2.1 等式性质与不等式性质（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册.

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，从回顾等式对称性、传递性等基本性质切入，过渡到不等式传递性、可加性、可乘性等性质，对比两者异同（如同乘负数变号规则），进而学习作差法、作商法、平方法比较实数大小，结合糖水不等式构建从概念到方法再到应用的学习支架。 资料以问题驱动设计，含随学随练、分层题型及解题贴士，融入糖水不等式等生活实例培养数学眼光，通过作差法变形、符号推理训练数学思维，实际情境问题（如生产总成本与产量关系）助学生用数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后通过基础与素养练习助力学生查漏补缺。

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 课时目标 1、 回顾等式的两条基本性质（对称性、传递性，以及加减乘除保持相等）。 2、 理解不等式的两条基本性质（传递性、可加性、可乘性等）。 课标要点 3、掌握比较两个实数大小的方法（作差法、作商法）。 4、能利用不等式的性质对不等式进行变形与推理。 5、理解等式性质与不等式性质的异同（如等式两边同乘负数仍相等，不等式需变号）。 重点： 1、不等式的基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性）； 2、作差法比较大小（差大于0则大于，小于0则小于）： 3、性质中“同乘负数要变号”的规则。 学习重难点 难点： 1、作差法变形时，符号判断的准确性（需分解因式或配方后分析正负）： 2、 同乘负数时忘记变号：同向不等式相加成立但相减不一定成立的区别： 3、 倒数法则的适用条件（需考虑正负号，如a大于b且b大于0时，后小于方）。 11 清主线 课时内容导图 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不等式：用不等号连接两个数或代数式 知识点一：不等式 严格不等式：用大于或小于连接 关系与不等式 非严格不等式：用大于等于或小于等于连接 多个不等关系需用不等式组表示 等式性质：对称性、传递性、可加减性、可乘性、可除性（除数不为零） 知识点二：等式性 不等式性质：对称性、传莲性、可加性、可乘性（乘负数需变号） 质与不等式性质 同向不等式可相加，但不能随意相乘（需为正） 等式性质与 取倒数需判断正负 不等式性质 作差法：差大于0则大于，小于0则小于 知识点三：实数比 作商法：与比较，注意符号为正 较大小 平方法：适用于正数无理式比较 变形时需提取公因式或配方，确保符号判断准确 用不等式表示不等关系：抓住关键词转为不等号 综合要点 含参比较需分类讨论 糖水不等式：分式加减常数后的变化，分子分母同加正数分数值增大 理新知 教材全盘梳理 知识点1 不等式关系与不等式 1、不等关系与不等式 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号"≠，心>，心之，乙<，乙≤连接两个数 或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式。用"><连接的不等式叫 严格不等式；用"之≤连接的不等式叫非严格不等式 2、用不等式组表示不等关系：包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示不等关系。 随学随练 1.(25-26高一上·安徽合肥·期中)某人元旦回家共225km,准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时 10nin,转汽车时离家还有30km,已知动车的平均速度为300km/h,汽车平均速度为xkm/h,若从坐动 车开始能在1小时内到家，则x应该满足的不等式为() 225,1 225 A.300+x6 <1 B.300+x +10<60 19530 195,30.1 C.300x +10<60 D.300x6 2+二<1 2/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点 2 等式的性质与不等式的性质 1、等式的性质 (1)对称性：a=b-b=a (2)传递性：a=b,b=c→a=c; (3)可加（减）性：a=b→a±c=b±c: (4)可乘性：a=b→ac=bc: (5)可除性：a=b,c≠0→0=b cc: 2、不等式的基本性质 (1)对称性：a>b÷b<a (2)传递性：a>b,b>c→a>c: (3)可加性：a>b→a+c>b+c: (4)可积性：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc: (5)同向可加性：a>b,c>d→a+c>b+d (6)同向正数可乘性：a>b>0,c>d>0→ac>bd (7)乘方法则：a>b>0→a”>b(n∈N且n>1)】 (8)倒数法则：a>b,ab>0→1<1 a b 特别提醒 等式性质是“传递对称”，不等式性质则必须注意乘除负数要变号。同向不等式可相加，但不可随意 相乘（需均为正）。另外，取倒数时需判断符号，忽略正负会导致方向错误。 随学随练 1,(25-26高二下·河北沧州期未)若a>b>0,c<0,则() A.a+b+c>0 B.ese C.a2<b2 D.⊥1 ac bc 知识点 实数比较大小 比较a,b大小的方法： (1)作差法(a-b与0的比较)a-b>0→a>b;a-b=0→a=b; a-b<0→a<b 3/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)作商法（号与1比较）号 >1,b>0→a>b; a>1,b<0→a<b (3)平方法：若a>0,b>0,则a>b台a>b,通常应用于无理式大小的比较。 特别提醒 实数比较大小，最常用作差法(a-b与0比较)，注意通分和提取公因式；遇到无理数或根式，可用平 方法或作商法（需保证符号为正）。变形时务必保证每一步等价转化，避免因符号不确定导致判断失 误。对于含参比较，需分类讨论参数的取值范围。 随学随练 1.(2026高三全国专题练习)已知4,4∈R,M=a42,N=a+a2-1,判断M,N的关系？ 破疑难 核心素养拓展 拓展 糖水不等式 1、设糖水b克，含糖a克，则糖水的浓度为号(a>b>0),加入克糖后的糖水浓度为6+m Q a+m ,m>0, a+m a 则一定有b+mb a 2、设淡糖水b1克，含糖Q1克，易知淡糖水的浓度为b, 设浓糖水b2克，含糖Q2克，易知淡糖水的浓度为 a2 6, 器哈。号 则两个糖水混合后的浓度为b,+b 活学活用 1.(25-26高一上：河北邯郸阶段检测)（多选）生活经验告诉我们：a克糖水中有b克糖(a>0,b>0, bb+m 且>b),若再添加m克糖（m>0)后，糖水会更甜于是得出一个不等式：。a+m,趣称之为“糖 水不等式”根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是() bb+m A.若a>b>0?m<0:则 aa+m bb+m B.若b>a>0:m>0:则a>a+m 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b C.若ab,c为。4BC三条边长，则1+a1+b之1+c D.若a:b'c为。BC三条边长，则1< b 一+ <2 b+c a+c a+b 通题型 解题能力构建 题型 用不等式表示不等关系 ■例1(25-26高一上·云南曲靖·阶段检测)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的 关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒() A.5000套 B.6000套 C.3000套 D.4000套 ■例2(25-26高一上·河北保定·阶段检测)某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资 1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元.下列不等式表示“经过年后，方案一 的总投资不多于方案二的总投资”的是() A.30n+170≤1000 B.30m+170≥1000 C.30n+200≥1000 D.30n+170>1000 解题贴士 审题抓住关键词(“超过”、“至少”、“不多于”等)转化为不等号(>，之，≤)，设未知数列出不 等式。注意单位统一，隐含条件（如人数、长度非负）需一并考虑。列式后解不等式，最后检验解是 否符合实际意义（如结果需为整数） ■对点练1-1(25-26高一上陕西咸阳阶段检测)已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为x，则下列 不等式表示“该矩形的面积不小于20'的是() A.x(12-x)>20 B.x(12-x)≥20 C.x(24-x)>20 D.x(24-x)≥20 ■对点练1-2(25-26高二上·吉林白城阶段检测)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长18m,要求菜园的面积不小于96m,靠墙的一边长为xm.试用不等式（组）表示其中的不等关系是 题型 利用不等式的性质比较大小 ■例1（江西萍乡市2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷）已知实数C<0<a<b,则下列不等 5/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 式不成立的是() b、a C、C C. b-cb 1 A.ab B.ab a-c a D. a ■例2(2026高二下·浙江·学业考试)已知a>b>0>c,则下列不等式正确的是() A.ac>be B.ac<bc C.a+c<b+c D.ac2<be2 解题贴士 利用不等式性质比较大小时要注意正负、同向等限制条件等， I对点练1-1(2026高二下·浙江温州学业考试)（多选）已知a>b>0,c<d<0,则() A.ac>be B. 1<1 a-c b-d C.be<ad D.ac<bd ■对点练1-2(25-26高一上·福建厦门阶段检测)（多选)下列说法正确的为() A.若a>b,则a-c>b-c B.若a>b,c>d,则a-c>b-d 11 C.若a>h.c>d,则ac>bd D.若a>b>0:则ab 题型 作差或作商比较大小 ■例1已知0<x<1,y>1,记M=y,N=x+y-1,则M与N的大小关系是() A.M<N B.M>N C.M=N D.M与N的大小关系不确定 a2-b2 a-b 1例2设a>b>0,比较。2+2与a+b的大小 解题贴士 作差法 将两式相减，变形为易于判断正负的形式（如因式分解、配方），与0比较即可；作商法 两式均为正时相除，与1比较。注意作商法需确保符号为正，否则比较方向会颠倒：变形时优先 提取公因式或配方。 1对点练1-1已知非零实数x,y,用作差法比较讨论：。-y与xy-y的大小关系 1 Ⅱ对点练1-2若0<x<1,则xx、VF、x2中最小的是 6/12 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型 无理数比较大小 1例1设a=V7,b=3-V5,则ab(填入“>”或“<”). I例2已知c>1,且x=Vc+1-√C,y=VC-Vc-,则x,y之间的大小关系是() A.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随C而定 解题贴士 ■对点练1-1试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)3+V5与2+V5; (2)V7与3-√3 ■对点练1-2(25-26高一上河南焦作阶段检测)设4，b,c,d均为正实数，且+b=c+4,证明： (I)若ab>cd,则a+vb>Ve+Va: (2)a+b>c+va的充要条件是la-<lc-d 题型 利用不等式求范围 I例1(25-26高一上·四川成都期中)（多选）已知实数a,b满足-2<a<3,1<b<4,下面说法正确的 有() A.-1<a+b<7 B.-6<a-b<2 C.-2<ab<12 D.-8<ab<12 1例2(25-26高二下：上海期末)已知3<4<8,4<b<9,则万的取值范围是 解题贴士 比较无理数大小，常用平方法（将两数平方后比较，注意均为正数时平方不改变大小关系）或放缩法 (将无理数夹在两个相邻有理数之间)。也可作差后分子有理化，利用分母正负判断。注意根号内数 需先化为同形式，且平方后须验证原数正负。 7/12 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■对点练1-1(25-26高二下山西晋中·阶段检测)(1)已知一2 5a<Bs受，求a-B的取值范围 (2)已知-1≤x+y≤2,0≤2x-y≤3，求5x+2y的取值范围. 1对点练1-2(2026高一·全国专题练习)（多选）（多选题）若实数a,b满足l≤a+b≤5，-l≤a-b≤3 则下列说法正确的有() A.a的取值范围为[0,4] B.b的取值范围是[-1,3 C.3a-2b的取值范围是[-2,10] D.3a-2b的取值范围是[-6,14] 题型 不等式的证明 ■例1(25-26高三全国一轮复习)(1)设a,b为实数，比较a2+b2与4a-2b-5的值的大小. e e (2)已知a>b>0,c<d<0:e<0:求证：a-e>b-d 一> ala-b)_b(b-c)c(c-a)z0 1例2(2026高三下·全国：竞赛)设。'6'e为正实数：证明：+i+C2+1口+1 解题贴士 等式证明常用比较法（作差或作商）、综合法（从已知条件推导）、分析法（从结论反推）和放缩法 (适当放大或缩小)。注意运用基本不等式（如均值不等式）时需验证取等条件。对于复杂分式或根 式，可考虑换元或构造函数利用单调性。最终确保每一步推理方向正确。 ■对点练1-1已知a>b>1,d<c<-2 (1)求证：(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0 (2)求证：ac+bd>bc+ad, I对点练1-2(25-26高一上·黑龙江辽宁阶段检测)(1)已知a>0,b>0,M=a+V万，N=Va+b, 求证：M>N; (2)已知a<b<0:求证： a+i<b+1 1 a 题型 糖水不等式的应用 1例1(25-26高一上江苏苏州期中)（多选）生活经验告诉我们：a克糖水中有b克糖(a>0,b>0, bb+m 且a>b）,若再添加m克糖(m>0)后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：。a+m根据“糖 8/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是() bb+m A.若b>a>0m>0则 aa+m bb+m B.若a>b>0:m<0且b+m>0,a+m>0,则。a+m a b C.若a'b'c为。4BC三条边长，则1+a1+b1+c a b <2 D.若a'b,c为。4BC三条边长，则b+ca+ca+b ■例2(25-26高一上贵州贵阳阶段检测)己知x(x>0)克糖水中含有少(y>0)克糖，向杯中再添加 m(m>0)克糖（全部溶解），糖水变甜了这其中蕴含着著名的“糖水不等式”· ()请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； ab+c.<2. (2②)已知a'b,c是三角形的三边，求证：b+c+a+c+a+b 解题贴士 糖水不等式常用于判断分式加减常数后的大小变化，核心是“加糖变甜”（分子分母同加正数，分数 值增大)。应用时先识别模型，将问题转化为分式加减常数形式，直接套用结论比较大小，注意需满 足正数条件，且分母不为零。可用于证明或比较含参数的分式大。 ■对点练1-1(25-26高一上广东佛山~阶段检测)(1)已知，a>0,b>0,c>0,求证： (a+b)(b+c)(a+c)z8abc: bb+m (2)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：a<a+m(Q>b>0,m>0): ①证明糖水不等式： ②已知ah,c是三角形的三边，求证：1<，0+b+c b+ca+ca+b、< ■对点练1-2(25-26高一上·福建龙岩·阶段检测)糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖 水如果a克糖水中含有b克糖(a>b>0),再添加n克糖(n>0)(假设糖全部溶解)，糖水变甜了，将这 一事实表示为不等式正确的是() b+n、b b、b A. atn a B.- a+n a b+nb C.an a a+n、a D.binb 9/12 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 刷好题 课时巩固精炼 基础通关 1.(25-26高三上·辽宁锦州期末)平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平 流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域.某地平流层是地球表面以上1Okm(不 含)到50km(不含)的区域，下述不等式中x能表示平流层高度的是() A.x+10<50B.x-10<50 C.x-20<30D.x-30<20 2.(25-26高一上湖南娄底·期中)用a表示某产品销售的利润，b表示该产品生产的成本，其中销售利润 大于生产成本，将分称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加人时。 成本利润率却有所降低基于该事实，可以列出的不等式为() a、a+k aa+k A.bb+k B.bb+k e88 bb+k D.aa+k 3.(2526高=下河北沧州期末)已知>y>2>0:记M-三，V= y-z, ，则() A.M<N B.M=N C.M>N D.以上都有可能 4.(25-26高一下·上海期中)已知c>0>a>b,则下列不等式不成立的是() CC b a A.a B.ab c88 2 2 D.二+b<+a a b 5.(25-26高一下四川成都期中)（多选）已知a>b,c>d>0,则下列不等式恒成立的是() a b A.a-dzb-c B.aczbd C.ac2zbe D.dc 6.(25-26高一下四川成都期中)若1<a+b<4,-2<a-b<4,则a+3b的取值范围是() A.-5<a+3b<1B.-2<a+3b<10C.-2<a+3b<9D.-5<a+3b<10 7.(25-26高一上安徽合肥阶段检测)（多选）已知实数y满足1<x<8,2<y<3,则() A.3<x+2y<9 B.-2<x-y<6 C.2<y<24 1X,<8 D.2 8.(25-26高二下天津滨海新区阶段检测)若f()=3x2-x+1,g(x)=2x+x-1,则f(x),g()的 10/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 大小关系是() A.f(x)=g(x) B.f(x)>g(x) C.f(x)<g(x) D.随x的值变化而变化 9.(2026·湖南长沙模拟预测)甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满 油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升(x≠y),两次加油后，请问谁的加 油方式单价低？() A.乙 B.不能确定 C.一样 D.甲 10,(25-26高一下广东揭阳阶段检测)(1)已知30<x<42'16<y<42,求x+y?x-2y,y的取 值范围。 (2)已知P=x2+2x,9=2y-y2-5,比较P与2的大小 ®素养提升 a b 1.已 c>a>h>0'求证(c-a>(c-b 2.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨阶段检测)(1)比较-3与V7-V5的大小： 1>1 (2)已知a6.cd均为正实数，且后>6c>d,求证：a+e之b+d: 3.(25-26高一上·安徽芜湖：阶段检测)(1)已知x∈R'x≠2，试比较2-x与x+2的大小. (2)已知a,b,m,n均为正实数，求证：V(a+b)(m+n)≥Vam+Vbm 4.(25-26高一上·福建宁德阶段检测)数学的应用渗透于日常生活的各个角落，学习数学不仅仅是掌握 计算技巧，更重要的是培养思维及应用意识，请你用所学知识解决以下问题： (1)某种物品每天价格都不一样，同学甲需两次购买该物品，可以用两种不同策略，策略一是每次购买这种 物品的数量一定；策略二是每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购买方式比较经济？请说明理由 ②)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含若著名的糖水不等式：上<+mx>y>0,m>0). xx+m 请利用该不等式模型证明：已知ab,c是三角形的三边，必有：b+c+a+c+a+b 5.(25-26高一上河南开学考试)假设a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖（其中a>b>0,m>0), 生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜： 11/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式： (2)证明你提炼出的不等式： 1<x2x5xx2-1< 1 (3)求证：2n2*462nV2n+ ,neN'且n≥2 12/12 第 二 章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 课标要点 1、回顾等式的两条基本性质（对称性、传递性，以及加减乘除保持相等）。 2、理解不等式的两条基本性质（传递性、可加性、可乘性等）。 3、掌握比较两个实数大小的方法（作差法、作商法）。 4、能利用不等式的性质对不等式进行变形与推理。 5、理解等式性质与不等式性质的异同（如等式两边同乘负数仍相等，不等式需变号）。 学习重难点 重点： 1、不等式的基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性）； 2、作差法比较大小（差大于0则大于，小于0则小于）； 3、性质中“同乘负数要变号”的规则。 难点： 1、作差法变形时，符号判断的准确性（需分解因式或配方后分析正负）； 2、同乘负数时忘记变号；同向不等式相加成立但相减不一定成立的区别； 3、倒数法则的适用条件（需考虑正负号，如大于且大于时，小于）。 知识点 不等式关系与不等式 1、不等关系与不等式 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。含有这些不等号的式子叫做不等式。用连接的不等式叫严格不等式；用连接的不等式叫非严格不等式 2、用不等式组表示不等关系：包含两个或两个以上的不等关系时，需要用不等式组来表示不等关系。 随学随练 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 知识点 等式的性质与不等式的性质 1、等式的性质 （1）对称性： （2）传递性：； （3）可加（减）性：； （4）可乘性：； （5）可除性：； 2、不等式的基本性质 （1）对称性： （2）传递性：； （3）可加性：； （4）可积性：； （5）同向可加性： （6）同向正数可乘性： （7）乘方法则： （8）倒数法则： 特别提醒 等式性质是“传递对称”，不等式性质则必须注意乘除负数要变号。同向不等式可相加，但不可随意相乘（需均为正）。另外，取倒数时需判断符号，忽略正负会导致方向错误。 随学随练 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质结合特殊值即可判断. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，因为，所以，则，故D正确． 知识点 实数比较大小 比较大小的方法： （1）作差法（与的比较） （2）作商法（与比较） （3）平方法：若，则,通常应用于无理式大小的比较。 特别提醒 实数比较大小，最常用作差法（与0比较），注意通分和提取公因式；遇到无理数或根式，可用平方法或作商法（需保证符号为正）。变形时务必保证每一步等价转化，避免因符号不确定导致判断失误。对于含参比较，需分类讨论参数的取值范围。 随学随练 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系? 【答案】当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 【详解】由. ①当时，，即； ②当时，，即； ③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即. 综上所述，当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 拓展 糖水不等式 1、设糖水克，含糖克，则糖水的浓度为加入m克糖后的糖水浓度为则一定有 2、设淡糖水克，含糖克，易知淡糖水的浓度为, 设浓糖水克，含糖克，易知淡糖水的浓度为，则两个糖水混合后的浓度为,则 活学活用 1．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】BCD 【分析】根据糖水不等式可依次判断ACD；作差法可判断B. 【详解】对于A，由糖水不等式得：，时，，故A错误； 对于B，，， ，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD 题型 用不等式表示不等关系 ▌例1（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 【答案】A 【分析】根据题意可得不等式，代入解不等式即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. ▌例2（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 解题贴士 审题抓住关键词（“超过”、“至少”、“不多于”等）转化为不等号（），设未知数列出不等式。注意单位统一，隐含条件（如人数、长度非负）需一并考虑。列式后解不等式，最后检验解是否符合实际意义（如结果需为整数）。 ▌对点练1-1（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. ▌对点练1-2 （25-26高二上·吉林白城·阶段检测）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为．试用不等式（组）表示其中的不等关系是______． 【答案】 【分析】根据已知及矩形面积公式列不等式组即可. 【详解】因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18 m，所以， 这时菜园的另一条边长为，因此菜园的面积， 依题意有，即，故不等关系表示为. 故答案为： 题型 利用不等式的性质比较大小 ▌例1（江西萍乡市2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. ▌例2（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，B，由，可得，故A错误，B正确； 对于C，由，易得，故C错误； 对于D，因，则得，故D错误. 解题贴士 利用不等式性质比较大小时要注意正负、同向等限制条件等。 ▌对点练1-1（2026高二下·浙江温州·学业考试）（多选）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． ▌对点练1-2（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 题型 作差或作商比较大小 ▌例1已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. ▌例2设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 解题贴士 作差法——将两式相减，变形为易于判断正负的形式（如因式分解、配方），与0比较即可；作商法——两式均为正时相除，与1比较。注意作商法需确保符号为正，否则比较方向会颠倒；变形时优先提取公因式或配方。 ▌对点练1-1已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【答案】当时，；当时，；当时，. 【详解】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. ▌对点练1-2若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 题型 无理数比较大小 ▌例1设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. ▌例2已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 解题贴士 ▌对点练1-1试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. ▌对点练1-2（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证，只需证，平方后结合条件即可证明； （2）分别证充分性和必要性即可. 【详解】（1）因为，， 由题设，，得. 因此. （2）（ⅰ）若，则.即. 因为，所以，由（1）得. （ⅱ）若，则， 即. 因为，所以， 于是. 因此. 综上，的充要条件是. 题型 利用不等式求范围 ▌例1（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. ▌例2（25-26高二下·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 解题贴士 比较无理数大小，常用平方法（将两数平方后比较，注意均为正数时平方不改变大小关系）或放缩法（将无理数夹在两个相邻有理数之间）。也可作差后分子有理化，利用分母正负判断。注意根号内数需先化为同形式，且平方后须验证原数正负。 ▌对点练1-1（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）（多选）（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD； 【详解】对于A，由， 两式相加得，即，故A正确； 对于B，由，得，又， 两式相加得，即，故B正确； 对于CD，设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 题型 不等式的证明 ▌例1（25-26高三·全国·一轮复习）（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用不等式的性质比较大小. 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，，所以， 所以，又，所以. ▌例2（2026高三下·全国·竞赛）设，，为正实数.证明：. 【答案】设. 先证明一个二元引理：对任意正实数，，有. 事实上，这等价于， 也就是. 两边均为正，因此可以平方。只需验证. 而 . 所以引理成立。 现在分别令，得到 ， ， . 三式相加，右边正好相消： . 因此. 等号成立当且仅当三次使用引理均取等，即. 证毕。 【分析】证明一个二元引理：对任意正实数，，有，再令三式相加后即可. 【详解】略 解题贴士 等式证明常用比较法（作差或作商）、综合法（从已知条件推导）、分析法（从结论反推）和放缩法（适当放大或缩小）。注意运用基本不等式（如均值不等式）时需验证取等条件。对于复杂分式或根式，可考虑换元或构造函数利用单调性。最终确保每一步推理方向正确。 ▌对点练1-1已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. ▌对点练1-2（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 题型 糖水不等式的应用 ▌例1（25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜，于是得出“糖水不等式”：.根据“糖水不等式”等知识判断，下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】ACD 【分析】对A，利用作差法比较；对B，举反例说明；对CD，根据糖水不等式可依次判断. 【详解】对于A，， ，即，故A正确； 对于B，当，时，，，故B错误； 对于C，由题，，则， ， 又，所以，故C正确； 对于D，，，， ，故D正确. 故选：ACD. ▌例2（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 解题贴士 糖水不等式常用于判断分式加减常数后的大小变化，核心是“加糖变甜”（分子分母同加正数，分数值增大）。应用时先识别模型，将问题转化为分式加减常数形式，直接套用结论比较大小，注意需满足正数条件，且分母不为零。可用于证明或比较含参数的分式大。 ▌对点练1-1（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）（1）已知，，求证：； （2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． ①证明糖水不等式； ②已知是三角形的三边，求证：． 【答案】（1） ， 将三式相乘得，， 当且仅当，时等号成立． （2）①， 因为，所以， 所以， 即． ②因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又． 所以， 所以原不等式成立． 【分析】（1）由基本不等式进行证明； （2）①由作差法进行证明；②由糖水不等式进行证明． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 ▌对点练1-2（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解. 【详解】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 基础通关 1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立不等式模型即可. 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 4．（25-26高一下·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 5．（25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，，则，故，A正确. 对于B：当，，，时，，故B错误. 对于 C：因为，所以，所以，C正确. 对于D：当，，，时，，，故，D错误. 6．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 7．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）（多选）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用不等式的性质来进行计算并作出判断. 【详解】对于A：，所以，，故A错误； 对于B：，所以，，故B正确； 对于C，所以，，故C正确； 对于D所以，，故D正确． 故选：BCD 8．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）若，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【答案】B 【详解】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确. 9．（2026·湖南长沙·模拟预测）甲和乙有相同的两台燃油车，甲每次加油都是加200元，乙每次都是加满油箱，若第一次加油甲乙两人都是x元/升，第二次加油都是y元/升（），两次加油后，请问谁的加油方式单价低?（     ） A．乙 B．不能确定 C．一样 D．甲 【答案】D 【分析】分别计算甲、乙的平均加油单价，再比较即可. 【详解】甲两次总花费元，甲两次总加油量升， 因此甲的平均单价. 设油箱容积为升，即乙每次加油量为升，则乙两次总花费元，乙两次总加油量升， 因此乙的平均单价. . 因为，所以，因此，即. 10．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 素养提升 1．已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）经过适当变形，结合不等式的性质即可求解； （2）由作差法比较大小即可. 【详解】（1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 3．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）（1）已知，，试比较与的大小. （2）已知a，b，m，n均为正实数，求证: . 【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解 【分析】（1）根据题意利用作差法比较大小，注意分和两种情况讨论； （2）根据题意利用作差法先证，即可得结果. 【详解】（1）因为， 且，，则， 若，则，可得，所以； 若，则，可得，所以； 因此可得时，；时，. （2）因为a，b，m，n均为正实数，则，，，均为正数， 又因为， 当且仅当时，等号成立， 可得，所以. 4．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）数学的应用渗透于日常生活的各个角落，学习数学不仅仅是掌握计算技巧，更重要的是培养思维及应用意识，请你用所学知识解决以下问题： (1)某种物品每天价格都不一样，同学甲需两次购买该物品，可以用两种不同策略，策略一是每次购买这种物品的数量一定；策略二是每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购买方式比较经济？请说明理由． (2)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．请利用该不等式模型证明：  已知是三角形的三边，必有：． 【答案】(1)策略二比较经济，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别表示出两次购物的平均价格，利用作差法比较其大小，即可得出结论. （2）利用“糖水不等式”证明即可. 【详解】（1）设两次购买的单价分别为，，由题意，且. 策略一：设每次买的数量均为，则两次购买物品的平均价格为：； 策略二：设每次花的钱数为，则两次购买物品的平均价格为：. 因为， 因为，且，所以，即. 所以策略一购买物品的平均价格要高，故选择策略二比较经济. （2）因为是三角形的三边，所以，，， 根据“糖水不等式”可得： ，同理，， 所以. 5．（25-26高一上·河南·开学考试）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式； (2)证明你提炼出的不等式； (3)求证：且. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意得到； （2）作差法比较大小即可； （3）先得到，先证明出右边，再证明左边，得到结论. 【详解】（1）提炼出的不等式为. （2）. 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. （3）由（2）可知. 取 ，则 ，故有 ， 则有， 先证明右边： 因为， 所以 ， 故. 再证明左边： 因为， 所以 ， 故. 综上，且. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $