2.1 等式性质与不等式性质（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册.

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，从回顾等式对称性、传递性等基本性质切入，过渡到不等式传递性、可加性、可乘性等性质，对比两者异同（如同乘负数变号规则），进而学习作差法、作商法、平方法比较实数大小，结合糖水不等式构建从概念到方法再到应用的学习支架。 资料以问题驱动设计，含随学随练、分层题型及解题贴士，融入糖水不等式等生活实例培养数学眼光，通过作差法变形、符号推理训练数学思维，实际情境问题（如生产总成本与产量关系）助学生用数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后通过基础与素养练习助力学生查漏补缺。

第 二 章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 课标要点 1、回顾等式的两条基本性质（对称性、传递性，以及加减乘除保持相等）。 2、理解不等式的两条基本性质（传递性、可加性、可乘性等）。 3、掌握比较两个实数大小的方法（作差法、作商法）。 4、能利用不等式的性质对不等式进行变形与推理。 5、理解等式性质与不等式性质的异同（如等式两边同乘负数仍相等，不等式需变号）。 学习重难点 重点： 1、不等式的基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性）； 2、作差法比较大小（差大于0则大于，小于0则小于）； 3、性质中“同乘负数要变号”的规则。 难点： 1、作差法变形时，符号判断的准确性（需分解因式或配方后分析正负）； 2、同乘负数时忘记变号；同向不等式相加成立但相减不一定成立的区别； 3、倒数法则的适用条件（需考虑正负号，如大于且大于时，小于）。 知识点 不等式关系与不等式 1、不等关系与不等式 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式。用连接的不等式叫严格不等式；用连接的不等式叫非严格不等式 2、用不等式组表示不等关系：包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示不等关系。 随学随练 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 知识点 等式的性质与不等式的性质 1、等式的性质 （1）对称性： （2）传递性：； （3）可加（减）性：； （4）可乘性：； （5）可除性：； 2、不等式的基本性质 （1）对称性： （2）传递性：； （3）可加性：； （4）可积性：； （5）同向可加性： （6）同向正数可乘性： （7）乘方法则： （8）倒数法则： 特别提醒 等式性质是“传递对称”，不等式性质则必须注意乘除负数要变号。同向不等式可相加，但不可随意相乘（需均为正）。另外，取倒数时需判断符号，忽略正负会导致方向错误。 随学随练 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 知识点 实数比较大小 比较大小的方法： （1）作差法（与的比较） （2）作商法（与比较） （3）平方法：若，则,通常应用于无理式大小的比较。 特别提醒 实数比较大小，最常用作差法（与0比较），注意通分和提取公因式；遇到无理数或根式，可用平方法或作商法（需保证符号为正）。变形时务必保证每一步等价转化，避免因符号不确定导致判断失误。对于含参比较，需分类讨论参数的取值范围。 随学随练 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系? 拓展 糖水不等式 1、设糖水克，含糖克，则糖水的浓度为加入m克糖后的糖水浓度为则一定有 2、设淡糖水克，含糖克，易知淡糖水的浓度为, 设浓糖水克，含糖克，易知淡糖水的浓度为，则两个糖水混合后的浓度为,则 活学活用 1．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 题型 用不等式表示不等关系 ▌例1（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 ▌例2（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 解题贴士 审题抓住关键词（“超过”、“至少”、“不多于”等）转化为不等号（），设未知数列出不等式。注意单位统一，隐含条件（如人数、长度非负）需一并考虑。列式后解不等式，最后检验解是否符合实际意义（如结果需为整数）。 ▌对点练1-1（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26高二上·吉林白城·阶段检测）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 题型 利用不等式的性质比较大小 ▌例1（江西萍乡市2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． ▌例2（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 利用不等式性质比较大小时要注意正负、同向等限制条件等。 ▌对点练1-1（2026高二下·浙江温州·学业考试）（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型 作差或作商比较大小 ▌例1已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 ▌例2设，比较与的大小 解题贴士 作差法——将两式相减，变形为易于判断正负的形式（如因式分解、配方），与0比较即可；作商法——两式均为正时相除，与1比较。注意作商法需确保符号为正，否则比较方向会颠倒；变形时优先提取公因式或配方。 ▌对点练1-1已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. ▌对点练1-2若，则、、、中最小的是__________. 题型 无理数比较大小 ▌例1设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． ▌例2已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 解题贴士 ▌对点练1-1试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． ▌对点练1-2（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 题型 利用不等式求范围 ▌例1（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 解题贴士 比较无理数大小，常用平方法（将两数平方后比较，注意均为正数时平方不改变大小关系）或放缩法（将无理数夹在两个相邻有理数之间）。也可作差后分子有理化，利用分母正负判断。注意根号内数需先化为同形式，且平方后须验证原数正负。 ▌对点练1-1（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）（多选）（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 题型 不等式的证明 ▌例1（25-26高三·全国·一轮复习）（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. ▌例2（2026高三下·全国·竞赛）设，，为正实数.证明：. 解题贴士 等式证明常用比较法（作差或作商）、综合法（从已知条件推导）、分析法（从结论反推）和放缩法（适当放大或缩小）。注意运用基本不等式（如均值不等式）时需验证取等条件。对于复杂分式或根式，可考虑换元或构造函数利用单调性。最终确保每一步推理方向正确。 ▌对点练1-1已知，. (1)求证：； (2)求证：. ▌对点练1-2（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 题型 糖水不等式的应用 ▌例1（25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 ▌例2（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 解题贴士 糖水不等式常用于判断分式加减常数后的大小变化，核心是“加糖变甜”（分子分母同加正数，分数值增大）。应用时先识别模型，将问题转化为分式加减常数形式，直接套用结论比较大小，注意需满足正数条件，且分母不为零。可用于证明或比较含参数的分式大。 ▌对点练1-1（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（1）已知，，求证：； （2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． ①证明糖水不等式； ②已知是三角形的三边，求证：． ▌对点练1-2（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 4．（25-26高一下·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）（多选）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）若，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．随的值变化而变化 9．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 10．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 素养提升 1．已知，求证:. 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 3．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）（1）已知，，试比较与的大小. （2）已知a，b，m，n均为正实数，求证: . 4．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）数学的应用渗透于日常生活的各个角落，学习数学不仅仅是掌握计算技巧，更重要的是培养思维及应用意识，请你用所学知识解决以下问题： (1)某种物品每天价格都不一样，同学甲需两次购买该物品，可以用两种不同策略，策略一是每次购买这种物品的数量一定；策略二是每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购买方式比较经济？请说明理由． (2)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．请利用该不等式模型证明：  已知是三角形的三边，必有：． 5．（25-26高一上·河南·开学考试）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式； (2)证明你提炼出的不等式； (3)求证：且. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 二 章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 课标要点 1、回顾等式的两条基本性质（对称性、传递性，以及加减乘除保持相等）。 2、理解不等式的两条基本性质（传递性、可加性、可乘性等）。 3、掌握比较两个实数大小的方法（作差法、作商法）。 4、能利用不等式的性质对不等式进行变形与推理。 5、理解等式性质与不等式性质的异同（如等式两边同乘负数仍相等，不等式需变号）。 学习重难点 重点： 1、不等式的基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性）； 2、作差法比较大小（差大于0则大于，小于0则小于）； 3、性质中“同乘负数要变号”的规则。 难点： 1、作差法变形时，符号判断的准确性（需分解因式或配方后分析正负）； 2、同乘负数时忘记变号；同向不等式相加成立但相减不一定成立的区别； 3、倒数法则的适用条件（需考虑正负号，如大于且大于时，小于）。 知识点 不等式关系与不等式 1、不等关系与不等式 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式。用连接的不等式叫严格不等式；用连接的不等式叫非严格不等式 2、用不等式组表示不等关系：包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示不等关系。 随学随练 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 知识点 等式的性质与不等式的性质 1、等式的性质 （1）对称性： （2）传递性：； （3）可加（减）性：； （4）可乘性：； （5）可除性：； 2、不等式的基本性质 （1）对称性： （2）传递性：； （3）可加性：； （4）可积性：； （5）同向可加性： （6）同向正数可乘性： （7）乘方法则： （8）倒数法则： 特别提醒 等式性质是“传递对称”，不等式性质则必须注意乘除负数要变号。同向不等式可相加，但不可随意相乘（需均为正）。另外，取倒数时需判断符号，忽略正负会导致方向错误。 随学随练 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质结合特殊值即可判断. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，因为，所以，则，故D正确． 知识点 实数比较大小 比较大小的方法： （1）作差法（与的比较） （2）作商法（与比较） （3）平方法：若，则,通常应用于无理式大小的比较。 特别提醒 实数比较大小，最常用作差法（与0比较），注意通分和提取公因式；遇到无理数或根式，可用平方法或作商法（需保证符号为正）。变形时务必保证每一步等价转化，避免因符号不确定导致判断失误。对于含参比较，需分类讨论参数的取值范围。 随学随练 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系? 【答案】当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 【详解】由. ①当时，，即； ②当时，，即； ③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即. 综上所述，当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 拓展 糖水不等式 1、设糖水克，含糖克，则糖水的浓度为加入m克糖后的糖水浓度为则一定有 2、设淡糖水克，含糖克，易知淡糖水的浓度为, 设浓糖水克，含糖克，易知淡糖水的浓度为，则两个糖水混合后的浓度为,则 活学活用 1．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】BCD 【分析】根据糖水不等式可依次判断ACD；作差法可判断B. 【详解】对于A，由糖水不等式得：，时，，故A错误； 对于B，，， ，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD 题型 用不等式表示不等关系 ▌例1（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 【答案】A 【分析】根据题意可得不等式，代入解不等式即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. ▌例2（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 解题贴士 审题抓住关键词（“超过”、“至少”、“不多于”等）转化为不等号（），设未知数列出不等式。注意单位统一，隐含条件（如人数、长度非负）需一并考虑。列式后解不等式，最后检验解是否符合实际意义（如结果需为整数）。 ▌对点练1-1（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. ▌对点练1-2 （25-26高二上·吉林白城·阶段检测）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 【答案】 【分析】根据已知及矩形面积公式列不等式组即可. 【详解】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 故答案为： 题型 利用不等式的性质比较大小 ▌例1（江西萍乡市2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. ▌例2（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，B，由，可得，故A错误，B正确； 对于C，由，易得，故C错误； 对于D，因，则得，故D错误. 解题贴士 利用不等式性质比较大小时要注意正负、同向等限制条件等。 ▌对点练1-1（2026高二下·浙江温州·学业考试）（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． ▌对点练1-2（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 题型 作差或作商比较大小 ▌例1已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. ▌例2设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 解题贴士 作差法——将两式相减，变形为易于判断正负的形式（如因式分解、配方），与0比较即可；作商法——两式均为正时相除，与1比较。注意作商法需确保符号为正，否则比较方向会颠倒；变形时优先提取公因式或配方。 ▌对点练1-1已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【答案】当时，；当时，；当时，. 【详解】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. ▌对点练1-2若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 题型 无理数比较大小 ▌例1设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. ▌例2已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 解题贴士 ▌对点练1-1试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. ▌对点练1-2（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证，只需证，平方后结合条件即可证明； （2）分别证充分性和必要性即可. 【详解】（1）因为，， 由题设，，得. 因此. （2）（ⅰ）若，则.即. 因为，所以，由（1）得. （ⅱ）若，则， 即. 因为，所以， 于是. 因此. 综上，的充要条件是. 题型 利用不等式求范围 ▌例1（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. ▌例2（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 解题贴士 比较无理数大小，常用平方法（将两数平方后比较，注意均为正数时平方不改变大小关系）或放缩法（将无理数夹在两个相邻有理数之间）。也可作差后分子有理化，利用分母正负判断。注意根号内数需先化为同形式，且平方后须验证原数正负。 ▌对点练1-1（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）（多选）（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD； 【详解】对于A，由， 两式相加得，即，故A正确； 对于B，由，得，又， 两式相加得，即，故B正确； 对于CD，设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 题型 不等式的证明 ▌例1（25-26高三·全国·一轮复习）（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用不等式的性质比较大小. 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，，所以， 所以，又，所以. ▌例2（2026高三下·全国·竞赛）设，，为正实数.证明：. 【答案】设. 先证明一个二元引理：对任意正实数，，有. 事实上，这等价于， 也就是. 两边均为正，因此可以平方。只需验证. 而 . 所以引理成立。 现在分别令，得到 ， ， . 三式相加，右边正好相消： . 因此. 等号成立当且仅当三次使用引理均取等，即. 证毕。 【分析】证明一个二元引理：对任意正实数，，有，再令三式相加后即可. 【详解】略 解题贴士 等式证明常用比较法（作差或作商）、综合法（从已知条件推导）、分析法（从结论反推）和放缩法（适当放大或缩小）。注意运用基本不等式（如均值不等式）时需验证取等条件。对于复杂分式或根式，可考虑换元或构造函数利用单调性。最终确保每一步推理方向正确。 ▌对点练1-1已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. ▌对点练1-2（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 题型 糖水不等式的应用 ▌例1（25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】ACD 【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断. 【详解】对于A，， ，即，故A正确； 对于B，当，时，，，故B错误； 对于C，由题，，则， ， 又，所以，故C正确； 对于D，，，， ，故D正确. 故选：ACD. ▌例2（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 解题贴士 糖水不等式常用于判断分式加减常数后的大小变化，核心是“加糖变甜”（分子分母同加正数，分数值增大）。应用时先识别模型，将问题转化为分式加减常数形式，直接套用结论比较大小，注意需满足正数条件，且分母不为零。可用于证明或比较含参数的分式大。 ▌对点练1-1（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（1）已知，，求证：； （2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． ①证明糖水不等式； ②已知是三角形的三边，求证：． 【答案】（1） ， 将三式相乘得，， 当且仅当，时等号成立． （2）①， 因为，所以， 所以， 即． ②因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又． 所以， 所以原不等式成立． 【分析】（1）由基本不等式进行证明； （2）①由作差法进行证明；②由糖水不等式进行证明． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 ▌对点练1-2（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解. 【详解】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 基础通关 1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立不等式模型即可. 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 4．（25-26高一下·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 5．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，，则，故，A正确. 对于B：当，，，时，，故B错误. 对于 C：因为，所以，所以，C正确. 对于D：当，，，时，，，故，D错误. 6．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 7．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）（多选）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质来进行计算并作出判断. 【详解】对于A：，所以，，故A错误； 对于B：，所以，，故B正确； 对于C，所以，，故C正确； 对于D所以，，故D正确． 故选：BCD 8．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）若，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【答案】B 【详解】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确. 9．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【答案】D 【分析】分别计算甲、乙的平均加油单价，再比较即可. 【详解】甲两次总花费元，甲两次总加油量升， 因此甲的平均单价. 设油箱容积为升，即乙每次加油量为升，则乙两次总花费元，乙两次总加油量升， 因此乙的平均单价. . 因为，所以，因此，即. 10．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 素养提升 1．已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）经过适当变形，结合不等式的性质即可求解； （2）由作差法比较大小即可. 【详解】（1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 3．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）（1）已知，，试比较与的大小. （2）已知a，b，m，n均为正实数，求证: . 【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解 【分析】（1）根据题意利用作差法比较大小，注意分和两种情况讨论； （2）根据题意利用作差法先证，即可得结果. 【详解】（1）因为， 且，，则， 若，则，可得，所以； 若，则，可得，所以； 因此可得时，；时，. （2）因为a，b，m，n均为正实数，则，，，均为正数， 又因为， 当且仅当时，等号成立， 可得，所以. 4．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）数学的应用渗透于日常生活的各个角落，学习数学不仅仅是掌握计算技巧，更重要的是培养思维及应用意识，请你用所学知识解决以下问题： (1)某种物品每天价格都不一样，同学甲需两次购买该物品，可以用两种不同策略，策略一是每次购买这种物品的数量一定；策略二是每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购买方式比较经济？请说明理由． (2)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．请利用该不等式模型证明：  已知是三角形的三边，必有：． 【答案】(1)策略二比较经济，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别表示出两次购物的平均价格，利用作差法比较其大小，即可得出结论. （2）利用“糖水不等式”证明即可. 【详解】（1）设两次购买的单价分别为，，由题意，且. 策略一：设每次买的数量均为，则两次购买物品的平均价格为：； 策略二：设每次花的钱数为，则两次购买物品的平均价格为：. 因为， 因为，且，所以，即. 所以策略一购买物品的平均价格要高，故选择策略二比较经济. （2）因为是三角形的三边，所以，，， 根据“糖水不等式”可得： ，同理，， 所以. 5．（25-26高一上·河南·开学考试）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式； (2)证明你提炼出的不等式； (3)求证：且. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意得到； （2）作差法比较大小即可； （3）先得到，先证明出右边，再证明左边，得到结论. 【详解】（1）提炼出的不等式为. （2）. 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. （3）由（2）可知. 取 ，则 ，故有 ， 则有， 先证明右边： 因为， 所以 ， 故. 再证明左边： 因为， 所以 ， 故. 综上，且. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $