第十五章 轴对称（重难点单元自测）数学新教材人教版八年级上册

第十五章轴对称 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26七年级下·山西太原·期末）刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A.原图是轴对称图形，符合要求； B.原图不是轴对称图形，不符合要求； C.原图不是轴对称图形，不符合要求； D.原图不是轴对称图形，不符合要求． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【详解】解：选项A：原定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，该逆命题是假命题，故原定理没有逆定理； 选项B：原定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项C：原定理“等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合”的逆命题是“若一个三角形一边上的高、中线和该边所对顶角的平分线互相重合，则这个三角形是等腰三角形”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项D：原定理“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 故选：A． 4．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与关于直线对称， ，，故A、C、D选项正确，不符合题意， 不一定成立，故B选项错误，符合题意． 5．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（     ） A．12 B．13 C．15 D．18 【答案】A 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∴的周长． 6．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，四边形中，点、分别在、上，将沿翻折，得，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察图形可知， 由翻折变换可知， ， ， ， ， 在四边形中，， ． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解： 在中，， ∴，， 由尺规作图可知，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·四川成都·期末）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为，，．已知长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，特殊情形：点是等边三边的垂直平分线的交点， ∴，，， ∵是等边三角形，且， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】解：如图，过点D作于H，并延长， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，当点B、P、共线时取等号， ∵点Q是动点， ∴当时，即点与点H重合，的值最小，最小值为． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    【答案】4 【详解】解：如图所示，    故答案为：4． 12．（21-22七年级下·山西临汾·阶段检测）如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 【答案】/115度 【详解】解：由轴对称性质得， ∵， ∴． 13．（25-26七年级下·山西运城·期末）2026年5月问世的宇树载人变形机甲，可灵活切换形态，攀爬陡坡，穿越复杂地形，其在斜坡测试时，车身支撑结构可抽象为，如图所示，，点为支撑点，将沿翻折后得到，已知，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：， ， 根据折叠的性质，得；， ， ， ， ， ． 14．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【答案】6 【详解】解：连接， 点是中点、， 垂直平分、， ， 点是中点、， 垂直平分、， ， ， 设、，则， 的周长为， ， ， ． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 【答案】1 【详解】解：点与点关于轴对称 点 点与点关于轴对称 ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 16．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接．若的周长为，，求的周长为____． 【答案】13 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 17．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接．若面积为，的周长为___． 【答案】30 【详解】解：证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． 由，，， ， ， 的周长为30． 18．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，等边中，，点为边上一动点，连接，点，在上，连接，，，．设，则_______．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 如图，作，交的延长线于点，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即平分， 作于点，作于点，则， ∵，， ∴， 设点到边的距离为，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，∴． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26七年级下·全国·周测）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【详解】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 20．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求，，， (2)如图，点P即为所求， 【详解】（1）见答案（2）见答案 21．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)点，点即为所求：   ， (2)点即为所求，路径即为所求：   ． 【详解】（1）解： 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ；（2）见答案 22．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点是边上一点． (1)尺规作图：在射线上确定一点，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的前提下，直线与相交于点，若，试说明：． 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知：， ，， ，， 又∵， ， 又， ． 【详解】（1）解：理由如下：∵，故， ∴． （2）见答案 23．（25-26七年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，连接，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴（等腰三角形的三线合一）． 【详解】（1）见答案．（2）见答案． 24．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在和中，，且点在上，交于点，连接，若． (1)求证：； (2)请用等式表示和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：， ， ， 在和中， ； (2)解：．（或）理由如下： ， ， 由（1）得，， ， ， ∴在中，， 在中， ， ， ， ． 【详解】（1）见答案（2）见答案 25．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 【答案】(1)证明：①，，平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②如图，在上取一点H，使，连接， 由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ； (2) 【详解】（1）①见答案．②见答案． （2）解：如图，连接，作于点M，交的延长线于点N， 点与关于射线对称， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 26．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明：作，交于点， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)7 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）见答案 （3）解：∵，， ∴由（2）知，， 作，，连接，， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴，当D、M、共线时取等号， ∴的最小值是7． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章轴对称 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26七年级下·山西太原·期末）刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 3．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 4．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（     ） A．12 B．13 C．15 D．18 6．（2026·河南·二模）如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 7．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，四边形中，点、分别在、上，将沿翻折，得，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．（25-26七年级下·四川成都·期末）为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形的三边作垂线，垂足分别为，，．已知长度为4，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 10．（25-26七年级下·河南·期末）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，点P是上的动点，点Q是上的动点，则的最小值为（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    12．（21-22七年级下·山西临汾·阶段检测）如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知是对称轴，，，则_________． 13．（25-26七年级下·山西运城·期末）2026年5月问世的宇树载人变形机甲，可灵活切换形态，攀爬陡坡，穿越复杂地形，其在斜坡测试时，车身支撑结构可抽象为，如图所示，，点为支撑点，将沿翻折后得到，已知，则的度数为______． 14．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 15．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点A，C的坐标分别为，，则的值等于___________． 16．（25-26八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接．若的周长为，，求的周长为____． 17．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接．若面积为，的周长为___． 18．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，等边中，，点为边上一动点，连接，点，在上，连接，，，．设，则_______．（用含的代数式表示） 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26七年级下·全国·周测）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 20．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)在x轴上取一点P，使最短，请画出点P并直接写出点P的坐标． 21．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 22．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，点是边上一点． (1)尺规作图：在射线上确定一点，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的前提下，直线与相交于点，若，试说明：． 23．（25-26七年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，在中，． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，连接，作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)证明：． 24．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在和中，，且点在上，交于点，连接，若． (1)求证：； (2)请用等式表示和的数量关系，并说明理由． 25．（25-26七年级下·四川成都·期末）已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 26．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点，在边上，连接，，满足，且，点在边上，连接交于点．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图，点，在边上，且，连接，，已知，，直接写出的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $