第一章 直线与圆（单元分层自测·基础通关卷）数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学选择性必修第一册第一章“直线与圆”单元复习卷，以基础通关为目标，覆盖直线方程、圆的方程及位置关系等核心知识，通过分层设计与情境应用，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|直线斜率、垂直关系、圆的距离|基础概念辨析，如第2题直线垂直求参数| |选择题（多选）|3/18|直线方向向量、对称点、圆的位置|多维度考查，如第9题综合判断直线方程与距离| |填空题|3/15|直线与圆相切、平行关系|简洁考查运算能力，如12题切线求参数| |解答题|5/77|直线方程应用、圆的相切与定点、实际建模（圆拱桥）、三角形形状判断、切线与切点弦|综合应用与情境建模，如17题圆拱桥建立坐标系求方程，19题切线及切点弦长计算，体现数学建模与逻辑推理|

2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第一章 直线与圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B．， C． D．， 2．若直线与互相垂直，则（    ） A．0 B． C． D． 3．圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．圆与圆的公切线有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 6．在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（    ） A． B． C． D． 7．已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 8．已知，则的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中，正确的有（    ） A．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 B．直线的一个方向向量为 C．若点和点关于直线对称，则 D．已知直线：，：，则与之间的距离是 10．已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 11．已知直线，，下列说法正确的有（    ） A．过定点 B．当时， C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若直线与圆相切，则实数___________. 13．已知直线，，且，则实数__________. 14．经过点且与直线垂直的直线方程为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 16．（15分）已知圆． (1)求证：该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆相切，求的值． 17．（15分）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米. (1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程; (2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）． 18．（17分）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 19．（17分）过点引圆C：的切线 (1)求切线方程 (2)设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第一章 直线与圆·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D B C A B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD ABC AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13．或. 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）由点斜式方程得，即 .......4分 （2）与x轴平行时，， ∴，即.......8分 （3）与x轴垂直，斜率不存在，方程为.......12分 16.解：(1)圆的方程可整理为， 此方程表示过圆和直线交点的圆系，.......3分 由，得， 所以已知圆恒过定点．.......7分 （2）圆的方程可化为， ①当两圆外切时，，即，解得；.......10分 ②当两圆内切时，，即，解得；.......13分 综上所述，．.......15分 17.解：（1）建立如图所示的坐标系， 设该圆拱所在圆的方程为， 由于圆心在轴上，所以，那么方程即为. .......3分 因为都在圆上， 所以它们的坐标都是这个圆的方程的解， 于是有方程组，解得                                              所以，这个圆的方程是．.......7分 （2）由题知点的横坐标为. 所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得，.......10分 所以， 因为的纵坐标，故应取正值，.......13分 所以，（米）．          所以，支柱的高度约为3.11米........15分 18.解：（1）因为，，， 所以的斜率，，.......3分 的斜率，，.......6分 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形；.......9分 （2）易求中点坐标，所以直线的斜率，.......13分 边上的中线为，化为一般式为．.......17分 19.解：（1）圆的圆心为，半径， 过的直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1， 若直线斜率不存在，则过的直线方程为，则圆心到直线的距离为， 符合题意，故是圆的切线方程；.......5分 若直线斜率存在，设为，则直线方程为，圆心到直线的距离为， 即，解得，则直线方程为， 切线方程为与．.......9分 （2） 联立切线与圆的方程，解得，故点，.......12分 点位于圆外，连接交于点， ， ，， ，为等腰三角形，为中点， ， ，解得，.......15分 直线的方程为，一般方程为：， 圆心到直线的距离为， ．.......17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第一章 直线与圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B．， C． D．， 2．若直线与互相垂直，则（    ） A．0 B． C． D． 3．圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．圆与圆的公切线有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 6．在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（    ） A． B． C． D． 7．已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 8．已知，则的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中，正确的有（    ） A．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 B．直线的一个方向向量为 C．若点和点关于直线对称，则 D．已知直线：，：，则与之间的距离是 10．已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 11．已知直线，，下列说法正确的有（    ） A．过定点 B．当时， C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若直线与圆相切，则实数___________. 13．已知直线，，且，则实数__________. 14．经过点且与直线垂直的直线方程为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 16．（15分）已知圆． (1)求证：该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆相切，求的值． 17．（15分）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米. (1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程; (2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）． 18．（17分）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 19．（17分）过点引圆C：的切线 (1)求切线方程 (2)设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学单元自测 第一章 直线与圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【解析】由直线可化为，因此可得，. 2．若直线与互相垂直，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线与互相垂直，所以，得. 3．圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心坐标，所以圆心到直线的距离为. 4．圆与圆的公切线有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】两圆的圆心分别为,半径分别为圆心距,所以，所以两圆相交，有2条公切线. 5．已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由，即两直线交点坐标为，代入得：. 6．在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知圆与圆的半径相等，故，且关于直线对称，故直线与直线垂直，则 7．已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】直线的斜率存在，∴，由题意，则，故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；若是方程组的一组解，则，则点，在直线，即上，但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误. 8．已知，则的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解析】方程，即表示以点为圆心，以1为半径的圆， 设，即，依题意，直线与圆有公共点，则圆心到的距离小于或等于半径，由，解得，所以的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中，正确的有（    ） A．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 B．直线的一个方向向量为 C．若点和点关于直线对称，则 D．已知直线：，：，则与之间的距离是 【答案】BCD 【解析】A选项：过点且斜率为的直线的点斜式方程为，所以A错误；B选项：直线的斜率为，一个方向向量为，所以B正确；C选项： 点和点关于直线对称，所以，解得，故.所以C正确;D选项：与平行，两平行线间距离为，所以D正确. 10．已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 【答案】ABC 【解析】线段的中点坐标为，又，因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径，所以圆的方程为，对于A，点代入，所以点在圆上，故A正确；对于B，点代入，所以点在圆外，故B正确；对于C，点代入，所以点在圆内，故C正确；对于D，点代入，所以点在圆上，故D错误. 11．已知直线，，下列说法正确的有（    ） A．过定点 B．当时， C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】AB 【解析】直线，即，令，得，则过定点，故A正确； 当时，直线，，可得，故B正确；若直线，平行，则，解得，当时，直线，，符合题意；当时，直线，，符合题意，则的充要条件是，故C错误；点到直线的距离，当时，，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若直线与圆相切，则实数___________. 【答案】 【解析】由题意可得：，解得：. 13．已知直线，，且，则实数__________. 【答案】或. 【解析】因为，所以，化简可得，解得或， 14．经过点且与直线垂直的直线方程为___________. 【答案】 【解析】由题可设所求直线方程为，代入点，可得，即，所以经过点且与直线垂直的直线方程为. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 15.解：（1）由点斜式方程得，即 .......4分 （2）与x轴平行时，， ∴，即.......8分 （3）与x轴垂直，斜率不存在，方程为.......12分 16．（15分）已知圆． (1)求证：该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆相切，求的值． 16.解：(1)圆的方程可整理为， 此方程表示过圆和直线交点的圆系，.......3分 由，得， 所以已知圆恒过定点．.......7分 （2）圆的方程可化为， ①当两圆外切时，，即，解得；.......10分 ②当两圆内切时，，即，解得；.......13分 综上所述，．.......15分 17．（15分）如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米. (1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程; (2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）． 17.解：（1）建立如图所示的坐标系， 设该圆拱所在圆的方程为， 由于圆心在轴上，所以，那么方程即为. .......3分 因为都在圆上， 所以它们的坐标都是这个圆的方程的解， 于是有方程组，解得                                              所以，这个圆的方程是．.......7分 （2）由题知点的横坐标为. 所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得，.......10分 所以， 因为的纵坐标，故应取正值，.......13分 所以，（米）．          所以，支柱的高度约为3.11米........15分 18．（17分）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 18.解：（1）因为，，， 所以的斜率，，.......3分 的斜率，，.......6分 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形；.......9分 （2）易求中点坐标，所以直线的斜率，.......13分 边上的中线为，化为一般式为．.......17分 19．（17分）过点引圆C：的切线 (1)求切线方程 (2)设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长． 19.解：（1）圆的圆心为，半径， 过的直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1， 若直线斜率不存在，则过的直线方程为，则圆心到直线的距离为， 符合题意，故是圆的切线方程；.......5分 若直线斜率存在，设为，则直线方程为，圆心到直线的距离为， 即，解得，则直线方程为， 切线方程为与．.......9分 （2） 联立切线与圆的方程，解得，故点，.......12分 点位于圆外，连接交于点， ， ，， ，为等腰三角形，为中点， ， ，解得，.......15分 直线的方程为，一般方程为：， 圆心到直线的距离为， ．.......17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $