专题02分式函数专项训练- 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦分式函数定义与一次分式函数求解，通过分离常数法、单调性判断等方法体系，构建“定义-变形-性质-应用”的知识逻辑链，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次分式函数|知识要点系统归纳，7道例题+7道练习覆盖值域、单调性等|分离常数法变形，ad-bc符号判断单调性，定义域值域确定|从定义出发，经代数变形推导性质，形成概念到应用的完整链条|

专题02 分式函数 【知识要点归纳】 一、分式函数定义：形如y= X的函数，W、8因均为多项式，分母g份≠0，定 f(x) 义域需要剔除让分母等于0的实数。 二、分式函数的类型及求解方法 1、一次分式函数 y=9fd(ab、c、d均为非零带数，ad≠b0) ax +b ,a、b、c、d均为非零常数 cxtd d-be ￡(ax+b)+d-bc 、ad-bc .y= ax+b d-a-c+a-c+ a ax+b axtb a axtb ad-bc a2 x+b ad-bc 反比例函数y=a2_的单调性：当ad一bc>0时，函数单调递减，单调递减区间为(- X ∞，0)和(0，+∞)：当ad一bc<0时，函数单调递增，单调递增区间为(-∞，0)和 (0,+∞)。 因为x≠~b 所以函数定义域为(-心，U(-,+∞)， a 因为y≠-S 所以函数的值线（四，月U(后+） a x2大主+y=m大大A ys ax+b 2、二次分式函数 px'+gx+r 即一次÷二次，二次÷一次，二次÷二次（常数÷二次） 【经典例题】 2x-1 例1.求函数少=x二的值域 【答案】 23 2x-1 【分析】先求出函数的定义域为(m,Uo,再由于原函数解析式y=-可化为 y=2+ x一：故函数图象可以由y=通过平移而得到。 ax+b 以上常用分离常数法求函数值域，形如cx+d c≠0) 可用分离常数法求值域，值域是 y1y C 【解折】西数的定义泼为(1o:由于原函数解析式y-可化为y=2+ 2x-1 x-1, 故函数图象可由函数'=x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 如图所示。 所以函数的值域是y川y≠2} 例2.函数 x=31xe【-1,3].xt号 3X-1 的值域 (-00, 9 【答案】 2 14 5 【解析】f(四-3 9 1 x- 3 -1sx写Qxs3 ∴.f(x)≤f(-1)或f(x)≥f(3) f的值拔为《mrm -9 f(x)= 例3.求函数的 2+2x+4x∈l,+o) 值域 【解析】x≥1 :x+4≥24=4，当且仅当=2时取等号 .0<f(x)= 4≤6 x+2+ x ∴f的值域为0，言 1 f(x)= 例4.求函数 x2-2x-3 (x∈[-3,5]) 的值域 【解析】令1=x2-2x-3则在(-3,1D上单调递减，在4,5)上单调递增 .t∈[-4,0)U0,12] ÷f0s-1或f≥ 1 4 12 1 1 ∴fx的值域（←，[2+0） y=4x+8x+13,x∈[1，+mj 例5.求 6(x+1) 的最小值 【答案】2 【解析】令1=x+1则g0=2+9-2”+3之2,1e,+四) 6t32t ∴f(x)的最小值. f(x)=X2+4x+4,x∈[-1,0] 例6.求函 x2+4x+5 的值域 【解折】剑=+4+5测则g0=1- t ,te[2,5] 值城 的值域是 例7. 数战B3FXX+市 ，则 () 。91层919 A 【答案】B 【解新】=则，=1+到 fx)的值域2, 10 【练 习】 f(x)=2x+5 1、已知函 X一3(1)指出函数f(x)的定义域和值域 (2)指指出函数f(x)的单调区间 【答案】 (1)定义域(-0,3)U(3,+o);值域(-0,2)U(2,+0) 2)fe)=2x+5 x-3 2+11 x-3 单调增区间(-0,3)，(3，+0) 2x+3 f(x)= 2.求函数 x-2 x∈[3,8]的值域 【答案】 4 【解析】f)=2+7 -2 3≤x<8 .f(8)≤f(x)≥f(3) x的值域为9 6 I(W)=1+x 3、函数 1-x2的值域是 【解析】令x2=t,则t∈[0，+o) fy=1-1 1+t 12 -1 .f(x)的值域(-o,-1DU[,+o). f)=x2+x-1 4、函 x2+x+1的值域 【答案】 【解析】f)=+x-1 x2+x+1 令y x2+x-1则 x2+x+1 y-1)x2+y-1)x+y+1=0 当y=1时方程无解，所为≠1 当y≠1时，△=(y-1D2-4(y-1)y+1)≥0 解得-号y<1 综上。雨数值城为) 5函数)=9r+4, x∈(0，]的值域 【答案】 5 【解折】)=9r+生是对勾函数，e0,子 由9x+4≥216=12，当且仅9x=4时等号成立 函数在@子单润递减，败号时，=有- 5 ·函数的值域68 ,+0) 6.设x>0,若x+a>1恒成立，则实数的取值范围() (1,+ D16 【答案】C 【解析】 x>0,x+0>1 :+a>1即r2-x+a>0恒成立 .(x2-x+a)m>0恒成立 由二次函数性质知，当=时 (x-x+a)=(-1+ 1 +a=a- >0 22 4 .a> 4 ，故选C x2+2x+2 y= 7、函数 X+1 的值域是 【答案】(-0，-2]U[2,+0). 6 【解析】 f)=2+2x+2 x+1 E+1+(r+) 1 当x+1>0时，x+1+ ≥2 x+1 当x+1<0时，x+1+1≤-2 x+1 ∴.f(x)的值域(-o,-2]U[2,+o). >专题02 分式函数 【知识要点归纳】 一、分式函数定义：形如y= X的函数，W、8因均为多项式，分母g份≠0，定 f(x) 义域需要剔除让分母等于0的实数。 二、分式函数的类型及求解方法 1、一次分式函数 y=9fd(ab、c、d均为非零带数，ad≠b0) ax +b ,a、b、c、d均为非零常数 cxtd d-be ￡(ax+b)+d-bc 、ad-bc .y= ax+b d-a-c+a-c+ a ax+b axtb a axtb ad-bc a2 x+b ad-bc 反比例函数y=a2_的单调性：当ad一bc>0时，函数单调递减，单调递减区间为(- X ∞，0)和(0，+∞)：当ad一bc<0时，函数单调递增，单调递增区间为(-∞，0)和 (0,+∞)。 因为x≠~b 所以函数定义域为(-心，U(-,+∞)， a 因为y≠-S 所以函数的值线（四，月U(后+） a x2大主+y=m大大A ys ax+b 2、二次分式函数 px'+gx+r 即一次÷二次，二次÷一次，二次÷二次（常数÷二次） 【经典例题】 2x-1 例1.求函数y=-的值域 例2.函数 f(xxe:-1alx) 的值域 例3.求函数的 f)=,x =+2x+4xe,+切)值域 f(x=21(x∈[-3,5) 例4.求函 x2-2x-3 的值域 -xe1 例5.求 的最小值 f(x)=x2+4x+4 x∈[-1,0] 例6.求函 x2+4x+5 的值域 厨。若函数的战足3Fx=风+70盟 ,则 43到291月号19 D 【练 习】 f(x)= 2x+5 1、已知函 X一3(1)指出函数f(x)的定义域和值域 (2)指指出函数f(x)的单调区间 f()=2x+3 2.求函数 x-2x∈[3,8]的值域 23 3、函数 )=1+x -1-x2的值域是 f(x)= x2+x-1 4、函数 x2+x+1的值域 5函数rm=9r+4,x∈(0,2的值域 6.设x>0,若x+a>1恒成立，则实数的取值范围() Am身g子o片如后+a y= x2+2X+2 函数X+1 的值域是 7、 3