2.6 二次函数与一元二次方程 第1课时 课件 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过竖直上抛小球问题导入，探究落地时间引出函数与方程联系，再观察函数图象与x轴交点，结合根的判别式用表格总结关系，搭建知识支架。 其亮点是以实际问题培养数学眼光（抽象能力、几何直观），通过观察思考引导自主推理（推理意识），用表格、符号等数学语言构建模型观念。如小球运动分析、图象与方程根的对应探究，帮助学生提升直观理解与逻辑推理能力，为教师提供结构化教学流程和多样化例题。

第二章 二次函数 2.6 二次函数与一元二次方程 鲁教版（五四制）九年级上册 第1课时 二次函数与一元二次方程的关系 学习目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解. 学习重难点 能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系. 难点 重点 探究新知 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(单位：m)与运动时间t(单位：s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度。一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛出,小球的高度h与运动时间t 之间的关系如图所示，那么 （1）h与t的表达式是什么? （2）小球经过多少秒落地?你有 几种求解方法?与同伴进行交流。 （1）h=﹣5t2+40t。 （2）小球经过8 s落地。 观察·思考 二次函数y=x2+2x，y=x2－2x+1，y=x2－2x+2的图象如图所示。 (1)每个图象与x轴有几个交点? (2)一元二次方程x²+2x=0，x²-2x+1=0，x²-2x+2=0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下。 (3)二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax²+bx+c=0的根有什么关系? 4 二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点。 当二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax²+bx+c=0的根，此时，判别式Δ=b²-4ac ≥0. 当二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴没有交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根，此时，判别式Δ=b²-4ac <0。 5 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有公共点 没有实数根 b2-4ac < 0 总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点 a＞0 a＜0 有两个公共点x1,x2 （x1＜x2） 有一个公共点x0 没有公共点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x1 y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x1 y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解 y＞0，所有实数； y＜0，无解 y＜0，所有实数； y＞0，无解 总结 典例精析 例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点； 例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2. 典例精析 课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c （a>0）的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集 不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y x O y >0 ＝0 ＜0 x1 ; x2 x1 =x2＝－ 没有实数根 x<x1或x>x2 x ≠ x1的一切实数 所有实数 x1<x<x2 无解 无解 1. [淄博市博山区模拟] 抛物线与 轴只有 一个公共点，则 的值为( ) B A. B. C. D. 课堂练习 11 2. 二次函数 的图象如图 所示，关于 的一元二次方程 的解为( ) A A. ， B. ， C. ， D. ， 12 3. [绵阳中学自主招生] 已知三条抛物线 , , 中至少有一条与 轴相交，则实数 的取值范围是( ) D A. B. 且 C. D. 且或 13 【点拨】由题意得， , , 这三个方程的判别 式中至少一个非负：或 或 ，解得，或, ， 且或 . 14 4. 已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 的交点有( ) C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【点拨】 直线过第一、二、三象限， .由题 意得，即 ， ， 此方程有两个不相等 的实数解. 直线与抛物线 的交点有2个. 15 5. 已知，若关于 的方程 的解为，，关于 的方程 的解为， .则下列结论正确 的是( ) B A. B. C. D. 16 【点拨】关于 的方程 的解为抛物线 与直线 的交点的 横坐标，关于 的方程 的解为抛物线 与直线 的交点的 横坐标.画示意图如图. 由图可知， ，故选B. 17 6. 如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ，，则关于 的方程 的解为_______________. , 18 思路支架 19 7. [济南市天桥区模拟] 如图，直线 与抛物线 交于，两点，则关于 的方 程 的两根之积是___. -4 20 【点拨】 直线 经过点 , , , 直线的表达式为. 直线 经过点, , , . 方程的两根为和 两根之积为 . 21 8. 已知关于的函数 的图象与 坐标轴共有两个不同的交点，则实数 的可能值有( ) A A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 22 【点拨】 函数 的图象与坐标 轴共有两个不同的交点, 当时, 的图象与 坐标轴有两个不同的交点，符合题意；当 时，则 或 , 解得或.综上，的值是0或 或1,共4个. 23 （第9题） 9. 李同学在探究函数 的性质时，作出了如图所示 的图象，请根据图象判断，当方程 有两个实数根时，常数 满 足的条件是( ) D A. B. C. D. 或 24 （第10题） 10. [山东省日照市中考] 已知二次函数 图象的一部分如图所 示，该函数图象经过点 ，对称轴为直线 .对于下列结论：① ；② ；③多项式 可因式分解 C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 为；④当时，关于 的方程 无实数根.其中正确的有 ( ) 25 （第10题） 【点拨】由图象可知,, , ，故①正确；时， , ,,故②正确； 函 数图象经过点,对称轴为直线, 抛 物线与轴的另一个交点为, 多项式 可因式分解为,故③错误； 抛 物线的表达式为 ， 26 抛物线的顶点坐标为 ，观察图象可知 当时，关于的方程 无实数根，故④正确.故选C. （第10题） 11. 现定义：对于一个数，我们把 称为的“邻一数”，若，则；若 ，则 .例如： ， .已知函数 ，当直线 与该函数的图 象有4个交点时， 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 28 【点拨】由题知 当时， ， 令，则 ， ， 其图象如图. 29 当直线过点，即 时， 与函数 的图象有3 个交点.令 ，即 ，当直线 与抛 物线 只有一个公共点时， ，解得 .由图象 可得当时，直线 与函数 的图象有4个交点. 12. 将二次函数在轴上方的图象沿 轴 翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象， 若直线与这个新图象有3个公共点，则 的值为 _ __________. 或 31 【点拨】新图象如图所示，令 ,解得或,即点 的坐标为 .联立得 ,整理 得 ,根据题意可知 ,解得,当一次函数图象过点 32 时，将点的坐标代入, 得 , 解得.综上，若直线 与这个新 图象有3个公共点，则的值为或 . 13. [武汉市江夏区期末] 已知抛物线 的对称轴为直线，与 轴的一 个交点为.若关于 的一元二次方程 有整数解，则 值有___个. 4 34 【点拨】如图，易知抛物线始终与 轴交于 与 关于 的一元二次方程 有整数解，即直线 与抛物线 有交 点，，其中为整数时， 或0或1或2或3 或4或5.又与, 与,与 关于 直线对称,当时,直线恰好过抛物线顶点, 值有4个. 35 $