2.2 基本不等式（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“基本不等式”核心知识点，以“定义及几何意义（半弦长、矩形面积最值）—成立条件（一正二定三相等）—求最值方法（和定积最大、积定和最小及变形）—应用与证明”为学习支架，系统构建知识脉络。 资料特色在于融合几何直观（如半圆模型助理解几何意义）培养数学眼光，通过题型分类（如配凑法、常数代换法）及解题贴士发展数学思维，结合实际应用题（如设备盈利计算）提升数学语言表达能力。课中辅助教师突破重难点，课后分层练习帮助学生查漏补缺。

第 二 章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 课标要点 1、理解基本不等式的定义及几何意义（半弦长不大于半径或矩形面积最值）。 2、掌握基本不等式成立的条件（一正二定三相等）。 3、能利用基本不等式求简单的最值问题（和定积最大、积定和最小）。 4、熟悉基本不等式的几种常见变形形式，并能灵活选用。 5、能利用基本不等式解决实际应用问题中的最值。 学习重难点 重点： 1、基本不等式成立的条件（正数、定值、等号成立）； 2、利用基本不等式求最值（和定积最大、积定和最小）； 3、等号成立条件的验证（取等时变量取值是否在定义域内）。 难点： 1、“一正二定三相等”中“定值”的配凑技巧（如凑系数、拆项、添项）； 2、连续使用多次基本不等式时，多个等号成立条件是否同时满足的验证； 3、实际应用题中建模后正确识别“定值”与“最值”的关系。 知识点 基本不等式 1、两个重要的不等式 （1）对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立． 2.重要不等式链 记为：调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 3、常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号． 特别提醒 注意不等式的取等条件是否能够满足。 随学随练 1．如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何关系表示和，即可比较大小. 【详解】因为是圆的半径，所以， 因为是圆的直径，所以， 则，即，即， 所以， 当点与点重合时，，否则，即， 所以. 故选：B 知识点 基本不等式与最值 1、已知，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值，最小值是.（简记为：积定和最小） （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值，最大值是（简记为：和定积最大） 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知(t为常数)，求的最值”的问题，乘“1”得，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 随学随练 1．（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A，利用基本不等式可判断的最大值；对于选项B，根据基本不等式，求出，再利用基本不等式求的最小值，判断B的正误；对于选项C，先对变形，再利用求其范围；对于选项D，由，通过换元，利用函数的单调性求其最小值. 【详解】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； ，令，则．函数在上单调递减， 所以在上的最小值为． 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 题型 基本不等式内容辨析 ▌例1《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D ▌例2（2026·辽宁锦州·模拟预测）（多选）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 【答案】ABD 【详解】对于A，由正方形的面积为，8个朱色图形的面积为，显然，故A正确； 对于B，由图得正方形的面积为，4个朱色图形的面积为，由图可知，故B正确； 对于C，由三角形面积大于黄色图形面积得，所以，故C错误； 对于D，由正方形面积的2倍大于正方形面积得，故D正确. 解题贴士 解题时通过构造几何图形（如半圆、矩形、直角三角形）直观理解“和定积最大”或“积定和最小”，帮助记忆取等条件。 ▌对点练1-1（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图，点C是圆O的直径AB上一点，且（），过点C作AB的垂线交圆O于D，E两点，点F是半圆的中点，连接AD，BD，OE，CF，过点C作于点M，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，分别在和中由直角三角形的射影定理推理判断AC；在中推理判断D. 【详解】依题意，，由于，得， 在中，由射影定理得，即， 而，，因此，当且仅当时取等号，A是； 在中，，，则， 而，因此，当且仅当时取等号，C是； 由，连接，由点F是半圆的中点，得，， 在中， ，则，又， 因此，当且仅当时取等号，B是； 而与在给定图形中没有相应的线段与之对应，因此选项D对应不等式不能用无字证明完成，D不是. 故选：ABC ▌对点练1-2（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图象结合勾股定理计算即可. 【详解】易知， 显然，故D正确. 故选：D 题型 利用基本不等式比较大小 ▌例1（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. ▌例2（25-26高二下�北京朝阳�期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 解题贴士 利用基本不等式比较大小，先看是否满足“一正二定三相等”，将式子凑成和或积为定值的形式，再与常数或目标式比较。注意灵活变形（如拆项、添项、代换），并验证等号能否取到以确定最值。对于含参数或复杂分式，可先分离变量再应用不等式，避免直接比较。 ▌对点练1-1（25-26高一上�安徽�阶段检测）（多选）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用重要不等式，可判断A，C；利用特值法，可判断B，D. 【详解】对于A：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故A正确； 对于B：取，则显然成立，故该不等式不一定成立，故B错误； 对于C：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故C正确； 对于D：可取，得，故该不等式不一定成立，故D错误. 故选：AC. ▌对点练1-2（25-26高三上·江苏盐城·期中）对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式以及绝对值的性质可得出结论. 【详解】因为 ，即， 当且仅当且时，上述不等式中的两个等号同时成立，故. 故选：B. 题型 利用基本不等式求最值 ▌例1（25-26高一上�广东�期中）（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD ▌例2（25-26高一上�天津西青�阶段检测）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可. 【详解】对于①只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确； 对于②,，令， 则在上单调递增，则最小值为, 则②不正确； 对于③,，则③正确； 对于④,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则④不正确. 综上只有1个正确， 故选：B. 解题贴士 常用技巧：配凑定值（拆项、添项、系数调整）或“1”的代换。若连续使用不等式，需确保多次取等条件一致，否则最值取不到。注意分式或根式可先分离常数或换元简化。 ▌对点练1-1（25-26高一上�福建泉州�期中）（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． ▌对点练1-2（25-26高二下�山东泰安�期末）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【分析】使用基本不等式求解. 【详解】由得，当且仅当时取等号，选项A正确； 令，，则，当且仅当， 即时取等号，因为，故的最小值不是3，选项B错误； 由，得，则， 当时，取最大值为，选项C正确； 因为正数，满足，则， 当且仅当，即①时取等号， 因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 题型 基本不等式的恒成立问题 ▌例1（25-26高一上�广东深圳�期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. ▌例2（25-26高一上�湖南�期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 解题贴士 恒成立问题常转化为最值——若 恒成立，则需；若 恒成立，则需。利用基本不等式求出含参式子的最值后，列不等式解参数范围。注意变量范围是否满足“一正”条件，若变量可为负或零，需先讨论或换元处理；取等条件不影响恒成立，但求最值时需验证。 ▌对点练1-1（25-26高一上�福建三明�阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. ▌对点练1-2（25-26高一上�广东广州�阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 题型 基本不等式求商式的最值 ▌例1（2026高一�全国�专题练习）当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. ▌例2（25-26高一上�上海�阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 解题贴士 商式最值先分离常数或换元化为基本不等式形式：令分母为 t，将分子用 t 表示，再凑型。注意变量范围（如）和取等条件，若分子次数高于分母，先多项式除法降次。若为分式函数整体，也可考虑判别式法或导数法验证。 ▌对点练1-1（25-26高一上�河北承德�期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. ▌对点练1-2（25-26高一上�新疆喀什�阶段检测）求最值 (1)已知正实数满足，求的最小值． (2)已知，求的最小值． (3)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3)7 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）对所求进行配凑变形可得，利用基本不等式，即可得答案. （3）对所求进行变形可得，利用基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）由得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5 （3）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为7 题型 基本不等式的应用 ▌例1（25-26高一上�广西河池�期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. ▌例2（25-26高一上�陕西西安�期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 解题贴士 应用题中，先根据题意设变量，用代数式表示目标量（如面积、成本、利润），再通过配凑或换元转化为基本不等式形式（和定或积定）。解出最值后，务必检验取等条件是否满足实际背景（如变量为正整数或长度非负）。注意单位统一，且隐含约束条件（如材料总量有限）需一并纳入模型。 ▌对点练1-1（25-26高一上�安徽阜阳�期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. ▌对点练1-2（25-26高一上�河北衡水�期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 题型 基本不等式证明不等式 ▌例1（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． ▌例2（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法，化简表达式，然后根据其符号判断该表达式的正负即可比较大小. （2）根据基本不等式的性质，将化简成，同理可得，从而证之. 【详解】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 解题贴士 证明不等式时，将目标式通过拆项、添项或“1”的代换转化为基本不等式的结构，直接套用​ 或变形形式。若一次配凑不成功，可多次使用不等式，但需确保每次取等条件兼容。复杂情形可先换元简化，再结合综合法或分析法书写证明步骤。 ▌对点练1-1（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. ▌对点练1-2（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 基础通关 1．（多选）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由，利用的符号判断A、B，化并应用基本不等式判断C、D. 【详解】已知，， 由于均为正数，和也都大于0 ，则， 判断正负可以转为判断正负. ， 因为，，所以恒成立， 即，又，所以，B正确，A错误； ，因为均为正数，所以， 将分子和分母同时除以：， 对于分母，由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故，C正确，D错误. 2．（25-26高二下�福建三明�期末）（多选）已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最小值2 D．有最小值2 【答案】AC 【分析】结合已知条件（为正实数），依据基本不等式“一正二定三相等”的规则逐一判断选项. 【详解】 对于A：由基本不等式得，代入得，化简得， 当且仅当即时等号成立，故最大值为，A正确； 对于B：用乘“1”法计算：， 可知最小值为4，无最大值，B错误； 对于C：由不等式，代入得， 当且仅当即时等号成立，故最小值为2，C正确； 对于D：， 当且仅当即时等号成立可知最小值为4，D错误. 3．（25-26高二下�广东梅州�期末）（多选）已知，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则的最大值为4 D．若，则的最大值为 【答案】AB 【详解】对于A，由，，有， 则，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，若，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为4，故B正确； 对于C，若，， 则，当且仅当时等号成立， 则的最大值为2，故C错误； 对于D，若，， 则，即， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，故D错误. 4．（25-26高二下�天津南开�期末）下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合对勾函数性质判断①；结合基本不等式判断②③④. 【详解】①化简得：，令， 函数在时单调递增，因此最小值为， 等号取不到（等号成立条件不满足），①错误. ②展开得：，由基本不等式， 因此原式，等号成立条件为，因此最小值为9，②正确. ③已知，则，令，则， 由基本不等式，得，③正确. ④，要证，等价于证明：， 整理得，当且仅当时等号成立，④正确. 5．（25-26高二下�天津河西�期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 6．（25-26高三上�北京�阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 7．（25-26高一下�山西长治�期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 8．（25-26高二下�北京�阶段检测）函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 9．（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 10．（25-26高一上�广西桂林�期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 10 8 【分析】根据已知可得，应用基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得. 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 素养提升 1．（2026高三·全国·专题练习）早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是1 【答案】C 【分析】应用特殊值及不等式的性质判断A，将目标式展开并应用基本不等式求最小值判断B，应用“1”的代换及基本不等式判断C，应用换元法，结合已知和基本不等式求最小值判断D. 【详解】A，若，，则，错误； B，，，则，， ， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，错误； C，，则，，又， ， 当且仅当，即时取等号，正确； D，令，，则， ， 当且仅当时取等号，即的最小值是，错误. 故选：C 2．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式及不等式性质得到，注意等号成立条件，将条件变形为，再由基本不等式求的范围，注意等号成立条件. 【详解】由，解得，当且仅当时，等号成立， ，解得，当且仅当时，等号成立， 由，得， 由，得，解得， 当且仅当时，；当且仅当时，. 故选：ACD 3．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 4．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知a，b，c，d为正实数，利用基本不等式证明（1）.确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题. (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)①求的最小值； ②若，求的最小值； ③如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)①3；②3；③边长是1时，容积最大. 【分析】（1）两次应用基本不等式证明； （2）由（1）涉及的两个不等式确定； （3）①②将问题转化为符合（2）中不等关系的形式，并利用（2）结论求最值；③设边长，并利用（2）关系求容积最值. 【详解】（1）由基本不等式，（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）， 又（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）. （2）当两个变量时，，即（当且仅当时取等号）； 当四个变量时，（当且仅当时取等号）； 所以当三个变量时，（当且仅当时取等号）. （3）①， 当且仅当，即时取等号； ② 当且仅当时取等号； ③设切去的正方形边长为， 则盒子的容积， 当且仅当，即时取等号. 所以当切去的正方形边长为1时，盒子的容积最大. 5．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，，均为正实数． (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值； (3)求证：，并求的最小值． 【答案】(1)6 (2)4 (3)证明见解析，4 【分析】（1）结合基本不等式与一元二次不等式解法计算即可得； （2）将原式变形后结合基本不等式“1”的活用计算即可得； （3）要证，即证，借助作差法及完全平方公式计算可得，即可得证；借助即可得的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以，又， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为6； （2）因为，所以且，， 所以， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为4； （3）要证：，即证， 因为 ， 当且仅当时取等号， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号； 因为，所以， 所以， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 二 章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 课标要点 1、理解基本不等式的定义及几何意义（半弦长不大于半径或矩形面积最值）。 2、掌握基本不等式成立的条件（一正二定三相等）。 3、能利用基本不等式求简单的最值问题（和定积最大、积定和最小）。 4、熟悉基本不等式的几种常见变形形式，并能灵活选用。 5、能利用基本不等式解决实际应用问题中的最值。 学习重难点 重点： 1、基本不等式成立的条件（正数、定值、等号成立）； 2、利用基本不等式求最值（和定积最大、积定和最小）； 3、等号成立条件的验证（取等时变量取值是否在定义域内）。 难点： 1、“一正二定三相等”中“定值”的配凑技巧（如凑系数、拆项、添项）； 2、连续使用多次基本不等式时，多个等号成立条件是否同时满足的验证； 3、实际应用题中建模后正确识别“定值”与“最值”的关系。 知识点 基本不等式 1、两个重要的不等式 （1）对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立． 2.重要不等式链 记为：调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 3、常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号． 特别提醒 注意不等式的取等条件是否能够满足。 随学随练 1．如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点 基本不等式与最值 1、已知，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值，最小值是.（简记为：积定和最小） （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值，最大值是（简记为：和定积最大） 2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知(t为常数)，求的最值”的问题，乘“1”得，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 随学随练 1．（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 题型 基本不等式内容辨析 ▌例1《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． ▌例2（2026·辽宁锦州·模拟预测）（多选）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 解题贴士 解题时通过构造几何图形（如半圆、矩形、直角三角形）直观理解“和定积最大”或“积定和最小”，帮助记忆取等条件。 ▌对点练1-1（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图，点C是圆O的直径AB上一点，且（），过点C作AB的垂线交圆O于D，E两点，点F是半圆的中点，连接AD，BD，OE，CF，过点C作于点M，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 题型 利用基本不等式比较大小 ▌例1（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 ▌例2（25-26高二下�北京朝阳�期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 解题贴士 利用基本不等式比较大小，先看是否满足“一正二定三相等”，将式子凑成和或积为定值的形式，再与常数或目标式比较。注意灵活变形（如拆项、添项、代换），并验证等号能否取到以确定最值。对于含参数或复杂分式，可先分离变量再应用不等式，避免直接比较。 ▌对点练1-1（25-26高一上�安徽�阶段检测）（多选）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高三上·江苏盐城·期中）对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 题型 利用基本不等式求最值 ▌例1（25-26高一上�广东�期中）（多选）下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 ▌例2（25-26高一上�天津西青�阶段检测）下列说法正确的个数是（    ）． ①； ②函数的最小值为4； ③若，则最大值为1； ④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8． A．0 B．1 C．2 D．3 解题贴士 常用技巧：配凑定值（拆项、添项、系数调整）或“1”的代换。若连续使用不等式，需确保多次取等条件一致，否则最值取不到。注意分式或根式可先分离常数或换元简化。 ▌对点练1-1（25-26高一上�福建泉州�期中）（多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二下�山东泰安�期末）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 题型 基本不等式的恒成立问题 ▌例1（25-26高一上�广东深圳�期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. ▌例2（25-26高一上�湖南�期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 解题贴士 恒成立问题常转化为最值——若 恒成立，则需；若 恒成立，则需。利用基本不等式求出含参式子的最值后，列不等式解参数范围。注意变量范围是否满足“一正”条件，若变量可为负或零，需先讨论或换元处理；取等条件不影响恒成立，但求最值时需验证。 ▌对点练1-1（25-26高一上�福建三明�阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． ▌对点练1-2（25-26高一上�广东广州�阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 题型 基本不等式求商式的最值 ▌例1（2026高一�全国�专题练习）当时，则的最小值是______. ▌例2（25-26高一上�上海�阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 解题贴士 商式最值先分离常数或换元化为基本不等式形式：令分母为 t，将分子用 t 表示，再凑型。注意变量范围（如）和取等条件，若分子次数高于分母，先多项式除法降次。若为分式函数整体，也可考虑判别式法或导数法验证。 ▌对点练1-1（25-26高一上�河北承德�期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 ▌对点练1-2（25-26高一上�新疆喀什�阶段检测）求最值 (1)已知正实数满足，求的最小值． (2)已知，求的最小值． (3)已知，求的最小值． 题型 基本不等式的应用 ▌例1（25-26高一上�广西河池�期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. ▌例2（25-26高一上�陕西西安�期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    解题贴士 应用题中，先根据题意设变量，用代数式表示目标量（如面积、成本、利润），再通过配凑或换元转化为基本不等式形式（和定或积定）。解出最值后，务必检验取等条件是否满足实际背景（如变量为正整数或长度非负）。注意单位统一，且隐含约束条件（如材料总量有限）需一并纳入模型。 ▌对点练1-1（25-26高一上�安徽阜阳�期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? ▌对点练1-2（25-26高一上�河北衡水�期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 题型 基本不等式证明不等式 ▌例1（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． ▌例2（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 解题贴士 证明不等式时，将目标式通过拆项、添项或“1”的代换转化为基本不等式的结构，直接套用​ 或变形形式。若一次配凑不成功，可多次使用不等式，但需确保每次取等条件兼容。复杂情形可先换元简化，再结合综合法或分析法书写证明步骤。 ▌对点练1-1（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． ▌对点练1-2（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 基础通关 1．（多选）已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下�福建三明�期末）（多选）已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值4 C．有最小值2 D．有最小值2 3．（25-26高二下�广东梅州�期末）（多选）已知，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则的最大值为4 D．若，则的最大值为 4．（25-26高二下�天津南开�期末）下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二下�天津河西�期末）已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 6．（25-26高三上�北京�阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 7．（25-26高一下�山西长治�期末）若，则的最大值是______． 8．（25-26高二下�北京�阶段检测）函数(）的最大值为______． 9．（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上�广西桂林�期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 素养提升 1．（2026高三·全国·专题练习）早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是1 2．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 4．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知a，b，c，d为正实数，利用基本不等式证明（1）.确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题. (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)①求的最小值； ②若，求的最小值； ③如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 5．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，，均为正实数． (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值； (3)求证：，并求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $