2.5 二次函数的应用 第3课时 (课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数在抛物线形问题中的应用，通过衔接此前几何最值、最大利润问题的学习，以“拱桥、运动轨迹”等实际情境为导入，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生掌握模型建立与问题转化方法。 其亮点在于结合大门抛物线、排球运动轨迹等实例，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理建模的能力，课堂小结明确“建系—转化坐标—求解析式—解决问题”四步骤，助力学生形成模型意识，既提升学生实际应用能力，也为教师提供清晰的教学路径与丰富案例。

第二章 二次函数 2.5 二次函数的应用 鲁教版（五四制）九年级上册 第3课时 抛物线形问题 学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 学习重难点 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 难点 重点 课时导入 前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，最大利润问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”形问题. 探究新知 如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部AB宽为4 m，顶部C距地面的高度为4.4 m。 （1）试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数的表达式; （2）一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.65m，装货宽度为2.4 m，那么这辆汽车能否顺利通过大门? 4 解： （1）以AB所在直线为x轴，以过点C垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系。设抛物线的表达式为y=ax²+k。 ∵AB=4 m,点C到AB的距离为4.4m， ∴点C,B的坐标为C(0,4.4),B（2,0）。 代入求出a=-1.1,k=4.4。 ∴抛物线的表达式为y=-1.1x²+4.4。 （2）当x=1.2时，y=2.816＞2.65,所以汽车能顺利通过大门。 5 在上面的问题中，如果装货宽度为24m的汽车能顺利通过大门，那么货物顶部距地面的最大高度是多少(结果精确到0.01m)? 尝试·思考 6 总结 解决桥拱形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标； (3)恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式; (4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解. 注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知点在坐标轴上. 例如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出,把球看成点, 其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足解析 式y=a(x-6)2+h,已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米. (1)当h=2.6时,求y与x的函数解析式. (2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说 明理由. (3)若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范围是多少? (1)∵h=2.6,球从O点正上方2m的A处发出, ∴抛物线y=a(x-6)2+h过点(0, 2), ∴2=a(0-6)2+2.6,解得:a= - , 故y与x的函数解析式为 y= - (x-6)2+2.6. (2)当x=9时, y=- (x-6)2+2.6=2.45>2.43, 所以球能过球网; 当y=0时, - (x-6)2+2.6=0, 解得: x1=6+2 >18, x2=6-2 (舍去),故会出界. 解： (3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点 (0,2), 代入解析式得 此时二次函数解析式为y=- (x-6)2+ , 此时球若不出边界，则h≥ ； 当球刚能过网,此时函数图象过(9,2.43), 抛物线y=a(x-6)2+h 还过点(0,2),代入解析式得 此时球要过网，则h≥ , 故若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围是:h≥- . 解决抛物线形运动问题时,要会根据图的特点,建立恰当的坐标系,由抛物线图象读出最大高度和最远距离(一般以水平面为x轴),然后借助抛物线上一些特殊点的坐标求出函数解析式,并解决问题. 总结 课堂小结 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线形问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择简便的运算方法 实际问题 数学模型 转化的关键 1. [天津市模拟] 如图所示的公路隧 道的截面呈抛物线形，线段 表示 水平的路面，以所在直线为 轴， 以过点垂直于轴的直线为 轴，建立平面直角坐标系.若 ，抛物线的顶点到的距离为 ，则抛物线对 应的函数表达式为_ _______________. 课堂练习 13 2. 建设高速隧道 是为了更好地适应地形、保护环境、节 省土地和提高通行效率，除此之外高速 隧道还有重要的战略意义.如图所示，某高速隧道的下部近似 为矩形，上部近似为一条抛物线.已知 米， 米，高速隧道的最高点（抛物线的顶点）离地面 的距离为6米. 14 （1）建立如图所示的平面直角坐标系， 求抛物线的表达式. 【解】由题意得顶点的纵坐标为6，， , 抛物线的对称轴为直线 . 设抛物线的表达式为，将 的坐标代 入，得，解得 , 故抛物线的表达式为 . 15 （2）若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯， ， 且与之间的距离为米，则点与隧道左壁 之间的距离为多少米？ 16 根据题意，得点与的距离为（米），当 时， , 解得， （舍去）, 故点与隧道左壁之间的距离为 米. 17 3. [山东省青岛市期末] 小林同学是一 名羽毛球运动爱好者，下面是他对羽毛球 的飞行路线的分析.如图，在平面直角坐标 系中，点，在轴上，球网与 轴的水平距离 ，，，击球点在 轴上.若选 择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离 近似满足 一次函数关系 ；若选择吊球，羽毛球的飞行 18 高度与水平距离 近似满足二次 函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离 是时，达到最大高度 . （1）求吊球时羽毛球的飞行高度 与 水平距离 近似满足的二次函数的表达 式； 【解】由题意得, 二次函数图象的顶点为 ， 可设二次函数的表达式为 . 在中，令 ,则 ， . ， . . （2）请通过计算说明两种击球方 式是否过网； 当 时， ， . 又 球网的高度为 ， 两种击球方式均能过网. 22 （3）要使球的落地点到 点的距离更近，请通过计算判断应 该选择哪种击球方式. 23 在中，令 ，则 ，解得 ， 在中，令 ， 则，解得或 （舍去）. ， ， . ， ， 吊球的落地点距离 点更近. 24 4. 公园要建造一个圆形喷水池，示意图如图，在 水池中央垂直于水面安装一个花形柱子， 高 度为，恰在水面中心，安装在柱子顶端 处 2.5 的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路 径落下，设计成水流在与水平距离为 时，达到距水面 最大高度 （不计其他因素），水池的半径至少为____ ，才能使喷出的水流不致落到池外. 25 【点拨】根据题意，右侧抛物线的顶点坐标 是，并且经过点 ，设该抛物 线的表达式为 ，则 ，解得 ， 该抛物线的表达式为 ，当 时， ，解得， （舍去）， 水池的半径至少为 . 26 5. 一条河上横跨着一座宏伟壮观 的悬索桥.桥梁的缆索与缆索 均呈 抛物线形，桥塔与桥塔 均垂直 于桥面，如图所示，以为原点，以直线为 轴，以桥塔 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系.#1 27 已知：缆索所在抛物线与缆索 所 在抛物线关于轴对称，桥塔 与桥 塔之间的距离 ， （1）求缆索 所在抛物线的函数表达式； ，缆索的最低点到的距离 （桥塔的粗细忽略不计）.#1.1 28 【解】由题易得顶点 的坐标为 ，点的坐标为 , 设缆索 所在抛物线的函数表达式为 , 把的坐标代入，得 ，解得 , 缆索所在抛物线的函数表达式为 29 （2）点在缆索上，，且， ， 求 的长. 30 缆索所在抛物线与缆索 所在抛物 线关于轴对称，且缆索 所在抛物线的 函数表达式为 , 缆索所在抛物线的函数表达式为 . , 把代入，得 , 解得，或 . ,的长为 . 31 6. 廊桥是我国古老的文化遗产.如图是 某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面 宽，桥拱最高处点到水面 9 的距离为，为保护该桥的安全，现要在桥拱上的点 ， 处安装两盏警示灯，若且，则警示灯 距水面的高度为___ . 32 【点拨】如图，以的中点为原点， 所 在直线为 轴，建立直角坐标系，由题意， 得,, ，设抛物线的 表达式为，把 的坐标代入，得 ，. 易得点的横坐标为 ， 当时，，即警示灯 距水 面的高度为 . 33 7. 图①是一座抛物线形拱桥， 小星学习二次函数后，受到该图启 示设计了一建筑物造型，它的截面 图是抛物线的一部分（如图②）， 抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直， ， 点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点 在抛物 线上，点 到对称轴的距离是1．#1 34 （1）抛物线的表达式为____________； 35 【点拨】 抛物线的对称轴与 轴重合， 设抛物线的表达式为 . ,,, . 将点, 的坐标分别代入表达式， 得解得 抛物线的表达式为 . 36 （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点 ，加装 拉杆， ，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找 到点 的位置并求出坐标； 37 【解】如图，作点关于轴的对称点 ，连接 ,交轴于点，则点 即为所求. 点 到对称轴的距离是1， 设直线的表达式为 , 将,的坐标分别代入 , 将代入，得 . . 38 得解得 直线的表达式为 . 当时， , 点的坐标为 . （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式 为，当时，函数 的 值总大于等于9，求 的取值范围． 由题意得新抛物线的对称轴是直线 . , 抛物线开口向下. 40 抛物线上的点到对称轴的距离越近， 对应的 值越大，反之抛物线上的点到对 称轴的距离越远，对应的 值越小. 当,时， 的最小值 在 处取得，最小值为 , 由题意得，解得 ， ； 当,时， 的最小值在 处取得,最小值为 , 由题意得，解得 ， . 综上所述，的取值范围为 ． $