2.3.3 点到直线的距离公式（教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“点到直线的距离公式”，通过“关羽牵马”“牧马最短路径”情境导入，联系初中“垂线段最短”几何结论，引导学生从几何定义过渡到代数推导，搭建直观到抽象的学习支架。 其亮点在于情境导入激发数学眼光，多种推导方法（代数法、向量法）培养数学思维，系统题型训练与真题应用强化数学语言。如向量法推导体现逻辑推理，“已知距离求参数”题培养符号运算能力，助力学生理解公式本质，教师可高效落实核心素养。

第二章 直线与圆的方程 2.3.3 点到直线的距离公式 ·选择性必修第一册· 学习目标 会用向量工具推导点到直线的距离公式． 掌握点到直线的距离公式（重点）,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.（难点） 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.（难点） 目录 CATALOG 01.点到直线的距离公式 03.应用新知 02.用向量方法求点到直线的距离 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 2.3.3 点到直线的距离公式 01 点到直线的 距离公式 导入新知1：历史情境——关羽牵马 前将军关羽想把自己的爱马从军营牵到河边去洗澡，请同学们帮关羽设计一下：在理论上，如何设计路线才能使马跑的路径最短，如何计算这个最短距离？ 把军营看作点P，河流岸边看作直线l，如何求点P到河岸直线l的最短距离呢？有没有一个数学公式可以直接帮助我们计算得到这个距离？ 导入新知2：牧马最短路径情境 军营（定点P）、河岸（定直线），提问：马从军营到河边饮水，走哪条路路程最短？ 1.初中几何结论：点到直线，垂线段最短； 2.仅画图无法精准算出长度，如何通过点、直线坐标直接算出最短距离？ 3.能否结合之前学的向量、两点距离推导通用计算公式？ 探究新知 回顾 在初中，“点到直线的距离”定义是什么？ 定义：直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离. 如右图，点 P 到直线 l 的距离是垂线段PQ. 探究 设想：是否可以把点Q坐标求出来，然后利用两点间距离公式就可求出PQ的长度 思考 如何求点Q的坐标呢？ 求两直线相交的交点坐标 探究新知 解 析 实 践 探究新知 一般化 探究新知 一般化 探究新知 思考 分 析 上述方法运算量大，是否有简化运算的方法? 探究新知 解 析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求点到直线的距离 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知点到直线距离求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线过定点问题、已知点到直线距离求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求点到直线的距离、已知点到直线距离求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知点到直线距离求参数 02 用向量方法求 点到直线的距离 2.3.3 点到直线的距离公式 探究新知 探究 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离? 分 析 探究新知 解 析 第一步：求直线法向量的单位向量 第二步：计算 探究新知 解 析 第二步：代替数量积中的 探究新知 公式 验证 探究新知 思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点 间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向 量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．除了上述两种方法， 你还有其他推导方法吗? 柯西不等式法 回顾 在必修第二册《平面向量及其应用》中习题6.3的第16题中： 探究新知 法三 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求点关于直线的对称点 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求点关于直线的对称点 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 直线关于直线对称 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求点关于直线的对称点 03 应用新知 2.3.3 点到直线的距离公式 思考：直线 l 有什么特点? 请画图找到更简便解法? 应用新知 分析 例 5： 解析 一条垂直于 x 轴的直线： 类比 应用新知 总结 如何应用点到直线的距离公式，求点到直线的距离？ 第 1 步 确认点的坐标，和将直线方程化为一般式 第 2 步 将点横、纵坐标及直线一般式方程中A、B、C的五个值代入公式计算距离即可 将直线方程化为一般式方程是非常关键的，不会那么容易出错！ 特别地 点到直线的距离和到直线的距离 、 应用新知 例 2： 分析 由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可． 解 析 1 2 3 -1 O 1 2 3 y x h A B C 应用新知 跟踪练习： 解 析 分析 由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边BC的长和边BC上的高即可． 1 2 3 -1 O 1 2 3 y x h A B C 04 题型强化训练 2.3.3 点到直线的距离公式 重点题型专练 题型一 利用点到直线距离公式求距离 例题 解 析 直线方程化为一般式是关键 重点题型专练 总结 利用点到直线的距离公式求距离的方法 第 2 步 将直线方程化为一般式方程，确认的值 第 3 步 将点横、纵坐标及直线一般式方程中A、B、C的五个值代入点到直线的距离公式，即可计算得所求距离 第 1 步 确认点的坐标，若未已知，则先求点坐标 重点题型专练 题型二 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 例题 解 析 根据题意列方程 重点题型专练 题型二 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 解 析 例题 根据题意建立不等式 重点题型专练 题型二 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 解 析 例题 根据题意列方程 重点题型专练 题型二 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 解 析 例题 巧设点的坐标 重点题型专练 总结 根据点到直线的距离公式求参数值（范围）的方法 第 1 步 确定点的坐标和直线方程：坐标或方程中可能含参 第 2 步 利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程（不等式） 第 3 步 解方程（不等式）即可得到参数的值（范围） 重点题型专练 题型三 点到直线的距离有关的最值问题 解 析 【总结】已知直线外一定点和直线上的动点，求两点距离最小值等价于 定点到直线的距离 例题 重点题型专练 题型三 点到直线的距离有关的最值问题 解 析 【总结】已知直线外含一个参的动点到直线的最小距离，利用点到直线 距离公式表示含有参数的式子，然后利用函数的观点求最值. 例题 重点题型专练 题型三 点到直线的距离有关的最值问题 解 析 【总结】已知直线外一个定点到过某一定点的动直线的最大距离：最大 距离等于两定点的距离. 例题 05 真题感知 2.3.3 点到直线的距离公式 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 2.3.3 点到直线的距离公式 课堂小结 作业 作业1：完成教材：第77页 练习1,2,3. 作业2：配套辅导资料对应的《点到直线的距离公式》.  2.3.3 点到直线的距离公式 课后作业答案 练习（第77页） 解 析 课后作业答案 练习（第77页） 解 析 课后作业答案 练习（第77页） 解 析 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 1.（25-26高二上·江西赣州·期末）点 到直线 的距离是（   ） A． B． C． D． 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2.（25-26高二上·广东汕头·期中）若点 到直线 ： 的距离为 ，则 （   ） A．1 B． C． 或9 D．1或 【详解】由点到直线：的距离为，得， 所以或. 故选：D 3.（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知直线 过定点 ，点 到直线 的距离的最大值为5，则实数 （   ） A．0或6 B． 或7 C．6 D．7 【详解】设定点，则点到直线的距离的最大值为，解得或6. 故选：A. 4.（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知 两点到直线 的距离相等，则实数 的值为（    ） A．0 B． C．0或 D． 或 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 5.（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点 到直线 的距离为 ，则 等于（    ） A． B． C． 或 D． 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 6.（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点 出发，经过直线 反射，反射光线经过点 ，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 7.（25-26高二上·广西来宾·期中）一条光线从点 射出，经 轴反射，反射光线刚好经过点 ，则反射光线所在直线的方程为______. 【详解】易知点关于轴的对称点为，因为反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为. 故答案为： 8.（25-26高二上·河北廊坊·阶段检测）若点 与点 关于直线 对称，则 的坐标为_____. 【详解】设，则，解得. 所以的坐标为. 故答案为： 9.（25-26高二上·河南南阳·期中）一条光线从点 射出，经 轴反射，反射光线刚好经过点 ，则反射光线所在直线的方程为__________. 【详解】点关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为即， 即.故答案为： 10.（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点 ，直线 ，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，所以点关于直线对称的点的坐标为. 故答案为： （1）点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，求C的值 因为点 到直线 的距离为 ， 所以 ，解得 或 . 点 到直线 的距离大于3， 则实数a的取值范围为　(　　 ) A．a>7 B．a<-3 C．a>7或a<-3 D．a>7或-3<a<7 根据题意，得 >3，解得a >7或a <-3. (多选题)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0 的距离相等，则实数a的值等于(　　) A． B． C． D． 因为 和 到直线 的距离相等，由点 和点 到直线的距离公式， 可得： 化简得 ， , 解得 或 ，故选BC. 若点 在直线 上，且 到直线 的距离为 ，则点 的坐标为_____________________. 点 在直线 上，设 ， 到直线 的距离为 ， ， 解得：a=1或a=2，点 的坐标为 或 . 已知 ，若点P是直线 上的任意一点， 则 的最小值等于（     ） A． B． C． D． 过点M作 交l于点N，则有 ， 因此 的最小值就是点M到直线 的距离， 即 ．故选：C 设直线l： 与直线 平行， 则点 到l的距离的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 由两直线平行，∴ ,∴直线 , ∴ 到l的距离的 , 当 时取到最小值 , 故选： 设已知定点 和直线 ： ， 则点 到直线 的距离 的最大值为（    ） A． B． C． D． 直线 ，整理得 ， 故点 到直线 的距离的最大值为 ，故选：C 由 ，解得 ，故直线过定点 1.（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或.故选：C. 2.（2026·广东佛山·模拟预测）已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 由，得圆心，半径.过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得.，，，，得； 即圆心到直线的距离.，解得.故选：B. 3.（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 由题意，直线过点，且原点到直线的距离，则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或，又，则的取值范围是. 故选：C. 4.（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 把直线的方程重新整理得：，因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点.当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化，而当时，距离达到最大值， 即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离，此时.故选：B. $