第2章 等式与不等式概念清单速记表（知识清单）数学沪教版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理等式与不等式的性质、求解及基本不等式应用，涵盖等式性质、方程解集、不等式解法、均值不等式等核心概念，为学生搭建从概念定义到性质应用再到实际问题解决的递进式学习架构。 清单采用分章节、概念分级的方式呈现知识体系，如将“一元二次不等式解集”按判别式分类，标注重根、无实根情况，体现知识点的完整性和条理性。特别突出“均值不等式等号成立条件”“分式不等式定义域优先”等应用提示，培养学生的数学思维和推理意识，不同基础学生可高效掌握要点，教师可据此优化教学环节，提升课堂实效。

第2章 等式与不等式清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 2.1 等式与不等式的性质 等式及其基本性质 用等号连接两个表达式所得的式子叫等式。等式具有传递性：若 且 ，则 ；加法性质：若 ，则 ；乘法性质：若 ，则 。等式两边可同时减去同一个数，或同时除以同一个非零数。 等式变形、方程 方程的解集 含有未知数的等式叫方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解；方程所有解组成的集合叫方程的解集。解集与未知数的取值范围有关，本章默认在实数集内求解。 定义域、等价变形 一元二次方程的解集 对 （），令判别式 。当 时，解集为 ；当 时，解集为 ，该根为重根；当 时，解集为 。 判别式、重根 恒等式与对应项系数相等 两个关于 的多项式对任意实数 恒相等，当且仅当同次项的对应系数分别相等。例如 恒成立，当且仅当 、、。 多项式恒等、待定系数法 韦达定理 若一元二次方程 （）的两根为 ，则 ，。反之，已知两根可构造方程 。 根与系数关系、二次方程 实数大小关系 对实数 ，有 ，，。任意两个实数恰有一种关系成立：、 或 。 差值比较法、不等式 不等式基本性质 不等式具有传递性：若 且 ，则 ；加法性质：若 ，则 ；乘法性质：若 且 ，则 ，若 ，则 。同乘或同除以负数时不等号方向改变。 移项、不等式变形 常用不等式推论 若 、，则 ；若 ，则 （ 为正整数）；若 且 ，则 ；若 、，则 。 正数乘法、乘方单调性 差值比较法 比较两个实数或两个表达式 的大小，考察差 的符号： 时 ， 时 ， 时 。恒有 ，且等号当且仅当 。 完全平方、等号成立条件 2.2 不等式的求解 不等式的解与解集 能使含未知数不等式成立的未知数值叫不等式的解，所有解组成的集合叫解集。将多个含相同未知数的不等式联立得到不等式组，其解集是各不等式解集的交集。求解应通过等价变形完成。 不等式组、集合交集 一元一次不等式 解 等一元一次不等式时按 的符号分类： 时除以 不改变方向； 时除以 要改变方向； 时根据常数不等式判断解集为 或 。 分类讨论、不等号方向 一元二次不等式（两个不同实根） 对 且 的 ，设两根为 。则大于零的解集为 ，小于零的解集为 ；含等号时分别补入根： 取 ， 取 。当 可先整体乘以 -1 并改变不等号方向。 判别式、零点分区法 一元二次不等式（重根或无实根） 设 。当 、重根为 时， 的解集为 ， 的解集为 ， 的解集为 ， 的解集为 。当 时，二次式恒正，因此 、 的解集为 ，、 的解集为 。 配方法、二次函数符号 分式不等式 解分式不等式必须先写出定义域，令分母不为零。将分式移项并通分后，可转化为分子、分母同号或异号的不等式组，也可转化为整式不等式；最终解集必须排除使原分母为零的点。 定义域、同号法则、符号表 绝对值不等式 当 时，，； 或 ， 或 。含有 时可理解为数轴上点 到 的距离。 数轴距离、分类讨论 2.3 基本不等式及其应用 平均值不等式 对正数 ，算术平均值不小于几何平均值：，即 ，等号当且仅当 。 最值、均值不等式 和与积的最值关系 当正数 的积 为定值时，和 在 时取得最小值；当和 为定值时，积 在 时取得最大值。应用时需同时检查正数条件和等号成立条件。 平均值不等式、最值问题、矩形最值 常用平方不等式 对任意实数 ，有 以及 ；第一个不等式和由其推出的第二个不等式均在 时取等号。 完全平方公式、最值估计 三角不等式 对任意实数 ，，等号当且仅当 ；由此可得反三角不等式 。 绝对值、距离不等式 三角不等式的距离形式 对任意实数 ，有 。特别地，，等号成立当且仅当 。 绝对值最值、数轴距离 由恒等式证明不等式 可将目标不等式转化为非负量。例如 导出 ；对非负 ，由 得 ，等号当且仅当 。 配方、非负性、等号条件 调和平均值与算术平均值 对正数 ，调和平均值为 ，算术平均值为 ，满足 ，等号当且仅当 。 平均速度、平均值不等式 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $