第15讲 一元一次方程及其解法（知识精讲+典例+创新题型+课后巩固）讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

本讲义聚焦一元一次方程及其解法核心知识点，从等式性质（含两条性质及易错提醒）切入，逐步过渡到一元一次方程定义（三要素）、解的概念（检验方法）、解法步骤（去分母等五步），最终延伸至创新题型（如“轮换方程”“美好方程”），构建完整知识支架。 资料以思维导图总览知识结构，典型例题结合易错点（如等式性质2中除数不为0）培养推理能力，创新题型发展创新意识与模型意识。课中辅助教师精讲考点，课后通过随堂检测和针对性练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第15讲 一元一次方程及其解法（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解等式的两条基本性质，并能熟练运用它们对等式进行变形。 · 掌握一元一次方程的定义，能够准确判断一个方程是否为一元一次方程。 · 理解一元一次方程解的概念，会检验一个数是否为方程的解，并能利用解的条件求参数。 · 掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），并能准确求解。 · 能够运用一元一次方程解决简单的实际问题，并理解"轮换方程""美好方程"等创新定义。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 等式的性质 · 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立。 即 若 a = b，则 a ± c = b ± c。 · 性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 即 若 a = b，则 ac = bc；若 a = b 且 c ≠ 0，则 a⁄c = b⁄c。 · 易错提醒：等式性质2中，除以的数不能为0；性质1中"同一个数"包括字母表示的式子。 📘 典型例题 1  下列根据等式的性质进行变形，正确的是（  ） A. 若 x = y，则 x + 2 = y − 2    B. 若 m − x = n + x，则 m = n C. 若 mx = my，则 x = y    D. 若  = ，则 x = y 【解析】 A选项：等式两边应同时加2，得 x + 2 = y + 2，故A错；B选项：若 m − x = n + x，移项得 m − n = 2x，不能推出 m = n，故B错；C选项：当 m = 0 时，不能推出 x = y，故C错；D选项：等式两边同时乘3，得 x = y，正确。故选 D。 ☆ 2. 一元一次方程的定义 · 定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 · 一般形式：ax + b = 0（a ≠ 0，a、b为常数）。 · 判定要点：① 只含一个未知数；② 未知数次数为1；③ 是整式方程（分母中不含未知数）。 📘 典型例题 2  下列是一元一次方程的是（  ） A. 2x − 1    B. x2 + 1 = 2x    C. 2x − y = 1    D. x −  = 2x 【解析】 A选项不是等式；B选项未知数次数为2；C选项含有两个未知数；D选项符合一元一次方程的定义（分母中不含未知数，化简后为 x − 1 = 6x）。故选 D。 ☆ 3. 一元一次方程的解 · 定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 · 检验方法：将未知数的值代入方程左右两边，若两边相等，则是方程的解。 · 重要结论：若 x = a 是方程 f(x) = 0 的解，则 f(a) = 0。 📘 典型例题 3  已知关于 x 的方程 2x + a − 5 = 0 的解是 x = 3，则 a 的值为（  ） A. 1    B. −1    C. 11    D. −11 【解析】 把 x = 3 代入方程：2×3 + a − 5 = 0，即 6 + a − 5 = 0，得 a = −1。故选 B。 ☆ 4. 解一元一次方程 · 基本步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。 · 去分母：方程两边同时乘以各分母的最小公倍数（注意常数项也要乘）。 · 去括号：利用乘法分配律，注意括号前是负号时要变号。 · 移项：把含有未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号。 · 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数（系数不为0）。 📘 典型例题 4  解方程： − 1 −  = 1。 【解析】 去分母（两边乘12）： 去括号： 移项合并：，得 ，故  📊 知识总结表 核心概念 定义/内容 注意事项 等式的性质 性质1：两边同加（减）同一个数； 性质2：两边同乘（除以）同一个不为0的数。 除以的数不能为0；移项要变号。 一元一次方程 只含一个未知数，未知数次数为1，整式方程。 分母中不能含未知数；系数不为0。 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值。 代入检验是验证解的唯一方法。 解方程步骤 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并 → 系数化为1。 去分母时每一项都要乘；移项要变号。 创新题型 新定义运算、轮换方程、美好方程等。 理解定义，将新问题转化为常规方程。 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】等式的性质（第1−12题） ※方法总结 · 判断等式变形是否正确，先看变形的依据是性质1还是性质2。 · 性质1：加减同一个数（或式子），注意"同一个"的含义。 · 性质2：乘除同一个数（或式子），注意除数不能为0。 · 当字母（如 m）作为系数时，要考虑 m = 0 的特殊情况。 1．（2026春•泉港区月考）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（　　） A．若x＝y，则x+2＝y﹣2 B．若m﹣x＝n+x，则m＝n C．若mx＝my，则x＝y D．若，则x＝y 【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可． 【解答】解：A、若x＝y，则x+2＝y+2，故此选项不符合题意； B、若m﹣x＝n﹣x，则m＝n，故此选项不符合题意； C、若mx＝my（m≠0），则x＝y，故此选项不符合题意； D、若，则x＝y，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 2．（2026春•晋江市期中）下列等式变形正确的是（　　） A．若，则 B．若3（x﹣1）＝10，则3x﹣1＝10 C．若2x﹣3＝x+8，则2x﹣x＝8﹣3 D．若，则3x﹣1＝﹣1 【分析】根据等式的性质进行计算． 【解答】解：A．若，则，选项变形正确，符合题意； B．若3（x﹣1）＝10，则3x﹣3＝10，选项变形错误，不符合题意； C．若2x﹣3＝x+8，则2x﹣x＝8+3，选项变形错误，不符合题意； D．若，则3x﹣1＝﹣2，选项变形错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是关键． 3．（2025秋•巢湖市期末）下列等式的变形中，不一定正确的是（　　） A．如果ac2＝bc2，那么a＝b B．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b C．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c D．如果a（c2+1）＝b（c2+1），那么a＝b 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．当c＝0时，由ac2＝bc2不能推出a＝b，故本选项符合题意； B．∵a﹣c＝b﹣c， ∴a﹣c+c＝b﹣c+c， ∴a＝b，故本选项不符合题意； C．∵a＝b， ∴a﹣c＝b﹣c，故本选项不符合题意； D．∵c2≥0， ∴c2+1＞0， ∵a（c2+1）＝b（c2+1）， ∴a＝b（等式两边都除以c2+1），故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解此题的关键． 4．（2025秋•大理州期末）下列运用等式的性质，变形不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+5＝y+5 B．若a＝b，则ac＝bc C．若，则a＝b D．若x＝y，则 【分析】直接利用等式的基本性质进而判断得出即可． 【解答】解：A、若x＝y，则x+5＝y+5，正确，不合题意； B、若a＝b，则ac＝bc，正确，不合题意； C、若，则a＝b，正确，不合题意； D、若x＝y，则，a≠0，故此选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了等式的性质，正确把握相关性质是解题关键． 5．（2025秋•翁牛特旗期末）下列等式变形正确的是（　　） A．若a＝b，则a﹣3＝3﹣b B．若x＝y，则 C．若a＝b，则ac＝bc D．若，则b＝d 【分析】根据等式的性质，依次分析各个选项，选出变形正确的选项即可． 【解答】解：A．若a＝b，则a﹣3＝b﹣3，A项错误， B．若x＝y，当a＝0时，和无意义，B项错误， C．若a＝b，则ac＝bc，C项正确， D．若，如果a≠c，则b≠d，D项错误， 故选：C． 【点评】本题考查了等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键． 6．（2025秋•张家口期末）已知等式ax+c＝ay+c，则下列等式不一定成立的是（　　） A．ax＝ay B．x＝y C．m﹣ax＝m﹣ay D．2ax＝2ay 【分析】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【解答】解：A、两边都减c，故A正确； B、a＝0时，x≠y，故B错误； C、两边都减c，两边都乘以﹣1，两边都加m，故C正确； D、两边都减c，两边都乘以2，故D正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 7．（2026春•同步）使得等式成立的m的取值范围为（　　） A．m＝0 B．m＝1 C．m＝0或m＝1 D．m≠0 【分析】根据等式的基本性质即可得出答案． 【解答】解：当m≠0时， 等式成立． 故选：D． 【点评】本题主要考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 8．（2026•拱墅区一模）若x＝y，则（　　） A．x+3＝y﹣3 B．2x+2y＝0 C．﹣3x＝3y D． 【分析】根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若x＝y．则x+3＝y+3，故选项A错误； B．若x＝y．则x﹣y＝0，2x﹣2y＝0，故选项B错误； C．若x＝y．则﹣3x＝﹣3y，故选项C错误； D．若x＝y．则，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 9．（2026春•莱州市期中）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，应该在天平右边放置（　　）个■． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由前两架天平可得，1个球＝2个正方形，再将第3架的球换成正方形，可得3个球＝6个正方形． 【解答】解：因为1个三角形＝1个正方形+1个球，1个正方形+1个三角形＝2个球，所以1个球＝2个正方形， 将第3架的球换成正方形，所以3个球＝6个正方形，故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，根据等量间的代换把球和三角形都换成正方形，这道题也就解出来了． 10．（2026春•伊川县期中）下列变形中，不正确的是（　　） A．若a﹣2＝b﹣2，则a＝b B．若，则a＝b C．若am＝bm，则a＝b D．若a＝b，则 【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可． 【解答】解：对于A选项，∵a﹣2＝b﹣2，等式两边同时加2， ∴a＝b，变形正确，不符合题意； 对于B选项，∵，分式有意义说明m≠0，等式两边同时乘m， ∴a＝b，变形正确，不符合题意； 对于C选项，若am＝bm，当m＝0时，无论a，b取何值等式都成立，无法推出a＝b，变形错误，符合题意； 对于D选项，∵m2≥0， ∴m2+1≥1≠0，等式a＝b两边同时除以m2+1， ∴，变形正确，不符合题意； 因此不正确的变形是选项C． 故选：C． 【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握该知识点是关键． 11．（2025秋•吴兴区期末）解方程时，去分母后正确的是（　　） A．2（3x﹣1）＝1﹣4x﹣1 B．2（3x﹣1）＝1﹣4x+1 C．2（3x﹣1）＝6﹣4x﹣1 D．2（3x﹣1）＝6﹣4x+1 【分析】根据等式的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， ， 将等式两边都乘6得， 2（3x﹣1）＝6﹣（4x﹣1）， 2（3x﹣1）＝6﹣4x+1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键． 12．（2025秋•临高县期末）若a＝b，m是任意实数，则下列等式不一定成立的是（　　） A．a+m＝b+m B．a﹣m＝b﹣m C．am＝bm D． 【分析】根据等式的性质即可求出答案． 【解答】解：A、利用等式性质1，两边都加m，得到a+m＝b+m，原变形一定成立，故此选项不符合题意； B、利用等式性质1，两边都减去m，得到a﹣m＝b﹣m，原变形一定成立，故此选项不符合题意； C、利用等式性质2，两边都乘m，得到am＝bm，原变形一定成立，故此选项不符合题意； D、成立的条件是m≠0，原变形不一定成立，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质．等式的性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 【考点2】一元一次方程的定义（第13−20题） ※方法总结 · 判定一元一次方程的三要素：① 一个未知数；② 次数为1；③ 整式方程。 · 若方程为 ax|m| + b = 0 的形式，则需满足 |m| = 1 且 a ≠ 0。 · 注意区分"方程"与"代数式""不等式"。 13．（2026春•汝阳县期中）下列是一元一次方程的是（　　） A．2x﹣1 B．x2+1＝2x C．2x﹣y＝1 D． 【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：2x﹣1不是等式，则A不符合题意， x2+1＝2x中未知数的最高次数是2，则B不符合题意， 2x﹣y＝1中含有2个未知数，则C不符合题意， 2x符合一元一次方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 14．（2026春•晋江市期中）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x+y＝﹣2 C． D．x2﹣1＝0 【分析】方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，根据定义判断即可． 【解答】解：A、属于一元一次方程，符合一元一次方程的定义，符合题意， B、含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，不符合题意， C、不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，不符合题意， D、未知数的次数不是1，不符合一元一次方程的定义，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 15．（2026春•洛宁县期中）若关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|+3＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．2 B．0 C．2或0 D．1 【分析】根据一元一次方程的定义，得到|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，解之即可得到答案． 【解答】解：由条件可知|m﹣1|＝1且m﹣2≠0， 解得m＝0， 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确掌握一元一次方程的定义和绝对值的定义是解题的关键． 16．（2025秋•大理州期末）若（m﹣1）x|m|+5＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定 【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此列出关于m的关系式，进而求出m的值． 【解答】解：由题意，得， 解得：m＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义．题目较简单．只含有一个未知数，未知数的次数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 17．（2025秋•淮北期末）在①x﹣2；②2﹣x＝y﹣5；③x﹣5＝3；④x＝2x+10；⑤x﹣4＞1中，一元一次方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一元一次方程的定义（只含一个未知数、未知数的次数为1、且为等式）判断每个表达式． 【解答】解：∵①x﹣2不是等式，故不是方程； ②2﹣x＝y﹣5含有两个未知数，故不是一元方程； ③x﹣5＝3只含一个未知数且次数为1，是等式，故是一元一次方程； ④x＝2x+10只含一个未知数且次数为1，是等式，故是一元一次方程； ⑤x﹣4＞1是不等式，不是等式，故不是方程． 综上所述，一元一次方程有③和④，共2个，所以只有选项B正确，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键． 18．（2025秋•宜州区期末）若mx+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是m≠0　 ． 【分析】根据一元一次方程中未知数的系数不能为零，即可求解． 【解答】解：∵mx+1＝0是关于x的一元一次方程， 则由一元一次方程的定义可得m≠0， 故答案为：m≠0． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 19．（2014春•同步）已知方程ax2+bx+c＝0．当a、b、c分别为何值时，此方程为一元一次方程？ 【分析】根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）进行解答． 【解答】解：∵方程ax2+bx+c＝0为一元一次方程， ∴a＝0，b≠0，c可以为任意常数． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 20．（2025秋•平利县期末）已知A＝ax2﹣3xy+9x（a为常数），B＝﹣2x2﹣bxy+4（b为常数），且代数式M＝2A﹣3B． （1）若a＝﹣3，b＝1，化简代数式M； （2）当（a﹣1）x2+x﹣b+3+2＝0是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 【分析】（1）先化简代数式M，再把a＝﹣3，b＝1代入即可； （2）依据一元一次方程的定义求出a，b的值，再根据化简后的一元一次方程求出x的值，最后将a，b，x的值一并代入M的表达式求值．． 【解答】解：（1）已知A＝ax2﹣3xy+9x（a为常数），B＝﹣2x2﹣bxy+4（b为常数），且代数式M＝2A﹣3B． ∵A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4， ∴M＝2A﹣3B， ＝2（ax2﹣3xy+9x）﹣3（﹣2x2﹣bxy+4）， ＝2ax2﹣6xy+18x+6x2+3bxy﹣12， ＝（2ax2+6x2）+（3bxy﹣6xy）+18x﹣12， ＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12， ∴M＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12． 把a＝﹣3，b＝1代入M中，得： M＝[2×（﹣3）+6]x2+（3×1﹣6）xy+18x﹣12， ＝（﹣6+6）x2﹣3xy+18x﹣12， ＝﹣3xy+18x﹣12， ∴M＝﹣3xy+18x﹣12； （2）由题意可得：a﹣1＝0且﹣b+3＝1，解得a＝1，b＝2， ∴整理（a﹣1）x2+x﹣b+3+2＝0得x+2＝0， ∴x＝﹣2． ∵将x＝﹣2，a＝1，b＝2代入（1）中M＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12， ∴M＝（2×1+6）×（﹣2）2+（3×2﹣6）×（﹣2y）+18×（﹣2）﹣12， ＝8×4+0×（﹣2y）+（﹣36）﹣12， ＝32+0+（﹣36）﹣12， ＝﹣16， ∴M＝﹣16． 【点评】本题综合考查了代数式求值及解一元一次方程，掌握整式的混合运算法则是关键． 【考点3】一元一次方程的解（第21−28题） ※方法总结 · 已知解求参数：将解代入方程，得到关于参数的方程，再求解。 · 已知方程的解满足某种条件（如正整数解），先解出含参数的解，再根据条件确定参数。 · 整体代入思想：如已知 x = a 是方程的解，则 f(a) = 0，可整体变形求值。 21．（2026春•莱西市期中）已知关于x的方程2x+a﹣5＝0的解是x＝3，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．11 D．﹣11 【分析】把x＝3代入方程得到关于a的方程求解即可． 【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝3， ∴2×3+a﹣5＝0， 解得：a＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 22．（2025秋•金牛区期末）若关于x的一元一次方程2mx+5﹣n＝0的解为x＝1，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．2 【分析】将方程的解代入原方程，通过移项变形即可求出代数式的值． 【解答】解：由条件可得：2m×1+5﹣n＝0， 解得2m﹣n＝﹣5， 故选：A． 【点评】本题考查一元一次方程解的定义，熟练掌握该知识点是关键． 23．（2026春•莱山区期中）小明在解关于x的方程，由于在去分母的过程中等号右边的﹣1漏乘6，所以得到方程的解为x＝﹣2．则原方程的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝﹣7 C．x＝1 D．x＝7 【分析】根据题意，先求出a的值，再求出原方程的解即可． 【解答】解：由题知， 将x＝﹣2代入2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得， ﹣10＝﹣6+3a﹣1， 解得a＝﹣1， 所以原方程为， 解得x＝﹣7． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知解二元一次方程的步骤是解题的关键． 24．（2025秋•平桥区期末）已知关于x的一元一次方程3＝2025x﹣m的解是x＝20，那么关于y的一元一次方程3＝2025（4+y）﹣m的解是（　　） A．21 B．﹣20 C．16 D．24 【分析】由关于x的一元一次方程3＝2025x﹣m的解是x＝20，可得出关于（4+y）的一元一次方程3＝2025（4+y）﹣m的解是4+y＝20，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元一次方程3＝2025x﹣m的解是x＝20， ∴关于（4+y）的一元一次方程3＝2025（4+y）﹣m的解是4+y＝20， 解得：y＝16， ∴关于y的一元一次方程3＝2025（4+y）﹣m的解是y＝16． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 25．（2026春•鲤城区校级期中）若x＝3是方程a﹣bx＝4的解，则2a﹣6b+2018值为（　　） A．2010 B．2026 C．2045 D．2029 【分析】将已知解代入原方程得a﹣3b＝4，将原式变形后代入数值计算即可． 【解答】解：若x＝3是方程a﹣bx＝4的解， 则a﹣3b＝4， 那么2a﹣6b+2018 ＝2（a﹣3b）+2018 ＝2×4+2018 ＝2026， 故选：B． 【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 26．（2026春•宜阳县期中）x＝3是下列方程（　　）的解． A．2x﹣1＝3 B． C． D．2x﹣（3x﹣2）＝0 【分析】将x＝3分别代入各方程计算后进行判断即可． 【解答】解：当x＝3时， 2x﹣1＝6﹣1＝5≠3，则A不符合题意， 0.30.31.8，x3＝1.8，则B符合题意， 4，则C不符合题意， 2x﹣（3x﹣2）＝6﹣7＝﹣1≠0，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 27．（2026春•公主岭市期中）如果x＝﹣2是关于x的方程ax+b＝5﹣2x的解，那么3﹣4a+2b的值为（　　） A．1 B．﹣15 C．21 D．5 【分析】将x＝﹣2代入ax+b＝5﹣2x中并整理，然后把3﹣4a+2b变形后代入已知数值计算即可． 【解答】解：∵x＝﹣2是关于x的方程ax+b＝5﹣2x的解， ∴﹣2a+b＝5+4， ∴﹣2a+b＝9， ∴3﹣4a+2b＝3+2（﹣2a+b）＝3+2×9＝21， 故选：C． 【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 28．（2025秋•台江区期末）已知关于x的方程1的解为正整数，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先求出方程1的解，再根据其解为正整数，即可确定整数k的值，再求和即可． 【解答】解：1， 2（kx﹣1）﹣（x﹣3）＝6， 2kx﹣2﹣x+3＝6， 2kx﹣x＝6+2﹣3， （2k﹣1）x＝5， 当2k﹣1≠0，即k≠0.5时，方程的解是x， ∵关于x的方程1的解为正整数，k为整数， ∴2k﹣1＝1或2k﹣1＝5， 解得k＝1或k＝3， ∴符合条件的所有整数k的和为1+3＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确计算是解题的关键． 【考点4】解一元一次方程（第29−39题） ※方法总结 · 严格按照"去分母→去括号→移项→合并→系数化为1"的顺序操作。 · 去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，包括常数项。 · 去括号时，注意括号前的符号，负号要变号。 · 移项时，从等号一边移到另一边要变号。 · 系数化为1时，如果系数是分数，可以乘以它的倒数。 29．（2026春•桓台县期中）若代数式x﹣1与﹣2x的值互为相反数，则x＝　﹣1　 ． 【分析】根据相反数的性质，可得方程：（x﹣1）+（﹣2x）＝0，然后根据解一元一次方程的方法求解即可． 【解答】解：∵代数式x﹣1与﹣2x的值互为相反数， ∴（x﹣1）+（﹣2x）＝0， ∴x﹣1﹣2x＝0， 移项、合并同类项，得﹣x＝1， 将系数化为1，得x＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了解一元一次方程，相反数，掌握解一元一次方程的方法，相反数的定义是解题的关键． 30．（2026春•宁阳县期中）某同学在解关于x的方程ax﹣2＝3时，把“﹣2”看成了“+2”，解得x＝1，则方程的正确解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣5 D．x＝5 【分析】根据错误操作得到错误方程，代入错误解求出参数，再代入正确方程求解 【解答】解：由题意可得： 错误方程为ax+2＝3． 又∵错误解得x＝1， ∴代入错误方程：a×1+2＝3， 解得a＝1． 代入正确方程ax﹣2＝3，得x﹣2＝3， 解得x＝5． 故正确解为x＝5． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确进行计算是解题关键． 31．（2025秋•海淀区校级期末）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．若3x＝2x﹣1，则3x+2x＝1 B．若2﹣（x﹣1）＝5，则2﹣x﹣1＝5 C．若4x＝2，则x＝﹣2 D．若，则5（x﹣1）﹣2x＝10 【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这些变形依据判断即可． 【解答】解：A、若3x＝2x﹣1，则3x﹣2x＝﹣1，故此选项不符合题意； B、若2﹣（x﹣1）＝5，则2﹣x+1＝5，故此选项不符合题意； C、若4x＝2，则x，故此选项不符合题意； D、若，则5（x﹣1）﹣2x＝10，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 32．（2026春•张店区期中）某同学解方程4x﹣3＝□x+1时，把“□”处的系数看错了，解得x＝4，他把“□”处的系数看成了（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【分析】首先根据题意，设“□”处的系数是y，则4y+1＝4×4﹣3，然后根据解一元一次方程的方法，求出他把“□”处的系数看成了多少即可． 【解答】解：设“□”处的系数是y， 则4y+1＝4×4﹣3， ∴4y+1＝13， 移项，可得：4y＝13﹣1， 合并同类项，可得：4y＝12， 系数化为1，可得：y＝3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 33．（2026春•海阳市期中）下面解一元一次方程2（x+3）＝5x的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（　　） （1）2（x+3）＝5x2x+6＝5x； （2）2x+6＝5x6＝5x﹣2x； （3）6＝5x﹣2x6＝3x； （4）6＝3xx＝2． A．第①步和第②步 B．第①步和第③步 C．第②步和第④步 D．第③步和第④步 【分析】根据解一元一次方程的步骤判断即可． 【解答】解：2（x+3）＝5x， 2x+6＝5x（去括号法则）， 5x﹣2x＝6（等式的性质1）， 3x＝6（合并同类项法则）， x＝2（等式的性质2）， 所以依据“等式的性质”变形的是第②步和第④步， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握每一步变形依据是解题的关键． 34．（2026春•芝罘区期中）新定义一种运算：a△b＝2a﹣3b，并且规定“有括号要先算括号里边的”．例如：3△4＝2×3﹣3×4＝﹣6．若2△（2△x）＝﹣35，则x的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：∵2△（2△x）＝﹣35， ∴2△（4﹣3x）＝﹣35， 4﹣3（4﹣3x）＝﹣35， 4﹣12+9x＝﹣35， 9x＝﹣35+12﹣4， 9x＝﹣27， x＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 35．（2026春•宜阳县期中）若代数式4x﹣5比3x+6的值小1，则x的值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】根据题意列得方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得4x﹣5＝3x+6﹣1， 移项得：4x﹣3x＝6﹣1+5， 合并同类项得：x＝10， 故选：A． 【点评】本题考查解一元一次方程，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 36．（2026春•永春县期中）方程，变形正确的是（　　） A．3（x+1）﹣4（1﹣x）＝1 B．3（x+1）﹣4（1﹣x）＝12 C．4（x+1）﹣3（1﹣x）＝1 D．4（x+1）﹣3（1﹣x）＝12 【分析】将原方程两边同时乘以12去分母即可． 【解答】解：， 两边同时乘以12去分母得：3（x+1）﹣4（1﹣x）＝12， 故选：B． 【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 37．（2025秋•平山县期末）在关于x的一元一次方程中，m是正整数．对下面两个说法判断正确的是（　　） 甲：当m＝4时，方程的解为； 乙：若方程有正整数解，则m＝2． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【分析】对于甲的说法，将m＝4代入x的表达式计算，或代入原方程验证解的正确性；对于乙的说法，根据x为正整数且m为正整数，确定m的取值范围，再逐一代入验证，判断是否存在其他m值使x为正整数． 【解答】解：， 解得：． 验证甲的说法：当m＝4时，， 左边3﹣4＝﹣1＝右边，故甲的说法正确， 验证乙的说法：∵方程有正整数解， ∴是正整数，且m为正整数， ∴，解得， ∴m的可能取值为1，2，3． 当m＝1时，，不是正整数； 当m＝2时，，是正整数； 当m＝3时，，不是正整数； 当m≥4时，，不是正整数； ∴只有m＝2时方程有正整数解，故乙的说法正确． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 38．（2025秋•金山区校级期末）下列四组变形属于移项的是（　　） A．由，得x﹣2＝12 B．由2x＝3，得 C．由4x＝2x﹣3，得4x﹣2x＝﹣3 D．由3y﹣y+2＝3，得2y+2＝3 【分析】本题考查了解一元一次方程． 移项是指将方程中的项从等号的一边移到另一边并改变符号． 【解答】解：A、由得x﹣2＝12是去分母，不符合移项，不符合题意； B、2x＝3得是系数化为1，不符合移项，不符合题意； C、4x＝2x﹣3得4x﹣2x＝﹣3是将2x移项并变号，符合移项，符合题意； D、3y﹣y+2＝3得2y+2＝3是合并同类项，不符合移项，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 39．（2025秋•武汉期末）解下列方程： （1）3x+5＝4x+1 （2）． 【分析】（1）根据等式的基本性质依次移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据等式的基本性质依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：（1）3x﹣4x＝1﹣5， ﹣x＝﹣4， x＝4； （2）3（3y﹣1）﹣12＝2（5y﹣7）， 9y﹣3﹣12＝10y﹣14， 9y﹣10y＝﹣14+3+12， ﹣y＝1， y＝﹣1 【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本步骤． 【考点5】创新及压轴题（第40−44题） ※方法总结 · 新定义运算：按照定义将新运算转化为常规的代数式或方程。 · "轮换方程"：若 ax + b = 0 与 bx + a = 0 互为轮换，则系数互换，利用对应系数相等列方程。 · "美好方程"：两方程的解之和为1，设一个解为 t，另一个为 1 − t，代入求解。 · 注意整数解、正整数解等条件限制，需结合整除性分析。 40．（2025秋•成都校级期末）“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（2△3）＝3，则x＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据新定义，先计算出2△3＝2×2﹣3＝1，然后代入x△（2△3）＝3列方程求解即可． 【解答】解：根据题意得，2△3＝2×2﹣3＝1， ∵x△（2△3）＝3， ∴x△1＝3， ∴2x﹣1＝3， 移项、合并同类项，得2x＝4， 将系数化为1，得x＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键． 41．（2025秋•大渡口区校级期末）定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，a⊕，如a＝3，b＝1时，，a．下列说法： ①若b＝0，则； ②若（﹣x+4x）⊗1＝（6﹣x）⊕4，则； ③若a＝6，则|a⊗b|+|a⊕b|的最小值为7． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据新定义运算法则、代数式求值、解方程、绝对值最值逐项判断即可． 【解答】解：①当b＝0时，，， ∴，选项说法正确，符合题意； ②化简方程：左边， 右边，则， 解得：，选项说法正确，符合题意； ③当a＝6时，，， 则|a⊗b|+|a⊕b|可化为|4+b|+|3﹣b|，表示数为 b的 点到表示数﹣4和3的点的距离之和，最小值为7，且当﹣4≤b≤3时取等号，选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 42．（2025秋•苏州校级期末）综合与实践： 定义：我们称关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0（a、b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如：方程2x+4＝0与方程4x+2＝0互为“轮换方程”． （1）判断：①3x+7＝0与7x+3＝0；②﹣6x+3＝0与3x﹣6＝0；③﹣11x﹣1＝0与x﹣11＝0；其中互为“轮换方程”的有 　①②　 ；（填写序号） （2）若关于x的方程5x+m+3＝0与方程4x+n﹣2＝0互为“轮换方程”，求mn的值； （3）若关于x的方程5x﹣p＝0与其“轮换方程”的解都是整数，p也为整数，对于多项式A＝6x2﹣2kx+8和，不论x取多少，A与B的和始终等于整数p，求常数p的值． 【分析】（1）根据“轮换方程”的定义直接可得答案； （2）根据“轮换方程”得出，求出，即可得出答案； （3）关于x的方程5x﹣p＝0与其“轮换方程”的解都是整数，p也为整数，求出p＝5或﹣5，再根据不论x取多少，A与B的和始终等于整数p，求出答案即可． 【解答】解：（1）由题可知，关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0（a、b均为不等于0的常数）称互为“轮换方程”， ①方程3x+7＝0与方程7x+3＝0互为“轮换方程”，故①正确； ②方程﹣6x+3＝0与3x﹣6＝0互为“轮换方程”，故②正确； ③方程﹣11x﹣1＝0与x﹣11＝0不互为“轮换方程”，故③错误． 故答案为：①②． （2）∵关于x的方程5x+m+3＝0与方程4x+n﹣2＝0互为“轮换方程”， ∴， 解得：， ∴mn＝17＝1． （3）关于x的方程5x﹣p＝0的“轮换方程”为：﹣px+5＝0， 由方程5x﹣p＝0得：， 由方程﹣px+5＝0得：， ∵关于x的方程5x﹣p＝0与其“轮换方程”的解都是整数，p也为整数， ∴p＝5或﹣5， ＝6x2﹣2kx+8﹣6x2+3x﹣2k ＝（3﹣2k）x+8﹣2k， ∵多项式A＝6x2﹣2kx+8和，不论x取多少，A与B的和始终等于整数p， ∴， 解得：， 综上分析可知，常数p的值为5． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解一元一次方程，整式加减运算，能够正确理解概念是解题的关键． 43．（2025春•仁寿县期中）已知关于x的方程3a﹣x3． （1）若x＝2，求代数式a2﹣2a+1的值． （2）已知关于x的方程的解比方程3a﹣x3的解小3，试求a的值． 【分析】（1）把x＝2代入方程3a﹣x3求出a的值，再把a的值代入代数式进可得出结论； （2）先用a分别表示出两方程的解集，再根据方程的解比方程3a﹣x3的解小3可列出关于a的方程，求出a的值即可． 【解答】解：（1）∵x＝2， ∴3a﹣2＝1+3，解得a＝2， ∴a2﹣2a+1＝22﹣4+1＝1； （2）解方程得，x＝5a，解方程3a﹣x3得，x＝2a﹣2， ∵方程的解比方程3a﹣x3的解小3， ∴5a+3＝2a﹣2，解得a． 【点评】本题考查的是一元一次方程的解，熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解答此题的关键． 44．（2024秋•望城区期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解． 【分析】（1）先算出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义，求出m的值； （2）根据已知条件建立关于n的方程，再求解； （3）根据“美好方程”的定义，求出x+1＝0的解为x＝﹣2024，再求得方程x+3＝2x+k的解为x＝2025，然后将关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1变形为（y+1）+3＝2（y+1）+k，则y+1＝x＝2025，从而求解． 【解答】解：（1）∵3x+m＝0， ∴x， ∵4x﹣2＝x+10， ∴x＝4， ∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”， ∴41， ∴m＝9， 故答案为：9． （2）∵“美好方程”的两个解之和为1， ∴另一个方程的解为1﹣n， ∵两个解的差为8， ∴n﹣（1﹣n）＝8或1﹣n﹣n＝8， ∴n或n， 故答案为：或． （3）∵x+1＝0， ∴x＝﹣2024， ∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”， ∴方程x+3＝2x+k的解为：x＝1﹣（﹣2024）＝2025， ∵关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1可化为（y+1）+3＝2（y+1）+k， ∴y+1＝x＝2025， ∴y＝2024． 故答案为：y＝2024． 【点评】本题考查的是一元一次方程的解，解题的关键是利用“美好方程”的定义找出方程解的关系． 随堂检测 · 精选练习 练习1：一元一次方程的定义 练习2：等式的性质 练习3：一元一次方程的解（整体代入）练习4：一元一次方程的解（参数）练习5：解一元一次方程（整数解）练习6：新定义运算练习7：解一元一次方程（去括号）练习8：解一元一次方程（去分母）练习9：一元一次方程的解（错解复原） 【练习1】（2026春•张店区期中）已知（m+1）x|m|+2＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为　1　 ． 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为1且系数不为0，据此列出关于m的条件并求解． 【解答】解：由条件可知|m|＝1且m+1≠0， 解m＝1或m＝﹣1， 当m＝﹣1时，m+1＝0，不符合条件， 当m＝1时，m+1＝2≠0，符合条件， 故m的值为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是根据定义确定未知数的指数和系数的限制条件． 【练习2】（2026春•安溪县校级期中）已知x＝y，则﹣2x+3　＝　 ﹣2y+3（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立，据此即可求得答案． 【解答】解：已知x＝y， 两边同时乘以﹣2得﹣2x＝﹣2y， 两边同时加上3得﹣2x+3＝﹣2y+3， 故答案为：＝． 【点评】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键． 【练习3】（2026春•璧山区校级期中）若关于x的一元一次方程a（x+1）+b＝2x+c+2的解为x＝1，则关于y的一元一次方程ay+b＝2y+c的解为y＝　2　 ． 【分析】利用整体思想，可得出关于（x+1）的一元一次方程a（x+1）+b＝2（x+1）+c的解为x+1＝2，进而可得出关于y的一元一次方程ay+b＝2y+c的解为y＝2． 【解答】解：∵关于x的一元一次方程a（x+1）+b＝2x+c+2的解为x＝1， ∴关于（x+1）的一元一次方程a（x+1）+b＝2（x+1）+c的解为x+1＝2， ∴关于y的一元一次方程ay+b＝2y+c的解为y＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用整体思想，找出关于（x+1）的一元一次方程a（x+1）+b＝2（x+1）+c的解为x+1＝2是解题的关键． 【练习4】（2026春•瑞安市期中）关于x的方程3a＝x﹣3的解是x＝b，若a＝b+1，则x＝　﹣3　 ． 【分析】根据一元一次方程的解的定义把x＝b代入关于x的方程3a＝x﹣3中得到3a＝b﹣3，再将a＝b+1代入得到关于b的方程，求解即可． 【解答】解：把x＝b代入关于x的方程3a＝x﹣3中，得3a＝b﹣3， ∵a＝b+1， ∴3（b+1）＝b﹣3， ∴b＝﹣3， ∴x＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【练习5】（2026春•周村区校级期中）已知关于x的方程的解为负整数，则整数m的所有可能取值的和为　﹣10　 ． 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意确定m的值，将它们相加并计算即可． 【解答】解：已知关于x的方程， 去分母得：mx﹣1＝2x+9， 整理得：（m﹣2）x＝10， ∵原方程的解为负整数， ∴m﹣2＝﹣1或﹣2或﹣5或﹣10， 解得：m＝1或0或﹣3或﹣8， 则1+0﹣3﹣8＝﹣10， 故答案为：﹣10． 【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【练习6】（2026春•张店区期中）定义一种新的运算“*”：a*b＝ab﹣a+b，例如：3*1＝3×1﹣3+1＝1．若m*3＝2*m，则m＝　5　 ． 【分析】根据题目中新运算，进行解答，即可． 【解答】解：∵a*b＝ab﹣a+b， ∴m*3＝3m﹣m+3＝2m+3，2*m＝2m﹣2+m＝3m﹣2， ∴m*3＝2*m＝2m+3＝3m﹣2， 解得：m＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查新定义运算，解一元一次方程，解题的关键理解题意． 【练习7】（2024秋•龙沙区期末）解方程 （1）8（2x﹣4）＝4﹣6（4﹣x） （2）x2． 【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）去括号得：16x﹣32＝4﹣24+6x， 移项合并得：10x＝12， 解得：x＝1.2； （2）去分母得：6x﹣3x+3＝12+2x+4， 移项合并得：x＝13． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【练习8】（2026春•江津区期中）定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣3b，比如：1⊕（﹣3）＝2×1﹣3×（﹣3）＝11． （1）求4⊕（﹣3）的值； （2）若（3x﹣2）⊕（x+1）＝5，求x的值． （3）若关于x的方程2⊕（kx﹣1）＝﹣11的解为正整数，求整数k的值． 【分析】（1）根据定义得到4⊕（﹣3）＝2×4﹣3×（﹣3），即可得到答案； （2）根据定义得到（3x﹣2）⊕（x+1）＝2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝5，解一元一次方程即可得到答案； （3）2⊕（kx﹣1）＝2×2﹣3×（kx﹣1）＝﹣11，根据解为正整数且k为整数即可求出答案． 【解答】解：（1）根据定义可知： 4⊕（﹣3）＝2×4﹣3×（﹣3）＝8+9＝17； （2）根据定义得： （3x﹣2）⊕（x+1）＝2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝6x﹣4﹣3x﹣3＝3x﹣7＝5， 解得x＝4； （3）根据定义得： 2⊕（kx﹣1）＝2×2﹣3×（kx﹣1）＝4﹣3kx+3＝﹣11， ∴﹣3kx＝﹣18， ∴kx＝6， 由x为正整数，且k为整数可知， 故当k＝1时，x＝6； 当k＝2时，x＝3； 当k＝3时，x＝2； 当k＝6时，x＝1； 故整数k的值为1，2，3，6． 【点评】本题考查了一元一次方程的解、有理数的混合运算，熟练掌握以上知识点是关键． 【练习9】（2026春•张店区期中）小芳同学在解关于x的一元一次方程时，误将x﹣a抄成x+a，求得方程的解为x＝2，请帮小芳求出原方程正确的解． （1）求a的值； （2）求方程正确的解． 【分析】（1）根据解的定义，把x＝2代入误抄后的方程即可求出a的值； （2）把a的值代入原方程，然后解方程即可． 【解答】解：（1）依题意可知方程的解为x＝2． 把x＝2代入得． ∴， ∴2+a＝4， ∴a＝2； （2）把a＝2代入，可得原方程为． 去分母得3（x﹣2）﹣6＝2（x+1）． 去括号得3x﹣6﹣6＝2x+2． 移项得3x﹣2x＝2+6+6． 合并同类项得x＝14． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：解一元一次方程（去分母）作业2：新定义运算作业3：等式的性质（天平平衡）作业4：一元一次方程的解（错解复原）作业5：解一元一次方程（综合）作业6："和解方程"新定义作业7：数轴折叠与方程应用 ❤ 复习建议 夯实基础：熟记等式的两条性质，特别是性质2中"除以同一个不为0的数"这一前提，避免因忽略条件而出错。 规范步骤：解一元一次方程时，严格按照"去分母→去括号→移项→合并→系数化为1"的顺序，每一步都要检查，特别是去分母时不要漏乘常数项。 强化检验：求出方程的解后，养成代入原方程检验的习惯，既能验证正确性，也能加深对"解"的理解。 关注创新：新定义运算、"轮换方程""美好方程"等题型，关键是将陌生情境转化为熟悉的方程模型，多练习此类题目的"翻译"能力。 易错专项：针对"移项变号""去括号变号""系数为0的特殊情况"等易错点，进行专项训练，减少非智力因素失分 【作业1】（2025秋•和田地区期末）下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得5（x﹣1）﹣2x＝1 B．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括号得3﹣x＝2﹣5x﹣1 C．方程，系数化为1得t＝1 D．方程3x﹣2＝2x+1，移项得3x﹣2x＝1+2 【分析】根据求解一元一次方程的方法和步骤逐项分析，即可得到答案． 【解答】解：∵方程，去分母得：5（x﹣1）﹣2x＝10， ∴选项 A不符合题意； ∵方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括号得3﹣x＝2﹣5x+5， ∴选项B不符合题意； ∵方程，系数化为1得， ∴选项C不符合题意； ∵方程3x﹣2＝2x+1，移项得3x﹣2x＝1+2， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解法，从而完成求解． 【作业2】（2026春•招远市期中）定义运算“☆”，其规则为，则方程（3☆5）☆x＝6的解为x 　 ． ，则方程（3☆5）☆x＝6的解为x　 ． 【分析】先算3☆5，然后列得关于x的一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：3☆5， ∵（3☆5）☆x＝6， ∴☆x＝6， ∴6， 解得：x， 故答案为：x． 【点评】本题考查解一元一次方程，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 【作业3】（2026春•海淀区校级期中）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据题意，可设1个球的重量为x，1个圆柱的重量为y，一个正方体的重量为z，由题意可得：2x＝5y①，2z＝3y②，由①可得：，把y代入②，得，由此可得：，求3x即可得出答案． 【解答】解：设1个球的重量为x，1个圆柱的重量为y，一个正方体的重量为z， 由题意可得：2x＝5y①，2z＝3y②， 由①可得：， 把y代入②，得， ∴， ∴， ∴天平右侧放5个小正方体． 故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 【作业4】（2026春•牟平区期中）小强在解方程“﹣3x﹣1＝2x+k”时，将“﹣3x”中的“﹣”抄漏了，得出x＝4，则原方程正确的解是（　　）x﹣1＝2x+k”时，将“﹣3x”中的“﹣”抄漏了，得出x＝4，则原方程正确的解是（　　） A． B． C． D．x＝4 【分析】把x＝4代入方程3x﹣1＝2x+k求出k的值，确定出正确的方程，求出解即可． 【解答】解：由条件可知：3×4﹣1＝2×4+k， 解得k＝3， 原方程为：﹣3x﹣1＝2x+3， 解这个方程，得． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出k的值是解此题的关键． 【作业5】（2024秋•阳谷县期末）解方程： （1）1﹣2（2x+3）＝﹣3（2x+1）； （2）1． 【分析】（1）方程去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）去括号得：1﹣4x﹣6＝﹣6x﹣3， 移项合并得：2x＝2， 解得：x＝1； （2）去分母得：8x+4﹣5x+7＝10， 移项合并得：3x＝﹣1， 解得：x． 【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解． 【作业6】（2025秋•兰州期末）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：2x＝﹣4的解为﹣2，且﹣2＝﹣4+2，则该方程2x＝﹣4是和解方程． 请根据上面规定解答下列问题： （1）判断3x＝4.5是否是和解方程； （2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是和解方程，求m的值． 【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）根据和解方程得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）∵3x＝4.5， ∴x＝1.5， ∵4.5+3≠1.5， ∴3x＝4.5不是和解方程； （2）∵关于x的一元一次方程5x＝m+1是和解方程， ∴m+1+5， 解得：m． 故m的值为． 【点评】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键． 【作业7】（2024秋•清江浦区校级月考）如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数﹣1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题： （1）表示数﹣2的点与表示数 　6　 的点重合；表示数7的点与表示数 　﹣3　 的点重合． （2）若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间的距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是 　﹣4　 ；点B表示的数是 　8　 ； （3）已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2022，求点M表示的数是多少？ 【分析】（1）先判断出表示数﹣1的点与表示数5的点关于表示数2的点对称，即可得出结论； （2）先判断出点A和点B到表示数2的点的距离为6，即可得出结论； （3）分点M在点A的左边和在点B的右侧，用距离之和为2020建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：（1）由折叠知，表示数﹣1的点与表示数5的点关于表示数2的点对称， ∴表示数﹣2的点与表示数6的点关于表示数2的点对称， 表示数7的点与表示数﹣3的点关于表示数2的点对称， 故答案为：6，﹣3； （2）∵折叠后点A与点B重合， ∴点A和点B关于表示数2的点对称， ∵A，B两点之间距离为12， ∴点A和点B到表示数2的点的距离都为12＝6， ∴点A表示的数为2﹣6＝﹣4，点B表示的数为2+6＝8， 故答案为：﹣4，8； （3）如图，由（2）知，点A表示的数为﹣4，点B表示的数为8， 设点M表示的数为m， ①当点M在点A左侧时，m＜0， ∴（MO+BO）+（MO﹣AO）＝2022， ∴（﹣m+8）+（﹣m﹣4）＝2022， ∴m＝﹣1009， ②当点M在点B的右侧时，m＞0， ∴（MO+BO）+MO﹣AO）＝2022， ∴（m﹣8）+（m+4）＝2022， ∴m＝1013， 即点M表示的数为1013或﹣1009． 【点评】此题主要考查了折叠的性质，一元一次方程的解法，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 一元一次方程及其解法（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 六年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解等式的两条基本性质，并能熟练运用它们对等式进行变形。 · 掌握一元一次方程的定义，能够准确判断一个方程是否为一元一次方程。 · 理解一元一次方程解的概念，会检验一个数是否为方程的解，并能利用解的条件求参数。 · 掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），并能准确求解。 · 能够运用一元一次方程解决简单的实际问题，并理解"轮换方程""美好方程"等创新定义。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 等式的性质 · 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立。 即 若 a = b，则 a ± c = b ± c。 · 性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 即 若 a = b，则 ac = bc；若 a = b 且 c ≠ 0，则 a⁄c = b⁄c。 · 易错提醒：等式性质2中，除以的数不能为0；性质1中"同一个数"包括字母表示的式子。 📘 典型例题 1  下列根据等式的性质进行变形，正确的是（  ） A. 若 x = y，则 x + 2 = y − 2    B. 若 m − x = n + x，则 m = n C. 若 mx = my，则 x = y    D. 若  = ，则 x = y 【解析】 A选项：等式两边应同时加2，得 x + 2 = y + 2，故A错；B选项：若 m − x = n + x，移项得 m − n = 2x，不能推出 m = n，故B错；C选项：当 m = 0 时，不能推出 x = y，故C错；D选项：等式两边同时乘3，得 x = y，正确。故选 D。 ☆ 2. 一元一次方程的定义 · 定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 · 一般形式：ax + b = 0（a ≠ 0，a、b为常数）。 · 判定要点：① 只含一个未知数；② 未知数次数为1；③ 是整式方程（分母中不含未知数）。 📘 典型例题 2  下列是一元一次方程的是（  ） A. 2x − 1    B. x2 + 1 = 2x    C. 2x − y = 1    D. x −  = 2x 【解析】 A选项不是等式；B选项未知数次数为2；C选项含有两个未知数；D选项符合一元一次方程的定义（分母中不含未知数，化简后为 x − 1 = 6x）。故选 D。 ☆ 3. 一元一次方程的解 · 定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 · 检验方法：将未知数的值代入方程左右两边，若两边相等，则是方程的解。 · 重要结论：若 x = a 是方程 f(x) = 0 的解，则 f(a) = 0。 📘 典型例题 3  已知关于 x 的方程 2x + a − 5 = 0 的解是 x = 3，则 a 的值为（  ） A. 1    B. −1    C. 11    D. −11 【解析】 把 x = 3 代入方程：2×3 + a − 5 = 0，即 6 + a − 5 = 0，得 a = −1。故选 B。 ☆ 4. 解一元一次方程 · 基本步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1。 · 去分母：方程两边同时乘以各分母的最小公倍数（注意常数项也要乘）。 · 去括号：利用乘法分配律，注意括号前是负号时要变号。 · 移项：把含有未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号。 · 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数（系数不为0）。 📘 典型例题 4  解方程： − 1 −  = 1。 【解析】 去分母（两边乘12）： 去括号： 移项合并：，得 ，故  📊 知识总结表 核心概念 定义/内容 注意事项 等式的性质 性质1：两边同加（减）同一个数； 性质2：两边同乘（除以）同一个不为0的数。 除以的数不能为0；移项要变号。 一元一次方程 只含一个未知数，未知数次数为1，整式方程。 分母中不能含未知数；系数不为0。 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值。 代入检验是验证解的唯一方法。 解方程步骤 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并 → 系数化为1。 去分母时每一项都要乘；移项要变号。 创新题型 新定义运算、轮换方程、美好方程等。 理解定义，将新问题转化为常规方程。 核心考点 ·5大典型考点精讲 【考点1】等式的性质（第1−12题） ※方法总结 · 判断等式变形是否正确，先看变形的依据是性质1还是性质2。 · 性质1：加减同一个数（或式子），注意"同一个"的含义。 · 性质2：乘除同一个数（或式子），注意除数不能为0。 · 当字母（如 m）作为系数时，要考虑 m = 0 的特殊情况。 1．（2026春•泉港区月考）下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（　　） A．若x＝y，则x+2＝y﹣2 B．若m﹣x＝n+x，则m＝n C．若mx＝my，则x＝y D．若，则x＝y 2．（2026春•晋江市期中）下列等式变形正确的是（　　） A．若，则 B．若3（x﹣1）＝10，则3x﹣1＝10 C．若2x﹣3＝x+8，则2x﹣x＝8﹣3 D．若，则3x﹣1＝﹣1 3．（2025秋•巢湖市期末）下列等式的变形中，不一定正确的是（　　） A．如果ac2＝bc2，那么a＝b B．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b C．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c D．如果a（c2+1）＝b（c2+1），那么a＝b 4．（2025秋•大理州期末）下列运用等式的性质，变形不正确的是（　　） A．若x＝y，则x+5＝y+5 B．若a＝b，则ac＝bc C．若，则a＝b D．若x＝y，则 5．（2025秋•翁牛特旗期末）下列等式变形正确的是（　　） A．若a＝b，则a﹣3＝3﹣b B．若x＝y，则 C．若a＝b，则ac＝bc D．若，则b＝d 6．（2025秋•张家口期末）已知等式ax+c＝ay+c，则下列等式不一定成立的是（　　） A．ax＝ay B．x＝y C．m﹣ax＝m﹣ay D．2ax＝2ay 7．（2026春•同步）使得等式成立的m的取值范围为（　　） A．m＝0 B．m＝1 C．m＝0或m＝1 D．m≠0 8．（2026•拱墅区一模）若x＝y，则（　　） A．x+3＝y﹣3 B．2x+2y＝0 C．﹣3x＝3y D． 9．（2026春•莱州市期中）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，应该在天平右边放置（　　）个■． A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2026春•伊川县期中）下列变形中，不正确的是（　　） A．若a﹣2＝b﹣2，则a＝b B．若，则a＝b C．若am＝bm，则a＝b D．若a＝b，则 11．（2025秋•吴兴区期末）解方程时，去分母后正确的是（　　） A．2（3x﹣1）＝1﹣4x﹣1 B．2（3x﹣1）＝1﹣4x+1 C．2（3x﹣1）＝6﹣4x﹣1 D．2（3x﹣1）＝6﹣4x+1 12．（2025秋•临高县期末）若a＝b，m是任意实数，则下列等式不一定成立的是（　　） A．a+m＝b+m B．a﹣m＝b﹣m C．am＝bm D． 【考点2】一元一次方程的定义（第13−20题） ※方法总结 · 判定一元一次方程的三要素：① 一个未知数；② 次数为1；③ 整式方程。 · 若方程为 ax|m| + b = 0 的形式，则需满足 |m| = 1 且 a ≠ 0。 · 注意区分"方程"与"代数式""不等式"。 13．（2026春•汝阳县期中）下列是一元一次方程的是（　　） A．2x﹣1 B．x2+1＝2x C．2x﹣y＝1 D． 14．（2026春•晋江市期中）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A．x+3＝0 B．x+y＝﹣2 C． D．x2﹣1＝0 15．（2026春•洛宁县期中）若关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|+3＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．2 B．0 C．2或0 D．1 16．（2025秋•大理州期末）若（m﹣1）x|m|+5＝0是一元一次方程，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定 17．（2025秋•淮北期末）在①x﹣2；②2﹣x＝y﹣5；③x﹣5＝3；④x＝2x+10；⑤x﹣4＞1中，一元一次方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（2025秋•宜州区期末）若mx+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是　 　 ． 19．（2014春•同步）已知方程ax2+bx+c＝0．当a、b、c分别为何值时，此方程为一元一次方程？ 20．（2025秋•平利县期末）已知A＝ax2﹣3xy+9x（a为常数），B＝﹣2x2﹣bxy+4（b为常数），且代数式M＝2A﹣3B． （1）若a＝﹣3，b＝1，化简代数式M； （2）当（a﹣1）x2+x﹣b+3+2＝0是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 【考点3】一元一次方程的解（第21−28题） ※方法总结 · 已知解求参数：将解代入方程，得到关于参数的方程，再求解。 · 已知方程的解满足某种条件（如正整数解），先解出含参数的解，再根据条件确定参数。 · 整体代入思想：如已知 x = a 是方程的解，则 f(a) = 0，可整体变形求值。 21．（2026春•莱西市期中）已知关于x的方程2x+a﹣5＝0的解是x＝3，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．11 D．﹣11 22．（2025秋•金牛区期末）若关于x的一元一次方程2mx+5﹣n＝0的解为x＝1，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．2 23．（2026春•莱山区期中）小明在解关于x的方程，由于在去分母的过程中等号右边的﹣1漏乘6，所以得到方程的解为x＝﹣2．则原方程的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝﹣7 C．x＝1 D．x＝7 24．（2025秋•平桥区期末）已知关于x的一元一次方程3＝2025x﹣m的解是x＝20，那么关于y的一元一次方程3＝2025（4+y）﹣m的解是（　　） A．21 B．﹣20 C．16 D．24 25．（2026春•鲤城区校级期中）若x＝3是方程a﹣bx＝4的解，则2a﹣6b+2018值为（　　） A．2010 B．2026 C．2045 D．2029 26．（2026春•宜阳县期中）x＝3是下列方程（　　）的解． A．2x﹣1＝3 B． C． D．2x﹣（3x﹣2）＝0 27．（2026春•公主岭市期中）如果x＝﹣2是关于x的方程ax+b＝5﹣2x的解，那么3﹣4a+2b的值为（　　） A．1 B．﹣15 C．21 D．5 28．（2025秋•台江区期末）已知关于x的方程1的解为正整数，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点4】解一元一次方程（第29−39题） ※方法总结 · 严格按照"去分母→去括号→移项→合并→系数化为1"的顺序操作。 · 去分母时，每一项都要乘以最小公倍数，包括常数项。 · 去括号时，注意括号前的符号，负号要变号。 · 移项时，从等号一边移到另一边要变号。 · 系数化为1时，如果系数是分数，可以乘以它的倒数。 29．（2026春•桓台县期中）若代数式x﹣1与﹣2x的值互为相反数，则x＝　 　 ． 30．（2026春•宁阳县期中）某同学在解关于x的方程ax﹣2＝3时，把“﹣2”看成了“+2”，解得x＝1，则方程的正确解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣5 D．x＝5 31．（2025秋•海淀区校级期末）下列方程的变形中，正确的是（　　） A．若3x＝2x﹣1，则3x+2x＝1 B．若2﹣（x﹣1）＝5，则2﹣x﹣1＝5 C．若4x＝2，则x＝﹣2 D．若，则5（x﹣1）﹣2x＝10 32．（2026春•张店区期中）某同学解方程4x﹣3＝□x+1时，把“□”处的系数看错了，解得x＝4，他把“□”处的系数看成了（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 33．（2026春•海阳市期中）下面解一元一次方程2（x+3）＝5x的步骤中，依据“等式的性质”变形的是（　　） （1）2（x+3）＝5x2x+6＝5x； （2）2x+6＝5x6＝5x﹣2x； （3）6＝5x﹣2x6＝3x； （4）6＝3xx＝2． A．第①步和第②步 B．第①步和第③步 C．第②步和第④步 D．第③步和第④步 34．（2026春•芝罘区期中）新定义一种运算：a△b＝2a﹣3b，并且规定“有括号要先算括号里边的”．例如：3△4＝2×3﹣3×4＝﹣6．若2△（2△x）＝﹣35，则x的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4 35．（2026春•宜阳县期中）若代数式4x﹣5比3x+6的值小1，则x的值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 36．（2026春•永春县期中）方程，变形正确的是（　　） A．3（x+1）﹣4（1﹣x）＝1 B．3（x+1）﹣4（1﹣x）＝12 C．4（x+1）﹣3（1﹣x）＝1 D．4（x+1）﹣3（1﹣x）＝12 37．（2025秋•平山县期末）在关于x的一元一次方程中，m是正整数．对下面两个说法判断正确的是（　　） 甲：当m＝4时，方程的解为； 乙：若方程有正整数解，则m＝2． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 38．（2025秋•金山区校级期末）下列四组变形属于移项的是（　　） A．由，得x﹣2＝12 B．由2x＝3，得 C．由4x＝2x﹣3，得4x﹣2x＝﹣3 D．由3y﹣y+2＝3，得2y+2＝3 39．（2025秋•武汉期末）解下列方程： （1）3x+5＝4x+1 （2）． 【考点5】创新及压轴题（第40−44题） ※方法总结 · 新定义运算：按照定义将新运算转化为常规的代数式或方程。 · "轮换方程"：若 ax + b = 0 与 bx + a = 0 互为轮换，则系数互换，利用对应系数相等列方程。 · "美好方程"：两方程的解之和为1，设一个解为 t，另一个为 1 − t，代入求解。 · 注意整数解、正整数解等条件限制，需结合整除性分析。 40．（2025秋•成都校级期末）“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（2△3）＝3，则x＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 41．（2025秋•大渡口区校级期末）定义新的运算：对于任意的有理数a，b，都有，a⊕，如a＝3，b＝1时，，a．下列说法： ①若b＝0，则； ②若（﹣x+4x）⊗1＝（6﹣x）⊕4，则； ③若a＝6，则|a⊗b|+|a⊕b|的最小值为7． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 42．（2025秋•苏州校级期末）综合与实践： 定义：我们称关于x的方程ax+b＝0与方程bx+a＝0（a、b均为不等于0的常数）互为“轮换方程”，如：方程2x+4＝0与方程4x+2＝0互为“轮换方程”． （1）判断：①3x+7＝0与7x+3＝0；②﹣6x+3＝0与3x﹣6＝0；③﹣11x﹣1＝0与x﹣11＝0；其中互为“轮换方程”的有 　 　 ；（填写序号） （2）若关于x的方程5x+m+3＝0与方程4x+n﹣2＝0互为“轮换方程”，求mn的值； （3）若关于x的方程5x﹣p＝0与其“轮换方程”的解都是整数，p也为整数，对于多项式A＝6x2﹣2kx+8和，不论x取多少，A与B的和始终等于整数p，求常数p的值． 43．（2025春•仁寿县期中）已知关于x的方程3a﹣x3． （1）若x＝2，求代数式a2﹣2a+1的值． （2）已知关于x的方程的解比方程3a﹣x3的解小3，试求a的值． 44．（2024秋•望城区期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”． （1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解． 随堂检测 · 精选练习 练习1：一元一次方程的定义 练习2：等式的性质 练习3：一元一次方程的解（整体代入）练习4：一元一次方程的解（参数）练习5：解一元一次方程（整数解）练习6：新定义运算练习7：解一元一次方程（去括号）练习8：解一元一次方程（去分母）练习9：一元一次方程的解（错解复原） 【练习1】（2026春•张店区期中）已知（m+1）x|m|+2＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为　 　 ． 【练习2】（2026春•安溪县校级期中）已知x＝y，则﹣2x+3　 　 ﹣2y+3（填“＞”“＜”或“＝”）． 【练习3】（2026春•璧山区校级期中）若关于x的一元一次方程a（x+1）+b＝2x+c+2的解为x＝1，则关于y的一元一次方程ay+b＝2y+c的解为y＝　 　 ． 【练习4】（2026春•瑞安市期中）关于x的方程3a＝x﹣3的解是x＝b，若a＝b+1，则x＝　 　 ． 【练习5】（2026春•周村区校级期中）已知关于x的方程的解为负整数，则整数m的所有可能取值的和为　 　 ． 【练习6】（2026春•张店区期中）定义一种新的运算“*”：a*b＝ab﹣a+b，例如：3*1＝3×1﹣3+1＝1．若m*3＝2*m，则m＝　 　 ． 51．（2024秋•龙沙区期末）解方程 （1）8（2x﹣4）＝4﹣6（4﹣x） （2）x2． 【练习7】（2024秋•龙沙区期末）解方程⊕”：a⊕b＝2a﹣3b，比如：1⊕（﹣3）＝2×1﹣3×（﹣3）＝11． （1）求4⊕（﹣3）的值； （2）若（3x﹣2）⊕（x+1）＝5，求x的值． （3）若关于x的方程2⊕（kx﹣1）＝﹣11的解为正整数，求整数k的值． 【练习8】（2026春•江津区期中）定义一种新运算“x的一元一次方程时，误将x﹣a抄成x+a，求得方程的解为x＝2，请帮小芳求出原方程正确的解． 【练习9】（2026春•张店区期中）小芳同学在解关于a的值； （2）求方程正确的解． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：解一元一次方程（去分母）作业2：新定义运算作业3：等式的性质（天平平衡）作业4：一元一次方程的解（错解复原）作业5：解一元一次方程（综合）作业6："和解方程"新定义作业7：数轴折叠与方程应用 ❤ 复习建议 夯实基础：熟记等式的两条性质，特别是性质2中"除以同一个不为0的数"这一前提，避免因忽略条件而出错。 规范步骤：解一元一次方程时，严格按照"去分母→去括号→移项→合并→系数化为1"的顺序，每一步都要检查，特别是去分母时不要漏乘常数项。 强化检验：求出方程的解后，养成代入原方程检验的习惯，既能验证正确性，也能加深对"解"的理解。 关注创新：新定义运算、"轮换方程""美好方程"等题型，关键是将陌生情境转化为熟悉的方程模型，多练习此类题目的"翻译"能力。 易错专项：针对"移项变号""去括号变号""系数为0的特殊情况"等易错点，进行专项训练，减少非智力因素失分 【作业1】（2025秋•和田地区期末）下列方程变形中，正确的是（　　） A．方程，去分母得5（x﹣1）﹣2x＝1 B．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），去括号得3﹣x＝2﹣5x﹣1 C．方程，系数化为1得t＝1 D．方程3x﹣2＝2x+1，移项得3x﹣2x＝1+2 【作业2】（2026春•招远市期中）定义运算“☆”，其规则为，则方程（3☆5）☆x＝6的解为　 　 ． ，则方程（3☆5）☆x＝6的解为　 　 ． 【作业3】（2026春•海淀区校级期中）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【作业4】（2026春•牟平区期中）小强在解方程“﹣3x﹣1＝2x+k”时，将“﹣3x”中的“﹣”抄漏了，得出x＝4，则原方程正确的解是（　　）x﹣1＝2x+k”时，将“﹣3x”中的“﹣”抄漏了，得出x＝4，则原方程正确的解是（　　） A． B． C． D．x＝4 【作业5】（2024秋•阳谷县期末）解方程： （1）1﹣2（2x+3）＝﹣3（2x+1）； （2）1． 【作业6】（2025秋•兰州期末）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：2x＝﹣4的解为﹣2，且﹣2＝﹣4+2，则该方程2x＝﹣4是和解方程． 请根据上面规定解答下列问题： （1）判断3x＝4.5是否是和解方程； （2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是和解方程，求m的值． 【作业7】（2024秋•清江浦区校级月考）如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数﹣1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题： （1）表示数﹣2的点与表示数 　 　 的点重合；表示数7的点与表示数 　 　 的点重合． （2）若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间的距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是 　 　 ；点B表示的数是 　 　 ； （3）已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2022，求点M表示的数是多少？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $