专题3.1 方程与列方程、一元一次方程（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦方程与一元一次方程核心知识点，系统梳理方程的概念、解与解方程、列方程方法、等式的性质及一元一次方程定义，构建“概念理解-技能训练-问题解决”的学习支架，衔接小学算术与初中代数思维。 资料设计12类分层题型，例题与变式结合，融入商品打折、植树等实际情境，培养抽象能力与模型意识。通过判断解、求参数等题型发展推理能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

专题3.1 方程与列方程、一元一次方程（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 方程的概念】 2 【题型2 列方程】 3 【题型3 判断是否是方程的解】 4 【题型4 由方程的解求参数】 6 【题型5 方程的简单应用】 8 【题型6 由等式的性质判断变形正误】 11 【题型7 由等式的性质变形为的形式】 13 【题型8 由等式的性质比较大小】 14 【题型9 等式的性质的实际应用】 16 【题型10 一元一次方程的概念辨析】 19 【题型11 判断一元一次方程的解】 20 【题型12 由一元一次方程的解求参数】 22 考点1 方程 知识点1 方程 含有未知数的等式叫作方程． 例如：，，，，，等都是方程． 知识点2 方程的解与解方程 1. 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．例如：是方程的解． 2. 求方程的解的过程，叫作解方程． 知识点3 列简单的方程 列方程就是把实际问题中的等量关系用方程的形式表示出来．列方程的一般步骤如下： （1）审：仔细审题，弄清题中的已知量、未知量和相等关系； （2）设：设出恰当的未知数，并把与相等关系有关的量用未知数表示出来； （3）列：根据题中等量关系列出方程． 【题型1 方程的概念】 【例1】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 【变式1-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 【变式1-2】（24-25七年级上·天津·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为_______（填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②不含未知数，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤不是等式，不是方程； 故是方程的为③④． 故答案为：③④ 【变式1-3】已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是________________，其中含有未知数的等式是________________，所以其中的方程是________________．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ ③④⑤ ③④⑤ 【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，含有未知数的等式是方程， ①是等式； ②是多项式，既不是等式也不是方程； ③既是等式也是方程； ④既是等式也是方程； ⑤既是等式也是方程， 故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤． 【点睛】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 【题型2 列方程】 【例2】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设______，列方程为______． 【答案】 宽为 【分析】此题考查了列方程．设宽为，则长为，根据周长为50列方程即可． 【详解】解：设宽为，则长为， ， 故答案为：宽为；． 【变式2-1】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）由“的3倍与5的和等于15”可列方程___________． 【答案】 【分析】本题考查了列方程，根据题意列方程即可． 【详解】解：由题可得：， 故答案为：． 【变式2-2】临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为______． 【答案】0.8x-10=0.6x+50 【分析】设该商品的原售价为x元，然后根据成本不变列出方程即可． 【详解】解：设该商品的原售价为x元， 根据题意得：0.8x-10=0.6x+50， 故答案为：0.8x-10=0.6x+50． 【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出方程，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 【变式2-3】汽车队运送一批货物若每辆车装4吨，还剩下8吨未装；若每辆车装4.5吨，恰好装完，求这批货物共有多少吨？若设这批货物共有吨，则所列的方程为_________． 【答案】 【分析】设这批货物共有x吨，根据题意可知等量关系为：两种装法中车辆的数量是一定的，据此列方程． 【详解】解：设这批货物共有x吨， 由题意得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 【题型3 判断是否是方程的解】 【例3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义，将代入各选项验证，判断左右两边是否相等，同时注意分式分母不能为0，即可得到结果． 【详解】解：将代入各选项逐一验证： ∵ A选项中，左边，右边，，∴ A错误； ∵ B选项中，左边，右边，，∴ B错误； ∵ C选项中，当时，分母，分式无意义，∴ C错误； ∵ D选项中，左边，右边，左边右边，∴ D正确． 【变式3-1】解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 【变式3-2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 【变式3-3】（26-27七年级上·北京·课后作业）已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 将代入各方程，验证左右两边是否相等，从而判断其是否满足该方程． 【详解】解：将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程， 综上，满足所有三个方程， 故选：D． 【题型4 由方程的解求参数】 【例4】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知关于x的方程的解是， 则a的值为（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，得到关于的方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵方程的解是， ∴， 解得： 【变式4-1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 【变式4-2】（25-26七年级下·四川乐山·期中）若是方程的解，则值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入方程得到与的关系，再将所求代数式变形后整体代入要求值的代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得 ， ∴等式两边同乘得 ，即， ∴． 【变式4-3】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是方程的解，则的值为________ 【答案】5 【分析】根据方程解的含义，将代入方程，求出的值，再计算即可． 【详解】解：是方程的解， 则， 解得， 将代入可得，． 【题型5 方程的简单应用】 【例5】（25-26八年级上·河南周口·期中）某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利．求这种服装的成本价．若设这种服装的成本价为x元， (1)列出关于x的方程； (2)求出x的值． 【答案】(1) (2)120 【分析】本题考查方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据售价等于成本与利润之和，列出方程即可； （2）将等式两边同时除以，解出的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得，设这种服装的成本价为x元，每件售价元，可获利， 列方程为：， 答：关于x的方程为． （2）解：由（1）知，方程为， 即， 解得． 答：这种服装的成本价为120元． 【变式5-1】2020年新冠肺炎疫情期间，某市共出动八批，共计1362名医护人员驰援武汉，他们是新时代最可爱的人．3月19日，第二批和第八批医护人员共130名乘坐飞机返回该市，其中第二批的人数是第八批人数的3倍还多10名，设第八批该市共出动了x名医护人员． (1)根据题意列出方程； (2)利用等式的性质求出x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，利用等式的性质解方程，寻找题中等量关系，熟练掌握等式的性质是解题的关键； （1）根据题中条件，求出第二批出动的医护人员总数，再根据第二批和第八批医护人员共130名列出方程； （2）利用等式的性质解方程． 【详解】（1）因为第八批该市共出动了x名医护人员，所以第二批共出动了名医护人员． 根据题意，得． （2）将（1）中方程整理，得． 方程两边同时减去10，得． 方程两边同时除以4，得． 【变式5-2】如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： (1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）； (2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据拼图，用代数式表示出拼成的长方形的长，即可求得答案． （2）用代数式表示变化后长方形的长与宽，再根据面积间的关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 剪拼后所得的长方形的长为：，宽为：， 因此周长为：， 面积为：． （2）由题意得， ， 解得， a的值为． 【点睛】本题考查了列代数式、根据等量关系列方程，用代数式正确表示图形的边长、周长和面积是解题的关键． 【变式5-3】植树节甲班植树的株数比乙班多20%，乙班植树的株树比甲班的一半多10株，若乙班植树x株． （1）列两个不同的含x的代数式表示甲班植树的株数． （2）根据题意列出以x为未知数的方程． （3）检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和32株． 【答案】（1）2（x﹣10），1.2x；（2）1.2x＝2（x﹣10）；（3）乙班班植树的株数是25株，甲班植树的株数不是32株 【分析】（1）根据题意给出的等量关系即可求出答案； （2）根据题意列出方程即可求出答案； （3）将x＝25以及x＝32分别代入方程即可求出答案． 【详解】解：（1）由于乙班植树x株， 乙班植树的株树比甲班的一半多10株，即甲班植树为2（x﹣10）株， 甲班植树的株数比乙班多20%，即甲班植树为1.2x株； （2）由（1）可知：1.2x＝2（x﹣10）； （3）令x＝25代入1.2x＝2（x﹣10）， ∴左边＝30，右边＝30， 左边＝右边，x＝25满足方程， 此时1.2x＝30，即甲班植树为30株， 答：乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和30株. 【点睛】本题考查方程，解题的关键是正确找出等量关系，本题属于基础题型． 考点2 等式的性质 知识点4 等式的性质 性质 内容 字母表示 示例 两个基本事实 对称性：如果 ，那么； 传递性：如果 ，那么 若 ，则，则 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果 ，那么 若 ，则 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果 ，那么；如果，那么 若 ，则， 【题型6 由等式的性质判断变形正误】 【例6】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）下列变形正确的是 （   ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式两边同时加上、减去、乘以或除以同一个数（除数不为0），等式仍然成立，判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：A．，正确变形应为，但选项得，故A错误； B．，正确变形应为，但选项得，故B错误； C．，正确变形应为，但选项得，故C错误； D．，两边减去x得，故D正确． 故选：D． 【变式6-1】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）在将等式变形时，嘉淇的变形过程如下： 解：因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） 下列对嘉淇的变形过程的判断和论述正确的是（   ） A．第一步变形错误，化简结果应该是 B．第二步变形错误，化简结果应该是 C．第一步第二步都有错误，最终化简结果应该是 D．第一步和第二步都没有错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质解答即可． 【详解】解：∵， 两边加，得（第一步正确）， ∴，即， ∴（第二步错误）． 故选：B． 【变式6-2】（25-26七年级上·全国·单元复习）小梦同学将等式根据等式性质进行了四种变形，你认为变形正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，由等式的基本性质逐项验证即可得到答案．熟记等式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：由等式基本性质，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，则，故①正确； 由等式基本性质，等式两边同时乘以同一个不为0数，等式仍然成立，则，故②正确； 由等式基本性质，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，则，故③正确； 由等式基本性质，等式两边同时除以同一个不为0数，等式仍然成立，则当时，有，故④不一定正确； 综上所述，变形正确的是①②③， 故选：C． 【变式6-3】（24-25七年级上·河北邢台·期末）一名同学把“等式①”按照如图所示的程序做了变形： 小明认为：等式①②③依次为；；． 以上等式中，符合题意的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式性质，先根据等式两边都除以5，即得等式①为，然后依次得出等式②和等式③，即可得出答案． 【详解】解：由题知等式①两边都乘5，得， 等式两边都除以5，即得等式①为； 等式①两边都减2，得等式②为， 把与的两边分别相加，得等式③为； 综上分析可知：符合题意的个数为3个． 故选：A． 【题型7 由等式的性质变形为的形式】 【例7】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将等式变形为（为常数）的形式为______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质解答即可，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：等式两边同时加，得， 两边同时除以，得， 故答案为：． 【变式7-1】利用等式的基本性质可将等式变形为________． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，等式两边同时减去2，即可求解． 【详解】解： 等式两边同时减去2，得 故答案为：． 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）请阅读下方解方程的过程，三个步骤中，不是依据等式的基本性质变形的是______．（请填写序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了解方程，等式的基本性质，解题的关键是掌握解方程的步骤与等式的基本性质的联系． 根据等式的基本性质进行验证即可． 【详解】解：移项和系数化为1都是依据等式的基本性质， 合并同类项不是依据等式的基本性质，是整式的加减， 故答案为：②． 【变式7-3】运用等式的性质变形：若，则____________ ． 【答案】/ 【分析】先在等式两边同时减去3，然后在等式两边再同时乘以3即可解答． 【详解】解：由题意，等式两边同时减去3得即， 在其两边同时乘以3得即 ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等式的性质：等式的两边同时加上或同时减去一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或同时除以一个不为0的数或字母，等式仍成立． 【题型8 由等式的性质比较大小】 【例8】（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m______n．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，以及作差法比较大小，解题的关键在于理解两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．把等式变形为m减n等于多少的形式，再进行判断，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式8-1】已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，利用等式的性质，求出的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：， 所以， 所以， 所以， 所以； 故选A． 【变式8-2】若，你能根据等式的性质比较与的大小吗？ 【答案】 【分析】本题考查等式的性质．利用等式的性质，把等式变形为的形式，再两边同时除以，得，得结论． 【详解】解：两边同时减去，得． 两边同时减去， 得． 两边同时除以， 得 【变式8-3】设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 【答案】D 【分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 【详解】解：由图（1）可知，2个〇的质量大于1个〇加1个□的质量， ∴〇的质量大于□的质量， 由图（2）可知，3个△的质量等于1个△加1个□的质量， ∴2个△的质量等于1个□的质量， 即□的质量大于△的质量， ∴“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为△□〇， 故选：D． 【题型9 等式的性质的实际应用】 【例9】（25-26七年级下·福建泉州·期末）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有  1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A．E卡片 B．B卡片 C．C卡片 D．D卡片 【答案】B 【分析】根据题中所给的等量关系结合等式的性质先算出，再分别计算出每张卡片的大小，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 卡片A：， 卡片B：， 卡片C：， 卡片D：， 卡片E：， ， 这五张卡片上数字最大的是B． 【变式9-1】（2025七年级上·全国·专题练习）观察思考：下图中号天平的右边盘里应该放几个苹果？ 【答案】个 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，由号天平可知：个苹果个梨；由号天平可知：个梨个菠萝；可得：号天平：个菠萝个梨个梨个梨． 【详解】解：号天平：个苹果个梨， 个苹果个梨， 号天平：个梨个菠萝个梨， 个梨个菠萝， 号天平：个菠萝个梨个梨个梨， 个梨个苹果个苹果， 答：号天平的右边盘里应该放个苹果． 【变式9-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 【变式9-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）一段路程分为平路和上坡两段，平路和上坡的路程之比为，总路程为．汽车在平路匀速行驶的速度为，在上坡匀速行驶的速度为，行驶该路程的总用时可表示为．若把该等式变形为已知，，，求，可得__________． 【答案】 【分析】将，，看作已知数，根据等式的性质对等式变形求解即可． 【详解】解：， 等式两边同乘得， 提取公因式得， 系数化为得 ． 考点3 一元一次方程的定义 知识点5 一元一次方程的概念 1. 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 例如：，，等都是一元一次方程． 2. 一元一次方程的最简形式为． 3. 一元一次方程的标准形式为． 【题型10 一元一次方程的概念辨析】 【例10】（25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从未知数个数、最高次数、是否为整式三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合要求． B：含有两个未知数，不符合要求． C：中未知数最高次数为，不符合要求． D：分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． 【变式10-1】如果关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为___________ 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义求出m的值，进而求解原方程即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得：， ∴为， 移项得， 系数化为1得． 【变式10-2】（25-26七年级下·全国·期末）请你写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元一次方程指只含有一个未知数，未知数的最高次数为且两边都为整式的等式，结合题干给出的解和未知数系数写出符合要求的方程即可． 【详解】解：根据题意，满足解为且未知数系数为的一元一次方程有无数个， 例如：（答案不唯一）． 【变式10-3】（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． 【题型11 判断一元一次方程的解】 【例11】（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 【变式11-1】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 【变式11-2】（24-25七年级上·广东汕头·期末）是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 把分别代入方程，逐项判断即可． 【详解】解：A.当 时，，故该选项符合题意； B. 当 时，，故该选项不符合题意； C. 当 时，，故该选项不符合题意； D. 当 时，，故该选项不符合题意； 故选：A ． 【变式11-3】下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤和一元一次方程解的定义． 按照解一元一次方程的一般步骤，解各个选项中的方程，然后根据所求的解进行判断即可． 【详解】解∶A． ，，此选项中的方程的解不是，故此选项不符合题意； B．，，，∴此选项中的方程的解是，故此选项符合题意； C．，，，，∴此选项中的方程的解不是，故此选项不符合题意； D．，，，此选项中的方程的解不是，故此选项不符合题意； 故选∶B． 【题型12 由一元一次方程的解求参数】 【例12】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．代入到方程，解出的值即可求解． 【详解】解：代入得，， 解得：， 的值为7． 故答案为：7． 【变式12-1】（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值，正确运用解的定义是解题的关键．把代入求解即可． 【详解】解∶∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 【变式12-3】（24-25七年级上·四川成都·期末）已知方程中，★处被盖住了一个数字，如果此方程的解是，那么★处的数字为________． 【答案】13 【分析】本题考查了方程的解、解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．代入到已知方程，得到关于★的方程，解该方程即可求出★处的数字． 【详解】解：代入到方程，得， 解得：， ★处的数字为13． 故答案为：13． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 方程与列方程、一元一次方程（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 方程的概念】 2 【题型2 列方程】 2 【题型3 判断是否是方程的解】 2 【题型4 由方程的解求参数】 3 【题型5 方程的简单应用】 3 【题型6 由等式的性质判断变形正误】 5 【题型7 由等式的性质变形为的形式】 6 【题型8 由等式的性质比较大小】 6 【题型9 等式的性质的实际应用】 6 【题型10 一元一次方程的概念辨析】 8 【题型11 判断一元一次方程的解】 8 【题型12 由一元一次方程的解求参数】 8 考点1 方程 知识点1 方程 含有未知数的等式叫作方程． 例如：，，，，，等都是方程． 知识点2 方程的解与解方程 1. 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．例如：是方程的解． 2. 求方程的解的过程，叫作解方程． 知识点3 列简单的方程 列方程就是把实际问题中的等量关系用方程的形式表示出来．列方程的一般步骤如下： （1）审：仔细审题，弄清题中的已知量、未知量和相等关系； （2）设：设出恰当的未知数，并把与相等关系有关的量用未知数表示出来； （3）列：根据题中等量关系列出方程． 【题型1 方程的概念】 【例1】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【变式1-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·天津·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为_______（填序号）． 【变式1-3】已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是________________，其中含有未知数的等式是________________，所以其中的方程是________________．（填序号） 【题型2 列方程】 【例2】（24-25七年级上·陕西榆林·期末）已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设______，列方程为______． 【变式2-1】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）由“的3倍与5的和等于15”可列方程___________． 【变式2-2】临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为______． 【变式2-3】汽车队运送一批货物若每辆车装4吨，还剩下8吨未装；若每辆车装4.5吨，恰好装完，求这批货物共有多少吨？若设这批货物共有吨，则所列的方程为_________． 【题型3 判断是否是方程的解】 【例3】（25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 【变式3-3】（26-27七年级上·北京·课后作业）已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【题型4 由方程的解求参数】 【例4】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知关于x的方程的解是， 则a的值为（    ） A． B．2 C． D．8 【变式4-1】（25-26七年级下·四川眉山·期中）解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·四川乐山·期中）若是方程的解，则值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是方程的解，则的值为________ 【题型5 方程的简单应用】 【例5】（25-26八年级上·河南周口·期中）某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利．求这种服装的成本价．若设这种服装的成本价为x元， (1)列出关于x的方程； (2)求出x的值． 【变式5-1】2020年新冠肺炎疫情期间，某市共出动八批，共计1362名医护人员驰援武汉，他们是新时代最可爱的人．3月19日，第二批和第八批医护人员共130名乘坐飞机返回该市，其中第二批的人数是第八批人数的3倍还多10名，设第八批该市共出动了x名医护人员． (1)根据题意列出方程； (2)利用等式的性质求出x的值． 【变式5-2】如图，将边长为的正方形纸片剪去一个边长为a的正方形后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，请解答下列问题： (1)分别计算剪拼后所得的长方形的周长和面积（用含a的代数式表示）； (2)若将剪拼后的长方形的长减少4，宽增加4，所得的新长方形的面积恰好等于原长方形的面积，求a的值． 【变式5-3】植树节甲班植树的株数比乙班多20%，乙班植树的株树比甲班的一半多10株，若乙班植树x株． （1）列两个不同的含x的代数式表示甲班植树的株数． （2）根据题意列出以x为未知数的方程． （3）检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和32株． 考点2 等式的性质 知识点4 等式的性质 性质 内容 字母表示 示例 两个基本事实 对称性：如果 ，那么； 传递性：如果 ，那么 若 ，则，则 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果 ，那么 若 ，则 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果 ，那么；如果，那么 若 ，则， 【题型6 由等式的性质判断变形正误】 【例6】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）下列变形正确的是 （   ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【变式6-1】（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）在将等式变形时，嘉淇的变形过程如下： 解：因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） 下列对嘉淇的变形过程的判断和论述正确的是（   ） A．第一步变形错误，化简结果应该是 B．第二步变形错误，化简结果应该是 C．第一步第二步都有错误，最终化简结果应该是 D．第一步和第二步都没有错误 【变式6-2】（25-26七年级上·全国·单元复习）小梦同学将等式根据等式性质进行了四种变形，你认为变形正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】（24-25七年级上·河北邢台·期末）一名同学把“等式①”按照如图所示的程序做了变形： 小明认为：等式①②③依次为；；． 以上等式中，符合题意的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型7 由等式的性质变形为的形式】 【例7】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将等式变形为（为常数）的形式为______． 【变式7-1】利用等式的基本性质可将等式变形为________． 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）请阅读下方解方程的过程，三个步骤中，不是依据等式的基本性质变形的是______．（请填写序号） 【变式7-3】运用等式的性质变形：若，则____________ ． 【题型8 由等式的性质比较大小】 【例8】（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m______n．（填“”“”或“”） 【变式8-1】已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】若，你能根据等式的性质比较与的大小吗？ 【变式8-3】设“〇”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“〇”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（　　）    A．〇□△ B．〇△□ C．□〇△ D．△□〇 【题型9 等式的性质的实际应用】 【例9】（25-26七年级下·福建泉州·期末）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有  1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（    ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A．E卡片 B．B卡片 C．C卡片 D．D卡片 【变式9-1】（2025七年级上·全国·专题练习）观察思考：下图中号天平的右边盘里应该放几个苹果？ 【变式9-2】（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【变式9-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）一段路程分为平路和上坡两段，平路和上坡的路程之比为，总路程为．汽车在平路匀速行驶的速度为，在上坡匀速行驶的速度为，行驶该路程的总用时可表示为．若把该等式变形为已知，，，求，可得__________． 考点3 一元一次方程的定义 知识点5 一元一次方程的概念 1. 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 例如：，，等都是一元一次方程． 2. 一元一次方程的最简形式为． 3. 一元一次方程的标准形式为． 【题型10 一元一次方程的概念辨析】 【例10】（25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】如果关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为___________ 【变式10-2】（25-26七年级下·全国·期末）请你写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程_____． 【变式10-3】（25-26六年级下·山东淄博·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 【题型11 判断一元一次方程的解】 【例11】（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25七年级上·广东汕头·期末）是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 【变式11-3】下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【题型12 由一元一次方程的解求参数】 【例12】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为______． 【变式12-1】（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为______． 【变式12-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是______． 【变式12-3】（24-25七年级上·四川成都·期末）已知方程中，★处被盖住了一个数字，如果此方程的解是，那么★处的数字为________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $