第1章 直线与方程（单元分层自测·基础通关卷）数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦高二数学“直线与方程”单元基础通关，覆盖倾斜角、垂直平行关系等核心知识，通过基础题与综合应用题梯度设计，适配单元复习巩固，培养几何直观与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|倾斜角、方向向量、直线交点|基础概念辨析，强化抽象能力| |多选|3/18|直线截距、四边形斜率与中点|多角度考查，培养推理意识| |填空|3/15|点到直线距离、平行直线参数|简洁计算，提升空间观念| |解答|5/77|三角形中线方程、公路情境应用、新定义“正直点”|综合应用，体现模型意识与创新意识|

2026-2027学年高二数学单元自测 第1章 直线与方程·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A A A D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AC BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．7 14．或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为直线和直线平行， 则，解得或， 经检验时两条直线重合舍去，所以． （6分） （2）因为直线与直线垂直， 所以，即，解得或. （13分） 16．（15分） 【解析】（1）由，，为中点，可得， 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （4分） 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （7分） （2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：. 由两点间的距离公式可得，两点间距离： . 所以的面积. （15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （7分） （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得，（10分） 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. （15分） 18．（17分） 【解析】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （4分） （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （8分） （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， （11分） 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． （17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题意可得，解得. 故的取值范围为；（4分） （2）由（1），， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 的周长为. （9分） （3）由题意可知，均为整数， 所以均为整数， 又，则，，. 所以，即. 所以，，0或2， 当时，，，直线的一般式方程为； 当时，，，直线的一般式方程为； 当时，，，直线的一般式方程为； 当时，，，直线的一般式方程为， 所以直线的一般式方程为 或或或. （17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第1章 直线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 3．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，与垂直，可得： ，解得. 4．经过抛物线与的两个交点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，得，即，解得或， 所以两抛物线的交点为，， 故过两个交点的直线方程为. 5．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 6．已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 【答案】D 【解析】整理直线的方程，可知直线恒过定点， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或： 当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件； 当时，直线的斜截式方程为，斜率为， 若，解得；若，解得或， 综上，的取值范围是或. 7．已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 因为，， 所以，， 当且仅当即时取等号. 8．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【解析】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8， 设直线的方程为，则，即， 直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即， 联立解得直线的方程为，即， 即这样的直线有且只有一条． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 【答案】BD 【解析】由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 10．已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 【答案】AC 【解析】A选项，直线的斜率为，A正确； B选项，直线的斜率为，故直线的倾斜角不为，B错误； C选项，线段的中点坐标为，C正确； D选项，，显然，故与不平行， 故四边形不是平行四边形，D错误. 故选：AC 11．直线与不相交，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】表示直线（去掉点）， ∴直线与不相交，即直线与平行或直线过点， ∴的取值为或. 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【解析】根据题意画出图象如下图所示： 易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 13．已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【解析】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 14．已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 【答案】或 【解析】， 所以直线的斜率为，倾斜角为， 当直线不存在斜率时，方程为， 显然此时直线与直线的夹角为，符合题意； 当直线存在斜率时，设为， 因为直线与直线的夹角为， 所以， 此时方程为. 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 根据条件求值 (1)若直线和直线平行，求m的值； (2)已知直线，直线，且，求m的值． 【解析】（1）因为直线和直线平行， 则，解得或， 经检验时两条直线重合舍去，所以． （6分） （2）因为直线与直线垂直， 所以，即，解得或. （13分） 16．（15分） 已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 【解析】（1）由，，为中点，可得， 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （4分） 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （7分） （2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：. 由两点间的距离公式可得，两点间距离： . 所以的面积. （15分） 17．（15分） 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【解析】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （7分） （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得，（10分） 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. （15分） 18．（17分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【解析】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （4分） （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （8分） （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， （11分） 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． （17分） 19．（17分） 现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”. (1)求的取值范围； (2)求的面积取得最小值时对应的周长； (3)若A，也为“整数点”，求直线的一般式方程. 【解析】（1）由题意可得，解得. 故的取值范围为；（4分） （2）由（1），， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 的周长为. （9分） （3）由题意可知，均为整数， 所以均为整数， 又，则，，. 所以，即. 所以，，0或2， 当时，，，直线的一般式方程为； 当时，，，直线的一般式方程为； 当时，，，直线的一般式方程为； 当时，，，直线的一般式方程为， 所以直线的一般式方程为 或或或. （17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第一章 直线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．经过抛物线与的两个交点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 7．已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 10．已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 11．直线与不相交，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 13．已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 14．已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 根据条件求值 (1)若直线和直线平行，求m的值； (2)已知直线，直线，且，求m的值． 16．（15分） 已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 17．（15分） 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 18．（17分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19．（17分） 现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”. (1)求的取值范围； (2)求的面积取得最小值时对应的周长； (3)若A，也为“整数点”，求直线的一般式方程. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第1章 直线与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．经过抛物线与的两个交点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 7．已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（   ） A．3条 B．2条 C．1条 D．0条 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 10．已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 11．直线与不相交，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 13．已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 14．已知直线的方程为，若直线过点，且直线与直线的夹角为，则直线的方程为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 根据条件求值 (1)若直线和直线平行，求m的值； (2)已知直线，直线，且，求m的值． 16．（15分） 已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 17．（15分） 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 18．（17分） 已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19．（17分） 现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”. (1)求的取值范围； (2)求的面积取得最小值时对应的周长； (3)若A，也为“整数点”，求直线的一般式方程. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $