第3章 代数式（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 初中数学第3章代数式单元强化卷，通过基础巩固、能力提升及创新应用梯度设计，结合实际情境、文化素材与新定义问题，培养抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|代数式表示、同类项、规律探究|劳动实践采摘（模型意识）；毕达哥拉斯数（文化传承）| |填空题|8/16|单项式、化简、图表规律|相反数倒数应用（运算能力）；式子变化规律（抽象能力）| |解答题|11/68|化简求值、图形面积、新定义|整体思想应用（数学思维）；对消多项式（创新意识）；几何阴影面积（几何直观）|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章代数式（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 题号 1 2 3 4 6 6 7 答案 B B 6 C D D A 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 2π 9 3 6 10.-5 11.2 12.-1 13.1 20920x 14.19/19 15.74 16.-9或-1 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分， 27题11分。 17. 【详解】解： =3a2b-(ab2-3ab+2a'b+ab)+3ab2 =3a'b-ab2+3ab-2a2b-ab+3ab2 a2b+2ab2 +2ab 3分 18. 【详解1解，23+6g-5-2)-42r+w- 115 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =6x2+12xy-10x-4-6x2-4xy+4 =(6x2-6x2）+(12y-4xy)-10x+(-4+4) =8xy-10x ,2分 e0y0.m+f+v--0 0 :.x+3=0,y-4 3 解得：x=-3,y=4 4, 3 把x=-3,y=4代入8y-10x: 原式=8×(-3*2-10x(3)-18+30=12.…5分 4 19. 【详解】(1)解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式=5a2-2a-1-12+8a-4a2 =5a2-4a2-2a+8a-1-12 =a2+6a-13 ,3分 (2)解：当a=1时，原式=1+6×1-13=6.5分 20. 【详解】(1)解：由数轴得：a<0,b>0,则b+1>0;2分 (2)解：a<0,b+1>0, :24+a-26+ =2+(-a-2(b+1) =2-a-2b-2 =-Q-2b.5分 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21. 【详解】(1)解： 4x-(3-x)+(-2) =4x-3+x-2 =5x-5. 所以用含x的代数式表示输出的结果为5x-5.3分 (2)解：当输入x的值为6时，输出的值为6×5-5=-35.5分 22. 【详解】(1)解：P=4r2+3x-20=x2-2k+1 :P+40=-4+3x-2+4(r-2c+l)=4x2+3x-2+42-8c+4=(3-8)x+2 1 当x=2,k 8时， P+40=（3-8xgx2+2=B-lx2+2=2x2+2=6 3分 (2)解：P+40=(3-8k)x+2 的值与的值无关， 六3-8M=0:解得k=3 8·6分 23. 【详解】(1)解：根据题意知，阴影部分的面积为 4 3分 (2)解：当a=10cm,b=4cm时， 阴影部分的面积为10x4-3× 42=40-12=28cm2 4 6分 24. 【详解】(1)解：依题意得：原三位数为l100a+10b+c,新三位数为100c+10b+a (100a+10b+c)+(100c+10b+a) 故两数和为： =101a+20b+101c..3分 (2) 315 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (100a+10b+c)-(100c+10b+a 证明：两数差为： =99(a-c) 因为a、c为1~9之间的整数，所以a-c也为整数 9(a-c)是9的整数倍，即这个差能被9整除.6分 那 25. 1_111 【详解】(1)解：第5个等式为9x11291i 2分 1 (2)解：1x5+5x9+9×13+…+ 2021×2025 -卦动+如) * 11 20212025 =1×2024 =4X2025 =506 20256分 26. 【详解】(1)解：3x2+2x-3x2+2=2x+2,不是常数，故①不是“对消多项式”； x-6-x+2=4,为常数，故②是“对消多项式”：…2分 (2)解：-5ry+2w+5xy2-2y=0 5分 (3)解：4+B=(x-a-bx2-2x+b =x2-2ax+a2-bx2-2x+b =(1-b)x2-(2a+2)x+a2+b :多项式M=(x-a与多项式B=-bm2-2x+b(a,b为常数)互为“对消多项式”， 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .1-b=0,2a+2=0. .b=La=-1, ∴.A+B=a2+b=1+1=2, .“对消值”为2.…10分 27. 【详解】(1)解：3(a-b°-7(a-b+2(a-b}=(3-7+2(a-b=-2(a-b}2 ；2分 (2)解： 3x2+6y+21=3(x2+2y)+21=3×5+21=36 4分 (3)解：当x=2025时，代数式ax2-x+1的值是m, 即20252a-2025+1=m, .20252a+1=m+2025: 当x=-2025时，m-x+1=ax(-2025y+2025+1=(20252a+1）+2025=m+2025+2025=m+4050 ;.7分 (4)解：，①号正方形的边长为x,②号正方形的边长为少， ∴③号正方形的边长为x+y, (x+y)+x=2x+y ∴④号正方形的边长为 ∴⑤号长方形的长为2x+y+x=3x+y,宽为y-x, (3x+y+y-x)=20 由题意得 .x+y=5」 则③号正方形的周长为4×5=20.11分 515 第3章 代数式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．比 的 倍小 的数是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列说法正确的是（     ） A．与不是同类项 B．不是单项式 C．是一次二项式 D．化简的结果是 6．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 7．在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．单项式的系数是____________，次数是_____________． 10．化简的结果是________． 11．若与的和仍是单项式，则=__________． 12．若，则_____________． 13．若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 14．观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 15．下表中，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，________． 16．已知，，且，则________． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．计算： 18．先化简，再求值：，其中x，y满足． 19．以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 20．有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 21．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 22．已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 23．如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 24．已知一个三位数，其百位数字是，十位数字是，个位数字是，交换百位数字与个位数字得到新的三位数． (1)求这两个三位数的和（用含，，的代数式表示）； (2)求证：这两个三位数的差能被9整除． 25．第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)探寻上述等式规律，写出第5个等式：_________； (2)求的值． 26．定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 27．【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 1．比 的 倍小 的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倍为，比小的数为． 2．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用去括号法则与合并同类项法则，逐一验证各选项计算的正误． 【详解】解：，A计算错误； ，B计算正确； ，C计算错误； 与不是同类项，不能合并，D计算错误． 4．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号通常省略不写或写为 ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为 时省略不写；带分数需化为假分数． 【详解】解：逐个判断式子：∵ 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 5．下列说法正确的是（     ） A．与不是同类项 B．不是单项式 C．是一次二项式 D．化简的结果是 【答案】C 【详解】解：A选项，与是同类项，原说法错误； B选项，是单项式，原说法错误； C选项，是一次二项式，原说法正确； D选项，，原计算错误． 6．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 7．在一次劳动实践活动中，小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的西红柿个数比小欢少3个，则小欢和小乐一共采摘的西红柿的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意表示出小乐采摘西红柿的个数，再将两人采摘个数相加，化简后得到结果即可． 【详解】解：∵小欢采摘了个西红柿，小乐采摘的个数比小欢少个， ∴小乐采摘西红柿的个数为个， ∵， ∴两人一共采摘的个数为个． 8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、21…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、36…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，不符合这一规律的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的部分“三角形数”和“正方形数”找出“三角形数”可看成从1开始几个连续自然数的和以及“正方形数”可看成某个自然数的平方，依此规律逐一分析四个选项中的三个数是否符合该规律，由此即可得出结论． 【详解】解：A、9和16不是三角形数，该选项符合题意； B、， 该选项不符合题意； C、， 该选项不符合题意； D、； 该选项不符合题意． 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．单项式的系数是____________，次数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式系数与次数的定义，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，找出单项式的数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数即可． 【详解】解：的系数为， 所有字母的指数和为， 则该单项式的系数是，次数是． 10．化简的结果是________． 【答案】 【详解】解：原式． 11．若与的和仍是单项式，则=__________． 【答案】2 【详解】解：与的和仍是单项式， 与是同类项， 根据同类项的定义，可得，， ． 12．若，则_____________． 【答案】 【分析】由已知方程整理得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴整理得， 将所求代数式变形：， 把代入上式得：． 13．若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 【答案】 【分析】由、互为相反数，、互为倒数，得，整体代入求值即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数， ， 原式． 14．观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】/ 【分析】观察发现，奇数项为正，偶数项为负，分母为连续奇数，分子为连续偶数，x的指数为连续自然数，则式子规律可表示为（n为正整数），即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 15．下表中，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，________． 【答案】 【分析】由前三个图可发现四个数之间的规律如图所示： 【详解】解：由前三个图可知： 左下角的数， 右上角的数， ． 16．已知，，且，则________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义得到，的所有可能取值，结合的条件筛选出符合要求的取值，再计算． 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， ∵ ，当时，，，不满足条件，舍去； 当时，，，两种情况都满足条件， 当，时，， 当，时，， 因此的值为或． 三、解答题：本题共11小题，共68分。其中：17题3分，18-21每题5分，22-25题每题6分，26题10分，27题11分。 17．计算： 【答案】 【详解】解： ． 18．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】化简为，求值为12 【分析】先去括号、合并同类项化简代数式；再利用平方和绝对值的非负性：，，两个非负数相加等于，则各自为求出、的值，最后代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ， ，且， ， 解得：，， 把，代入： 原式． 19．以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)一；过程见解析 (2) 【分析】（1）观察嘉嘉的解答过程，可知第一步去括号错误，根据去括号合并同类项的步骤写出正确的步骤； （2）把代入（1）中化简的结果计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式 ． （2）解：当时，原式 ． 20．有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据有理数a、b在数轴上的位置，结合有理数的加法法则可得答案； （2）根据（1）中结论和绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：，，则； （2）解：∵，， ∴ ． 21．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【答案】(1) (2)输出的值为 【分析】本题考查程序框图与代数式求值： （1）根据程序框图，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式进行求解即可． 【详解】（1）解： ． 所以用含的代数式表示输出的结果为． （2）解：当输入的值为时，输出的值为． 22．已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将与代入，去括号后合并同类项，然后把，代入化简后的式子，计算得出结果； （2）根据“代数式的值与无关”意味着含的项的系数为，据此列方程求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 当，时， ； （2）解：∵的值与的值无关， ∴，解得． 23．如图，长方形的长为，宽为．现以长方形的四个顶点为圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆． (1)用含，的代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求图中阴影部分的面积．（取） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）长方形的面积减去四个圆的面积即可求解，四个圆的面积的和是一个整圆的面积； （2）把，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为； （2）解：当，时， 阴影部分的面积为． 24．已知一个三位数，其百位数字是，十位数字是，个位数字是，交换百位数字与个位数字得到新的三位数． (1)求这两个三位数的和（用含，，的代数式表示）； (2)求证：这两个三位数的差能被9整除． 【答案】(1) (2) 证明：两数差为： ． 因为、为之间的整数，所以也为整数． 那么是9的整数倍，即这个差能被9整除． 【分析】（1）先表示出两个数，再求和解答即可； （2）整式的减法表示两数差，化简求解即可； 【详解】（1）解：依题意得：原三位数为，新三位数为 故两数和为： ． （2）略 25．第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)探寻上述等式规律，写出第5个等式：_________； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察所给的式子即可求出； （2）根据题意把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：第5个等式为 （2）解： 26．定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）： ①与；②与 ． (2)多项式与的“对消值”为 ． (3)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)② (2)0 (3)2 【分析】（1）求出每组中两个代数式的和，进行判断即可； （2）根据题意直接计算求解即可； （3）求出，根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：，不是常数，故①不是“对消多项式”； ，为常数，故②是“对消多项式”； （2）解：； （3）解： ， ∵多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴“对消值”为2． 27．【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可； （2）把用表示，然后整体代入即可； （3）由题意得，再把代入，最后整体代入 即可求解； （4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根据⑤号长方形的周长为20，可求得的值，从而求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时，代数式的值是， 即， ∴； 当时，； （4）解：∵①号正方形的边长为，②号正方形的边长为， ∴③号正方形的边长为， ∴④号正方形的边长为， ∴⑤号长方形的长为，宽为， 由题意得， ∴， 则③号正方形的周长为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $