2.1.1 等式的性质与方程的解集学案-2021-2022学年高一上学期数学沪教版2020必修第一册

第 2 章　等式与不等式 2.1 等式与不等式的性质 2.1.1 等式的性质与方程的解集 【学习目标】 学习要求 学科素养 1、掌握等式的性质并会应用； 2、会利用等式的性质解一元一次方程的解集， 会用因式分解法解一元二次方程的解集； 1、数学抽象：理解等式的性质，体会用等式的性质解方程； 2、逻辑推理：通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法； 3、数学运算：求方程的解集； 4、直观想象：十字相乘法分解因式； 【自主学习】 问题导学：预习教材P24－P26的内容，思考以下问题： 1、等式的性质有哪些？2、回忆恒等式的概念是什么？3、回忆十字相乘法的内容是什么？4、方程、方程的解、方程的解集的概念是什么？ 【知识梳理】 1、等式的性质 用“=”把两个表达式连接起来，所得式子称为：等式； （1）传递性 设a、b、c均为实数，如果a＝b，b＝c，那么a＝c；、 （2）加法性质 设a、b、c均为实数，如果a＝b，那么a+c＝b+c； （3）乘法性质 设a、b、c均为实数，如果a＝b，那么ac＝bc； 还可以“验证”与“推广”得性质与推论： （4）如果a＝b，那么b＝a； （5）如果a＝b，那么a±c＝b±c； （6）如果a＝b，c≠0，那么. ＝ 【注意】等式性质成立的条件，特别是性质（6）中的“不为零”； 2、恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等； 【注意】在解方程与解不等式时，如何保证“恒等变形”； 3、方程的解集 （1）含有未知数的等式称为：方程； （2）使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根； （3）一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。 【注意】一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值；一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集；利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集。 【自我尝试】 1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若a＝b，则a－c＝b－c；（ ） （2）若a＝b，则；（ ）＝ （3）若，则a＝b；（ ）＝ （4）x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1) ；（ ） （5）x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3) ；（ ） 1、答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√；（5）√； 2、下列各式由左边到右边的变形为因式分解的是（ ） A．a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1 B．m2－4m＋4＝(m－2)2 C．(x＋3)(x－3)＝x2－9 D．t2＋3t－16＝(t＋4)(t－4)＋3t 2、答案：B 3、方程的解集为 ＝－ 3、答案： 解析：由，得2(2x＋1)－3(3x＋4)＝3，即－5x－10＝3， ＝－ 所以x＝－. .所以方程的解集为 4、方程x2＋2x－15＝0的解集为________． 4、答案：{3，－5} 解析：x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)＝0，所以x＝3或x＝－5，所以方程的解集为{3，－5}． 【题型探究】 题型一、一元一次方程的解集 例1、用适当的方法求下列方程的解集： （1）；＝＝1；（2）x－－ 【提示】注意分母不能为零； 【解析】（1）原方程可化为＝1， x－(0.17－0.2x)＝1，即x－ 去分母，得30x－7(17－20x)＝21，去括号，得30x－119＋140x＝21，移项，得30x＋140x＝21＋119，合并同类项，得170x＝140，系数化为1，得x＝；；所以该方程的解集为 （2）去小括号，得x－， ＝x－x＋，去括号，得x－＝ 去分母，得12x－6x＋3x－3＝8x－8，移项，得12x－6x＋3x－8x＝－8＋3，合并同类项，得x＝－5； 所以该方程的解集为{－5}。 【方法归纳】解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤： （1）在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数；注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩大同样的倍数；（2）当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号。 题型二、因式分解法解 例2、用因式分解法求下列方程的解集： （1）6x(x＋1)＝5(x＋1)；（2）(2x－1)2－(x＋1)2＝0；（3）(x＋3)(x＋1)＝6x＋2； 【提示】注意依据等式的性质； 【解析】（1）分解因式，得(6x－5)(x＋1)＝0，所以6x－5＝0或x＋1＝0