14.2 三角形全等的判定（知识清单，知识点5&易错&12题型）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了三角形全等的判定知识体系。从边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）到直角三角形特有的HL判定，明确各判定的内容、几何语言及归纳总结，结合易错点解析构建完整学习支架。 知识链路按判定方法逻辑递进，每个知识点配特别提醒规避误区，题型涵盖基础应用到倍长中线、旋转等模型拓展。通过归纳总结培养抽象能力，模型题锻炼推理意识，尺规作图体现数学语言表达，助力学生系统掌握全等判定及灵活应用。

第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 🔷知识点一　边边边（SSS） 1．内容：__________________________________． 2．几何语言：____________________________________________________________________. 📌 归纳总结 如图，如果__________________________________，则. ⚠特别提醒 不要漏写公共边，三条边必须一一对应. 🔷 知识点二　边角边（SAS） 1．内容：__________________________________． 2．几何语言：____________________________________________________________________. 📌 归纳总结 如图，如果__________________________________，则． ⚠特别提醒 必须是两边中间的夹角，不是其中一边的对角. 🔷 知识点三　角边角（ASA） 1．内容：__________________________________． 2．几何语言：____________________________________________________________________. 📌 归纳总结 如图，如果__________________________________，则． ⚠特别提醒 边必须在两个角中间，为两角的公共边． 🔷 知识点四　角角边（AAS） 1．内容：__________________________________． 2．推导依据：__________________________________． 3．几何语言：____________________________________________________________________. ⚠特别提醒 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等．这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论． 🔷 知识点五　直角三角形全等的判定（HL） 1．适用范围：仅用于_________________． 2．内容：__________________________________． 3．几何语言：____________________________________________________________________. 4．其他判定方法：直角三角形也可使用__________________________________判定全等． ⚠特别提醒 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理． 易错点 1 误用”SSA”判定全等 错例：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，求证：△ABC≌△DEF.错解：由AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，根据”SSA”得△ABC≌△DEF. 错因：两边及其中一边的对角相等（SSA）不能判定三角形全等，这是常见误区. 规避方法：牢记全等判定只有SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种.遇到两边一角，必须确认角是两边的夹角（SAS），否则不能判定. 易错点 2 判定条件选择错误 错例：已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，求证△ABC≌△DEF. 错解：由两角一边相等，用”AAS”判定. 错因：AB是∠A和∠B的夹边，已知两角及其夹边相等，应使用”ASA”而非”AAS”.虽然结论正确，但判定依据书写错误，考试中会扣分. 规避方法：分析已知条件时，明确边与角的位置关系：角夹边→ASA；角的对边→AAS；两边夹一角→SAS. 易错点 3 遗漏隐含条件 错例：如图，AB=CD，AD=CB，求证△ABD≌△CDB. 错解：由AB=CD，AD=CB，直接得△ABD≌△CDB. 错因：只有两组边相等，缺少第三组条件，遗漏了公共边BD=DB这一隐含条件. 规避方法：观察图形时，主动寻找公共边、公共角、对顶角、角平分线/垂直平分线带来的等量关系，补全判定条件. 题型一：用SSS证明三角形全等 📝方法技巧 1. 寻找三组对应边相等，优先利用公共边. 2. 题干多给出线段和差、等量代换，先推导出三边对应相等再证明． 1．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 3．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型二：用SAS证明三角形全等 📝方法技巧 1.找准两组对应边两边的夹角，角必须夹在两条边中间. 2.优先挖掘公共角、对顶角，严格区分夹角与对角，禁止套用SSA． 1．下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 2．如图，相交于点．若，则要用“SAS”证明，还需添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．如图，和相交于点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 4．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，若，，．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 题型三：用ASA（AAS）证明三角形全等 📝方法技巧 AAS：两角夹一边，相等的边在两个角中间； AAS：两角加其中一个角的对边； 可结合三角形内角和，灵活在ASA、AAS之间转化． 注意：分清夹边与对边，条件顺序与定理保持一致． 1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 题型四：全等的性质与HL综合 📝方法技巧 1.HL专用于直角三角形，只需找斜边一条直角边相等； 2.先利用HL证全等，再用全等性质求线段、角度． 注意：普通三角形不能使用HL，做题先标注直角． 1．如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 2．如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（   ） A． B． C． D． 4．如图，．可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，于点D，．如果，那么（　　） A． B． C． D． 6．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离与的距离间的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 题型五：灵活选择判定方法证全等 📝方法技巧 1．已知多条边相等→优先SSS. 2．已知两边一个角→优先SAS（必看是否为夹角）. 3．已知多个角相等→优先ASA、AAS. 4．图形含直角→优先尝试HL． 注意：先挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件． 1．如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 3．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 题型六：倍长中线模型 📝方法技巧 遇到三角形中线，延长中线至一倍长，构造SAS型全等；利用全等实现线段转移，将分散线段集中到同一个三角形中． 口诀：遇中线，加倍延，出全等，转线段． 注意：延长后务必标注相等线段，明确对顶角为夹角． 1．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，是的中线，是上一点，连接并延长，与交于点，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是(   ) A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 题型七：旋转模型 📝方法技巧 图形绕定点旋转，旋转前后三角形全等；旋转角为公共角，利用“等角公共角”推出夹角相等，常用SAS证明． 口诀：图形旋转边角不变，公共角作夹角，SAS直接用． 注意：找准旋转前后的对应边、对应角． 1．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ） A．6 B．15 C．12 D．30 3．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，给出下列4个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　) A． B． C． D． 题型八：垂线模型 📝方法技巧 多条垂线出现，可得多个直角90°；利用同角/等角的余角相等推导角相等，再结合ASA、AAS、SAS证全等． 口诀：多垂直，余等角，转角之后证全等． 注意：区分直角、余角关系，不要混淆角度． 1．如图，点E为正方形内一点，连接，，，若，，则为（   ） A．12 B．36 C．72 D．144 2．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 3．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 题型九：尺规作图-作三角形 📝方法技巧 依据SSS、SAS、ASA判定原理作图，先作基准边，再作角/截取线段，保留作图痕迹，最后标注字母． 1．根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 2．数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 3．根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 4．在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 5．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型十：尺规作一个角等于已知角 📝方法技巧 核心原理是SSS全等；按照“画射线→截等线段→画等弧→确定另一边”四步操作，全程保证半径不变． 1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 3．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ） A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 题型十一：过直线外一点作已知直线的平行线 📝方法技巧 利用同位角相等，两直线平行，先作一个角等于已知同位角，依托“作等角”尺规方法完成． 注意：找准同位角位置，作图痕迹清晰． 1．要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 2．如图，用尺规作图“过点C作”，图中，这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 题型十二：全等三角形综合问题 📝方法技巧 整体思路：识图找隐含条件→选判定证全等→用全等性质推边角关系；多步题型分步拆解，结合平行线、角平分线、高线、模型综合分析． 1．如图为个边长相等的正方形的组合图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为内一点，连接且平分，过点作，交于点，．若，，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 3．已知线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，端点的坐标分别为，将线段顺时针旋转后得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知是的边上一点，交于点，，，若，，则的长为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 5．如图，在中，，，点E、D、F分别在、、上，根据图上标注的已知条件，与不一定全等的是（   ） A． B．C． D． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 🔷知识点一　边边边（SSS） 1．内容：三边分别相等的两个三角形全等． 2．几何语言：在和中，∴. 📌 归纳总结 如图，如果，则. ⚠️ 特别提醒 不要漏写公共边，三条边必须一一对应. 🔷 知识点二　边角边（SAS） 1．内容：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 2．几何语言：在和中，∴. 📌 归纳总结 如图，如果，则． ⚠️ 特别提醒 必须是两边中间的夹角，不是其中一边的对角. 🔷 知识点三　角边角（ASA） 1．内容：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 2．几何语言：在和中，. 📌 归纳总结 如图，如果，则． ⚠️ 特别提醒 边必须在两个角中间，为两角的公共边． 🔷 知识点四　角角边（AAS） 1．内容：两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等． 2．推导依据：结合三角形内角和，AAS可由ASA推导得出． 3．几何语言：在和中，∴. ⚠️ 特别提醒 由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等．这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论． 🔷 知识点五　直角三角形全等的判定（HL） 1．适用范围：仅用于直角三角形． 2．内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 3．几何语言：在和中，∴. 4．其他判定方法：直角三角形也可使用SSS、SAS、ASA、AAS判定全等． ⚠️ 特别提醒 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理． 易错点 1 误用”SSA”判定全等 错例：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，求证：△ABC≌△DEF.错解：由AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，根据”SSA”得△ABC≌△DEF. 错因：两边及其中一边的对角相等（SSA）不能判定三角形全等，这是常见误区. 规避方法：牢记全等判定只有SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种.遇到两边一角，必须确认角是两边的夹角（SAS），否则不能判定. 易错点 2 判定条件选择错误 错例：已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，求证△ABC≌△DEF. 错解：由两角一边相等，用”AAS”判定. 错因：AB是∠A和∠B的夹边，已知两角及其夹边相等，应使用”ASA”而非”AAS”.虽然结论正确，但判定依据书写错误，考试中会扣分. 规避方法：分析已知条件时，明确边与角的位置关系：角夹边→ASA；角的对边→AAS；两边夹一角→SAS. 易错点 3 遗漏隐含条件 错例：如图，AB=CD，AD=CB，求证△ABD≌△CDB. 错解：由AB=CD，AD=CB，直接得△ABD≌△CDB. 错因：只有两组边相等，缺少第三组条件，遗漏了公共边BD=DB这一隐含条件. 规避方法：观察图形时，主动寻找公共边、公共角、对顶角、角平分线/垂直平分线带来的等量关系，补全判定条件. 题型一：用SSS证明三角形全等 📝方法技巧 1. 寻找三组对应边相等，优先利用公共边. 2. 题干多给出线段和差、等量代换，先推导出三边对应相等再证明． 1．如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； B．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； C．满足三角形全等的判定定理，符合题意； D．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； 2．如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，，∴， 根据现有条件无法直接利用判定，，． 3．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法SSS，即可解答． 【详解】解：由“”可以判定两个三角形全等，，，. 题型二：用SAS证明三角形全等 📝方法技巧 1.找准两组对应边两边的夹角，角必须夹在两条边中间. 2.优先挖掘公共角、对顶角，严格区分夹角与对角，禁止套用SSA． 1．下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． 2．如图，相交于点．若，则要用“SAS”证明，还需添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS． 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴当添加时，（SAS）． 3．如图，和相交于点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 若要用证明，则需要添加条件， 4．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，若，，．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意可知利用判定，继而选出答案． 【详解】解：∵在和中，，∴. 题型三：用ASA（AAS）证明三角形全等 📝方法技巧 AAS：两角夹一边，相等的边在两个角中间； AAS：两角加其中一个角的对边； 可结合三角形内角和，灵活在ASA、AAS之间转化． 注意：分清夹边与对边，条件顺序与定理保持一致． 1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件，两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 2．如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形判定条件分析即可． 【详解】解：由题可得：，， ，， ． 3．如图，研学小组的同学为了测量公园人工湖岸边上点到湖对岸边上点之间的距离，在与点同侧的湖岸上选择了一点，利用激光测角仪测得，的度数；然后在点所在的湖岸边找点，使得，同时，利用全等三角形的性质，可得之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先理解题意，结合，，，证明，即可作答． 【详解】解：依题意，∵，，，∴， ∴图中与全等的依据是． 题型四：全等的性质与HL综合 📝方法技巧 1.HL专用于直角三角形，只需找斜边一条直角边相等； 2.先利用HL证全等，再用全等性质求线段、角度． 注意：普通三角形不能使用HL，做题先标注直角． 1．如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 【答案】B 【详解】解：①和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①和③两个直角三角形满足“”，可证明两个三角形全等； ③和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①②的一条直角边等于④的斜边，无法得到全等； ③和④无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等， 则满足题意的为选项B． 2．如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定．利用“”判定即可． 【详解】解：根据题意，当，时，，故选项A符合题意． 3．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理“”即可求证，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， 4．如图，．可以判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可． 【详解】解：∵∴在和中，，. 5．如图，在中，，于点D，．如果，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过HL判定定理可证Rt∆BDE≅Rt∆BCE，得到ED=EC，即可求解． 【详解】在和中，，，∴，∴， ∴． 6．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离与的距离间的关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断，又，，所以，所以． 【详解】解：，，由，，， ． 题型五：灵活选择判定方法证全等 📝方法技巧 1．已知多条边相等→优先SSS. 2．已知两边一个角→优先SAS（必看是否为夹角）. 3．已知多个角相等→优先ASA、AAS. 4．图形含直角→优先尝试HL． 注意：先挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件． 1．如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了用边边边公理判定三角形全等，点所在的位置与边构成的三角形如果与三边对应相等，则符合要求，否则不符合要求． 【详解】解：如下图所示， 当以点为顶点作时，在和中，，； 当以点为顶点作时，在和中，，； 当以点为顶点作时，在和中，，；点有个． 2．如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（   ） A．有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C．有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：由题意可知：，，， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是和不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 3．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意． 题型六：倍长中线模型 📝方法技巧 遇到三角形中线，延长中线至一倍长，构造SAS型全等；利用全等实现线段转移，将分散线段集中到同一个三角形中． 口诀：遇中线，加倍延，出全等，转线段． 注意：延长后务必标注相等线段，明确对顶角为夹角． 1．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线，，在和中，，， ∴在中，，即，解得. 2．如图，是的中线，是上一点，连接并延长，与交于点，若，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴, ∵，∴，∴， ，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴． 3．小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是(   ) A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，②倍长中线后利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍小于其它两边和，即其一边上的中线小于其他两边和的一半，即可． 【详解】解：①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，故①不正确； ②如图，是的中线，且，延长至点，使，连接， 是的中线，，在和中，，， ， ，即，结论②正确. 题型七：旋转模型 📝方法技巧 图形绕定点旋转，旋转前后三角形全等；旋转角为公共角，利用“等角公共角”推出夹角相等，常用SAS证明． 口诀：图形旋转边角不变，公共角作夹角，SAS直接用． 注意：找准旋转前后的对应边、对应角． 1．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，，则，，，即点D，E，F三点共线，，，即，在和中，，， ，， 五边形的面积为， ，． 2．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知，，则（    ）    A．6 B．15 C．12 D．30 【答案】B 【分析】作交的延长线于点，证、即可求解． 【详解】解：作交的延长线于点，如图： . . .设，则.∵ .解得.∴. 3．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，，， ，，在和中，，，， ，即是直角三角形，， ，即与的面积之和为21. 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，给出下列4个结论①∠ABC＝∠ADC；②CB＝CD；③DE+DC＝BC；④AB∥CD．一定正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即①错误；由旋转可知，由于，即推出，即②错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即③错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明，即④正确； 【详解】由旋转可知，∵点A，D，E在同一条直线上，∴， ∵，∴，故①错误，不符合题意；由旋转可知，∵ 为钝角，∴，∴，故②错误，不符合题意；∵DE+DC＞CE，∴，故③错误，不符合题意；由旋转可知，∵，∴为等边三角形，∴．∴，∴，故④正确，符合题意； 5．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 题型八：垂线模型 📝方法技巧 多条垂线出现，可得多个直角90°；利用同角/等角的余角相等推导角相等，再结合ASA、AAS、SAS证全等． 口诀：多垂直，余等角，转角之后证全等． 注意：区分直角、余角关系，不要混淆角度． 1．如图，点E为正方形内一点，连接，，，若，，则为（   ） A．12 B．36 C．72 D．144 【答案】C 【分析】过点作于点，利用正方形的性质和同角的余角相等证明，进而证得，得出，再三角形面积公式即可求解. 【详解】解：过点作于点，、 四边形是正方形 ， ，， ，，即， ， ， ， ， ，. 2．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，， ∵，∴，又∵，，∴， ∴，∴． 3．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解． 【详解】解：，，于，于，， ，，，．，， ． 题型九：尺规作图-作三角形 📝方法技巧 依据SSS、SAS、ASA判定原理作图，先作基准边，再作角/截取线段，保留作图痕迹，最后标注字母． 1．根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、两角不能确定三角形，此项错误，不符合题意． 2．数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 【答案】B 【分析】本题考查确定唯一三角形的条件，需结合三角形全等判定定理分析两位同学的说法． 【详解】解：三边分别相等的两个三角形全等（）， 当，，时，三边长度确定，能画出唯一的，故小杭的说法正确； 三个角分别相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同，即存在多个大小不同的三角形满足，，，不能画出唯一的，故小州的说法错误；综上，小杭对，小州错． 3．根据下列条件所作的三角形中，形状不能唯一确定的是（     ） A．已知线段，用尺规作，使，， B．已知，，线段，用尺规作，使，， C．已知线段，，，用尺规作，使，， D．已知线段，，，用尺规作，使，， 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形判定对三角形形状唯一性的影响，符合全等判定条件的三角形可唯一确定形状，不符合则不能唯一确定，只需判断各选项对应的判定类型即可． 【详解】解：∵全等三角形可唯一确定三角形的形状和大小，逐一分析各选项： A、已知三边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； B、已知两角和夹边作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； C、已知两边及其夹角作三角形，符合全等判定，三角形形状唯一确定； D、已知两边及其中一边的对角作三角形，属于，不能判定三角形全等，可作出多个形状不同的三角形，形状不能唯一确定． 4．在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查了用圆规作图和全等三角形判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解； 【详解】解：由图示知，小海第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小华第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 选项D表述为“小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长”明显错误，符合题意. 5．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确. 题型十：尺规作一个角等于已知角 📝方法技巧 核心原理是SSS全等；按照“画射线→截等线段→画等弧→确定另一边”四步操作，全程保证半径不变． 1．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作如下标识， 根据作法可知，，，∴ ，∴，则画出的依据是， 2．如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹结合全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 3．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等. 题型十一：过直线外一点作已知直线的平行线 📝方法技巧 利用同位角相等，两直线平行，先作一个角等于已知同位角，依托“作等角”尺规方法完成． 注意：找准同位角位置，作图痕迹清晰． 1．要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图的基本操作、平行线的判定定理、全等三角形的判定与性质，解读两人尺规作图对应的几何逻辑是解题关键． 根据直线平行的判定法则对嘉嘉和淇淇的尺规作图过程进行分析． 【详解】解：嘉嘉的作法正确．理由：由作图可知， ∴； 淇淇的作法正确．理由：在和中，，∴，∴，∴． 2．如图，用尺规作图“过点C作”，图中，这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，，，，， 题型十二：全等三角形综合问题 📝方法技巧 整体思路：识图找隐含条件→选判定证全等→用全等性质推边角关系；多步题型分步拆解，结合平行线、角平分线、高线、模型综合分析． 1．如图为个边长相等的正方形的组合图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形，准确识图并判断出全等的三角形是解题的关键，标注字母，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而求出． 【详解】解：如图，在和中，，， ， ，. 2．如图，在中，为内一点，连接且平分，过点作，交于点，．若，，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，即可． 【详解】解：平分，，，， ，，，，， ，，，，，， 3．已知线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，端点的坐标分别为，将线段顺时针旋转后得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意证即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：，.∵，∴.∵，∴.∴.∴点的坐标为. 4．已知是的边上一点，交于点，，，若，，则的长为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用ASA证明和全等，进而得出，即可求出的长． 【详解】解：，．，，（ASA）．．，. 5．如图，在中，，，点E、D、F分别在、、上，根据图上标注的已知条件，与不一定全等的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定．根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的判定，逐项判断，即可． 【详解】解：∵，，∴， A、∵，∴，故本选项不符合题意； B、∵，∴，故本选项不符合题意； C、∵，∴，∵， ∴，∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，∴，∵， ∴，∵，无法得到与全等，故本选项符合题意. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $