课时规范练35　数列的概念与简单表示法-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以题载法构建数列概念到应用的完整训练体系，通过基础巩固、综合提升、创新应用三级进阶，强化观察归纳、构造转化、周期分析等核心方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|6题|观察法求通项、周期数列判断、构造等比数列、Sn与an关系|从数列表示（通项、前n项和）到简单递推，构建概念生成链| |综合提升练|4题|递减数列判断、非递增数列参数范围、实际问题建模|递推关系深化，结合函数性质与实际情境，拓展应用维度| |创新应用练|1题|子列构造与求和唯一性分析|高阶应用，培养创新意识与数学语言表达能力|

课时规范练35　数列的概念与简单表示法 (分值:67分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础 巩固练 1.(2025·江西景德镇期末)若数列{an}的前4项依次为20,11,2,-7,则数列{an}的一个通项公式为(　　) A.an=(-1)n+1×2n B.an=-9n+29 C.an=9n+11 D.an=9n-18 2.(2025·辽宁锦州期末)已知在数列{an}中,a1=-,an+1=1-,则a9=(　　) A. B. C. D.5 3.(2025·安徽马鞍山一模)已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则Sn取得最小值时n的值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 4.(多选题)(2025·广东模拟)记Sn为首项为2的数列{an}的前n项和,已知an-anan+1=1,则下列选项正确的是(　　) A.2a2=1 B.a4=3 C.a2 025+1=0 D.2S2 025=2 023 5.(2025·湖北一模)在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则数列{an}的通项公式an=　.  6.(2025·山东济南二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,=1(n∈N*),则an=　　　　.  综 合 提升练 7.(多选题)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足an·Sn=9(n=1,2,…),则下列结论正确的是(　　) A.{an}的第2项小于3 B.{an}为等比数列 C.{an}为递减数列 D.{an}中存在小于的项 8.(2025·河北张家口二模)已知数列{an}不是递增数列,且an=则k的取值范围是　　　　.  9.自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的,这种生物在生育下一代时,成对的基因相互分离形成配子,配子随机结合形成下一代的基因型.若某生物群体的基因型为Aa,在该生物个体的随机交配过程中,基因型为aa的子代基因无法适应自然环境而被自然界淘汰.例如当亲代只有Aa的基因型个体时,其子一代的基因型如下表所示: 雌 雄 A a A AA Aa a Aa × 由上表可知,子一代中AA∶Aa=1∶2,子一代产生的配子中A占,a占,以此类推,子七代中Aa的个体所占的比例为　　　　.  10.数列{Ln}为:1,3,4,7,11,18,29,…,即L1=1,L2=3,且Ln+2=Ln+1+Ln.记Sn为数列{Ln}的前n项和,则S40-L42=　　　　;记数列{Ln}的各项依次被4除所得余数所形成的数列为{an},则数列{an}的前2 024项和为　　　　.  创 新 应用练 11.(15分)(2025·山东德州期中改编)已知数列{an},从中选取第i1项,第i2项,…,第im项(i1<i2<…<im),顺次排列构成数列{bk},其中bk=,1≤k≤m,则称新数列{bk}为{an}的长度为m的子列.规定:数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的子列. (1)写出2,8,4,7,5,6,9的三个长度为4的递增子列; (2)若数列{an}满足an=3n-1,n∈N*,其子列{bk}的长度m=4,且{bk}的每一子列的所有项的和都不相同,求的最大值. 参考答案 1.B　解析 对于B,从前四项看,这是一个以20为首项,以-9为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式有an=-9n+29,故B正确; 对于A,当n=1时,a1=2,这与条件不符,故A错误; 对于C,当n=2时,a2=29,这与条件不符,故C错误; 对于D,当n=1时,a1=-9,这与条件不符,故D错误. 故选B. 2.A　解析 因为a1=-,an+1=1-, 所以a2=1-=5, 所以a3=1-, 所以a4=1-=-, 所以a5=1-=5,…, 所以数列{an}是周期为3的数列,所以a9=a3= 故选A. 3.C　解析 令an=0,解得n≤3或n>, 当n≤3时,an≥0,故当n=1,2时,Sn递增,且S3=S2; 当4≤n≤8时,an<0,故当n=4,5,6,7,8时,Sn递减; 当n≥9时,an>0,Sn递增. 又a1=,a2=,a3=0,a4=-,a5=-,a6=-,a7=-,a8=-5, 故S8<S1,所以Sn取得最小值时n的值为8.故选C. 4.AC　解析 由题意可得an+1=1-,可得下表: n 1 2 3 4 5 6 … an 2 -1 2 -1 … 所以数列{an}的周期是3, 2a2=2=1,故A正确,a4=a1=2,故B错误, 由2 025÷3=675,则a2 025+1=a3+1=0,故C正确; 2S2 025=2×675×(a1+a2+a3)=2 025,故D错误.故选AC. 5.3n+2　解析 由an+1=3an-4, 可得an+1-2=3(an-2), 又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3为首项,3为公比的等比数列, 所以an-2=3n,所以an=3n+2. 6.2n-1　解析 由题设,数列{}是首项、公差均为1的等差数列,则=1+(n-1)×1=n,所以Sn=n2. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,显然a1=1满足此式, 所以an=2n-1. 7.ACD　解析 由题意可知an>0,当n=1时,=9,可得a1=3;当n≥2时,由Sn=可得Sn-1=,两式作差可得an=,所以-an,则-a2=3,整理可得+3a2-9=0,且a2>0,解得a2=<3,A正确;假设数列{an}为等比数列,设其公比为q,则=a1a3,即()2=,所以=S1S3,可得(1+q)2=(1+q+q2),解得q=0,不符合题意,故数列{an}不是等比数列,B错误;当n≥2时,an=>0,可得an<an-1,所以数列{an}为递减数列,C正确;假设对任意的n∈N*,an,则S100 000≥100 000=1 000,所以a100 000=,与假设矛盾,假设不成立,D正确.故选ACD. 8.(-∞,]　解析 因为{an}不是递增数列,所以k≤0,或解得k所以k的取值范围是(-∞,]. 9　解析 设子n代中Aa占比为an,则AA占比为1-an, 所以A∶a=[2(1-an)+an]∶an=(2-an)∶an,则子(n+1)代的基因型如下表所示: 雌 雄 A a A ()2AA Aa a Aa × 由表可知,表格中总份数为()2+2(其中淘汰了份), 因此子(n+1)代中Aa的占比为=an+1, 化简得an+1=,即,即,所以数列{}是首项为,公差为的等差数列,所以n+1,an=,因此a7= 10.-3　4 048　解析 由题意可知,L42=L41+L40=L40+L39+L38+L39=(L40+L39+L38)+L37+L38=(L40+L39+L38+L37)+L38=(L40+L39+L38+L37)+L36+L37=(L40+L39+L38+L37+L36)+L37=…=(L40+L39+L38+…+L1)+L2=S40+L2,所以S40-L42=-L2=-3.数列{Ln}的各项依次被4除所得余数为1,3,0,3,3,2,1,3,0,3,3,2,…,发现余数的周期为6,前6项的和为1+3+0+3+3+2=12,2 024=337×6+2,2 024项包含337个周期,余2个数,所以数列{an}的前2 024项的和为337×12+1+3=4 048. 11.解 (1)根据题意可知,从所有数字中任意取4个并按照从小到大的顺序排列,即可得出符合题意的递增子列,可取2,4,7,9;2,4,5,6;2,4,5,9;2,4,6,9;2,5,6,9;4,5,6,9中任意三个. (2)因为{bk}的长度m=4,且{bk}的每一子列的所有项的和都不相同,由an=3n-1可知b1<b2<b3<b4,为使的值最大,所以尽量使b1,b2,b3,b4的取值最小即可,从而b1的最小值为2,b2的最小值为5,取b1=2,b2=5.因为b1+b2=2+5=7,则b3的最小值为8,取b3=8.若b4=11,则b1+b4=2+11=13=b2+b3,不符合题意;若b4=14,则b1+b3=10,b2+b3=13,b1+b4=16,b2+b4=19,b3+b4=22;b1+b2+b3=15,b1+b2+b4=21,b1+b3+b4=24,b2+b3+b4=27;b1+b2+b3+b4=29,以上数值均不相同,所以b4的最小值为14.当b1,b2,b3,b4均取最小值时,则均取到对应的最大值,所以的最大值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $