第三章 代数式全章高频重点题型突破（十五大高频+七大重难题型，专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 以“概念-运算-应用-综合”为逻辑主线，通过基础题型夯实代数抽象能力，核心题型强化整体思维与推理意识，形成系统性方法体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|15题型（含代数式概念、整式运算等）|概念辨析、程序流程图转化、化简求值步骤|从代数式定义到整式加减，构建“概念生成-运算规则-基础应用”链条| |核心提升|7题型（含规律探究、整体思维等）|整体代入法、无关型问题系数归零法、数字/图形规律归纳法|从代数推理到几何应用，实现“方法迁移-综合建模-创新应用”进阶|

第三章 代数式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 代数式的相关概念 题型2 代数式的书写方法及实际应用 题型3 已知字母或式子的值，求代数式的值 题型4 程序流程图与代数式求值 题型5 单项式相关概念 题型6 多项式相关概念 题型7 多项式按某个字母升降幂排列 题型8 整式的判断 题型9 合并同类项 题型10 去括号与添括号 题型11 整式的加减运算 题型12 整式加减中的化简求值 题型13 整式加减的无关型问题 题型14 整式加减的实际应用 题型15 带有字库的绝对值化简问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 数字类规律探究 题型2 图形类规律探究 题型3 运用“整体思维”化简整式 题型4 整式化简中的几何无关型问题 题型5 整式加减的应用综合 题型6 带有字母的绝对值化简问题综合 题型7 整式的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 代数式的相关概念 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）下列式子：，，，，32，中，代数式的个数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 2．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）在下列各式中：①；②；③；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列各式：1，，，，，，，其中代数式共有（   ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 ◆题型2 代数式的书写方法及实际应用 4．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（25-26七年级上·福建厦门·期末）国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 ◆题型3 已知字母或式子的值，求代数式的值 7．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏扬州·三模）若，则的值为_____． 9．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． ◆题型4 程序流程图与代数式求值 10．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图所示，在计算机数据运算程序中，若开始输入的的值为2，结果输出的是1，返回进行第2次运算输出的是，第3次运算输出的是．．．，如果输入一个，使得第3次输出结果是1，那么这个可能的值有______个（只填数量，不用求出具体值） 11．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，这是一个数值转换机，根据输出的结果可推断出其转换步骤是（ ） A．先除以，再乘，最后减 B．先减，再乘，最后除以 C．先乘，再除以，最后减 D．先乘，再减，最后除以 12．（25-26七年级上·江苏南通·期中）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵_________；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为_________； ◆题型5 单项式相关概念 13．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）下列各式：，，，，，，，中，是单项式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）下列关于代数式的说法错误的是（   ） A．是单项式 B．系数为 C．次数为2 D．是它的同类项 15．（25-26七年级上·西藏林芝·期末）请你写出一个含字母，的单项式，使它的系数为，次数为，则这个单项式是________． ◆题型6 多项式相关概念 16．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 17．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 单项式集合：{ }； 多项式集合：{ }． 18．（2026·四川广安·二模）若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． ◆题型7 多项式按某个字母升降幂排列 19．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）把多项式按字母的降幂排列是：_____． 20．（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． ◆题型8 整式的判断 22．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列式子，，0，，中，整式有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（   ） A．和0都是单项式 B．是整式 C．单项式的系数为 D．多项式的次数是3 24．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． ◆题型9 合并同类项 25．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）合并同类项： (1) (2) 26．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）合并同类项： (1)； (2)． 27．（25-26七年级上·江苏常州·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型10 去括号与添括号 28．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 30．（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． ◆题型11 整式的加减运算 31．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，． (1)化简． (2)当，求的值． 32．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）化简 (1) (2) 33．（25-26七年级上·广东茂名·期中）已知：，． (1)计算的值； (2)若单项式与是同类项，求的值． ◆题型12 整式加减中的化简求值 34．（25-26七年级上·河南焦作·期中）先化简，再求值：，其中． 35．（25-26七年级上·江苏南通·期末）先化简，再求值：，其中，． 36．（25-26七年级上·四川眉山·阶段检测）先化简后求值：，已知． ◆题型13 整式加减的无关型问题 37．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）已知关于，的代数式中不含有项，则代数式______． 38．（25-26七年级上·江苏·期中）已知 ，． (1)求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值； (3)在（2）的条件下，求代数式的值． 39．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a为字母，b为常数，且的值与字母a的取值无关，求常数b的值． ◆题型14 整式加减的实际应用 40．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时（其中）． (1)两船相距多远?（结果化为最简） (2)后甲船比乙船多航行多少千米?（结果化为最简） 41．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是_______ ． 42．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，若（2）图的长方形面积时，则（1）图中长方形的面积为______． ◆题型15 带有字库的绝对值化简问题 43．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 44．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，化简：的结果为______． 45．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，且，求_______． ◆题型1 数字类规律探究 46．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，再计算得以此类推，___． 47．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）定义一种运算：，其中k是正整数，且，例如，．若，则的值为_____ ． 48．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式（按a降幂排列，b反之）的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． 在展开式中，若a的四次项系数是15，则n的值为______． ◆题型2 图形类规律探究 49．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）分形理论是由美籍数学家本华·曼德博在1975年创立的，它是研究分形性质及其应用的科学，如图，这是分形的一种，第1个图案有2个三角形；第2个图案有4个三角形；第3个图案有8个三角形；第4个图案有16个三角形……则第6个图案中三角形的个数是______． 50．（25-26七年级上·山东德州·期中）在求的值时，发现，，…，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则___________． 51．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在一个面积为1的等边三角形中，连接三条边中点得到4个相同的三角形，将中间的三角形涂成黑色，记为第1次操作；再对其余3个三角形进行同样的操作，记为第2次操作；按照上述规律继续操作，若经过次操作后，该等边三角形中白色三角形的面积之和________（用含的代数式表示）． ◆题型3 运用“整体思维”化简整式 52．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 53．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 54．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)若，则______； (3)已知，，求的值； (4)已知，，则=______． ◆题型4 整式化简中的几何无关型问题 55．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 56．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)请用含的代数式表示下面的问题： 大长方形的长___________； 阴影的周长___________． (2)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 57．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． ◆题型5 整式加减的应用综合 58．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 59．（2026七年级上·江苏淮安·专题练习）水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨，已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表： 到C工地 到D工地 A仓库 每吨15元 每吨12元 B仓库 每吨10元 每吨9元 (1)若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为______吨，从B仓库运到D工地的水泥为_____吨； (2)求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含的代数式表示并化简）； (3)如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？ 60．（25-26七年级上·江苏南通·期末）港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥．一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和．请根据这些数据回答下列问题： 港珠澳大桥主体工程示意图 (1)直接写出汽车在主桥上行驶的路程为______；（用含t的代数式表示） (2)如果汽车通过海底隧道需要，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的倍，请用含a的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长； (3)如果汽车通过主桥需要，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少，请用含b的代数式表示主桥与海底隧道的长度差． ◆题型6 带有字母的绝对值化简问题综合 61．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 62．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）有理数、满足，记代数式的最大值为，最小值为，则的值为______． 63．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）若，，且a，b，c是非零有理数，则 ___________ ◆题型7 整式的新定义问题 64．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：若，则称x与y是关于m的相关数． (1)若5与a是关于2的相关数，则 ． (2)若A与B是关于m的相关数，，B的值与m无关，求n的值． 65．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）定义：在数轴上点M所表示的数是m，点所表示的数是，则称点是点M的“伴随点”．已知点是点的伴随点，点是点的伴随点，点是点的伴随点…，以此类推，若点所表示的数为4，则点所表示的数为（   ）． A．4 B． C． D． 66．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称与是关于4的友谊数． (1)与______是关于4的友谊数，______与是关于4的友谊数；（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于4的友谊数，并说明理由； (3)若，，且与是关于4的友谊数，求的值． 1．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025九年级·江苏无锡·竞赛）有一列数：，，…，，从第2个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则式子的值为（    ） A．10 B． C．－11 D．－6 5．（25-26七年级下·浙江金华·开学考试）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，若在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，深色区域是空下来的地方，若已知大长方形的长比宽多4厘米，图（1）比图（2）中深色的区域的周长大（   ） A．8 B．4 C．2 D．6 6．（25-26七年级下·北京·单元测试）若关于x的方程，则代数式的值是_________． 7．（2026·河南·二模）观察代数式，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为________． 8．（2026·山西运城·一模）将形状、大小完全相同的小圆点“•”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中小圆点的个数为___________． 9．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是74．若，则第2025次经运算的结果是___________． 10．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 11．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）化简： (1) (2) 12．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）观察下列等式： ①；②；③；⋯⋯ 根据你发现的规律解答下列问题： (1)请直接写出第九个等式 ； (2)计算 的值； (3)计算的值． 14．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） 15．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）化简求值：，其中，． 81．（25-26七年级上·江苏常州·期末）某班共有名学生．学号依次为，，，，，，从中选取部分学生参加活动． (1)若选取名学生的学号分别为，，，，，则他们的学号之和是_______（用含的代数式表示）； (2)若选取名学生的学号为连续偶数，判断他们的学号之和是否能被整除，并说明理由． 16．（25-26七年级上·江苏南通·期末）某搬家公司派出一辆货车，其收费包含运输费和搬运费，具体计费标准如下： 运输费 货物容积 起步价（5公里以内） 超出5公里但不超过25公里部分 超出25公里部分 不超过 100元 4元/公里 5元/公里 超出但不超 200元 超出但不超过车辆核定装载量 300元 搬运费 基础搬运费 100元 楼层搬运费 ①通过电梯搬运收40元； ②通过楼梯搬运，1楼不收费，2楼及以上每层收40元； ③搬上楼和搬下楼分开计算． 大件搬运费 30元/每件 注：搬运费由基础搬运费+楼层搬运费+大件搬运费三部分构成 根据以上信息，回答下列问题： (1)将容积为的物品从A处搬到x公里外的B处，若距离超出5公里但不超过25公里时，运输费需要______元；若距离超出25公里时，运输费需要______元（均用含x的代数式表示）： (2)小明准备搬家，从原来的楼梯房1楼搬迁到15公里外的电梯房9楼，搬运总容积为（未超过车辆核定装载量），且有3件大件家具，则搬家总费用为多少？ (3)小红也找了同一家搬家公司进行搬家，从原来的楼梯房3楼搬到了新的电梯房12楼，搬运总容积为，且有5件大件家具，搬家总共花费675元，小红的搬家距离有多远？ 17．（25-26七年级上·江苏·期末）在数学中，数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化；抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，．通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为，进而得到． 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的（是正整数）．类比图1．可以求的值． (1)直接写出的结果为__________（用含的式子表示）； (2)运用（1）发现的结论计算的值； (3)如图3，依次取这个正方形的面积的．类比图2求的值．（结果保留幂的形式） 18．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中． (1)当，时，线段的中点表示的数是______； (2)若数轴上另有一点C表示数． ①若点C在线段上，且，求式子的值； ②点P为线段上一动点，点Q为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求式子的值． 19．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】以下是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： (1) ； (2) ； (3)【简单应用】 ①已知，则 ； ②已知，求 ． (4)【拓展提高】已知，求代数式 的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 代数式的相关概念 题型2 代数式的书写方法及实际应用 题型3 已知字母或式子的值，求代数式的值 题型4 程序流程图与代数式求值 题型5 单项式相关概念 题型6 多项式相关概念 题型7 多项式按某个字母升降幂排列 题型8 整式的判断 题型9 合并同类项 题型10 去括号与添括号 题型11 整式的加减运算 题型12 整式加减中的化简求值 题型13 整式加减的无关型问题 题型14 整式加减的实际应用 题型15 带有字库的绝对值化简问题 核心提升：重难题型归纳 题型1 数字类规律探究 题型2 图形类规律探究 题型3 运用“整体思维”化简整式 题型4 整式化简中的几何无关型问题 题型5 整式加减的应用综合 题型6 带有字母的绝对值化简问题综合 题型7 整式的新定义问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 代数式的相关概念 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）下列式子：，，，，32，中，代数式的个数是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【详解】解：式子，，，，32，符合代数式的定义，是代数式； 式子，是等式，不是代数式． 故代数式有5个． 故选：B． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）在下列各式中：①；②；③；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，用运算符号把数或字母连起来的式子叫代数式，单独的数或字母也是代数式，据此逐项判断即可求解，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是代数式； ②是等式，不是代数式； ③是代数式； ④是不等式，不是代数式； ⑤是代数式； ∴代数式有个， 故选：． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列各式：1，，，，，，，其中代数式共有（   ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查代数式，根据用加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，进行判断即可． 【详解】解：在1，，，，，，中1，，，，是代数式，共5个； 故选B． ◆题型2 代数式的书写方法及实际应用 4．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了代数式规范书写的能力，关键是能准确理解并运用该知识． 代数式书写规则要求数字与字母相乘时数字写在字母前且乘号省略，除法写成分数形式，带分数写为假分数，据此求解即可． 【详解】A中为假分数形式且乘号省略，符合规则； B中乘号未省略且数字未在前，应写为，不符合规则； C中为带分数形式，应写为，不符合规则； D中使用除号，应写为，不符合规则； 故选：A． 5．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的书写，根据书写规则，代数式书写中分数应为假分数而非带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案，掌握代数式的书写规则是解题的关键． 【详解】解： 符合代数式书写要求； 含有除号，应改为，不符合要求； 符合要求； 符合要求； 系数为带分数，应改为，不符合要求， 符合要求的有 、、，共个， 故选：B． 6．（25-26七年级上·福建厦门·期末）国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，核心是列代数式并分析数量关系．解题的关键是根据题意准确列出第二天的游客人数代数式，再通过计算比较两天人数的差值． 先根据题意表示出第二天预约的游客人数，再计算各选项对应的代数式，与“”对比得出答案． 【详解】解：第一天预约游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人 第二天预约游客人数为 第二天比第一天多预约的人数=第二天人数-第一天人数 代数式“”表示第二天比第一天多预约的人数 故选：B． ◆题型3 已知字母或式子的值，求代数式的值 7．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴. 8．（2026·江苏扬州·三模）若，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：， ∴， ． 9．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 【答案】2025 【分析】利用已知条件得到，对所求多项式进行降次变形，再整体代入计算，运用整式的变形和整体代入的思想求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． ◆题型4 程序流程图与代数式求值 10．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图所示，在计算机数据运算程序中，若开始输入的的值为2，结果输出的是1，返回进行第2次运算输出的是，第3次运算输出的是．．．，如果输入一个，使得第3次输出结果是1，那么这个可能的值有______个（只填数量，不用求出具体值） 【答案】3 【分析】本题考查了程序框图与代数式求值，解题的关键是熟练正确理解程序框图运算顺序． 采用倒推的方法分析求解即可． 【详解】解：第3次输出结果是1， 那么第3次输入的为或（舍）， 那么第2次输出的为2， 那么第2次输入的为或， 那么第1次输出的为4或7 那么第1次输入的为或或或（舍）， 所以这个可能的值有个， 故答案为：3． 11．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，这是一个数值转换机，根据输出的结果可推断出其转换步骤是（ ） A．先除以，再乘，最后减 B．先减，再乘，最后除以 C．先乘，再除以，最后减 D．先乘，再减，最后除以 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与求代数式的值，根据代数式中的运算顺序解答即可． 【详解】解：由可知，其转换步骤是先乘，再减，最后除以． 故选D． 12．（25-26七年级上·江苏南通·期中）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵_________；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为_________； 【答案】 7 1572 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据程序流程图代值计算，求出时的熵，根据n为自然数，得到最后结果为1时，一定是，进而推出熵时，输入的所有可能的自然数，再求和即可． 【详解】解：当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算：， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 故自然数3的熵； 当时： 第十次运算时输入为：， 第九次运算时输入为：， 第八次运算时输入为：， 第七次运算时输入为：， 第六次运算时输入为：，或， 第五次运算时输入为：或， 第四次运算时输入为：或或或， 第三次运算时输入为：或或或， 第二次运算时输入为：或或或或或， 第一次运算时输入为：或或或或或， ∴当时，满足题意， ∴； 故答案为：7，1572． ◆题型5 单项式相关概念 13．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）下列各式：，，，，，，，中，是单项式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据单项式定义逐个判断即可，注意是常数不是字母，分母含字母的式子不是单项式，多项式不属于单项式． 【详解】解：根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， ∵ 是数与字母的积，∴是单项式； ∵ 分母含有字母，∴不是单项式； ∵ 展开后为，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式； ∵ 是常数，是常数与字母的积，∴是单项式； ∵ 整理后为，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式； ∵ 分母含有字母，∴不是单项式； ∵ 是常数，是单独的常数，∴是单项式； ∵ 是单独的常数，∴是单项式； 综上，符合要求的单项式共有个． 14．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）下列关于代数式的说法错误的是（   ） A．是单项式 B．系数为 C．次数为2 D．是它的同类项 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式的定义、系数、次数，由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数；如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．逐一分析选项判断正误，即可求解． 【详解】解：∵单项式是由数或字母的积组成的代数式， ∴是单项式，选项A说法正确； ∵单项式的系数是其数字因数， ∴的系数为，选项B说法正确； ∵单项式的次数是所有字母的指数和，的指数为2，的指数为1， ∴次数为，选项C说法错误； ∵同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同的项， ∴与是同类项，选项D说法正确． 故选：C． 15．（25-26七年级上·西藏林芝·期末）请你写出一个含字母，的单项式，使它的系数为，次数为，则这个单项式是________． 【答案】（答案不唯一，也可以是或） 【分析】本题主要考查了单项式的系数与次数的定义，熟练掌握“单项式的系数是数字因数、次数是所有字母的指数之和”是解题的关键． 根据单项式系数（数字因数）和次数（所有字母指数和）的定义，结合系数为、次数为且含、的要求，确定与的指数和为，构造符合条件的单项式． 【详解】解：构造含、，系数为、次数为的单项式：（），或（），或（）． 故答案为：（答案不唯一，也可以是或）． ◆题型6 多项式相关概念 16．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 17．（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． 单项式集合：{ }； 多项式集合：{ }． 【答案】 由题意可得， 单项式集合：{①⑥⑧}； 多项式集合：{②④⑤． 【分析】本题考查了对单项式、多项式定义的理解，掌握相关的定义是解决本题的关键． 根据单项式、多项式的定义逐个选出即可． 【详解】略 18．（2026·四川广安·二模）若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 【答案】或 【分析】本题考查多项式的次数的概念，解题关键是根据多项式次数要求，令高于三次的项系数为，再求解最高次项的次数得到参数的值． 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， 次数为的项的系数必须为，且最高次项的次数为， 可得， 由得， 将代入 得， 即或， 解得或， 当，时，， 当，时，． ◆题型7 多项式按某个字母升降幂排列 19．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）把多项式按字母的降幂排列是：_____． 【答案】 【分析】先确定多项式各项中字母的指数，再按照的指数从大到小的顺序重新排列各项即可. 【详解】解：原多项式的各项分别为，，，， 各项中的指数依次为，，，， 按字母的降幂排列得： 20．（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按x的升幂排列，即按照x的指数从小到大排列多项式各项，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 21．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①；② 【分析】本题主要考查了多项式的次数、项数的定义及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式次数的确定方法（最高次项的次数为多项式的次数）是解题的关键． （1）先确定最小的正整数的值，代入多项式后，根据多项式次数的定义（最高次项的次数）计算次数． （2）①代入，根据八次四项式的定义（最高次项次数为8）列方程求；②根据的次数从高到低重新排列多项式各项． 【详解】（1）解：由题意知，此时原多项式变为， 所以此时多项式的次数为6； （2）解：①时，原多项式变为， 因为该多项式是关于的八次四项式， 所以， 解得； ②由题意得，原多项式为， 则按的降幂重新排列为：． ◆题型8 整式的判断 22．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期末）下列式子，，0，，中，整式有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的概念，解题关键是掌握整式是分母中不含字母的代数式，包括单项式和多项式．根据整式需满足分母中不含字母逐一判断即可． 【详解】解：是多项式，无分母，是整式； 是多项式，无分母，是整式； 是常数，是整式； 分母含字母和，不是整式； 分母是常数，不是字母，是整式； 即整式有4个， 故选：C． 23．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）下列说法中正确的是（   ） A．和0都是单项式 B．是整式 C．单项式的系数为 D．多项式的次数是3 【答案】A 【分析】本题考查代数式的基本概念，熟练掌握单项式、整式、系数和次数的定义是解题关键． 根据单项式、整式、系数和次数的定义逐一判断选项． 【详解】解：A.该选项正确，符合题意； B. 整式是单项式和多项式的统称，分母中不能含有字母，该选项错误，不符合题意； C. 单项式的系数为，该选项错误，不符合题意； D. 多项式的次数是4，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 24．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． 【答案】 单项式：{①⑤⑧…}； 多项式：{②③⑦…}； 三次多项式：{⑦…}； 整式：{①②③⑤⑦⑧…}． 【分析】本题考查了单项式、多项式、三次多项式和整式的定义进行判断；单项式是由数字或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和；三次多项式是多项式中最高次项的次数为3；整式是单项式和多项式的统称，据此求解即可． 【详解】略 ◆题型9 合并同类项 25．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解： ． 26．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先找出同类项，再合并同类项即可； （2）先去括号，再找出同类项，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（25-26七年级上·江苏常州·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）直接合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． ◆题型10 去括号与添括号 28．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，括号前是负号，去括号后括号内各项都改变符号，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项去括号得，，变形正确，不符合题意； B选项去括号得，，变形正确，不符合题意； C选项去括号得，，变形错误，符合题意； D选项去括号得，，变形正确，不符合题意． 29．（25-26六年级上·山东淄博·期末）下列去括号：①；②；③；④．其中正确的共有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号、加法运算律等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据整式的加减运算、去括号、加法运算律逐项判断即可． 【详解】解：①，括号前是负号，去括号后括号内各项变号，故①正确； ②，括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变，故②正确； ③，应用分配律，故③正确； ④，但原式给出，故④错误． 综上，正确的共有3个． 故答案为：3． 30．（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号的法则，解题的关键是掌握去括号法则：括号前是“+”号，去括号后各项符号不变；括号前是“”号，去括号后各项符号改变，同时括号前的系数需乘以括号内的每一项，解答即可． 【详解】解：A、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； B、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； C、，但选项为 ，故此选项错误，不符合题意； D、，与选项一致，故此选项正确，符合题意； 故选：D． ◆题型11 整式的加减运算 31．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，． (1)化简． (2)当，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减运算及求值，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）把A、B代入进行求解即可； （2）先化简，然后整体代入进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由题意得： ； ∵， ∴原式． 32．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟知整式的加减运算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先通分，再把分子去括号后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（25-26七年级上·广东茂名·期中）已知：，． (1)计算的值； (2)若单项式与是同类项，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、同类项的定义，熟练掌握去括号、合并同类项法则及同类项的字母相同且相同字母的指数相等的性质是解题的关键． （1）将和代入，去括号后合并同类项； （2）根据同类项定义列方程求出、的值，再代入（1）的结果计算． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：单项式与是同类项， ， ， ． ◆题型12 整式加减中的化简求值 34．（25-26七年级上·河南焦作·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 35．（25-26七年级上·江苏南通·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减——化简求值，先运用去括号法则去括号，然后合并同类项，化简整式，最后把，代入求值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 36．（25-26七年级上·四川眉山·阶段检测）先化简后求值：，已知． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的加减及其化简求值等知识．先进行整式加减运算，得到，再根据绝对值和平方非负性求出，代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴． ∴原式． ◆题型13 整式加减的无关型问题 37．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）已知关于，的代数式中不含有项，则代数式______． 【答案】 【分析】本题主要考查整式加减运算中无关型问题，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；根据题意，代数式中不含有项，则项的系数之和为零，即，得．代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ∵代数式中不含有项， ∴，即． 则； 故答案为． 38．（25-26七年级上·江苏·期中）已知 ，． (1)求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值； (3)在（2）的条件下，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算的无关型问题，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再去括号，合并同类项，得； （2）结合，又因为的值与x的取值无关，则，再解得，即可作答． （3）先去括号，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）得 ∵与x无关 则， 解得． （3）解： ， 由（2）得， ∴． 39．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，． (1)求的值； (2)若a为字母，b为常数，且的值与字母a的取值无关，求常数b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减． （1）将，代入计算即可； （2）根据（1）中结果结合的值与字母a的取值无关计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， ∵的值与字母的取值无关， ∴， 解得． ◆题型14 整式加减的实际应用 40．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时（其中）． (1)两船相距多远?（结果化为最简） (2)后甲船比乙船多航行多少千米?（结果化为最简） 【答案】(1)200千米 (2)千米 【分析】本题考查了整式的加减的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）先表示出顺水航速和逆水航速，再列式计算即可得解； （2）根据题意列式计算即可得解． 【详解】（1）解：顺水航速船速水速， 逆水航速船速水速． 由．可知，后两船相距． （2）解：由．可知，后甲船比乙船多航行． 41．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，大长方形的长为m，宽为n，将6个完全相同的小长方形如图所示放置（不重叠无缝隙），那么图中的阴影部分的周长之和是_______ ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减法，熟练掌握整式的加减法运算法则，根据图形求周长是解题的关键． 设长方形的长为a，宽为b，根据图形求阴影部分的周长即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， ∴阴影的周长， 故答案为：． 42．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，若（2）图的长方形面积时，则（1）图中长方形的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为，先根据大的长方形的边的长度可得，再求出图（3）中的阴影部分的周长为，图（4）中的阴影部分的周长为，则可得，，然后根据长方形的面积公式可得，由此即可得． 【详解】解：设图（1）中的长方形的长为，宽为，图（2）中的长方形的长为，宽为， ∴大的长方形的边， 图（3）中阴影部分的周长为， 图（4）中阴影部分的周长为， ∵图（3）和图（4）中的阴影部分的周长一样， ∴， ∴，即， 将代入得：， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：4． ◆题型15 带有字库的绝对值化简问题 43．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】先根据数轴以及已知条件得出，再化简绝对值，最后再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 44．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，化简：的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值．结合数轴，先确定a、b、c的大小关系，进而确定，，的符号，再利用绝对值的性质求解． 【详解】解：由图可知：， ，，， ，，， ． 故答案为：． 45．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知，，且，求_______． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的混合运算，化简绝对值． 根据，可知a，b，c中必然是一负两正，不妨设，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b，c中必然是一负两正， 不妨设， 则 ． 故答案为：0． ◆题型1 数字类规律探究 46．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，再计算得以此类推，___． 【答案】26 【分析】分别计算出，，，，，的值，观察规律，再计算即可． 【详解】解：根据题意有， ，， ，， ，， ，， ，， ，， …， 则该数列是以26，65，122这三个数循环出现， ∵， ∴． 47．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）定义一种运算：，其中k是正整数，且，例如，．若，则的值为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，通过计算前若干项的值，归纳出数列的循环规律，再利用规律计算的值. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 同理可得， 数列从开始，每个数为一个循环，依次为， ，即是的整数倍， ． 48．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式（按a降幂排列，b反之）的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． 在展开式中，若a的四次项系数是15，则n的值为______． 【答案】6 【分析】根据公式，求解即可． 【详解】解：由题意得， 故n的值为6． ◆题型2 图形类规律探究 49．（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）分形理论是由美籍数学家本华·曼德博在1975年创立的，它是研究分形性质及其应用的科学，如图，这是分形的一种，第1个图案有2个三角形；第2个图案有4个三角形；第3个图案有8个三角形；第4个图案有16个三角形……则第6个图案中三角形的个数是______． 【答案】64 【分析】本题主要考查图形规律，找出规律是关键． 根据题意，得到图形规律，即第n个图案有个三角形，由此即可求解． 【详解】解：第1个图案有2个三角形，即； 第2个图案有4个三角形，即； 第3个图案有8个三角形，即； 第4个图案有16个三角形，即； ∴第n个图案有个三角形， ∴第6个图案中三角形的个数是， 故答案为：64． 50．（25-26七年级上·山东德州·期中）在求的值时，发现，，…，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则___________． 【答案】19900 【分析】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．根据题意得出，再根据题干提供的信息求出的值即可． 【详解】解：依题意，， ∴ ． 故答案为：19900． 51．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，在一个面积为1的等边三角形中，连接三条边中点得到4个相同的三角形，将中间的三角形涂成黑色，记为第1次操作；再对其余3个三角形进行同样的操作，记为第2次操作；按照上述规律继续操作，若经过次操作后，该等边三角形中白色三角形的面积之和________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是图形与数字的变化类问题，解题关键是读懂题意，找出规律解答．根据题意可知，第次操作后，白色三角形的面积是，第次操作后，白色三角形的面积是，第次操作后，白色三角形的面积是，以此类推寻找规律，即可得出结果． 【详解】由题意可知， 第次操作后，白色三角形的面积是， 第次操作后，白色三角形的面积是， 第次操作后，白色三角形的面积是， ， 第次操作后，白色三角形的面积是， 该等边三角形中白色三角形的面积之和是． 故答案为：． ◆题型3 运用“整体思维”化简整式 52．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了代数式的求值、合并同类项等知识点，掌握运用整体代入法求解代数式的值是解题的关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可解答； （2）把写成，然后将整体代入即可解答； （3）将和相加可得，写成，然后将整体代入即可解答． 【详解】（1）解： ． 故答案为：2． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 53．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式可化为，把整体代入即可； （3）原式可化为，把，，整体代入进行计算即可． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）， ； （3），，， ． 54．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并的结果是______； (2)若，则______； (3)已知，，求的值； (4)已知，，则=______． 【答案】(1) (2)24 (3) (4) 【分析】本题考查整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可． （2）由题意得，将和看成一个整体进行计算即可． （3）将所求式子变形为，代入计算即可． （4）将所求式子变形为，代入计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ， ， 故答案为： 24 ． （3）解： ． （4）解： ， 故答案为：． ◆题型4 整式化简中的几何无关型问题 55．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 56．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，有个完全相同的边长为、的小长方形（如图）和两个阴影部分的长方形拼成个宽为的大长方形（如图），小明把这个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)请用含的代数式表示下面的问题： 大长方形的长___________； 阴影的周长___________． (2)请说明阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【答案】(1)①，② (2) 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为： ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）①大长方形的长为小长方形的长上宽的倍；②阴影的长为，宽为，再根据长方形的周长公式求解即可； （2）分别表示出阴影和阴影的长和宽，再求出阴影和阴影的周长和即可． 【详解】（1）解：大长方形的长可表示为：； 故答案为：； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为； 故答案为：； （2）略 57．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 【答案】(1) 解：根据题意得：， 上述的结论正确； (2)①C；②无关， 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，熟练掌握整式的加减步骤是解题的关键． （1）按照魔术师的步骤进行运算，即可得出结论； （2）①去括号，合并同类项后，即可得出结论； ②利用长方形的周长公式，可用含，，的代数式表示出，，二者作差后，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：① ， 多项式的值与、的大小都无关． 故选：C； ②无关，， 根据题意得：长方形的长为，宽为， ，， ， 的值与正方形、、的边长无关，的值为0． ◆题型5 整式加减的应用综合 58．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的某打车公司开展“打车计费”实践活动． 【实践发现】司机介绍说：“车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程在及以内的，不收远途费，超过的，超出部分每千米收0.4元．”收费标准如下： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元/ 元/ 元/ 【实践探究】老师说：“若乘客的行车里程为，行车时间为，则需付车费（元）．” 【问题解决】 (1)若小东的行车里程为，行车时间为，则需付车费_______元． (2)若小明的行车里程为，行车时间为，则需付车费多少元？（用含，的代数式表示，并化简） (3)若小王、小张的行车里程分别为与，且小王的行车时间比小张的行车时间多，谁付的车费更多？ 【答案】(1) (2)当时，需付车费元；当时，需付车费元 (3)两人付的车费一样多 【分析】（1）根据行车里程不超过，直接计算里程费加时长费即可得到结果； （2）分行车里程不超过和超过两种情况，根据计费规则列代数式并化简； （3）设出小王的行车时间，用含未知数的代数式分别表示出两人的车费，化简后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解 ，不收远途费 总车费为 （元） （2）解 分两种情况讨论： 当时，不收远途费，需付车费为（元） 当时，超出的部分为 ，远途费为 元 总车费为： （元） 综上，当时，需付车费 元， 当时，需付车费 元. （3）解 设小王的行车时间为分钟，则小张的行车时间为 分钟 小王行车里程为 ， 小王应付车费为： （元） 小张行车里程为 ， 小张应付车费为： （元） 两人应付车费相等． 答：两人付的车费一样多． 59．（2026七年级上·江苏淮安·专题练习）水泥运输A、B两仓库分别有水泥20吨和30吨，C、D两工地分别需要水泥15吨和35吨，已知从A、B两仓库到C、D两工地运费如下表： 到C工地 到D工地 A仓库 每吨15元 每吨12元 B仓库 每吨10元 每吨9元 (1)若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为______吨，从B仓库运到D工地的水泥为_____吨； (2)求把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费（用含的代数式表示并化简）； (3)如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为多少元？ 【答案】(1)吨，吨 (2) (3)545 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，整式的加减，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）用表示出、两个仓库分别向、运送的吨数，再乘以每吨的运费，然后合并起来即可； （3）把代入（2）中的代数式，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：若从A仓库运到C工地的水泥为吨，则从A仓库运到D工地的水泥为吨，从B仓库运到D工地的水泥为吨； （2）解：把全部水泥从A、B两仓库运到C、D两工地的总运费为： 元； （3）解：当时，（元）， 如果从A仓库运到C工地的水泥为10吨，那么总运费为元． 60．（25-26七年级上·江苏南通·期末）港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥．一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为，在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和．请根据这些数据回答下列问题： 港珠澳大桥主体工程示意图 (1)直接写出汽车在主桥上行驶的路程为______；（用含t的代数式表示） (2)如果汽车通过海底隧道需要，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的倍，请用含a的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长； (3)如果汽车通过主桥需要，通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少，请用含b的代数式表示主桥与海底隧道的长度差． 【答案】(1) (2)香港口岸到西人工岛的全长为 (3)主桥与海底隧道的长度差为 【分析】本题考查了整式的加减的应用． （1）依据题意，利用路程=速度×时间进而可以列式计算得解； （2）利用路程=速度×时间，计算即可得到答案； （3）利用路程=速度×时间，列式求出主桥与海底隧道的长度相差，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：∵汽车在主桥上行驶的平均速度为， ∴汽车在主桥上行驶的路程为， 故答案为：； （2）解：∵汽车通过海底隧道需要，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的倍， ∴从香港口岸到东人工岛的时间是， ∴香港口岸到西人工岛的全长为：； （3）解：∵汽车通过主桥需要， ∴在主桥上行驶路程是， ∵通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少， ∴汽车在海底隧道行驶的时间是， ∴在海底隧道行驶路程为， ∴主桥与海底隧道的长度差为． ◆题型6 带有字母的绝对值化简问题综合 61．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数符号的分析和绝对值的化简，判断绝对值的正负是解题的关键． 首先由和可得a，b，c中只有一个负数，再将原式化简为，再分三种情况讨论符号即可求出x的值，进而求最大值和最小值的乘积． 【详解】解：∵且， ∴a，b，c中只有一个负数， ∵， ∴，，， ∴， 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴x的最大值为，最小值为， ∴x的最大值与最小值的乘积为， 故选：A． 62．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）有理数、满足，记代数式的最大值为，最小值为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了带有字母的绝对值化简问题，绝对值的几何意义，已知字母的值求代数式的值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据绝对值的几何意义，确定a的取值范围，b的取值范围，当，时，代数式的值最小，当，时，代数式的值最大，分别计算，，然后求和作答即可． 【详解】解：由绝对值的意义可知， 当时，的值最小为， 当时，的值最小为， ∵， ∴，， 当，时，代数式的值最小， ； 当，时，代数式的值最大， ； ∴， 故答案为：． 63．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）若，，且a，b，c是非零有理数，则 ___________ 【答案】或3 【分析】本题考查利用绝对值的性质求解代数式的值，解题关键是通过分类讨论判定结果． 首先根据，，可判定a、b、c中二负一正，然后转换形式，得出，然后分类讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b，c中两负一正，，，， ∴ 当，，时， ； 当，，时， ； 当，，时， ； 综上，的值为或3， 故答案为：或3． ◆题型7 整式的新定义问题 64．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：若，则称x与y是关于m的相关数． (1)若5与a是关于2的相关数，则 ． (2)若A与B是关于m的相关数，，B的值与m无关，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减无关类型， （1）根据定义列出式子求解即可； （2）根据新定义求得，进而根据题意的值与无关，令含项的系数为即可求解． 【详解】（1）解：与是关于的相关数， 解得； 故答案为：． （2）解：与是关于的相关数，， 的值与无关， ，得， 65．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）定义：在数轴上点M所表示的数是m，点所表示的数是，则称点是点M的“伴随点”．已知点是点的伴随点，点是点的伴随点，点是点的伴随点…，以此类推，若点所表示的数为4，则点所表示的数为（   ）． A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义下的数列循环规律问题，熟练掌握根据定义找循环周期的方法是解题的关键． 根据“伴随点”的定义依次计算出等所表示的数，找出其循环规律，再根据循环周期确定所表示的数． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴， ， ， ， ……， ∴每项循环一次：． ∵， ∴． 故选：A． 66．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称与是关于4的友谊数． (1)与______是关于4的友谊数，______与是关于4的友谊数；（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于4的友谊数，并说明理由； (3)若，，且与是关于4的友谊数，求的值． 【答案】(1)11， (2) 是关于4的友谊数，理由如下， 若，， 则 ， ∴与是关于4的友谊数； (3)或 【分析】本题主要考查新定义，整式的加减，解一元一次方程，解题的关键是理解并掌握友谊数的定义及整式加减运算顺序和法则． （1）利用新定义计算即可； （2）利用新定义计算，看是否等于4即可判断； （3）利用新定义得到，分类讨论，解方程． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴与11是关于4的友谊数，与是关于4的友谊数， 故答案为：11，； （2）略 （3）解：∵，，且与是关于4的友谊数， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，，此时无解； 当时，， 解得：， ∴或． 1．（26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式化简即可． 【详解】解：由题意得晚上9时温度为． 2．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴，进而求出摆条小鱼需要火柴棒的根数． 【详解】解：观察图形可知：第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴， ∴摆条小鱼需要火柴棒的根数为根． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，学校计划用篱笆围成一个长方形花圃．为充分利用资源，该长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面用篱笆围成，中间再用两道篱笆分成3个长方形分别种植不同品种的花卉，所用篱笆总长为24米．设的长度为米，则长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设的长度为米，则的长度为米， 则长方形花圃的面积为． 4．（2025九年级·江苏无锡·竞赛）有一列数：，，…，，从第2个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，若，设，则式子的值为（    ） A．10 B． C．－11 D．－6 【答案】C 【分析】根据题意发现规律：按3、、的顺序循环，每3个数为一个循环周期，则，再代入计算即可． 【详解】解：若， 则，，， …… 观察发现，按3、、的顺序循环，每3个数为一个循环周期， ， ， ． 5．（25-26七年级下·浙江金华·开学考试）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，若在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，深色区域是空下来的地方，若已知大长方形的长比宽多4厘米，图（1）比图（2）中深色的区域的周长大（   ） A．8 B．4 C．2 D．6 【答案】A 【分析】由图（2）得大长方形的长为，那么它的宽为，然后分别表示出两个图形中阴影部分的周长，再将它们作差即可． 【详解】解：由图（2）得大长方形的长为， 大长方形的长比宽多4厘米， 它的宽为， ， ． 6．（25-26七年级下·北京·单元测试）若关于x的方程，则代数式的值是_________． 【答案】5 【分析】根据已知方程得到，对所求代数式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：， ， ． 7．（2026·河南·二模）观察代数式，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为________． 【答案】 【分析】分别探究分子和分母随序号的变化规律，归纳总结即可得到第个式子的表达式． 【详解】将已知式子按顺序从1开始编号： 当时，第1个式子为， 当时，第2个式子为， 当时，第3个式子为， 当时，第4个式子为， ... 依此类推，可得第个式子为． 8．（2026·山西运城·一模）将形状、大小完全相同的小圆点“•”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中小圆点的个数为___________． 【答案】36 【分析】观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个点，因此可得出第n个图案的点的数量为，再将代入求解即可． 【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“•”的个数为， 第②个图案中“•”的个数为， 第③个图案中“•”的个数为， …， 所以第n（n为正整数）个图案中“•”的个数为， 因此第⑦个图案中“•”的个数为． 9．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是74．若，则第2025次经运算的结果是___________． 【答案】 1 【分析】根据新运算的法则计算前几次的运算结果，总结得到循环规律，再根据规律确定第2025次运算的结果即可． 【详解】解：由题意，当时， 第一次经运算：， 第二次经运算：， 第三次经运算：， 第四次经运算：， 第五次经运算：， ... 观察可得，从第二次开始，运算结果以为循环节循环， 当运算次数为大于等于的偶数时，运算结果为， 当运算次数为大于等于的奇数时，运算结果为. 是大于等于的偶数， 第次经运算的结果是． 10．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 7 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵无论x取何值代数式的值不变， ∴，， ∴，． 11．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·周测）观察下列等式： ①；②；③；⋯⋯ 根据你发现的规律解答下列问题： (1)请直接写出第九个等式 ； (2)计算 的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式的规律，推导得到第九个等式； （2）根据规律拆分每一项，中间项相互抵消后计算得到结果； （3）对每一项进行变形拆分，提取公因式后抵消中间项，计算得到结果． 【详解】（1）解：由题意知，第九个等式为； （2）解： ； （3）解： ． 14．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）对于两个有理数的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． 【尝试】 （1）当时，请用作差法比较代数式与的大小； 【应用】 （2）①若，无论取何值，总有，则_____，______； ②若，无论取何值，总有，则所表示的代数式可以是____．（写出一个符合条件的即可） 【答案】（1） （2）①，；②（答案不唯一） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，非负数的性质． （1）计算，根据结果可得答案； （2）①由恒成立，可得且，进一步可得答案；②由，可令，从而可得答案． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴恒成立， ∴且， 解得：，； ②∵，无论取何值，总有， ∴可以为：（答案不唯一）． 15．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）化简求值：，其中，． 【答案】，值为 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，掌握整式的加减化简求值的方法是关键．先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将、代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 81．（25-26七年级上·江苏常州·期末）某班共有名学生．学号依次为，，，，，，从中选取部分学生参加活动． (1)若选取名学生的学号分别为，，，，，则他们的学号之和是_______（用含的代数式表示）； (2)若选取名学生的学号为连续偶数，判断他们的学号之和是否能被整除，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：学号之和能被整除，理由， 设五个连续偶数为，，，，， 所以它们的和为 ， 因为能被整除， 故学号之和能被整除． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）直接求和五个连续学号即可； （）设五个连续偶数为，，，，，求和后判断是否能被整除． 【详解】（1）解：学号之和为 ， 故答案为：； （2）略 16．（25-26七年级上·江苏南通·期末）某搬家公司派出一辆货车，其收费包含运输费和搬运费，具体计费标准如下： 运输费 货物容积 起步价（5公里以内） 超出5公里但不超过25公里部分 超出25公里部分 不超过 100元 4元/公里 5元/公里 超出但不超 200元 超出但不超过车辆核定装载量 300元 搬运费 基础搬运费 100元 楼层搬运费 ①通过电梯搬运收40元； ②通过楼梯搬运，1楼不收费，2楼及以上每层收40元； ③搬上楼和搬下楼分开计算． 大件搬运费 30元/每件 注：搬运费由基础搬运费+楼层搬运费+大件搬运费三部分构成 根据以上信息，回答下列问题： (1)将容积为的物品从A处搬到x公里外的B处，若距离超出5公里但不超过25公里时，运输费需要______元；若距离超出25公里时，运输费需要______元（均用含x的代数式表示）： (2)小明准备搬家，从原来的楼梯房1楼搬迁到15公里外的电梯房9楼，搬运总容积为（未超过车辆核定装载量），且有3件大件家具，则搬家总费用为多少？ (3)小红也找了同一家搬家公司进行搬家，从原来的楼梯房3楼搬到了新的电梯房12楼，搬运总容积为，且有5件大件家具，搬家总共花费675元，小红的搬家距离有多远？ 【答案】(1) (2)搬家总费用为570元 (3)小红的搬家距离为30公里 【分析】本题考查了整式的应用，有理数混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据表格提供信息列式求解即可； （2）先求运输费，再求搬家费，相加即可； （3）先求搬运费，再求出运输费，再根据运输费的标准求解即可． 【详解】（1）解：将容积为的物品从A处搬到x公里外的B处， 若距离超出5公里但不超过25公里时，运输费需要（元）， 若距离超出25公里时，运输费需要（元）， 故答案为：； （2）解：运输费为：（元）， 搬运费为：（元）， （元） 答：搬家总费用为570元； （3）解：搬运费为：（元）， （元） （元） （元） （公里） （公里） 答：小红的搬家距离为30公里． 17．（25-26七年级上·江苏·期末）在数学中，数形结合思想通过将数与形相互转化、相互结合，把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，从而使复杂问题简单化；抽象问题具体化． 如图1，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，．通过观察图形可以发现，图1中阴影部分的面积为，进而得到． 如图2，按图1的方式依次取这个正方形面积的（是正整数）．类比图1．可以求的值． (1)直接写出的结果为__________（用含的式子表示）； (2)运用（1）发现的结论计算的值； (3)如图3，依次取这个正方形的面积的．类比图2求的值．（结果保留幂的形式） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的求和运算，解题的关键是运用数形结合思想，将分数和转化为几何图形的面积关系推导规律． （1）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为． （2）提取，将式子转化为含（1）中规律的形式，代入计算． （3）通过观察正方形面积的截取过程，利用“总面积剩余面积”，得出分数和为，可得，代入即可． 【详解】（1）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：； （2）解：将原式变形，提取， 得到． 根据（1）的结论，． ∴原式． （3）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中． (1)当，时，线段的中点表示的数是______； (2)若数轴上另有一点C表示数． ①若点C在线段上，且，求式子的值； ②点P为线段上一动点，点Q为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求式子的值． 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的有关计算，用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，整式加减中的化简求值等知识，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）利用数轴知识和线段中点的定义计算即可； （2）①点C表示数，点C在线段上，且，得出，再计算代数式的值即可； ②根据，得出，说明点B在点C的右侧或在点C处时，的最小值为6，不符合题意，说明点B必须在点C的左侧，然后分两种情况求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴线段的长度为， ∴线段的中点表示的数是， 故答案为：； （2）解：①∵点C表示数，点C在线段上，且， ∴，即， ∴ ②∵， ∴， 当点B在点C的右侧或在点C处时，，当点P在点A处，点Q在点C处时，最大， ∵， ∴此时的最大值大于等于6， ∵的最大值为5， ∴点B不可能在点C的右侧或C处； 当点B在点C的左侧，点P在点A处，点Q在点C处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴； 当点B在点C的左侧，点P在点B处，点Q在点O处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴ 当时， 原式； 当时， 原式 ． 综上：式子的值为或． 19．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 【教材呈现】以下是人教版七年级上册数学教材的部分内容． 把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： (1) ； (2) ； (3)【简单应用】 ①已知，则 ； ②已知，求 ． (4)【拓展提高】已知，求代数式 的值． 【答案】(1) (2) (3)①1；②24 (4) 【分析】本题考查了整式的加减运算，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把看作一个整体，进行计算，即可作答． （2）理解题意，把看作一个整体，进行计算，即可作答． （3）①根据，把代入进行计算，即可作答． ②根据，把代入计算，即可作答． （4）根据，整理得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解： ； （3）解：①∵， 则； ②∵， ∴ ． （4）解：∵， ∴，， 则， ∴ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $