专题01 集合与逻辑（7知识&19题型）（期中知识清单）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题01集合与逻辑（7知识&19题型） 【清单01】集合 1.把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集.集合通常用大写字母A、B、C……表示。集合所含的各个对象叫做该集合的元素.元素通常用小写字母a、b、c……表示. 2.元素与集合的关系 关系 含义 记法 读法 属于 是集合中的元素 属于 不属于 不是集合中的元素 不属于 符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换． 3.三个特性： 性质 含义 示例 确定性 集合的元素是确定的.也就是说,给定一个集合,一个对象在不在这个集合中就确定了 若用集合表示＂中国的直辖市＂，则上海，苏州 互异性 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的 若实数、是集合中的两个元素，则 无序性 组成集合的元素无先后顺序之分 由1、0组成的集合和由0、1 组成的集合是同一个集合 4.集合相等： 如果两个集合与的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作． 5.集合分类：元素个数有限的集合称为有限集,否则就称为无限集. 6.常用集合符号： 数集 符号 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 7.空集：不含有任何元素的集合称为空集,记作Ø 【清单02】集合的表示方法 自然语言、列举法、描述法、区间 1.将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法 大括号“｛｝”表示“所有”“整体”的含义示例:实数集R可以写成｛实数｝,但如果写成{实数集}、｛全体实数｝、{R}都是不正确的. 2.在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线,并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征,即： 3.区间 含“∞”的区间的几何表示 【清单03】集合之间的关系 1.子集： 定义对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）．对任何集合，规定． 集合间关系的有关性质 （1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论： ①； ②若且，则； ③传递性：若且，则． （2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且，则＂类似． 2.真子集： 定义对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作＂真包含于＂（或＂真包含＂）． 性质 （1）任何集合都不是它本身的真子集． （2）若，且，则． （3）若，且，则． （1）若和同时成立，则更能准确表达集合、之间的关系． （2）真子集是子集的一种特殊情况. （3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法，即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素． 3.集合相等 定义已知两个集合与，若，且，则称这两个集合相等，记作．如图是集合的维恩图． 两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、之积相等来解答问题 ＂＂与＂＂的区别 ＂＂是元素与集合之间的关系，如，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成． 4.空集的性质： （1）空集是任何集合的子集,即 （2）空集是任何非空集合的真子集,即 （3）空集只有一个子集,即它本身. 与的关系 与 与 与 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 是集合而是元素 不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 5.有限集合的子集（真子集）个数 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n 6.数轴表示集合间的关系 （1）集合与集合的关系是，用数轴表示如图所示． （2）集合或与集合的关系是，用数轴表示如图所示． 【清单04】集合的运算 1.交集 自然语言 定义由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集,记 符号语言 图形语言 (1)两集合为不包含关系时 ①与有部分公共元素: ② (2) 两集合为包含关系时： ① ② ③ 2.交集的运算性质 性质 说明 两个集合的交集满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 3.并集 自然语言 定义由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记 符号语言 图形语言 （1）两集合为不包含关系时: ①A与B有部分公共元素; ②A与B没有公共元素 （2）两集合为包含关系时 ① ② ③ 并集的运算性质 性质 说明 两个集合的并集满足交换律 任何集合与空集的并集仍为集合本身 集合与集合本身的并集仍为集合本身 多个集合的并集满足结合律 并集关系与子集关系的转化 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 4.全集与补集 （1）全集 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 （2）补集 自然语言 定义设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作（读作＂补＂）．有时为了强调全集，集合在全集中的补集 符号语言 图形语言 （3）补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 【清单05】命题 1.命题 用自然语言、符号或式子表达,且可以判断其真假的语句叫做命题,命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题 2.推出关系 如果命题＂若，则＂是真命题，那么就称推出，记作（或）．因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则．它是逻辑推理的基础． 【清单06】充分条件和必要条件 1.充分条件与必要条件 （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即． （2）根据定义，如果推不出，那么就称不是的充分条件，亦称不是的必要条件． （3）对于命题＂若，则＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． 2.充要条件 对于两个陈述句与，如果既有，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作＂与等价＂或＂成立当且仅当成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句与，如果既没有，又没有，那么既不是的充分条件也不是的必要条件，我们称是的既非充分又非必要条件． 【清单07】反证法 1.一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的(至少有一个是错的) 至少存在一个不满足性质 至少存在一个满足性质 2.反证法证明 反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的真实性的论证方法 反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的 反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了;如果有多种，那么必须一一否定 反证法的步骤 (1)假设结论不成立. (2)从假设出发推出矛盾. (3)假设不成立,则结论成立. 题型一、判断元素与集合的关系和求参 例1（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，若且，则 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据集合的描述确定满足其性质的元素，即可得集合. 【详解】由，，若且，则，所以. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 【变式1-4】（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 【答案】8 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、方程与不等式 【分析】由元素与集合的关系，求出可能的取值，关于x的方程有实数解，分和两种情况，求满足条件的的值，得有序数对的个数. 【详解】已知， 时，解得或； 时，解得或； 时，解得， 又且，所以， 同理， 关于x的方程有实数解， 当时，方程有实数解，的值可以是，的个数为3； 当时，要使方程有实数解，需使，即， 若，则的值可以是，的个数为3； 若，则的值可以是，的个数为2； 所以使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为8. 故答案为：8. 题型二、根据集合中元素的个数求参数 例2（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 【变式2-1】若集合有且仅有一个元素，则实数的值是 ． 【答案】或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的值. 【详解】当时，，符合题意. 当时，令， 解得， 综上所述，的值为或 故答案为：或 【变式2-2】已知集合，记集合中的元素个数为，若，则实数 . 【答案】或或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由，得或，分、讨论集合中的解，结合判别式可得答案. 【详解】因为，，解得或者， 时，即只有一个元素， 当只有一个解而无解时， 即，解得， 当只有一个解而无解时， 即，不存在， 时，有三个元素， 当只有一个解而有2个不同解时， 即，不存在， 当只有一个解而有2个不同解时， 即，解得或者， 综上所述， 或或. 故答案为：或或. 题型三、利用集合元素的互异性求参数 例3含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据元素的互异性，确定的范围，根据集合相等列方程求即可. 【详解】因为，， 所以，且， 所以，且，， 因为， 所以或， 由，可得（舍去）， 由，可得（舍去）或， 所以. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】利用集合元素的互异性可求解. 【详解】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型四、利用集合中元素的性质求集合元素个数 例4设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中至少有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点. 【详解】因为若，则，所以，， 则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中至少有4个元素， 故选：C 【变式4-1】（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 题型五、集合相等与求参 例5（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 【变式5-1】下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可. 【详解】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误； B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误； C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确； 故选：C 【变式5-2】设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案 【详解】对于①：集合，则， 解得，即，是一一对于，所以与集合相同. 对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同. 对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同. 对于④：，但方程无解，则，与不相同． 故选：D 【变式5-3】（24-25高一上·上海·期中）若集合，则的值为 【答案】12 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等的表示及二次方程求解元素即可. 【详解】因为， 所以集合可表示为，所以. 故答案为：12. 【变式5-4】（23-24高一上·上海浦东新·期中）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等可得出关于实数、的等式组，解出、的值，即可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，所以，，可得， 从而，所以，，且，解得， 因此，. 故答案为：. 题型六、集合的表示方法 例6（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【答案】且． 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且． 【变式6-1】能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ． 【答案】 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据被整除余的自然数为，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】由题意，设被除的商为，余数为， 可表示为， 所以被除余的自然数组成的集合为. 故答案为：. 【变式6-2】23-24高一上·上海徐汇·期中）集合可用列举法表示为 ． 【答案】 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合描述法与列举法的定义求解. 【详解】由可知， 所以只能取，又，所以， 即集合中的元素为，故列举法表示为. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高一上·上海嘉定·期中）所有小于10的素数组成的集合用列举法表示为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】找出小于10的所有素数，然后列举法表示即可． 【详解】小于10的素数组成的集合为：． 故答案为：． 【变式6-4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）用列举法表示方程组的解集为 . 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】求得方程组的解，再写出相应集合． 【详解】， 因此解集为， 故答案为：. 题型七、列举法求集合中元素的个数 例7设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【答案】(1)两个； (2)不是，理由见解析； (3). 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合中元素的个数求参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数、列举法求集合中元素的个数 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【详解】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 【变式7-1】对正整数，记，． (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； (3)若的子集中任意两个元素的和不是整数的平方，则称为“稀疏集”，证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14． 【答案】(1) (2)23 (3)证明见解析 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数、集合新定义 【分析】(1)根据给定集合的意义计算列举写出即可； (2)由每一个k值可得中的5个元素，再去掉计算过程中出现的重复元素即可得解； (3)根据给定定义，证明时不能分成两个不相交的稀疏集的并，再证明能分成两个不相交的稀疏集的并即可得解. 【详解】（1）解：依题意，， 则； （2）解：显然每一个k值，m值可取1，2，3，4，5五个不同数，即可得5个的值， 当时，中所对应的3个元素为1，2，3，另两个个元素为4，5 当时，中所对应的2个元素1，2为重复元素，另三个元素为分数， 当时，均为无理数，没有相同数， 因此，由计算可得个数，其中计算得到的数1，2各重复1次，则中元素的个数为， 所以，集合中元素的个数是； （3）解：假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并， 设，为不相交的稀疏集，使， 不妨设，显然，则，即，同理，，又推得，但，与为稀疏集矛盾， 于是得当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并，即， 若，则当时，可分成两个稀疏集之并， 事实上，只要取，，则，为稀疏集，且. 当时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面个两稀疏集的并：，， 当时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面两个稀疏集的并：，. 最后，集合且中的数均为无理数，它与中的任何其他数之和都不是整数， 则把且中的元素任意分成两个不相交的集合的并均可，不妨令这两个稀疏集为与， 因此，令，，则和是不相交的稀疏集，且， 综上，所求的最大值为14. 【点睛】思路点睛：涉及求符合某个条件的集合元素个数问题，充分利用集合元素的性质，特别是互异性，可以通过列举法列出特例元素，以排除重复元素. 题型八、判断集合的子集（真子集）的个数 例8（24-25高一上·上海·期中）集合满足，则这样的集合有 个. 【答案】16 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分析集合中的元素个数，由于，则符合的集合个数即可确定. 【详解】，则当时，； 当时，； 当时，； 所以 又，集合中有4个元素，为子集， 故符合这样的集合有. 故答案为：16. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合A的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用真子集定义即可求得集合A的真子集的个数. 【详解】集合中有3个元素，则集合A的真子集的个数为 故选：A 【变式8-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有 个. 【答案】3 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合的包含关系确定集合中一定含有的元素以及可能含有的元素，从而得到其个数． 【详解】因为集合，所以集合M中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素， 所以或或， 所以满足条件的M个数为3. 故答案为：3. 【变式8-3】满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】根据题意，写出符合题意的集合即可. 【详解】根据题意，是集合的子集， 集合是的子集， 符合题意的集合为： ，，，， ，，，，共8个. 故选：A 【变式8-4】已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据真子集的定义，推断出中有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数，由此进行分类讨论求实数的取值范围. 【详解】若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间中有4个整数， 当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有共4个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 题型九、集合的包含关系与求参问题 例9（24-25高一上·上海普陀·期中）下列各式中，正确的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，集合与集合的关系不能用“”，所以①错误. ②，的元素完全相同，所以，所以②正确. ③，空集是任何集合的子集，所以正确. ④，空集是没有元素，有一个元素，所以④错误. ⑤，中有个元素，有一个元素，所以⑤错误. ⑥，元素与集合的关系是属于或不属于，所以⑥错误. 所以正确的有个. 故选：B 【变式9-1】（23-24高一上·上海松江·期中）若集合，集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案. 【详解】当时，； 当时，包含无理数，即， 故选：D. 【变式9-2】（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知，，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】由知为集合的子集，集合为集合的所有子集构成的集合，从而确定集合与集合的关系. 【详解】由知为集合的子集， 即可取元素为， 所以是集合的一个元素，即， 故选：A 【变式9-3】如果集合，，那么集合、之间的关系是（    ） A． B． C． D．互不包含 【答案】A 【知识点】判断两个集合的包含关系 【解析】分别求出集合和集合中的元素，即可判断集合和集合的关系. 【详解】由可得集合是由全体非负偶数构成的即 集合是由的2倍构成的， 即， 所以， 故选：A 【变式9-4】（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 【答案】0 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，得到，再结合集合元素互异性即可求解. 【详解】因为， 所以．解得（舍，集合元素互异性）或0． 故答案为：0 【变式9-5】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 【变式9-6】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系，讨论、求对应参数范围，即可得答案. 【详解】若时，满足，此时只需； 若时，则，可得； 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式9-7】（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】计算集合，再分别求和时，的值即可. 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 题型十、交集的运算和求参问题 例10（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由集合交集可得答案. 【详解】由交集定义，结合，则. 故答案为： 【变式10-1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，求 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】解方程组，可得交集的元素. 【详解】集合，集合， ∴. 故答案为：． 【变式10-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】(1)根据交集的定义即可求得结果. （2）由，得到,利用子集的定义即可得到结果. 【详解】（1） （2） 【变式10-3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【详解】（1）由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，实数m的取值范围是. 【变式10-4】（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或． (2) (3) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合元素情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，,，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，，所以方程有两个根， 所以且，， 所以． （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当,时，则，无解， 综上，的范围为． 题型十一、并集的运算和求参问题 例11（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据题意结合并集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 【变式11-1】设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】由并集的概念以及韦恩图的辨析即可得解. 【详解】由题意，那么图中的白色部分所表示的集合是. 故选：C. 【变式11-2】（23-24高一上·上海黄浦·期中）设集合，，若，试求实数与集合. 【答案】， 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】由题意可得，分两种和两种情况讨论求解，进而根据并集的定义求解. 【详解】因为，所以， 当，即时，，，满足题意； 当时，方程无解，舍去. 综上所述，，. 【变式11-3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据集合并集的定义即可求. 【详解】因为，， 所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式11-4】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知集合，，且，求实数组成的集合为 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】依题意可得，即可得到或，解得，再代入检验. 【详解】因为，所以， 又，， 所以或， 解得或或或， 当时，，，符合题意； 当时，集合、均不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 综上可得实数组成的集合为. 故答案为： 【变式11-5】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、补集的概念及运算 【分析】根据并集的结论得集合的包含关系，再由包含关系得结论． 【详解】因为，所以， 又，所以， 故答案为：． 题型十二、根据并集结果求集合元素个数 例12（24-25高一上·上海·期中）某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为 . 【答案】41 【知识点】根据并集结果求集合元素个数 【分析】由题可得只有数学不低于80分，只有物理不低于80分的人数，即可得答案. 【详解】由题，只有数学不低于80分的人数为， 只有物理不低于80分的人数为， 则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为. 故答案为： 【变式12-1】（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合元素个数 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，从中选择1个元素，再加入一个新元素，即可得到中元素个数最少，求解即可． 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 【点睛】方法点睛： 由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意. 【变式12-2】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、根据交集结果求集合元素个数、根据并集结果求集合元素个数 【分析】若集合中有个元素，设，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选项ABC；假若有个元素，设，再根据题设条件推导分析，可得到中还有第四个元素，推出矛盾，从而可判断出D选项. 【详解】若有2个元素，设，则， 因为至少有个元素，所以中除外至少还有一个元素， 不妨设，，则， 若，则且， 所以，与假设矛盾，所以， 所以或， 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 所以此时，； 当时，则，所以， 若，则，与矛盾，所以，同理可知， 此时，； 由上可知，当有2个元素，则有个元素，有个元素，有个元素， 故A错误，B错误，C正确； 不妨假设有个元素，设，则为互不相等的正数， 由③可知：， 又因为为互不相等的正数，所以也为互不相等的正数， 由②可知：都是集合的元素， 因为为互不相等的正数，所以都是不等于的正数，所以， 又因为为互不相等的正数，所以， 考虑到和，若，则为互不相等的正数， 又因为，所以，所以是与不相等正数， 因为都是集合的元素，所以集合中至少有个元素，这与假设矛盾， 因此考虑的情况，所以，同理可得，所以， 所以，这与集合中元素的互异性矛盾，所以有个元素不可能成立，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中元素个数的目的. 题型十三、补集的概念及运算 例13（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则= ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】由补集的概念求出集合. 【详解】. 故答案为： 【变式13-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图及集合交、补运算求集合即可. 【详解】由题图知：阴影部分为，而或， 所以. 故答案为： 【变式13-2】（23-24高一上·上海·期中）设全集为，，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】由补集与交集运算可得. 【详解】由全集，， 则，又， 则. 故答案为：. 题型十四、交并补混合运算和求参问题 例14（24-25高一上·上海·期中）设集合，，，则 . 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】直接利用集合的计算规律计算即可. 【详解】由题可知，，所以. 故答案为： 【变式14-1】（24-25高一上·上海·期中）设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算 【分析】根据子集、补集、并集、交集的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，是全集的两个子集，， A选项，，所以A选项错误. B选项，，所以B选项错误. C选项，，所以C选项正确. D选项，，所以D选项错误. 故选：C 【变式14-2】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据并集、补集运算求解即可. 【详解】因为， 所以，， 故答案为： 【变式14-3】已知全集为，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】（1）当时，求得集合，进而可求； （2）由已知可得，可得且，求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以； （2），因为， 又因为，所以且，解得，． 【变式14-4】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合 . 【答案】 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】先求出，再求出，从而可求. 【详解】因为，故， 而且两两相交为空集， 故，故， 故答案为： 【变式14-5】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据集合的交集、并集运算求解. 【详解】由题意可得，, 所以， 因为全集中有m个元素，中有n个元素， 且非空，所以的元素个数为， 故选:D. 题型十五、已知命题的真假求参数 例15（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、已知命题的真假求参数 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 【变式15-1】已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）分、讨论可得答案； （2）求出命题①、②都为真命题时的取值范围，再求其补集可得答案. 【详解】（1）命题①函数的图象总在轴上方为真命题，则 当时，符合题意； 当，由求得， 故的取值范围为：； （2）若方程有两个不相等的实数根， 则，解得， 若命题①、②都是真命题，则； 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围为或. 【变式15-2】已知命题p:方程有两个不等的负根；命题q:方程无实根. （1）若为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q两命题一真一假，求m的取值范围； 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】（1）根据判别式与韦达定理求解即可； （2）首先求出当两个命题是真命题时，的取值范围，再根据两命题中一真一假，列不等式求的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则 ， 解得：，故m的取值范围为 （2）若方程无实根，则，解得：， 当真假时， ，解得：； 当假真时， ，解得：， 综上可知：的取值范围是或. 故m的取值范围为 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，重点考查根据一元二次方程实数根求参数的取值范围，属于基础题型. 题型十六、判断命题的关系 例16（23-24高一上·上海宝山·期中）“”是“”的____________条件.（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【知识点】充分条件 【分析】根据充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】当时，必有，当时不一定， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：D 【变式16-1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件、必要条件 【分析】由定义，分别验证充分性与必要性即可. 【详解】时满足，而时不一定有， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 【变式16-2】（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件 【分析】由解得，根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 【变式16-3】（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】先举反例说明充分性不成立，再证必要性成立即可. 【详解】先看充分性：若，，则，不是奇数，故不成立； 所以“”是“”的不充分条件； 再证必要性：因为，所以，故“”是“”的必要条件. 综上：“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 【变式16-4】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）：是2的倍数，：是6的倍数，则是的（    ）条件． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】若是6的倍数则一定是2的倍数，即； 若是2的倍数但不一定是6的倍数，比如，即由不能推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【变式16-5】荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步， 故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式16-6】（24-25高一上·上海·期中）已知：集合或集合，，则是的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算、判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、既不充分也不必要条件 【分析】根据集合间的关系，结合充分条件和必要条件即可求解. 【详解】若，满足，，但不成立， 所以是的不充分条件； 若，则或， 所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：C 【变式16-7】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件、必要条件 【分析】由定义，分别验证充分性与必要性即可. 【详解】时满足，而时不一定有， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 【变式16-8】（23-24高一上·上海金山·期中）是 条件. 【答案】充分不必要 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件与必要条件的定义进行判定即可 【详解】，解得. 所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 【变式16-9】（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义可得. 【详解】当时，取，，得不到 “且” 故“”不是“且”的充分条件， 当且时，取，，得不到， 故“”不是“且”的必要条件， 故“”是“且” 既不充分也不必要条件， 故选：D 【变式16-10】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【知识点】充要条件的证明、探求命题为真的充要条件 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 【变式16-11】（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】根据不等式有解得到，解得答案. 【详解】存在实数x使得不等式成立，则， 解得或. 故“或”是“存在实数x使得不等式成立”的充要条件. 故选：C. 题型十七、根据条件求参数 例17（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式17-1】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 【变式17-2】（24-25高一上·上海·期中）不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据成立的充分非必要条件是，列不等式组求解即可. 【详解】由题知是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 【变式17-3】（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】将必要不充分条件转化为，即可求解. 【详解】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 【变式17-4】（22-23高一上·上海徐汇·期中）设，若p是q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】结合不等式的性质求出，的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可． 【详解】由得 解得， 设 由得 解得， 设． 是的必要不充分条件， ，即真包含于 ，解得 实数的取值范围为 故答案为： 【变式17-5】（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据充分、必要条件分析可知：是的真子集，结合包含关系分析求解. 【详解】由题意可知：是的真子集， 则且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式17-6】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）根据题意，由集合的交集运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得是的真子集。列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，， 当时，则，所以. （2）因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，又，， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 【变式17-7】（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）当时，得，由交集运算即可求解； （2）由题可知真包含于，分集合和两种情况分类讨论，即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，又， 所以=； （2）因为“”是“”的必要非充分条件，于是得真包含于， ①当时，； ②当时，由真包含于得（等号不能同时成立）， ， 综上所述，. 题型十八、反证法的概念辨析 例18（24-25高一上·上海金山·期末）用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 【变式18-1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 【答案】或 【知识点】写出简单命题的非命题、反证法的概念辨析 【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果. 【详解】要证命题的结论为且，它的否定为或. 故答案为：或. 【变式18-2】（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】假设结论的反面成立即可． 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 【变式18-3】（24-25高一上·上海·期中）已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 【答案】m、n不都是奇数 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据题意结合反证法即可得结果. 【详解】“若m·n为奇数，则m、n不都是奇数”， 利用反证法，第一步假设：m、n不都是奇数. 故答案为：m、n不都是奇数. 【变式18-4】（24-25高一上·上海·期中）利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 【答案】或 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】第一步是假设结论不成立，反之成立； 【详解】反证法证明命题时，假设实际是结论的否定， 根据题意可知的否定就是或. 故答案为：或 【变式18-5】（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 【答案】或. 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】利用反证法的概念直接求解. 【详解】用反证法证明命题：“已知，则且”时， 应假设: 或. 故答案为：或. 【变式18-6】（22-23高一上·上海奉贤·期末）设、. “若，则或”是一个真命题.用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即： . 【答案】且 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】否定结论即可. 【详解】“若，则或”是一个真命题. 用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即“且”. 故答案为：且. 【变式18-7】（23-24高一上·上海·期中）若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中 . 【答案】至少有两个钝角 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法思想作答． 【详解】应假设结论的反面，即假设：至少有两个钝角． 故答案为：至少有两个钝角． 【变式18-8】（23-24高一上·上海·期中）命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ． 【答案】且 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】由或的否定为且，从而可得结果. 【详解】因为或的否定为且，所以反证法证明时应假设“且”. 故答案为：且. 【变式18-9】（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题“或”时要做的假设是 ． 【答案】且 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】变为，变为，或变为且，得到答案. 【详解】“或”的假设是“且”. 故答案为：且 【变式18-10】（23-24高一上·上海松江·期中）用反证法证明：“若，则或”时，应假设 . 【答案】“若，则且” 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】由反证法的含义可得答案. 【详解】反证法是先假设结论不成立，所以用反证法证明：“若，则或”时，应假设“若，则且”. 故答案为：“若，则且” 【变式18-11】（23-24高一上·上海黄浦·期中）用反证法证明命题：若实数a、b、c满足，且，则且．正确的假设是： ． 【答案】或 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据给定的条件，求出结论的否定即得. 【详解】依题意，正确的假设是或. 故答案为：或 题型十九、反证法证明 例19（24-25高一上·上海·期中）已知 ． (1)当时，求的取值范围； (2)求证：中至少有一个不小于1． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】反证法证明、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由指数函数的单调性即可求解不等式； （2）先假设都小于，然后求得解集为，从而可得假设不成立，即可证明. 【详解】（1）由可得，即. （2）证明：假设都小于，即， 所以，即，解集为， 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 中至少有一个大于或等于． 【变式19-1】（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 【答案】证明见解析 【知识点】根据集合的包含关系求参数、反证法证明、必要条件 【分析】利用充分、必要条件的定义结合集合间的基本关系，根据反证法计算即可. 【详解】假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 【变式19-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【知识点】根据集合的包含关系求参数、反证法证明、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）假设都是非负数，利用反证法推出可得答案； （2）根据题意可得是的真子集，分类讨论、两种情况即可得解. 【详解】（1）假设都是非负数， 因为，，所以， 又， 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2）若的充分非必要条件为，则是的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 【变式19-3】（23-24高一上·上海·期中）在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数； (2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】反证法证明、由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）假设是有理数，可设，互质，且，分析可知2为的公约数，即可得矛盾； （2）根据题意可得，假设均小于，可得，即可得矛盾. 【详解】（1）假设是有理数，可设，互质，且， 可得，可知为2的倍数，则为8的倍数， 可知为2的倍数，即2为的公约数， 这与互质相矛盾，所以是无理数. （2）因为，则， 可得， 假设均小于，即， 则， 即，即假设不成立，所以中至少有一个不小于. 【变式19-4】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，而为S的一个8元子集．求证： (1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】反证法证明、列举法表示集合 【分析】（1）采用反证法，假设不存在满足条件的k，根据差数的范围推出矛盾即可； （2）举例说明即可. 【详解】（1）不妨设， 记，，共13个数. 假设不存在满足条件的k， 则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6， 从而①， 又因为 ，这与①矛盾. 故假设不成立，结论成立. 即存在非零自然数k，使得方程至少有三组不同的解. （2）例如， 则（正数）：1，3，5，6，9，10，15各两个，2，4，7，12，13，14，16各1个， 即没有三个相等的值，所以于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 【变式19-5】（23-24高一上·上海黄浦·期中）（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 【答案】证明见解析； 【知识点】反证法证明、分析法证明 【分析】（1）通过移项做差，利用分析法证明不等式即可. （2）利用反证法证明不等式即可. 【详解】（1）要证， 即证， 即证 即证 即证， 因为 所以得证； （2）由题，， 假设且 即，所以， 所以与矛盾， 所以假设不成立，所以或. 【变式19-6】（22-23高一上·上海黄浦·期中）证朋： (1)设a，b，，则的充要条件是． (2)已知x是有理数，y是无理数，则是无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】反证法证明、充要条件的证明 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义分别证明充分性和必要性即可； （2）假设是有理数，由此结合x是有理数，证明是有理数，利用反证法即可得证. 【详解】（1）证明：充分性：若， 则，即， 所以，故充分性成立； 必要性：若， 则，即， 所以， 所以，故必要性成立， 所以的充要条件是； （2）证明：假设是有理数，则， 因为x是有理数， 所以， 所以， 因为，所以， 所以是有理数，与y是无理数矛盾， 所以假设错误， 所以x是有理数，y是无理数，则是无理数． 【变式19-7】（22-23高一上·上海静安·期中）若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【答案】证明见解析 【知识点】反证法证明 【分析】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾，以此来证明结论成立． 【详解】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b, 则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立 综上，中至少有一个小于2． 学科网（北京）股份有限公5/5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01集合与逻辑（7知识&19题型） 【清单01】集合 1.把一些确定的_______________的_______________叫做集合，简称集.集合通常用大写字母A、B、C……表示。集合所含的各个对象叫做该集合的元素.元素通常用小写字母a、b、c……表示. 2.元素与集合的关系 关系 含义 记法 读法 属于 是集合中的元素 _______________ 属于 不属于 不是集合中的元素 _______________ 符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换． 3.三个特性： 性质 含义 示例 ________性 集合的元素是确定的.也就是说,给定一个集合,一个对象在不在这个集合中就确定了 若用集合表示＂中国的直辖市＂，则上海，苏州 __________性 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的 若实数、是集合中的两个元素，则 ___________性 组成集合的元素无先后顺序之分 由1、0组成的集合和由0、1 组成的集合是同一个集合 4.集合相等： 如果两个集合与的组成元素_______________，就称这两个集合相等，记作． 5.集合分类：元素个数有限的集合称为_______________集,否则就称为_______________集. 6.常用集合符号： 数集 符号 ______集 N 整数集 Z 有理数集 Q ______集 R 7.空集：不含有任何元素的集合称为_______________,记作Ø 【清单02】集合的表示方法 自然语言、_______________法、_______________法、区间 1.将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法 大括号“｛｝”表示“所有”“整体”的含义示例:实数集R可以写成｛实数｝,但如果写成{实数集}、｛全体实数｝、{R}都是不正确的. 2.在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线,并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征,即： 3.区间 含“∞”的区间的几何表示 【清单03】集合之间的关系 1.子集： 定义对于两个集合与,如果集合的_______________元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的_______________，记作_______________（或_______________），读作＂_______________＂（或＂_______________＂）．对任何集合，规定． 集合间关系的有关性质 （1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论： ①； ②若且，则； ③传递性：若且，则． （2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且，则＂类似． 2.真子集： 定义对于两个集合与，如果，且中_______________不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的_______________，记作_______________（或_______________），读作＂_______________＂（或＂_______________＂）． 性质 （1）任何集合都_______________它本身的真子集． （2）若，且，则_______________． （3）若，且，则_______________． （1）若和同时成立，则更能准确表达集合、之间的关系． （2）真子集是子集的一种特殊情况. （3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法，即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素． 3.集合相等 定义已知两个集合与，若，且，则称这两个集合_______________，记作．如图是集合的维恩图． 两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、之积相等来解答问题 ＂＂与＂＂的区别 ＂＂是元素与集合之间的关系，如，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成． 4.空集的性质： （1）空集是任何集合的_______________集,即 （2）空集是任何_______________集合的真子集,即 （3）空集只有_______________子集,即它本身. 与的关系 与 与 与 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 是集合而是元素 不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 5.有限集合的子集（真子集）个数 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n 6.数轴表示集合间的关系 （1）集合与集合的关系是，用数轴表示如图所示． （2）集合或与集合的关系是，用数轴表示如图所示． 【清单04】集合的运算 1.交集 自然语言 定义由既_______________集合又_______________集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集,记 符号语言 图形语言 (1)两集合为不包含关系时 ①与有部分公共元素: ② (2) 两集合为包含关系时： ① ② ③ 2.交集的运算性质 性质 说明 两个集合的交集满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 3.并集 自然语言 定义由所有_______________集合A或_______________集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记 符号语言 图形语言 （1）两集合为不包含关系时: ①A与B有部分公共元素; ②A与B没有公共元素 （2）两集合为包含关系时 ① ② ③ 并集的运算性质 性质 说明 两个集合的并集满足交换律 任何集合与空集的并集仍为集合本身 集合与集合本身的并集仍为集合本身 多个集合的并集满足结合律 并集关系与子集关系的转化 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 4.全集与补集 （1）全集 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为_______________,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 （2）补集 自然语言 定义设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作（读作＂补＂）．有时为了强调全集，集合在全集中的补集 符号语言 图形语言 （3）补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 【清单05】命题 1.命题 用自然语言、符号或式子表达,且可以_______________叫做命题,命题通常用_______________句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题 2.推出关系 如果命题＂若，则＂是真命题，那么就称推出，记作_______________（或）．因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则．它是逻辑推理的基础． 【清单06】充分条件和必要条件 1.充分条件与必要条件 （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即． （2）根据定义，如果推不出，那么就称不是的充分条件，亦称不是的必要条件． （3）对于命题＂若，则＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． 2.充要条件 对于两个陈述句与，如果既有，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作＂与等价＂或＂成立当且仅当成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句与，如果既没有，又没有，那么既不是的充分条件也不是的必要条件，我们称是的既非充分又非必要条件． 【清单07】反证法 1.一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的(至少有一个是错的) 至少存在一个不满足性质 至少存在一个满足性质 2.反证法证明 反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的真实性的论证方法 反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的 反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了;如果有多种，那么必须一一否定 反证法的步骤 (1)假设结论不成立. (2)从假设出发推出矛盾. (3)假设不成立,则结论成立. 题型一、判断元素与集合的关系和求参 例1（24-25高一上·上海·期中）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，若且，则 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【变式1-4】（23-24高一上·上海·期中）已知，，则使得关于x的方程有实数解的所有有序数对的个数为 . 题型二、根据集合中元素的个数求参数 例2（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【变式2-1】若集合有且仅有一个元素，则实数的值是 ． 【变式2-2】已知集合，记集合中的元素个数为，若，则实数 . 题型三、利用集合元素的互异性求参数 例3含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【变式3-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，且，则实数的值为 . 【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 题型四、利用集合中元素的性质求集合元素个数 例4设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中至少有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【变式4-1】（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 题型五、集合相等与求参 例5（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【变式5-1】下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 【变式5-3】（24-25高一上·上海·期中）若集合，则的值为 【变式5-4】（23-24高一上·上海浦东新·期中）含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 题型六、集合的表示方法 例6（24-25高一上·上海黄浦·期中）用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【变式6-1】能被整除余的自然数组成的集合可以用描述法表示为 ． 【变式6-2】23-24高一上·上海徐汇·期中）集合可用列举法表示为 ． 【变式6-3】（24-25高一上·上海嘉定·期中）所有小于10的素数组成的集合用列举法表示为 . 【变式6-4】（24-25高一上·上海浦东新·期中）用列举法表示方程组的解集为 . 题型七、列举法求集合中元素的个数 例7设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【变式7-1】对正整数，记，． (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； (3)若的子集中任意两个元素的和不是整数的平方，则称为“稀疏集”，证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14． 题型八、判断集合的子集（真子集）的个数 例8（24-25高一上·上海·期中）集合满足，则这样的集合有 个. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合A的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式8-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，集合，若集合M满足，则这样的集合M共有 个. 【变式8-3】满足的集合的个数是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式8-4】已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 题型九、集合的包含关系与求参问题 例9（24-25高一上·上海普陀·期中）下列各式中，正确的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一上·上海松江·期中）若集合，集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知，，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】如果集合，，那么集合、之间的关系是（    ） A． B． C． D．互不包含 【变式9-4】（24-25高一上·上海松江·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 【变式9-5】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【变式9-6】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是 【变式9-7】（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 题型十、交集的运算和求参问题 例10（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则 . 【变式10-1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，求 ． 【变式10-2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【变式10-3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式10-4】（24-25高一上·上海·期中）设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素，，求实数a的取值范围，并用含a的代数式表示； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 题型十一、并集的运算和求参问题 例11（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 【变式11-1】设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高一上·上海黄浦·期中）设集合，，若，试求实数与集合. 【变式11-3】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 【变式11-4】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知集合，，且，求实数组成的集合为 【变式11-5】（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，且，则实数a的取值范围是 . 题型十二、根据并集结果求集合元素个数 例12（24-25高一上·上海·期中）某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为 . 【变式12-1】（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式12-2】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意，都有；③对于任意，都有；则下列说法正确的是（    ） A．若P有2个元素，则Q有3个元素 B．若P有2个元素，则有4个元素 C．若P有2个元素，则有1个元素 D．存在满足条件且有3个元素的集合P 题型十三、补集的概念及运算 例13（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则= ． 【变式13-1】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 【变式13-2】（23-24高一上·上海·期中）设全集为，，，则 . 题型十四、交并补混合运算和求参问题 例14（24-25高一上·上海·期中）设集合，，，则 . 【变式14-1】（24-25高一上·上海·期中）设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，集合，则 ． 【变式14-3】已知全集为，集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式14-4】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合 . 【变式14-5】（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 题型十五、已知命题的真假求参数 例15（24-25高一上·上海徐汇·期中）命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【变式15-1】已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 【变式15-2】已知命题p:方程有两个不等的负根；命题q:方程无实根. （1）若为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q两命题一真一假，求m的取值范围； 题型十六、判断命题的关系 例16（23-24高一上·上海宝山·期中）“”是“”的____________条件.（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【变式16-1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式16-2】（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【变式16-3】（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【变式16-4】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）：是2的倍数，：是6的倍数，则是的（    ）条件． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件 【变式16-5】荀子曰：“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式16-6】（24-25高一上·上海·期中）已知：集合或集合，，则是的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【变式16-7】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式16-8】（23-24高一上·上海金山·期中）是 条件. 【变式16-9】（24-25高一上·上海·期中）设，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式16-10】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【变式16-11】（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 题型十七、根据条件求参数 例17（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【变式17-1】（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【变式17-2】（24-25高一上·上海·期中）不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【变式17-3】（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【变式17-4】（22-23高一上·上海徐汇·期中）设，若p是q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【变式17-5】（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ； 【变式17-6】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【变式17-7】（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围． 题型十八、反证法的概念辨析 例18（24-25高一上·上海金山·期末）用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【变式18-1】（24-25高一上·上海浦东新·期中）若要用反证法证明“若，则且”，应假设为 【变式18-2】（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【变式18-3】（24-25高一上·上海·期中）已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 【变式18-4】（24-25高一上·上海·期中）利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 【变式18-5】（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 【变式18-6】（22-23高一上·上海奉贤·期末）设、. “若，则或”是一个真命题.用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即： . 【变式18-7】（23-24高一上·上海·期中）若要用反证法证明“三角形的内角中最多有一个钝角”，需要假设“三角形的内角中 . 【变式18-8】（23-24高一上·上海·期中）命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ． 【变式18-9】（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题“或”时要做的假设是 ． 【变式18-10】（23-24高一上·上海松江·期中）用反证法证明：“若，则或”时，应假设 . 【变式18-11】（23-24高一上·上海黄浦·期中）用反证法证明命题：若实数a、b、c满足，且，则且．正确的假设是： ． 题型十九、反证法证明 例19（24-25高一上·上海·期中）已知 ． (1)当时，求的取值范围； (2)求证：中至少有一个不小于1． 【变式19-1】（24-25高一上·上海·期中）设，证明：“”不是“”的必要条件. 【变式19-2】（24-25高一上·上海·阶段练习）（1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【变式19-3】（23-24高一上·上海·期中）在正向证明问题十分困难时，运用反证法往往是一条捷径. (1)求证：是无理数； (2)已知抛物线，求证：中至少有一个不小于. 【变式19-4】（23-24高一上·上海浦东新·期中）设，而为S的一个8元子集．求证： (1)存在非零自然数k，使得方程至少有3组不同的解； (2)对于S的7元子集，（1）中的结论不再总是成立. 【变式19-5】（23-24高一上·上海黄浦·期中）（1）设，，求证：； （2）已知，，且.证明：或. 【变式19-6】（22-23高一上·上海黄浦·期中）证朋： (1)设a，b，，则的充要条件是． (2)已知x是有理数，y是无理数，则是无理数． 【变式19-7】（22-23高一上·上海静安·期中）若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 学科网（北京）股份有限公5/5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $