第1章 集合与逻辑概念清单速记表（知识清单）数学沪教版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“集合与逻辑”单元内容，涵盖集合初步与常用逻辑用语两大知识范畴，搭建了从集合概念、运算到逻辑命题、条件关系的递进式学习支架。 清单通过“概念-定义-相关概念”三级结构呈现知识体系，如将“空集是任何非空集合的真子集”标注为重点，“充要条件”配“互相推出，集合相等”口诀，培养学生的抽象能力与推理意识。特别设计“易错点辨析”（如∅与{∅}的区别）和“运算规律表”，助力不同学生高效掌握，教师可据此精准教学，提升复习实效。

第1章 集合与逻辑清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 1.1 集合初步 集合与元素 把一些确定的对象的全体叫做集合，集合通常用大写字母 表示；集合所含的各个对象叫做元素，元素通常用小写字母 表示。若 是集合 的元素，记作 ；若 不是集合 的元素，记作 。 集合的确定性（对象必须确定，能判定是否属于该集合）、 集合元素的互异性(同一个集合中元素互不重复)、 集合元素无序性（集合内元素没有先后顺序）、 集合相等 集合的基本特征与集合相等 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性：对象是否属于集合必须明确；同一元素在同一集合中不能重复出现；集合中元素的排列顺序不影响集合。若集合 与 的组成元素完全相同，则 。 元素、子集、列举法 有限集、无限集与空集 元素个数有限的集合称为有限集，否则称为无限集。 不含有任何元素的集合称为空集，记作 。 ：是空集（集合，里面没有元素）。 ：不是空集，它含有 1 个元素，元素是。 空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。 集合的基数、实数解集、子集 常用数集 常用数集及其记号为：自然数集 ，整数集 ，有理数集 ，实数集 ；它们满足包含关系 。 元素关系、子集关系、区间 列举法 把集合中的元素不重复地一一列举出来，并写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。集合元素的顺序不影响集合；有规律的无限集在不引起歧义时也可用省略号表示。 描述法、集合相等、有限集 描述法 用集合中元素的共同特征来表示集合的方法叫描述法，通常写作 ，其中竖线读作‘使得’或‘满足’。 列举法、解集、集合的确定性 区间及其表示 设 且 。满足 的实数集合记作闭区间 ；满足 的实数集合记作开区间 ；满足 或 的集合分别记作 和 。此外， 分别可表示为 ，且 。 数轴、不等式解集、无穷大 子集与真子集 若集合 的每个元素都是集合 的元素，则称 是 的子集，记作 。规定 。若 且 中至少有一个元素不属于 ，则称 是 的真子集，记作 。 集合包含关系、维恩图、集合相等 子集关系的性质 任意集合 都有 （自反性）；若 且 ，则 ；若 且 ，则 （传递性）。含 个元素的集合共有 个子集，其中真子集有 个。 空集、集合相等、组合计数 交集 由既属于集合 又属于集合 的所有元素组成的集合，叫做 与 的交集，记作 ，即 。若 ，则称 与 不相交。 并集、补集、维恩图 并集 由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，叫做 与 的并集，记作 ，即 。 交集、补集、维恩图 全集与补集 在研究某个问题时，包含所研究对象的全部可能元素的确定集合叫全集，通常记作 。设 ，由 中所有不属于 的元素组成的集合叫 在全集 中的补集，记作 或 ，即 。 交集、并集、有理数与无理数 集合运算的基本规律 集合运算满足交换律、结合律和分配律：，；，；，。此外，，，，，，。 交集、并集、补集 1.2 常用逻辑用语 命题与真假 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题。命题通常用陈述句表述；判断为真的命题叫真命题，判断为假的命题叫假命题。祈使句、疑问句以及含有未确定变量且不能判断真假的语句不是命题。 条件、结论、真命题、假命题 条件、结论与推出关系 形如‘若 ，则 ’的命题中， 称为条件， 称为结论。 若命题‘若 ，则 ’是真命题，则称 推出 ，记作 。 推出关系具有传递性：若 且 ，则 。 充分条件、必要条件、子集关系 充分条件与必要条件 对于两个陈述句 和 ，如果 ，则称 是 的充分条件，也称 是 的必要条件。若只有 ，则 是 的必要非充分条件；若只有 ，则 是 的充分非必要条件。 推出关系、充要条件、集合包含 充分必要条件 若既有 ，又有 ，则称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作‘ 与 等价’或‘ 成立当且仅当 成立’。 口诀记忆：充要条件，互相推出，集合相等。 充分条件、必要条件、等价命题 反证法 反证法是通过否定命题的结论，经过正确的逻辑推理推出矛盾，从而说明结论的否定不成立、原结论成立的证明方法。基本步骤是：假设结论不成立；由假设和已知条件进行推理；得到矛盾；据此否定原假设并得出结论。 矛盾、命题证明、否定命题 常用否定形式 否定命题时要准确使用逻辑否定：‘ 且 ’的否定是‘非 或非 ’；‘ 或 ’的否定是‘非 且非 ’；‘’的否定是‘’；‘’的否定是‘’；‘所有对象满足条件’的否定是‘存在对象不满足条件’。 反证法、逻辑联结词、命题真假 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $