的乘法、整式的化简求值、有理数的混合运算．解决本题的关键是理解题目中规定的新运算，根据规定的新运算，把指定的运算转化为一般的运算；理解“嘉幸数”的意义，根据“嘉幸数”列方程求出字母的值． 27．（8分）（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算， 可用竖式除法如图： 所以除以， 商式为，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题（直接填空）： (1)________； (2)能被整除，则________，________． (3)被除后的余数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）利用竖式计算即可； （2）列竖式计算，根据整除后竖式计算结果为零，得到二次项系数，一次项系数，常数项合并为零，从而得到方程求解即可； （3）列竖式计算，可得余式为，化简即可得余式为1． 【详解】（1）解：利用竖式计算： （2）解：利用竖式计算： 则且， 解得： ， 把代入即得： 解得； （3）解：利用竖式计算： 余式为： ． 28．（8分）（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)【算法赏析】：若满足，求的值． 解：设，，则， …… 请继续完成计算． (2)【算法体验】：若满足，求的值； (3)【算法应用】：如图，已知数轴上、、表示的数分别是、10、13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于．若正方形与正方形面积的和为137，求长方形的面积． 【答案】(1)12 (2)1260 (3)64 【分析】（1）根据完全平方公式可得求解即可； （2）按（1）方法进行即可求解； （3）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，则有，设，，根据求解即可． 【详解】（1）解：设，， 则，， ； （2）解：设，， 则，， ； （3）解：正方形的边长为，面积为， 正方形的边长为，面积为， 则有， 设，， 则，， 所以长方形的面积为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $