2.3.2两点间的距离公式（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两点间的距离公式”，通过回顾数轴上两点距离过渡到平面直角坐标系中的距离探究，结合前情回顾的直线方程等知识，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于采用向量法与勾股定理推导公式，通过坐标法证明几何问题（如平行四边形对角线性质），题型涵盖应用与最值，培养数学思维与推理能力。学生能提升知识应用能力，教师可借助系统资源高效教学。

第二章 直线和圆的方程 2.3.2 两点间的距离公式 前情回顾 直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们 可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究。 两点之间的距离 两条直线的交点 点到直线的距离 两平行直线的距离 两条直线的交点坐标 所在直线二元一次方程组的解 点在直线上 点的坐标满足直线方程 一起来探讨这个简单的问题吧！ 将两条直线的方程联立，得方程组：， 若方程组有唯一解 学 习 目 标 1 2 3 理解两点间距离公式的代数含义与几何含义. 会运用公式在直角坐标系中求两点间的距离. 能灵活应用公式解决两点间距离的最值问题和参数问题. 我们一起来探究“两点间的距离公式”吧！ 读教材 阅读课本P72-P74，5分钟后完成下列问题： 1.平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？ 2.斜率为的直线上任意两点的距离公式还能怎么表示？ 新课引入 今天，我们一起来探讨上面的问题？ 对于数轴上的任意两点、，我们可以如何计算、间的距离？ 数轴上 在平面直角坐标系中，若两点为，又该如何 计算、之间的距离呢？ 学习过程 01 03 02 目录 1 两点间的距离公式 2 题型训练 新知探究1 探究1 已知平面内两点如何求，间的距离？ O • • 解：由点，，得. 于是， . 由此得到两点间的距离公式 特别地，原点间的距离 新知探究1 思考 你能利用构造直角三角形，再用勾股定理推导 两点间距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？ x y O P2 (x2，y2) P1 (x1，y1) x y O P1 (x1，y1) P2 (x2，y2) Q (x2，y1) x y O P1 (x1，y1) P2 (x2，y2) || = || || = || 两点间的距离公式： 新知探究1 解，得于是， ＝＝. ＝＝. 思考：斜率为的直线上的两点，求的距离公式？ 已知斜率为的直线上的两点间的距离公式为： ＝＝. 概念 两点间的距离公式 两点间的距离公式： 注：原点间的距离 两点间的距离公式： 已知斜率为的直线上的两点间的距离公式为： ＝＝. 练习巩固 练习1 求下列两点间的距离： (1) (6, 0)， (－2, 0)； (2) (0, －4)， (0, －1)； (3) (6, 0)， (0, －2)； (4) (2, 1)(5, －1). 解：(1)(2) (3)(4) 练习巩固 练习2 (1)已知(, －5)与(0, 10)两点间的距离是17，求的值？ 解：由两点间距离公式得(0－)2＋(10－(－5))2＝172， 所以2＋152＝172，所以2＝64，即＝8或＝－8. 练习2 (2)已知(－2, －1)与, 3)，且||＝5，求的值？ 解：由两点间距离公式得(－2－)2＋(－1－3)2＝52， 所以(＋2)2＝32，所以＋2＝±3，即＝1或＝－5. 练习巩固 练习3 用坐标法证明: 平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍？ 解：如右图，以顶点为坐标原点，边所在的 直线为轴，建立直角坐标系，则有设： ，，由平行四边形的性质， 得.由两点间的距离公式，得 ||²=²，||²=²+²， ||²=()²+²，||²=)²+² ∴ ||²+||²=2(²+²)，||²+||²=²+² ∴||²+||²=2( ||²+||²). 课堂小结 利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立坐标系， 用坐标表示有关的量 第二步：进行有关代数运算 第三步：把代数运算的 结果“翻译”成几何结论 用坐标法解决这个问题的基本步骤与 向量法完全类似； (1)建立平面直角坐标系， 用坐标表示有关的量； (2)进行代数运算； (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 练习巩固 练习4 用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 解：以顶点为坐标原点，所在直线为轴， 建立直角坐标系，则有，设： ，， ∴ ||== ||=， |||. 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 学习过程 01 03 02 目录 1 两点间的距离公式 2 题型训练 两点间距离公式的应用 题型1 题型探究 例1 已知点(－1, 2)，(2, )，在轴上求一点，使得||=||， 并求||的值？ 解：设所求点为，则 . 由，得. 解得. 所以，所求点为，且. 两点间距离公式的应用 题型1 题型探究 例2 已知的三个顶点分别为 则的形状为_________________. 解：由题意得 且 等腰直角三角形. 等腰直角三角形 两点间距离公式的应用 题型1 题型探究 例3 求直线上与点(－2,3)的距离等于 的点的坐标？ 解：设所求点的坐标为(，)， 有且 联立解方程组得，则坐标为(－3,4)和(－1,2). 两点间距离公式的应用 题型1 题型探究 例4 在直线 <m></m> 上取一点 <m></m> ，使它到点 <m></m> ， <m></m> 的距离相等， 求点 <m></m> 的坐标？ 解：设点 <m></m> 的坐标是 <m></m> ,由题意可知 <m>， 则 <m></m> ， 解得 <m></m> ，则 <m>故点 <m></m> 的坐标是 <m></m> . 两点间距离公式的应用 题型1 题型探究 例5 在已知直线上存在一点，使它到点的距离为5， 求直线的方程？ 解：∵点在直线上，∴可设点坐标为()， ∴ ＝5，即2－4＋64＝0，解得＝2或＝ ，∴点P的坐标为(2,4)或().∴直线PM的方程为 ＝ 或 ＝ ， 即或 两点间距离的最值 题型2 题型探究 例6 (多选)对于 ，下列说法正确的是( ) A.可看作点(0)与点(1,2)的距离 B.可看作点(0)与点(－1,－2)的距离 C.可看作点(0)与点(－1,2)的距离 D.可看作点(－1)与点(－1,1)的距离 BCD 解： ， 可看作点(0)与点(－1,－2)的距离，可看作点(0)与点(－1,2)的距离， 可看作点(－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确. 两点间距离的最值 题型2 题型探究 例7 求的最小值？ 解： ， 可看作点(0)与点(1,3)的距离加点(0)与点(3,2)的距离， 点关于的对称点为所以最小距离为： 两点间距离的最值 题型2 题型探究 例8 求，求的最小值？ 解： 可看作点()与点(－1,0)的距离与到点(1,0)的距离只和， 两点间线段最短得最小距离为： 两点间距离的最值 题型2 题型探究 例9(1) 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为 ，则的最小值为________________. 解：则的最小值为. 例9(2) 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为 ，则的最小值为________________. 解： 点关于直线的对称点为 则的最小值为. 课堂小结 两点间的距离公式： 注：原点间的距离 两点间的距离公式： 已知斜率为的直线上的两点间的距离公式为： ＝＝. 感谢聆听! $