专题02知识点11：分段函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以分类讨论、数形结合为核心方法，构建“概念-题型-考法”三维知识逻辑，系统突破分段函数求值、参数求解等高考高频考点，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识框架|1框架|定义辨析|从函数本质出发，明确分段函数定义域、值域的并集属性| |常见类型及策略|6类题型|分类讨论、由内到外、数形结合|按自变量取值范围分类，对应不同解析式的应用逻辑| |高考题型与方法|5类题型|分段求值、值域并集、图象绘制|从基础到综合，覆盖高考常见考向的解题路径| |核心方法与易错提醒|3方法+5提醒|分类讨论法、数形结合法、由内到外法|强调分段点衔接、定义域限制等关键逻辑节点| |典型例题|2例题|分段求解、单调性参数控制|以题载法，体现知识应用的完整性与易错点突破|

知识点11：分段函数 一、核心知识框架 分段函数是高中数学函数板块的重要内容，是指对于自变量 的不同取值范围，有着不同的对应法则的函数。它是一个函数，而不是几个函数。分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它的认识不够清晰，因此需要系统掌握其常见题型及解法。 二、分段函数问题的常见类型及解题策略 常见类型 解题策略 注意事项 求函数值 先确定所求值对应的自变量属于哪个区间，再代入相应的函数解析式求值。当出现 这种形式时，应由内到外逐层求值。 注意自变量的取值范围，确保代入正确的解析式。 求参数 若自变量的值确定，则代入解析式，列方程求解；若自变量的值不确定，则要根据分段函数的各段定义域分类讨论，最后取各段结果的并集。 分类讨论时不能遗漏自变量的取值范围这一大前提。 解不等式 1. 可根据分段函数的不同段分类讨论，最后取各段结果的并集，但求解时一定要注意自变量取值范围这一大前提。 2. 若函数的图象易画，也可以画出函数图象，结合图象求解。 特别注意端点值的取舍，以及各段解集的并集运算。 求单调区间或已知单调性求参数 分段函数的单调性分为各区间的单调性和整个函数的单调性两种情况，需分别考虑。 对于在 上单调的函数，不仅每一段要满足单调性，还要考虑分段点处的函数值大小关系。 两段函数的端点值比较是易错点，需确保整体单调性成立。 判断奇偶性 分段函数的奇偶性应是在整个定义域内判断其奇偶性。 需验证定义域是否关于原点对称，并分别检验各段。 与方程、不等式结合 常利用数形结合的方法，作出函数图象，通过图象的交点个数或位置关系来求解。 作图时注意各段图象的衔接处是否连续。 三、高考常见题型与解题方法 题型一：求分段函数的函数值 这是最基础的题型。解题时，首先确定自变量的值属于哪一个区间，然后代入对应段的解析式计算。 示例：已知函数 ，若 ，则需要根据 的取值分类讨论，确定 和 分别属于哪个区间，再代入求解。 题型二：求分段函数的值域或最值 分段函数的值域为各段函数值域的并集。分别求出各段的值域，再取并集即可。 解题思路： 1. 分别求出每一段函数在对应区间上的值域； 1. 将所有值域取并集，即得函数的值域； 1. 求最值时，比较各段的最值，取最大（小）值。 题型三：求分段函数的解析式 根据已知条件，通过变换求出另一段上的函数解析式。常见方法有利用周期性、奇偶性、对称性等。 示例：定义在 上的函数 满足 ，若当 时 ，则可通过变换求出当 时的解析式。 题型四：分段函数的图象 分段函数的图象应分区间分别绘制。通过图象可以直观地判断函数的性质，如单调性、奇偶性、最值等。 解题思路： 1. 根据定义域分段，逐段绘制函数图象； 1. 注意各段图象在分段点处的衔接情况（是否连续、是否为空点）； 1. 利用图象解决方程根的问题、不等式问题等。 题型五：分段函数与方程、不等式结合 这类问题常通过数形结合求解。作出分段函数的图象，然后根据图象与直线 的交点个数，或图象在直线上方（下方）的部分，确定方程的解或不等式的解集。 四、高考考情分析 考向预测：分段函数是高考数学的常考内容，题型以选择题、填空题为主，难度中等。近年来，高考中不断出现分段函数题，充分体现了分段函数的重要性。 常见考点： 1. 分段函数求值（含嵌套形式如 ） 1. 已知函数值求参数 1. 解分段函数不等式 1. 分段函数的单调性与参数范围 1. 分段函数的值域与最值 1. 分段函数的图象与方程根的问题 五、核心方法与易错提醒 核心方法 1. 分类讨论法：分段函数问题本质上就是分类讨论问题，关键是确定自变量的取值范围，选择正确的解析式。 1. 数形结合法：作出分段函数的图象，利用图象直观分析函数的性质，特别适用于解不等式、求参数范围等问题。 1. 由内到外法：对于嵌套形式的分段函数求值，应从最内层开始，逐层向外求解。 易错提醒 1. 分段函数是一个函数，不是多个函数，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 1. 解分段函数不等式时，要特别注意自变量的取值范围这一大前提，不能忽略定义域的限制。 1. 已知分段函数的单调性求参数范围时，不仅要考虑各段内部单调性一致，还要确保分段点处的函数值大小关系符合整体单调性要求。 1. 在求分段函数的解析式时，变换过程中要注意新变量的取值范围与原变量范围的一致性。 1. 含绝对值的函数往往可以转化为分段函数来处理，去绝对值时要明确绝对值内表达式的正负分界点。 六、典型例题解析 例题1：求函数值 题目：设函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ） 解析：分段求解： · 当 时，，结合 得 ； · 当 时，，结合 得 。 综上，，故选 D。 例题2：已知单调性求参数 题目：已知 是 上的减函数，则实数 的取值范围是______。 解析：要使函数在 上为减函数，需满足： · 各段递减： 且 ； · 分段点处：。 解得 。 实战演练 一、单选题 1.已知函数 ，则 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.设 ，函数，则 （ ） A. 有最小值且在 上是单调减的 B. 有最小值且在 上是单调递减的 C. 无最小值且在 上是单调递减的 D. 无最小值，且在 上是单调递减的 3.设函数 ，若 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.设函数 ，若 ，则 A.1 B. 0 C. 2 D. 4 6.已知函数 ，若 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7.已知函数 ，设 ，则 是（ ） A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递增 C. 在 上单调递减， 上递增 D. 在 上单调递增， 上递减 8.函数 ，若 存在最大值，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9.已知函数 ，则（ ） A. B. 的值域为 C. D. 不等式 的解集为 10.狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为 ，则（ ） A. 定义域为 B. C. D. 不等式 的解集为 11.已知函数 ，若 ，求实数 的值（ ） A. 0 B. C. 2 D. 1 三、填空题 12.设函数 ，若 ，则 的最小值为 ；若 有最小值，则 的取值范围是 。 13.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 。 14.已知 ，，则 的解集为 。 四、解答题 15.设函数 (1) 若 ，求 的最小值； (2) 若 恰有 2 个零点，求实数 的取值范围。 16.已知函数 为增函数，实数 的取值集合为 。 (1) 求集合 ； (2) 设集合 ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围。 17.已知函数 (1) 请写出函数 的单调递增区间； (2) 求 ，（其中 ）的值； (3) 当 时，求 的取值范围。 18.已知函数 (1) 求 的值； (2) 解不等式 。 19.已知函数 (1) 求 的值； (2) 用定义证明函数 在区间 上是增函数； (3) 求不等式 的解集。 参考答案 一、单选题 1. 答案：D 解析： 分段函数 ， ，选A 2. 答案：C 解析：，分段： ① ：，一次函数斜率 ，单调递增，，无最小值； ② ：，上半圆，先增后减； ③ ：，斜率 ，单调递减； 函数左端趋向负无穷，无最小值， 单调递减，选C。 3. 答案：A 解析： 在 单调递增 ： 天然递增； ：，导数 在 恒成立 ； 分段衔接：左端点 函数值 右端极限 综上 ，选A。 4. 答案：C 解析：， ； 时 ， ，范围 ，选C。 5. 答案：C 解析： ： 时， 无解； 时， ，，选C。 6. 答案：A 解析： ，不等式 ① 即 ：，得 ② 即 ：，得 合并：，选A。 7. 答案：D 解析：， 递增； 递增； 连续， 递增， 递减，选D。 8. 答案：D 解析： 右侧二次 开口向下，最大值在 ； 若函数存在最大值，则二次顶点 或左侧直线无上界： ，选D。 二、多选题 9. 答案：ABD 解析：对于A，，，故A正确； 对于B，当时，，当时，，所以的值域为，故B正确。 对于C，当时，由，解得， 当时，由，解得或（舍去），所以，故C错误。 对于D，当时，由，解得，即， 当时，由，解得。 所以不等式的解集为，故D正确。 10. 答案：AC 解析：狄利克雷函数 A：定义域全体实数 ，正确； B： 无理数 ，，不相等，错误； C：任意 ，均为有理数，，正确； D：， 时 不成立，解集不是 ，错误。 11. 答案：ACD 解析：， ① ：； ② ：； 时 ，故 ，修正选项A、C。 三、填空题 12.答案： 解析：第一空，当 时，，函数在区间 单调递增，则值域为 ；，函数在区间 单调递减，在区间 单调递增，则值域为 ，则函数 在定义域内最小值为 ； 第二空，当 时，函数右段最小值 ，且 ，不满足要求； 当 时，函数右段最小值 ，则 。 综上所述，。 13. 答案： 解析：分段递增条件 ： 天然递增，； ：，导数 在 ； 衔接： 左极限 右端点：； 综合 。 14. 答案： 解析： ① ： ② ： 恒成立 合并 。 四、解答题 15.解： (1) ：； ：，对称轴 ，最小值 整体最小值 。 (2) 恰有2个零点 ： 零点条件 ； ：二次零点 分类讨论： ① 指数1个零点，二次1个： ② 指数无零点，二次2个：，恒2零点 综上： 且 。 16.解： (1) ① ：反比例 递增 ； ② ：二次开口向下，对称轴 ； ③ 衔接： 左值 右极限： 恒成立 。 (2) 是 充分条件 根 ，得 。 17.解： (1) 单调区间： ：，递增区间 ； ： 单调递增； 递增区间 。 (2) ，； ，。 (3) ； 成立； ； 解集：。 18.解： (1) ，，和 。 (2) ① ：； ② ：； 解集： 或 。 19.解： (1) ；； 时 ； 时 。 (2) 证明：任取 ，故 ， 在 递增。 (3) ① ： 或 ； ② ：； 解集： 或 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $