1.1 锐角三角函数 第1课时 (课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形正切概念及坡度关系，通过梯子倾斜程度的问题导入，结合相似三角形回顾，搭建从具体情境到抽象定义的学习支架，帮助学生理解正切的本质及与坡度的联系。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过相似推理发展数学思维，用坡度问题强化数学语言表达。如自动扶梯陡缓比较实例，让学生直观感受正切的应用价值，既助学生深化概念理解，又为教师提供结构化教学方案，提升教学效率。

第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数 第1课时 正切与坡度 鲁教版九年级上册 回顾与思考 你有几种判断方法？ (1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡些？ 你是怎样判断的？ 梯子是一种日常生活中经常使用的工具. 你有几种判断方法？ (2)在图中，梯子AB和EF哪个更陡些？你是怎样判断的？ 3 知识点1 正切 如图，B1，B2是梯子AB上的点，B1C1⊥AC，垂足为点C1，B2C2⊥AC，垂足为点C2.小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度. 尝试·思考 你同意他们的看法吗？ 4 总结 当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定. 知识点1 正切 尝试·思考 (1) Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？ (2) 与有什么关系? (3) 如果改变B2在AB上的位置并保持B2C2⊥AC（垂足是点C2）呢？由此你能得出什么结论? 仍能得到 相似 相等 当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定. 知识点1 正切 尝试·思考 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边BC与邻边AC的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA，即 A B C ∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 知识点1 正切 tan A不表示“tan”乘“A”.tan A是一个完整的符号，它表示∠A的正切. tan A＞0且没有单位，它表示一个比值，tan A的大小只与∠A的大小有关. 特别提醒 知识点1 正切 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=5，AB=13，则tan A＝________． 例 解析：由正切的定义，tanA=. 在Rt△ABC中，∵AC=5，AB=13， ∴BC=12.（勾股定理） ∴tan A＝=. 例题解析 直角三角形中求锐角正切值的方法： (1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解； (2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利 用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义 求解． 归纳总结 思考·交流 在图中，你发现梯子的倾斜程度与tanA有怎样的关系? 1.当锐角A变化时，相应的tanA也随之变化.tanA的值越大，梯子越陡. 2.当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关． 归纳总结 例：如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 解：甲梯中，tanα== 乙梯中，tanβ== 因为tanα＞tanβ，所以甲梯比较陡. 在很多实际问题中，人们无法测量倾斜角(如梯子与地面的夹角)，这时通常采用倾斜角的正切值来刻画倾斜程度.一个锐角的正切值角度的增大(减小)而增大( 减小). 特别提醒 (1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”． (2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”． 归纳总结 1. 如图， △ABC是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？ 解： ∵△ABC是等腰三角形， BD⊥AC， ∴D是AC的中点． ∴DC＝AD＝AC＝3. 在Rt△BCD中，tan C＝＝＝. 对应练习 知识点2 正切与坡度(角)的关系 例如，有一个山坡，如果沿山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么这个山坡的坡度就是tanα=＝. 正切也经常用来描述山坡的坡度. 坡面的铅直高度与水平宽度的比成为坡度（或坡比）. 坡面的垂直高度与水平宽度之比 叫做坡度，记作 i . 坡度的概念， （1）记住是一个比值而不是角度， （2）要明确坡度其实就是坡角的正切． 知识点2 正切与坡度(角)的关系 例：如图，某人从山脚下的点A走了 200 m后到达山顶的点B，已知 点B到山脚A的垂直高度为55 m，求山坡的坡度（结果精确到0.001). 解：由勾股定理可知， AC＝ ＝ ≈192.289(m)， ∴tan ∠BAC＝ ≈≈0.286. 所以，山坡的坡度大约是0.286. 例题解析 1.正切:∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切， 记作tan A， 即tan A＝. 课堂小结 A B C ∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 2.正切与坡度(角)的关系： 坡度就是坡角的正切. 1. 在中， ，， ，那么 等于( ) D A. B. C. D. 2. 在中， ，，， 的对边分别为 ，，，，则 的值为_ __. 课堂练习 21 （第3题） 3. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，， 都在小正方形的顶点上，则 的值为( ) C A. 1 B. C. D. 22 4. 在如图的正方形网格纸中，，， ， 都在格点处，与相交于点，则 的值等于___. 3 （第4题） 23 （第5题） 5. 如图所示，在菱形 中， ，，垂足为 ， 若，则菱形 的周长为 ____. 40 24 6. 如图，在矩形中， ， ，点在上，将矩形沿折叠，点 恰好落 在边上的点处，那么 __. （第6题） 25 7. 某航天测控中心为测试火星车在崎岖地形的爬坡 能力，搭建了一条坡度为 的模拟斜坡.若火星车沿斜坡前 进了 ，那么它所在的位置比原来的位置升高了( ) A A. B. C. D. 26 8. 某拦水坝的横截面为梯形（如图），迎水坡 的坡 角为 ，且，背水坡的坡度 ，是指坡面 的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽 ，坝高 ,则坝底宽 ______. 27 9. 在等腰三角形 中， ，，则 __. 28 （第10题） 10. 中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1， 为直角三角形中的较大锐角，则 ( ) B A. 1 B. 2 C. D. 29 （第11题） 11. 如图，在平面直角坐标系中，将 平移，得到，点, 在坐标轴上.若 ,,，则点的坐标为( ) B A. B. C. D. 30 （第12题） 12. 如图， 是平面镜，光线 从点出发经上点反射后照射到点 ， 若入射角为 ，反射角为 （反射角等于 入射角），于点， 于 点，且，， ，则 的值为__. 31 （第13题） 13. 如图，已知正方形 和正方形 ，点在上，与交于点 ， 若，正方形 的边长为8， 则 的长为____. 10 32 14. 如图，在 中， ， 平分交于点，过点作 交于点，将沿所在直线折叠得到， 交于点．若，则 _ ___． 33 15. [山东省菏泽市模拟] 如图，一段河堤的斜坡 ，为了加固河堤，需要将堤坝加厚.竣工后，斜坡 的坡度由原来的变成，加固后斜坡 的长是多少？ （结果保留根号） 34 【解】如图，过作，过作 ，垂足分别为 ， . 设，则易得， ， . 在中， ， , ， （负值已舍去）. 35 在中， , . 答：加固后斜坡的长是 . $