专题03 整式中的数字和图形规律问题有关的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式中数字与图形规律，通过六类模型系统覆盖排列、末尾数字、新运算等问题，以题载法培养抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字排列规律|5题|考查符号、分子分母等数列规律|从具体数字到n项代数式抽象| |末尾数字规律|5题|探究幂运算个位数字循环周期|基于乘方运算归纳周期模型| |新运算规律|5题|定义新算符或规则的迭代应用|理解定义→迁移运算→规律推导| |等式规律|5题|观察等式结构归纳一般式|从特殊等式到n项等式的推理| |图形数字规律|5题|图形中数字分布的对应关系|数形结合提炼数字排列规则| |图形数量规律|5题|图形计数与序号的函数关系|从图形变化归纳数量表达式|

专题03 整式中的数字和图形规律问题有关的六种模型 题型一 数字类规律之排列问题 题型二 数字类规律之末尾数字问题 题型三 数字类规律之新运算问题 题型四 数字类规律之等式问题 题型五 图形类规律之数字问题 题型六 图形类规律之数量问题 题型一：数字类规律之排列问题 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）找规律：，，，，…，第8个数是_____． 【答案】 【分析】观察已知数的特征，分子均为1，分析分母可得规律，第个数的分母为，据此计算第8个数即可． 【详解】解：观察已知数列： 第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， ... 由此可得，第个数为， 当时， ． 2．（2026·江西上饶·三模）有一列数按如下规律排列：请你根据规律写出第6个数：______． 【答案】 【分析】分别拆分分子和分母，寻找各自的变化规律，得到第个数的表达式，再代入计算得到结果． 【详解】解：有一列数按如下规律排列：， 观察分子部分：，，，，可得第个数的分子为； 观察分母部分：， ， ， ， 可得第个数的分母为， 当时， 分子：， 分母：， 因此第个数是． 3．（25-26七年级上·全国·期中）有一组数：，−，，−，…，根据这个规律，第n个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数的规律，首先用的形式来表示交替出现这种规律，再找出分子和分母各自的变化规律，用n表示出来即可，最后综合在一起即可得到答案． 【详解】解：①观察这组数，符号是交替出现，当为奇数时符号为正，当为偶数时符号为负，故符合的规律可以用表示； ②这组数的分子是从1开始的正整数，∴第n个数的分子为n； ③这组数的分母是从2开始的正整数，即比顺序数n大1，∴第n个数分母为； 综上，第n个数为， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【答案】(1)第①行数按（n为正整数）规律排列 (2)见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式． （1）观察可看出第一行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：； （2）观察②，③两行的数与第①行的联系，即可得出答案； （3）分别表示出第①②③行的2025个数，再将x，y，z代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵，9，，81，，729…； ∴第①行数是：，，，，…， 即第①行数按（n为正整数）规律排列； （2）解：第②行数是第①行数相应位置的数乘，即； 第③行数比第①行数相应位置的数大1，即； （3）解：∵，，， ∴ ． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）将连续偶数2，4，6，…排成如下图形，用十字框框出5个数． (1)①十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系？ ②十字框框出的5个数的和与中间的数32有什么关系？ (2)如果将十字框上下左右移动，仍框出5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)设中间的数为a，用代数式表示十字框框出的5个数的和． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)有 (3) 【分析】（1）①观察表格即可得到结论； ②把十字框框出个数计算求和，即可得到答案； （2）这个数还有这种规律； （3）分别用的代数式表示周围个数，把这个数求和，即可得到答案. 【详解】（1）解：①十字框框出的5个数，上面的数比中间的数小，下面的数比中间的数大，左边的数比中间的数小，右边的数比中间的数大； ②个数的和为，，则十字框框出的个数的和恰好为中间的数的倍． （2）解：这个数还有这种规律． （3）解：十字框框出的个数的和为． 题型二：数字类规律之末尾数字问题 6．（2023七年级下·云南保山·竞赛）观察下列运算：，，，，，，则的个位数字是____． 【答案】 【分析】先探究的正整数次幂的个位数字的循环规律，确定循环周期，再计算除以循环周期的余数，根据余数得到的个位数字． 【详解】解：根据题意，得，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 ，个位数字为 观察可得，的正整数次幂的个位数字以为一个循环周期重复出现，周期为 的个位数字与循环周期中第个数的个位数字相同，即为. 7．（2026·河南·模拟预测）计算3的正整数次幂，，，，，，，，…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得的个位数字是_______． 【答案】9 【分析】根据已知数据得到的个位数字以四个一组循环，通过计算指数除以周期的余数，即可得到的个位数字． 【详解】解：由题意，可知的个位数字以四个一组循环， ， 的个位数字是循环组中的第2个数字，即为． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）观察下列等式：，个位数字为7；，个位数字为9；，个位数字是3；，个位数字是1；，个位数字是7……，根据其中规律可得的结果的个位数字是______ 【答案】7 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．先根据已知等式发现个位数字是7，9，3，1为一个循环，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴个位数字是以7，9，3，1为一个循环，且， ∴一个循环中的四个数的个位数字和为0， ∵，且的个位数字是7， ∴的结果的个位数字是7． 故答案为：7． 9．（25-26七年级上·重庆·期中）计算：，，……归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是__________；的个位数字是__________． 【答案】 2 7 【分析】本题考查了2的幂的个位数字规律问题． 通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4．根据指数除以4的余数可确定个位数字． 【详解】通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4． 对于，指数9除以4的余数为1，对应个位数字为2； 对于，指数2025除以4的余数为1，对应个位数字为2， 计算的个位数字：2减5，被减数个位2小于减数个位5，因此向十位借1，相当于个位为． 故答案为：2，7． 10．（22-23七年级下·江苏常州·阶段检测）一、观察下列各式：，，，，，，，，，，，，，根据你发现的规律回答下列问题： （1）的个位数字是_________；的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________；的个位数字是_________； 二、自主探究回答问题： （1）的个位数字是_________，的个位数字是_________； （2）的个位数字是_________，的个位数字是_________． （3）若是自然数，则的个位上的数字是（     ） A．恒为0        B．有时为0，有时非0 C．与的末位数字相同        D．无法确定 【答案】一、（1）；；（2）；；二、（1），；（2），；（3）A 【分析】本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键． 一、（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （2）可以先列出43的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； 二、（1）可以先列出7的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （2）可以先列出7的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可； （3）根据（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同即可得出答案． 【详解】解：一、（1） 3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 故答案为：7；7； （2）由（1）可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7，的个位数字是7； 故答案为：7；7； 二、（1） 7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是3，的个位数字是3 故答案为：3；3 （2） 2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是8，的个位数字是8 故答案为：8；8 （3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同 的个位上的数字恒为0 故选A． 题型三：数字类规律之新运算问题 11.已知有一个新算符“”，使下列算式，，，那么 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得，，，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，，， ∴． 故答案为：． 12．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）是不为1的有理数，我们把称为的“差倒数”，如2的“差倒数”是，－1的“差倒数”是，已知是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，，依次类推，则______． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类规律问题，根据差倒数的定义计算出前几项，找出循环周期，再通过计算除以周期的余数，即可确定的值． 【详解】解：由题意得， ， ， ，……， 可得这列数每个数为一个周期循环， ， ． 13.定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【答案】19 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数），需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为152，， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， ， 则第2024次“运算”的结果是19． 故答案为：19． 14．（25-26七年级上·广西钦州·期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：____； 【深入思考】我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算，并化成幂的形式． 例如： （2）类比上面的计算过程，请将运算转化为幂的形式，要求写出转化过程； （3）利用上述规律计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，除方的运算法则，解题的关键在于正确理解除方的运算法则． （1）根据除方的运算法则，以及有理数的乘除运算法则计算求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及有理数乘方整理求解，即可解题； （3）根据除方的运算法则，以及含乘方的有理数的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ． （3）原式 ． 15．（25-26七年级上·北京通州·期中）给定有理数，，对整式，，定义新运算“”：；对正整数和整式，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，． 例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则_____，_____． (2)对每一个正整数和整式，均有，直接写出，满足的关系； (3)当，时，若，，，是正整数，令，，且不含项，直接写出和的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新运算的定义、指数运算、数字规律、整式运算等知识点，熟练掌握新运算的理解和相关运算法则是解题的关键． （1）根据新定义直接代入化简即可； （2）将根据不同的n值运算展开发现规律，据此确定，满足的关系； （3）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，然后列举验证，找出正整数的解即可． 【详解】（1）解：当，时，若，， ∴， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：要使对每一个正整数n和整式A，均有，我们先分析的规律： 当时，（符合要求）； 当时，， 由，得； 当时， ，代入，得，即 ； 以此类推，可得． （3）解：分析， 当时，； ． 观察规律可得， ，即 同理，． ∴ 将代入， 得： ， ∵不含项， ∴， ∴， 试，则，不是整数； 试，则，不是整数； 试，则，则； 验证时： ，符合要求． 所以． 题型四：数字类规律之等式问题 16．（26-27七年级·全国·小升初衔接）观察下列等式． …… 依次写下去，请写出第100个等式：______． 【答案】 【分析】先观察给出的等式，分析等式两边数字和等式序号之间的规律，得出结论：第n个等式是，即可解答． 【详解】解：第1个（）：， 第2个（）：， 第3个（）：， …… 第n个：， 所以第100个等式是：． 17．（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题． ， ， ， ， …… (1)请你根据以上规律，直接写出第5个等式：__________，第个等式：__________； (2)利用以上规律计算． 【答案】(1)第5个等式：，第个等式： (2) 【分析】（1）先观察已知等式，总结各部分和序号的变化规律，推导得到第个等式的通用形式； （2）利用（1）中推导得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：由规律得，第5个等式为：，第个等式为：． （2）解： ． 18．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据，，，得出一般规律即可得出； （2）①可根据（1）的结论进行解答； ②可类比（1）的裂项方法，将其通项分解后再进行计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． 19．（25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【分析】（1）根据规律直接求解即可； （2）根据规律直接求解即可； （3）根据题意变形得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 20．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）数学活动课上，老师带领大家进行数学活动经验总结． 【观察与思考】观察下列算式： 第1个等式，； 第2个等式，； 第3个等式，； 第4个等式：； … 【猜想与验证】根据你发现的规律解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：__________________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察已知等式，归纳总结出通用规律并加以应用． （1）根据前4个等式的结构，第个等式为，令，即可写出第6个等式． （2）通过观察等式序号、左右两边的结构，用含的代数式表示出通用规律，再通过整式乘法验证等式成立． （3）利用（2）中得出的规律，将每个分式的分子转化为完全平方形式，约分后进行简便计算． 【详解】（1）解：根据规律，第个等式为：， 故答案为：． （2）解：猜想第个等式为：， 验证左边， 右边， 左边右边，等式成立． 故答案为：（为正整数）． （3）解：原式． 题型五：图形类规律之数字问题 21．（2026·江西上饶·模拟预测）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是____________． 【答案】44 【分析】根据前三个图的数字变化，得出数字规律即可求出，的值． 【详解】解：∵第1个图中，，， 第2个图中，，， 第3个图中，，， ∴第4个图中，，． 22．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）如图，观察下列图形中的数字排列规律，在第个图中，的值为______． 【答案】 【分析】观察各图形可发现的规律及它们之间的关系即可解答． 【详解】解：由题意得，所在的位置的数字规律为：，，，，， ∴第个为，即； 由题意得，所在的位置的数字规律为，，，， ∴第个为，即， 由题意得，， ∴当时， ． 23．（2026·湖北恩施·二模）数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复杂的代数问题，比如： 计算 借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为： ，同理借助图②可得： ，借助图③可得： ，观察规律，完成填空： ①________ ②________． 【答案】 【分析】根据题干图形规律总结出算式 ，利用该规律分别计算两小题，第二小题需将带分数拆分为整数部分与分数部分分别求和. 【详解】解：①∵，，， ∴； ②由①可知：， . 24．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 25．（25-26七年级下·安徽安庆·期末）探索规律． 乐乐在计算：，这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积．他发现“剩余图形可以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： ① ② ③ (1)图④的阴影部分表示，这个阴影部分可以转化成长是_______，宽是_______的长方形； (2)根据以上规律计算：． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【分析】（1）根据题目可得两个数的平方的差，等于两数之和与两数之差的乘积，由此可解； （2）将原式重新组合为，再利用（1）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． 题型六：图形类规律之数量问题 26．（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 【答案】（1）10；（2）49；（3） 【分析】本题考查图形类规律探索，找出图形变化规律是解题的关键． （1）根据前3组数据找出变化规律，利用规律求解； （2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒，由此列方程求解； （3）第n个图形有n层，每层竖放小棒数为 【详解】解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒， 故答案为：10； （2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒， 令， 解得； （3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为， 解得． 27．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 28．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 【答案】(1) (2) (3)2053351 【分析】（1）观察可得空白部分小正方形的个数等于最大的正方形的面积减去阴影部分的正方形的面积，据此规律求解即可； （2）根据（1）可得答案； （3）把所求式子按照（2）结论将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算． 【详解】（1）解：图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； ……， 以此类推可知，图n空白部分小正方形的个数是， ∴第8幅图对应的算式为； （2）解：由（1）可得第幅图对应的算式为； （3）解： ． 29．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 某工程队拟用正三角形和正方形地砖铺设某广场的中央地面． 【项目准备】观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； ①______．（是正整数） 【项目分析】 如图，这是该工程队铺设的广场规划图案，图案中央是一块正六边形地砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，第1层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第2层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推． （1）第3层中分别含有②______块正方形和③______块正三角形地板砖． （2）第层中分别含有④______块正方形和⑤______块正三角形地板砖．（用含的代数式表示） 【项目实施】 若1块正六边形地砖的成本为20元，1块正方形地砖的成本为8元，1块正三角形地砖的成本为5元，通过估算需要90块正方形地板砖，则铺设完广场总的成本大约为⑥______元． 请将上述材料中横线上所缺的内容补充完整： ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______． 【答案】①；②6；③30；④6；⑤；⑥7490 【分析】①观察算式找出规律即可； （1）观察图形数出正方形和正三角形块数； （2）根据前三层正方形和正三角形块数找出规律； ⑥找出需要正三角形块数，进而确定答案． 【详解】解：①根据题意得从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以； （1）∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖． （2）∵第一层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第n层包括6块正方形和块正三角形地板砖． ⑥（层）， 需要正三角形地板砖（块）， 则铺设完广场总的成本大约为（元）． 30．（2025一2026学年度第一学期期末质量监测七年级数学试卷）【观察思考】 【规律发现】 如图所示的图案都是由圆组成的图案，每个圆上都有“★”或“▲”． 第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个； 第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个； （1）第个图案中“★”有___________个；“▲”有___________个； （2）第个图案中“★”有___________个，“▲”有___________个；(用含的代数式表示) 【规律应用】 （3）在第个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少． 【答案】（1）；； （2）；； （3） 【分析】本题考查图形规律的探究及代数式的应用，关键是根据给出的前几个图案的数量，归纳出第个图案中两种图形的数量表达式． （1）根据前4个图案的规律，第个图案中“★”的数量为，“▲”的数量为，将代入即可； （2）根据前几个图案的数量规律，提炼出第个图案中两种图形数量的代数式； （3）先分别表示出第个图案中“★”和“▲”的数量，再计算两者的差值，可通过代数式化简简化计算． 【详解】（1）解：根据题目给出的规律，第1个图案对应，第2个对应，，第个图案对应，所以“★”有个；“▲”有个； 故答案为：；； （2）解：由前4个图案的规律可知，第个图案中，“★”的数量是个，“▲”的数量是个； 故答案为：；； （3）解：第个图案中，“★”的个数为，“▲”的个数为； ； 答：在第个图案中，“▲”的个数比“★”的个数少个． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03整式中的数字和图形规律问题有关的六种模型 题型归纳 题型一数字类规律之排列问题 题型二数字类规律之末尾数字问题 题型三数字类规律之新运算问题 题型四数字类规律之等式问题 题型五图形类规律之数字问题 题型六图形类规律之数量问题 题型专练 题型一：数字类规律之排列问题 1,(226入年级下照江哈尔演期术)我件：三·县令，6·立，芳8个数足 16253649 2. (2026江西上饶三模)有一列数按如下规律排列：10'18’28'40 “请你根据规律写出第6个数： 3.（25-26七年级上全国期中)有-组数：，名，3.4 2’-3,4,-5,…,根据这个规律，第1个数是 4.(25-26七年级上·全国期中)观察下面三行数： -3,9,-27,81,…;…第①行 1,-3,9,-27,…;…第②行 -2,10,-26,82,….…第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x,y,z分别为第①②③行的第2025个数，求x+6y+z的值. 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26七年级上·全国课后作业)将连续偶数2,4,6，…排成如下图形，用十字框框出5个数. 24681012 141618202224 262830323436 384042444648 505254565860 (1)①十字框框出的5个数分别与框中间的数32有什么关系？ ②十字框框出的5个数的和与中间的数32有什么关系？ (2)如果将十字框上下左右移动，仍框出5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)设中间的数为a,用代数式表示十字框框出的5个数的和. 题型二：数字类规律之末尾数字问题 6.(2023七年级下云南保山竞赛)观察下列运算：8=8,82=64,8=512,84=4096,8=32768」 86=262144,…,则8202的个位数字是一. 7.(2026河南模拟预测)计算3的正整数次幂，3=3,32=9,3=27,34=81,3°-243,3=729， 3”-2187,38=6561…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得3226的个位数字是一 8.(25-26七年级上江苏无锡阶段检测)观察下列等式：7=7，个位数字为7：7=49，个位数字为 9;73=343,个位数字是374=2401，个位数字是1；7-16807，个位数字是7…，根据其中规律可 得7+7+…+7的结果的个位数字是 9.(25-26七年级上·重庆期中)计算：2=2,22=4,2=8.…归纳各计算结果中的个位数字规律， 则2的个位数字是 一；25-5的个位数字是 10.(22-23七年级下江苏常州阶段检测)一、观察下列各式：3=3,32=9,3=27,34=81， 35=243,36=729,37=2187,…13=13,132=169,133=2197,134=28561,13=371293, 13=4826809,根据你发现的规律回答下列问题： (1)3223的个位数字是 13”的个位数字是 (2)43”的个位数字是 435的个位数字是 二、自主探究回答问题： (1)7”的个位数字是 7的个位数字是 (2)52”的个位数字是 52的个位数字是 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若n是自然数，则n”-n”的个位上的数字是() A.恒为0B.有时为0，有时非0 C.与n的末位数字相同 D.无法确定 题型三：数字类规律之新运算问题 1已知有一个新符“，”，使下列算式23=小2：6 4*6= 2’ 6,那么5*9= 12.(25-26七年级下·宁夏银川：期中)。是不为1的有理数，我们把-。称为a的“差倒数”，如2的 1 1 “差倒数”是己2=-1，-1的“差倒数”是1-（可2，己知4=-34是a的“差倒数”，a,是a,的 1 1-2 “差倒数”，a4是4的“差倒数”，…，依次类推，则226= 13.定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3m+5:②当n为偶数时，结果为2（其 中k是使2为奇数的正整数)，并且运算可以重复进行，例如，取n=26,则： F2 F① F2) 26 13 44 第一次 第二次 第三次 若n=49,则第2024次“F运算”的结果是。 14.(25-26七年级上：广西钦州期末)【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的 运算叫做除方，例如，2÷2÷2，（-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2®， 读作“2的圈3次方”，（-3)：(-3)(-3)：(-3)写作(-3)°，读作“-3的圈4次方”.一般地，把n个 a(a≠0)相除记作a°，读作“a的圈n次方”· 【初步探究】(1)直接写出计算结果：2®=一； 【深入思考】我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算，并化成幂的形式， 例如：3)°=(3列=(3)(3)(3到-(3((}(-（ (2)类比上面的计算过程，请将运算 转化为幂的形式，要求写出转化过程： (3)利用上述规律计算：2”x(4°-（) ÷33 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26七年级上·北京通州期中)给定有理数a,b,对整式A,B,定义新运算“⊕”： A⊕B=a1+bB:对正整数n(n≥2)和整式A定义新运算“®”：n8A=1©40…0A n个A (按从左到右 的顺序依次做“田”运算).特别地，1⑧A=A. 例如，当a=1,b=2时，若A=x,B=-y,则A⊕B=A+2B=x-2y,2⑧A=A⑥A=3x. ()当a=2,b=1时，若A=x+y,B=x-2y,则A⊕B=,3®B=— (2)对每一个正整数n和整式A,均有n⑧A=A,直接写出a,b满足的关系： (3)当a=2,b=1时，若A=3x2+15y,B=2x2-62y-y,p,9是正整数，令P=p⑧A,0=9⑧B, 且P⊕Q不含y项，直接写出P和9的值. 题型四：数字类规律之等式问题 16.(26-27七年级全国·小升初衔接)观察下列等式. 2×2+4×2+3=3×5 3×3+4×3+3=4×6 4×4+4×4+3=5×7 依次写下去，请写出第100个等式： 17.(24-25七年级下·贵州六盘水期末)观察下列等式，找出其中的规律，并完成下列问题. 0×2=12-1, 1×3=22-1, 2×4=32-1, 3×5=42-1, … (1)请你根据以上规律，直接写出第5个等式： 第n个等式： (2)利用以上规律计算399×401 18.(25-26七年级上·辽宁大连阶段检测)类比裂项相消： (1)猜想：n(n+2)- (2)计算： 1 1 1 1 ①1×3+3x55x7 +…+ 99×101 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 1 ②-1x44×7 -2023×2026 19.(25-26七年级下·江西吉安·期末)观察下列各式，解答问题： 1P=1=x1x2x3: 6 P+22=5=2×2x3x5: 6 12+22+32=14=二×3×4×7； 6 1 (四【发现规律】填空：P+2+3+4=（)=6×(）×（）×（): (②【总结规律】猜想填空：P+2+3++m=石×()×()×(（)： 6 (3)【应用规律】求182+192+202+21P+222+232+24的值， 20.(25-26七年级下·安徽合肥·期中)数学活动课上，老师带领大家进行数学活动经验总结. 【观察与思考】观察下列算式： 第1个等式，1×3+1=4=22； 第2个等式，2×4+1=9=32： 第3个等式，3×5+1=16=42： 第4个等式：4×6+1=25=52： 【猜想与验证】根据你发现的规律解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式： (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)： 1×3+12×4+13×5+12024×2026+1 (3)利用上述规律计算：1x3 ×…X 2×4 3×5 2024×2026· 题型五：图形类规律之数字问题 21.(2026·江西上饶模拟预测)如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，的 值是 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 3 4 5 14 727 m n 22.(25-26九年级下·山东聊城阶段检测)如图，观察下列图形中的数字排列规律，在第20个图中，z的 值为 23.(2026湖北恩施·二模)数形结合思想在数学中有着广泛的应用，常常借助简单几何图形解决较为复 杂的代数问题，比如： 11 11 计算2十4借助图①，设大正方形的面积为1，则阴影部分的面积为：2+4 1-13 一44，同理借助图② 111 17 可得： ++-=1- 1+++是=1-5 48 88’ 借助图③可得：2+4+8+16=1-1616，观察规律，完成填空： ●● 2 2 8 8 16 ① ② ③ 1,1,111 ①2+4+8+16+32 @+1+2g315+4+58+627 1 4 8 16 3264 128 24. (25-26七年级上广东东莞期中)观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： ●●●● (1)在④后面的横线上写出相应的答案： ①1=1？：②1+3=2：③1+3+5=32： ④1+3+5+7= ⑤1+3+5+7+9=52：… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式： 第n个等式：1+3+5+7+.+()= (3)根据上述的规律，计算：41+43+45+..+99 25.(25-26七年级下·安徽安庆期末)探索规律， 乐乐在计算：2-P,32-2…这样的算式时，他想到用“数形结合”的方法来探索：以算式中的两个 6/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数分别构造两个正方形，用大正方形的面积减小正方形的面积，求剩余图形的面积.他发现“剩余图形可 以转化成长方形，求它的面积可用下面的算式表示”： 2 3 ①22-12=(2+1)×(2-1) ②32-22=(3+2)×(3-2) ③42-32=(4+3)×(4-3) (1)图④的阴影部分表示52-42，这个阴影部分可以转化成长是 一，宽是 的长方形 (2)根据以上规律计算：(22+42+6+…+1002）-(2+32+52++992) 题型六：图形类规律之数量问题 26.(25-26七年级上四川成都期末)用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层 起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要 18根小棒 ① ② ③ 【特例感知】(1)第4个图形比第3个图形多根小棒： 【探索规律】(2)第n个图形需要的小棒根数比第(n-1)个图形多100根，求n的值： 【拓展运用】(3)若第n个图形竖放小棒根数是其序号n的k倍，请用含n的代数式表示k. 27.(25-26八年级下·安徽合肥期末)综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地， 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫 做图形的密铺。 【规律探究】 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案， ① ② ③ 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有 个，六边形的个数有 个； (2)第n(n为正整数)个图案中，三角形的个数有」 一个，六边形的个数有 个： 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案： 如果没有，说明理由， 28.(25-26七年级下·山东青岛期中)【规律探索】 图1 图2 图3 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是2-12=2+1， 图2空白部分小正方形的个数是32-22=3+2， 图3空白部分小正方形的个数是42-32=4+3： (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式： (2)请再写出第n幅图对应的算式： (用含有字母n的算式表示，其中n为正整数). (3)【问题解决】20262-20252+20242-20232+20222-20212+.+22-12= 29.(2026安徽阜阳一模)综合与实践 【项目主题】 某工程队拟用正三角形和正方形地砖铺设某广场的中央地面， 【项目准备】观察下列算式，并完成填空： 1=12: 1+3=4=22: 1+3+5=9=32: 1+3+5+7=16=42: 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+3+5+…+(2n-1)=① (n是正整数) 【项目分析】 如图，这是该工程队铺设的广场规划图案，图案中央是一块正六边形地砖，周围是正方形和正三角形的地 板砖，从里向外，第1层包括6块正方形和6块正三角形地板砖：第2层包括6块正方形和18块正三角形 地板砖；以此递推， (1)第3层中分别含有② 块正方形和③ 块正三角形地板砖， (2)第n层中分别含有④ 块正方形和⑤】 块正三角形地板砖.（用含n的代数式表示） 【项目实施】 若1块正六边形地砖的成本为20元，1块正方形地砖的成本为8元，1块正三角形地砖的成本为5元，通 过估算需要90块正方形地板砖，则铺设完广场总的成本大约为⑥元. 请将上述材料中横线上所缺的内容补充完整： ①；②；③；④ _；⑤_；⑥ 30.(2025一2026学年度第一学期期末质量监测七年级数学试卷)【观察思考】 第1个图案第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律发现】 如图所示的图案都是由圆组成的图案，每个圆上都有“★”或“▲”· 第1个图案中“★”有4×1个；“▲”有1+3×1个： 第2个图案中“★”有4×2个；“▲”有1+3×2个： 第3个图案中“★”有4×3个：“▲”有1+3×3个： 第4个图案中“★”有4×4个；“▲”有1+3×4个； … (1)第99个图案中“★”有4× 个；“▲”有1+3× 个： (2)第n个图案中“★”有 个，“▲”有 _个；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在第2026个图案中，求“▲”的个数比“★”的个数少多少. 10/10 专题03 整式中的数字和图形规律问题有关的六种模型 题型一 数字类规律之排列问题 题型二 数字类规律之末尾数字问题 题型三 数字类规律之新运算问题 题型四 数字类规律之等式问题 题型五 图形类规律之数字问题 题型六 图形类规律之数量问题 题型一：数字类规律之排列问题 1． 2． 3． 4． 【答案】(1)第①行数按（n为正整数）规律排列 (2)见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式． （1）观察可看出第一行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：； （2）观察②，③两行的数与第①行的联系，即可得出答案； （3）分别表示出第①②③行的2025个数，再将x，y，z代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵，9，，81，，729…； ∴第①行数是：，，，，…， 即第①行数按（n为正整数）规律排列； （2）解：第②行数是第①行数相应位置的数乘，即； 第③行数比第①行数相应位置的数大1，即； （3）解：∵，，， ∴ ． 5． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)有 (3) 【分析】（1）①观察表格即可得到结论； ②把十字框框出个数计算求和，即可得到答案； （2）这个数还有这种规律； （3）分别用的代数式表示周围个数，把这个数求和，即可得到答案. 【详解】（1）解：①十字框框出的5个数，上面的数比中间的数小，下面的数比中间的数大，左边的数比中间的数小，右边的数比中间的数大； ②个数的和为，，则十字框框出的个数的和恰好为中间的数的倍． （2）解：这个数还有这种规律． （3）解：十字框框出的个数的和为． 题型二：数字类规律之末尾数字问题 6． 7．9 8．7 9． 2 7 10． 【答案】一、（1）；；（2）；；二、（1），；（2），；（3）A 【详解】解：一、（1） 3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7； 故答案为：7；7； （2）由（1）可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是7，的个位数字是7； 故答案为：7；7； 二、（1） 7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是3，的个位数字是3 故答案为：3；3 （2） 2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环 的个位数字是8，的个位数字是8 故答案为：8；8 （3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同 的个位上的数字恒为0 故选A． 题型三：数字类规律之新运算问题 11. 12． 13.19 14． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ． （3）原式 ． 15． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：当，时，若，， ∴， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：要使对每一个正整数n和整式A，均有，我们先分析的规律： 当时，（符合要求）； 当时，， 由，得； 当时， ，代入，得，即 ； 以此类推，可得． （3）解：分析， 当时，； ． 观察规律可得， ，即 同理，． ∴ 将代入， 得： ， ∵不含项， ∴， ∴， 试，则，不是整数； 试，则，不是整数； 试，则，则； 验证时： ，符合要求． 所以． 题型四：数字类规律之等式问题 16． 【答案】 【详解】解：第1个（）：， 第2个（）：， 第3个（）：， …… 第n个：， 所以第100个等式是：． 17． 【答案】(1)第5个等式：，第个等式： (2) 【详解】（1）解：由规律得，第5个等式为：，第个等式为：． （2）解： ． 18． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． 19． 【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 20． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据规律，第个等式为：， 故答案为：． （2）解：猜想第个等式为：， 验证左边， 右边， 左边右边，等式成立． 故答案为：（为正整数）． （3）解：原式． 题型五：图形类规律之数字问题 21．44 22． 23． 【答案】 【详解】解：①∵，，， ∴； ②由①可知：， . 24． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 25． 【答案】(1)9，1 (2)5050 【详解】（1）解：， 这个涂色部分可以转化成长是9，宽是1的长方形； （2）解： ． 题型六：图形类规律之数量问题 26． 【答案】（1）10；（2）49；（3） 【详解】解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒， 故答案为：10； （2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒， 令， 解得； （3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为， 解得． 27． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 28． 【答案】(1) (2) (3)2053351 【详解】（1）解：图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； ……， 以此类推可知，图n空白部分小正方形的个数是， ∴第8幅图对应的算式为； （2）解：由（1）可得第幅图对应的算式为； （3）解： ． 29． 【答案】①；②6；③30；④6；⑤；⑥7490 【详解】解：①根据题意得从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以； （1）∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖． （2）∵第一层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第n层包括6块正方形和块正三角形地板砖． ⑥（层）， 需要正三角形地板砖（块）， 则铺设完广场总的成本大约为（元）． 30． 【答案】（1）；； （2）；； （3） 【详解】（1）解：根据题目给出的规律，第1个图案对应，第2个对应，，第个图案对应，所以“★”有个；“▲”有个； 故答案为：；； （2）解：由前4个图案的规律可知，第个图案中，“★”的数量是个，“▲”的数量是个； 故答案为：；； （3）解：第个图案中，“★”的个数为，“▲”的个数为； ； 答：在第个图案中，“▲”的个数比“★”的个数少个． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $