专题3.1 方程与列方程 等式的性质（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题3.1方程与列方程 等式的性质 教学目标 1. 知道方程的概念、掌握列方程、方程的解； 2. 学会等式的性质及应用； 3. 解方程的概念、利用等式的性质解方程。 教学重难点 1.重点 （1）判断是否属于方程；判断方程的解 （2）等式的性质； （3）用等式的性质解方程。 2.难点 （1）利用等式的性质的化简、变形、求值等； （2）等式的性质的综合应用。 知识点1 方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解 要点：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 【即学即练】 1．下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．解为的方程是（   ） A． B． C． D． 知识点2 等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 知识引入：已知图3-2- 1中(1)(3)的天平平衡 .从图3-2- 1(1)到图3-2- 1(2), 天平左右两边的质量各发生了怎样的变化?天平的平衡状态有无变化? 从图3-2-1(3)到图3-2-1(4)呢? 观察图3-2-1(1)和图3-2-1(2)可以发现，平衡的天平两边加上同样的砝码，天平仍保持平衡. 观察图3-2-1(3)和图3-2-1(4)可以发现，平衡的天平两边减去同样的砝码，天平也保持平衡. 等式就像平衡的天平，也具有同样的性质. 2． 等式的性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 我们还能发现，平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的2倍，天平仍保持平衡. 平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的一半，天平也保持平衡. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 要点： （1） 根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2） 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 【即学即练】 1．下列运用等式的性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列变形错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，则 D．如果，则 3．根据等式的性质填空： （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ． 知识点3 解方程、利用等式的性质解方程 1. 我们可以用等式性质1,求得方程(x+16 )-17= 11的解. 合并同类项，得 x-1=11. 根据等式性质1,在等式两边同加上1,得 x-1+1=11+1. 解得 x=12. 2. 我们可以用等式性质2,求得方程3y+y=152的解. 合并同类项，得 4y=152. 根据等式性质2,在等式两边同除以得 4y÷4=152÷4. 解得 y=38. 以上求方程的解的过程叫作解方程. 【即学即练】 1．利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 2．利用等式的基本性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型01 判断是否属于方程 【典例1】．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列式子（　　）是方程． A． B． C． D． 【变式2】．下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 题型02 列方程 【典例1】．设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【变式2】．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 方程的解 【典例1】．下列方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．有一个方程的解为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知是关于的方程的解，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】．若是关于的方程的解，则代数式的值为（    ） A．7 B．11 C．12 D．13 题型04 等式的性质 【典例1】．下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 【变式1】．如果，根据等式的性质填空． 【变式2】．在括号里填上合适的算式． (1)如果，那么（　　） (2)如果，那么（　　） (3)如果，那么（　　） (4)如果，那么（　　） 题型05 等式的性质的应用 【典例1】．如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　）    A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 【变式1】．如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（    ） A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■ 【变式2】．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式3】．仔细观察如图： (1)填一填． (2)说一说，你发现什么？ 题型06 分析利用等式的性质变形过程 【典例1】．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 【变式1】．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 题型07 利用等式的性质解方程 【典例1】．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】．利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2】．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08 等式的性质的综合应用 【典例1】．如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】．如图．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图所示．若，该长方形区域的长为 ． 【变式2】．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ． 一、单选题 1．下列各式中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 4．在下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由2x+1＝3x，得2x+3x＝1 B．由，得x＝ C．由2x＝，得x＝ D．由﹣＝2，得﹣x+1＝6 5．下列各式中，变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 7．在方程6x+1=1，2x=，7x−1=x−1，5x=2−x中，解为的方程个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．假设“”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9．已知是方程的解，则的值是（    ） A．5 B． C． D．10 10．已知关于x的方程（5a+14b）x+6＝0无解，则ab是（　　） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 二、填空题 11．如果，那么 ，根据等式的性质 ，在等式两边都 ． 12．下列各式中，是方程的是 （填序号）． ①  ②  ③  ④ 13．用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的？ （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 14．根据等式的性质填空： （1）若，则 ．       （2）若，则 ． （3）若，则 ．        （4）若，，则 ． 15．x=1是方程kx-1=0的解，则k= ． 16．在等式的两边同时减去一个一次式可以得到等式，则这个一次式为 ． 17．学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 因为2个苹果+1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……（      ） 因为2个苹果＝400克 2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……（      ） 18．若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程，它的解总是1，则a，b的值分别是 ． 三、解答题 19．判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”并说明原因． （1）－2＋5＝3（    ）；（2） 3x－2＝7（    ）      （3） m＝5（    ）；（4）x＞4（    ） （5）x＋y＝6（    ）；（6） 2x²－5x＋1＝0（    ） （7）2a ＋b （      ）；（8）x＝3 （    ） 20．，各是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）． 21．利用等式的性质解下列方程： （1）；（2）； （3）；（4）. 22．按要求列方程（不需要求解） （1）一个方程的解为，请写出一个符合条件的方程 （2）根据“的倍与的和比的少”列出方程 23．小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1方程与列方程 等式的性质 教学目标 1. 知道方程的概念、掌握列方程、方程的解； 2. 学会等式的性质及应用； 3. 解方程的概念、利用等式的性质解方程。 教学重难点 1.重点 （1）判断是否属于方程；判断方程的解 （2）等式的性质； （3）用等式的性质解方程。 2.难点 （1）利用等式的性质的化简、变形、求值等； （2）等式的性质的综合应用。 知识点1 方程的有关概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 要点：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 2．方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解 要点：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值； ②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）. 【即学即练】 1．下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据方程的定义，判断所给式子是否为含有未知数的等式，从而确定方程的个数．本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 【详解】解：方程是含有未知数的等式 ①，是含有未知数的等式，是方程 ②，不是等式，不是方程 ③，是含有未知数的等式，是方程 ④，是含有未知数的等式，是方程 ⑤，不是等式，不是方程 ⑥，是含有未知数的等式，是方程 ⑦，是含有未知数的等式，是方程 ⑧，是含有未知数的等式，是方程 ①③④⑥⑦⑧是方程，共个 故选：． 3．解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是正确理解：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．把代入各方程，观察方程左右两边是否相等，即可作出判断． 【详解】解：把代入各方程： 、左边，右边， ∴左边右边， ∴不是该方程的解，此选项不符合题意； 、左边，右边， ∴左边右边， ∴不是该方程的解，此选项不符合题意； 、左边，右边， ∴左边右边， ∴是该方程的解，此选项符合题意； 、左边，右边， ∴左边右边， ∴不是该方程的解，此选项不符合题意； 故选：C． 知识点2 等式的性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 知识引入：已知图3-2- 1中(1)(3)的天平平衡 .从图3-2- 1(1)到图3-2- 1(2), 天平左右两边的质量各发生了怎样的变化?天平的平衡状态有无变化? 从图3-2-1(3)到图3-2-1(4)呢? 观察图3-2-1(1)和图3-2-1(2)可以发现，平衡的天平两边加上同样的砝码，天平仍保持平衡. 观察图3-2-1(3)和图3-2-1(4)可以发现，平衡的天平两边减去同样的砝码，天平也保持平衡. 等式就像平衡的天平，也具有同样的性质. 2． 等式的性质： 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即： 如果，那么 (c为一个数或一个式子) . 我们还能发现，平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的2倍，天平仍保持平衡. 平衡的天平两边物体的质量分别变为了原来的一半，天平也保持平衡. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果，那么；如果，那么. 要点： （1） 根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2） 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零． 【即学即练】 1．下列运用等式的性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题主要考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质，注意等式的性质2中是除以同一个不为0的数或式子，等式不变．等式的性质：①等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．直接利用等式的基本性质进而判断得出即可． 【详解】解：A．若， 成立的条件是，故选项A变形不正确，故该选项不符合题意， B．若，无法得，故选项B不符合题意， C．若，则，变形正确，故选项C符合题意， D．若，则成立的条件是，故选项D变形不正确，故该选项不符合题意， 故选：C． 2．下列变形错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，则 D．如果，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式两边都加或减同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边都乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键． 根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立，故该选项正确，不符合题意； B．可能为0，等式两边不能同时除以0，故该选项错误，符合题意； C．等式两边同时加上，可得，故该选项正确，不符合题意； D．由，则，故等式两边都除以一个正数，结果仍是等式，故该选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．根据等式的性质填空： （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时进行相同的运算（加、减、乘、除同一个数，除数不为）等式仍然成立是解题的关键． （1）根据等式两边同时加同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时加，所以． （2）根据等式两边同时乘同一个数等式仍然成立，已知，在等式两边同时乘，所以． （3）根据等式两边同时除以同一个不为的数等式仍然成立，已知，在等式两边同时除以，所以． 【详解】解：（1）∵ ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴ 故答案为：． （3）∵ ∴ 故答案为：． 知识点3 解方程、利用等式的性质解方程 1. 我们可以用等式性质1,求得方程(x+16 )-17= 11的解. 合并同类项，得 x-1=11. 根据等式性质1,在等式两边同加上1,得 x-1+1=11+1. 解得 x=12. 2. 我们可以用等式性质2,求得方程3y+y=152的解. 合并同类项，得 4y=152. 根据等式性质2,在等式两边同除以得 4y÷4=152÷4. 解得 y=38. 以上求方程的解的过程叫作解方程. 【即学即练】 1．利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，检验见解析 (2)，检验见解析 (3)，检验见解析 【分析】（1）根据等式的性质1，给等式的两边同时减8即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）根据等式的性质2，方程两边同乘以即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （3）先根据等式的性质1，给方程两边同时加4可得，至此，再给方程两边同时除以3即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边同减8，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （2）解：两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； （3）解：两边同加4，得， 化简，得， 两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． 2．利用等式的基本性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质，准确进行计算是解此题的关键． （1）利用等式的基本性质解方程即可； （2）利用等式的基本性质解方程即可； （3）利用等式的基本性质解方程即可； （4）利用等式的基本性质解方程即可． 【详解】（1）解：两边都加上3，得， 所以． （2）解：两边都乘，得， 所以； （3）解：两边都加上6，得， 所以， 两边都除以4，得． （4）解：两边都减去3，得， 所以， 两边都乘，得． 题型01 判断是否属于方程 【典例1】．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、，是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不是等式，故不是方程，不符合题意． 故选：B． 【变式1】．下列式子（　　）是方程． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此可得答案． 【详解】A、 含未知数a，但不是等式，不符合题意； B、 含未知数n，但无等号，不符合题意； C、是等式且含未知数x，满足方程定义，符合题意； D、 是等式，但无未知数，不符合题意 故选：C． 【变式2】．下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此求解即可． 【详解】解：根据方程的定义可得，①④⑤是方程，②③⑥不是方程， 故选：D． 题型02 列方程 【典例1】．设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，某数的为，则根据题意可得． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 【变式1】．下面等量关系中，可以用表示的是（　　） A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【答案】D 【分析】此题考查了列方程，逐一分析各选项的等量关系，判断是否与方程相符． 【详解】A．总费用为元，付30元找回6元，方程为，不符合题意； B．黑兔数量x是白兔的3倍多6只，方程为，不符合题意； C．科技书比故事书多6本，方程为，不符合题意； D．舞蹈小组人数是书法小组的3倍少6人，方程为，符合题意． 故选：D． 【变式2】．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是列一元一次方程，解题关键是正确找出题目中的等量关系并列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排人，将会空出间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排人，就会有人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：设在学校住宿的学生有人， 依题得：． 故选：． 题型03 方程的解 【典例1】．下列方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，把代入各个选项，观察等式是否成立，判断即可． 【详解】解：A、当时，，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选C． 【变式1】．有一个方程的解为，则这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程，计算出方程左右两边的值，看是否相等即可． 【详解】解：A、把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程中，左边，右边，方程左右两边不相等，故不是方程的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程中，左边右边，故是方程的解，故此选项不符合题意； 故选：D． 【变式2】．已知是关于的方程的解，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，把代入计算即可，理解方程的解，代入计算是解题的关键． 【详解】解：已知是关于的方程的解， ∴， 解得，， 故选：A ． 【变式3】．若是关于的方程的解，则代数式的值为（    ） A．7 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值；根据题意将代入方程，得出，整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴，即， ∴， 故选：D． 题型04 等式的性质 【典例1】．下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，绝对值的意义及平方的非负性，解题的关键是掌握等式的基本性质：性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等． 根据等式的基本性质，结合绝对值和平方的非负性进行判断． 【详解】解：A．若，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．若且，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； C，当，时，，但，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．若，那么，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】．如果，根据等式的性质填空． 【答案】 5 m 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键； 根据等式的性质直接填空：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立．即可得到答案． 【详解】； ； ； ． 故答案为：5，m，，． 【变式2】．在括号里填上合适的算式． (1)如果，那么（　　） (2)如果，那么（　　） (3)如果，那么（　　） (4)如果，那么（　　） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式； （1）观察发现等式左边的x加了12，那么等式右边的12也要加上12； （2）观察发现等式左边的变为是减去了5，那么等式右边的29也要减去5； （3）观察发现等式左边的变为是除以3，那么等式右边的27也要除以3； （4）观察发现等式左边的变为是乘6，那么等式右边的18也要乘6；据此解答． 【详解】（1）解：如果，那么． 故答案为：； （2）解：如果，那么． 故答案为：； （3）解：如果，那么． 故答案为：； （4）解：如果，那么． 故答案为：． 题型05 等式的性质的应用 【典例1】．如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　）    A．350克 B．300克 C．250克 D．200克 【答案】C 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克， ∴，， 相加得：， ∴． ∴需要在天平右盘中放入砝码250克， 故选：C． 【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型． 【变式1】．如图，●，■，▲分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放的物体是（    ） A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■ 【答案】D 【分析】设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：设●，■，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c， 由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②， ∴得， ∴， ∴， ∴， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到，是解题的关键． ． 【变式2】．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． 【变式3】．仔细观察如图： (1)填一填． (2)说一说，你发现什么？ 【答案】(1)=；2；=；=；3； (2)我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 【分析】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据天平左右两边相等即可得到答案． （2）通过观察发现，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 【详解】（1）解：∵天平平衡时，天平左右两边的质量相等， ∴，，， 填写如下： （2）解：我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 题型06 分析利用等式的性质变形过程 【典例1】．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为，所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？如果不正确，请说明原因，并改正． 【答案】(1)等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力： （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行求解． 【详解】（1）∵ ∴根据等式的性质1，两边都减去 得 ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）小明第二步的结论不正确， ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的一个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以a，等式不成立， 当时，两边都除以a，得不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 【变式1】．小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 题型07 利用等式的性质解方程 【典例1】．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等式的性质，正确运用等式的性质是解题的关键． （1）利用等式的性质，方程两边同时减4，即可求解； （2）利用等式的性质，方程两边同时加3，化简后再同时乘，即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同时减4，得：， 得：． （2）方程两边同时加3，得：， 化简，得：， 方程两边同时乘，得． 【变式1】．利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质． （1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】（1） 两边加5，得， 解得． （2）， 两边除以，得， 解得． （3） 两边减2，得， ， 两边除以，得， 得． （4）， 两边加2，得， ， 两边除以4，， 解得． 【变式2】．利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的基本性质， （1）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论； （2）先在等式的两边同时加，然后在两边同时乘以即可得出结论； （3）先在等式的两边同时减，然后在两边同时除以即可得出结论； （4）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论； 解题的关键是掌握等式的个基本性质：性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等． 【详解】（1）解：两边同时加，得：， 两边同时除以，得：； （2）两边同时加，得：， 两边同时乘，得：； （3）两边同时减去，得：， 即：， 两边同时除以，得：； （4）两边同时加，得：， 即：， 两边同时除以，得：． 题型08 等式的性质的综合应用 【典例1】．如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形长与宽的差是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，再根据大长方形的长不变可得，再求出的值，即为长与宽的差． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，即， 整理得：， 则小长方形的长与宽的差是， 故选：D． 【点睛】此题考查了列方程、整式的加减、等式的性质，根据大长方形的长不变建立方程是解本题的关键． 【变式1】．如图．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图所示．若，该长方形区域的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形列代数式、等式的性质．解决本题的关键是把长方形左、右两边的长度分别用含、、的代数式表示出来，根据长方形的宽相等可得等式，根据可得，整理可得，从图可知长方形的长即为． 【详解】解：如图所示，长方形的宽可表示为， 长方形的宽也可表示为, ， 整理得：， ， ， ， 整理得：， 由图可知：长方形的长为． 故答案为： ． 【变式2】．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将，，，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查有理数的运算和等式的性质，先根据题意列出等式，求出的值，然后再利用转化思想求出的值． 【详解】解：由题意得，，即， ∵， ∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为15， ∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，即， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．下列各式中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查方程的定义，即含有未知数的等式叫做方程，既要注意含有未知数，又不要忽视是等式这个条件．含有未知数的等式叫做方程，根据此定义可判断出选项的正确性． 【详解】解：根据方程的特点：（1）含有未知数；（2）是等式， 由此可得出B选项不含有未知数．不是方程， 故选：B． 2．下列说法不一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．逐个判断即可． 【详解】解：A．∵a＝b， ∴a−3＝b−3，故本选项不符合题意； B．当a＝b＝0时，由a＝b不能推出，故本选项符合题意； C．∵3a＝2b， ∴除以6得：，故本选项不符合题意； D．∵a＝3， ， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题关键． 3．是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把分别代入四个选项的方程中，能够使得方程左右两边相等的选项即为所求． 【详解】解：A、把代入方程得，即不成立，故不符合题意； B、把代入方程得，即不成立，故不符合题意； C、把代入方程得，即不成立，故不符合题意； D、把代入方程得，即成立，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程解的定义． 4．在下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由2x+1＝3x，得2x+3x＝1 B．由，得x＝ C．由2x＝，得x＝ D．由﹣＝2，得﹣x+1＝6 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质1，等式两边同时加（或减）一个数，等式不变；等式的基本性质2，等式两边同时乘（或除）一个数，等式不变即可得出结果． 【详解】A、由2x+1＝3x得2x﹣3x＝﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意； B、由得，原变形正确，故此选项符合题意； C、由2x＝得x＝，原变形错误，故此选项不符合题意； D、由﹣＝2得﹣x﹣1＝6，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质的内容是解此题的关键． 5．下列各式中，变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据等式的性质，等式的两边同加或同减同一个整式，结果仍是等式以及等式的两边都乘或都除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案． 【详解】解：A、若，则，变形正确，该选项符合题意； B、若，当时，则，变形错误，该选项不符合题意； C、若，则，变形错误，该选项不符合题意； D、若，则，变形错误，该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，两边都加或都减同一个整式，结果仍是等式． 6．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】此题考查了等式的性质．根据等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】A. 如果，那么或，故选项错误，不合题意； B. 如果，那么或，故选项错误，不合题意； C. 如果，那么当时，，，故选项错误，不合题意；     D. 如果，那么，故选项正确，符合题意． 故选：D． 7．在方程6x+1=1，2x=，7x−1=x−1，5x=2−x中，解为的方程个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】把x=代入各方程进行检验即可． 【详解】解：当x=时，左边=6×+1=3≠1，不符合题意； 当x=时，左边=2×==右边，符合题意； 当x=时，左边=7×-1=，右边=-1=-，左边≠右边，不符合题意； 当x=时，左边=5×=，右边=2-=，左边=右边，符合题意． 综上，符合题意的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解答此题的关键． 8．假设“”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据图得出三者之间的关系式是解题的关键．由第一个天平可知，，由第二个天平可知，，即可解答． 【详解】解：由第一个天平可知，， 由第二个天平可知，， ∴， ∴“？”处应放△的个数是6， 故选：C． 9．已知是方程的解，则的值是（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【分析】先将代入已知方程中得出等式，最后再化简后面的整式即可计算出结果． 【详解】是方程的解， ， 整理得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查整式的运算，属于基础题，难度一般，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 10．已知关于x的方程（5a+14b）x+6＝0无解，则ab是（　　） A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数 【答案】D 【分析】先将原方程化为（5a+14b）x＝﹣6，再利用方程无解可得5a+14b＝0，用b表示出a，然后代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程（5a+14b）x＝﹣6无解， ∴5a+14b＝0， ∴a＝﹣b ∴ab＝﹣b2≤0． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程无解的情况，理解一元一次方程无解的条件未知数的系数为0是解答本题的关键. 二、填空题 11．如果，那么 ，根据等式的性质 ，在等式两边都 ． 【答案】 1 加上3 【分析】根据等式的性质1，等式两边都加上3，即可求解． 【详解】解：∵， 由等式的性质1，等式两边都加上3，得： 故答案为：；1；加上3． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，等式仍然成立是解题的关键． 12．下列各式中，是方程的是 （填序号）． ①  ②  ③  ④ 【答案】①④ 【分析】方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】解：①是方程； ②不含未知数，故不是方程； ③不是等式，故不是方程； ④是方程． 综上，是方程的是①④． 故答案是：①④． 【点睛】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 13．用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的？ （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 【答案】 5 3n 18 【分析】（1）根据等式的性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，所以等式两边同时减5； （2）根据等式的性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同除以； （3）根据等式的性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，所以等式两边同时加3n； （4）根据等式的性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同乘3． 【详解】解：（1）5，根据等式的基本性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，等式两边同时减5； （2），根据等式的基本性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同时除以； （3）3n，根据等式的基本性质1，等式两边同时加（或减）同一个数等式不变，等式两边同时加3n； （4）18，根据等式的基本性质2，等式两边同时乘（或除）同一个数等式不变，所以等式两边同时乘3． 故答案为：5；；3n；18． 【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题关键． 14．根据等式的性质填空： （1）若，则 ．       （2）若，则 ． （3）若，则 ．        （4）若，，则 ． 【答案】 0 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握是解此题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据等式的基本性质解答即可； （3）根据等式的基本性质解答即可； （4）根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：； （4）∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．x=1是方程kx-1=0的解，则k= ． 【答案】1 【分析】把x=1代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把x=1代入方程得：k-1=0， 解得：k=1， 故答案为1 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 16．在等式的两边同时减去一个一次式可以得到等式，则这个一次式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等式的性质，整式的加减运算，根据等式的性质，用进行求解即可． 【详解】解：由题意，这个一次式为：； 故答案为：． 17．学数学要知其然，更要知其所以然，以下三个数学基本事实应用特别广泛： 琪琪在解决如图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内． 因为2个苹果+1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……（      ） 因为2个苹果＝400克 2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……（      ） 【答案】A ，B 【分析】本题主要考查了数学基本事实应用，根据2个苹果+1个梨个梨，等号两边都去掉1个梨得出2个苹果＝4个梨，运用了等式的性质；2个苹果＝400克，2个苹果＝4个梨，可得4个梨＝400克，运用了等量的等量相等，由此可得结论． 【详解】解：2个苹果+1个梨个梨， 等号两边都去掉1个梨得出2个苹果＝4个梨，运用了等式的性质； 2个苹果＝400克，2个苹果＝4个梨，可得4个梨＝400克， 运用了等量的等量相等； 故答案为：A，B． 18．若a，b为常数，无论k为何值时，关于x的一元一次方程，它的解总是1，则a，b的值分别是 ． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程，并化简．因为无论k为何值，它的解总是1，即可列出 ，解出a和b即可． 【详解】把代入方程得， 化简得， ∵k的值为全体实数， ∴，且， ∴，． 【点睛】本题考查一元一次方程的解．理解方程的解的定义“能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解答本题的关键． 三、解答题 19．判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”并说明原因． （1）－2＋5＝3（    ）；（2） 3x－2＝7（    ）      （3） m＝5（    ）；（4）x＞4（    ） （5）x＋y＝6（    ）；（6） 2x²－5x＋1＝0（    ） （7）2a ＋b （      ）；（8）x＝3 （    ） 【答案】（1）×；见解析；（2）√；（3）√；（4）× ；见解析；（5）√；（6）√；（7）×；见解析；（8）√ 【解析】略 20．，各是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）． 【答案】是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解 【分析】将代入方程（3），使方程左右两边相等，即可判断； 将代入方程（1），使方程左右两边相等，即可判断； 将代入方程（2），使方程左右两边相等，即可判断． 【详解】解：将x＝3代入，左边＝22，右边＝，故不是方程的解； 将x＝3代入，左边＝10，右边＝，故不是方程的解； 将x＝3代入，左边＝7，右边＝7，故是方程的解； 将x＝0代入，左边＝7，右边＝7，故是方程的解； 将x＝0代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 将x＝0代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 将代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 将代入，左边＝，右边＝，故是方程的解； 将代入，左边＝，右边＝，故不是方程的解； 是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解． 【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程中等号左右两边相等的未知数的值就是方程的解． 21．利用等式的性质解下列方程： （1）；（2）； （3）；（4）. 【答案】（1）x=；（2）y=4；（3）；（4）y=-3． 【分析】（1）利用等式的性质1变形为：3x=7，然后利用等式的性质2得到x=； （2）利用等式的性质1得到：2y＝8，然后利用等式的性质2可得到y=4； （3）利用等式的性质1得到，然后利用等式的性质2可得到； （4）利用等式的性质1得到-3y=9，然后利用等式的性质2可得到y=-3． 【详解】（1）等式两边同时减4得：3x=7，等式两边同时除以3得x=； （2）等式两边同时减3y再加6得：2y＝8，等式两边同时除以2得y=4； （3）等式两边同时加得：，等式两边同时乘以得； （4）等式两边同时加上5y得：-3y=9，等式两边同时除以-3得y=-3． 【点睛】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 22．按要求列方程（不需要求解） （1）一个方程的解为，请写出一个符合条件的方程 （2）根据“的倍与的和比的少”列出方程 【答案】（1）2x-1=3（答案不唯一）；（2） 【分析】（1）根据方程的解写出方程即可； （2）利用x的3倍与5的和为3x+5，x的为，根据和差关系列出方程． 【详解】解：（1）∵方程的解为x=2， ∴符合条件的方程可以为：2x-1=3（答案不唯一）； （2）由题意可得： 该方程为：． 【点睛】此题主要考查了方程的解，由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等式是解题关键． 23．小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 【答案】（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2；（2）正确，见解析，；（3）能，见解析， 【分析】（1）观察方程，可得出规律； （2）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系即可直接写出方程，然后解方程即可； （3）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系直接写出方程 【详解】解：（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2（答案不唯一，答出一条即可）） （2）正确． 验证如下： 把代入到方程中，左边， 右边，所以是方程的解，小明的推测正确． 第四个方程为． （3）（为正整数，且）． 【点睛】本题考查了学生的观察分析能力，理解方程中每部分的数字与方程的解的关系是解题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$