2.3.2两点间的距离公式 课件2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两点间的距离公式”及坐标法应用，从基础公式推导入手，结合平行坐标轴、原点距离等特殊情况，逐步过渡到坐标法证明几何问题，构建从具体计算到抽象方法的学习支架。 其亮点在于通过AI思考辨析深化公式几何意义，结合“将军饮马”等实际问题培养数学眼光，以坐标法证明三角形中位线性质等发展数学思维。采用例题变式分层训练，规律方法总结清晰，助力学生提升数形结合能力，为教师提供系统教学资源。

第二章　直线和圆的方程 2.3.2　两点间的距离公式 学 习 目 标 1.掌握平面上两点间的距离公式. 2.会运用坐标法证明简单的平面几何问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1　两点间的距离公式 1.已知平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么这两点间的距离为 |P1P2|=. 当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|,当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1| 2.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离|OP|=. AI·思考辨析 结合两点间距离公式,代数式的几何意义是什么? 提示 该代数式表示(x,y)和(a,b)这两点间的距离. 体验新知 1.已知两点M(0,3),N(4,0),则|MN|=(　　)　　　　　　　　　　　　 A.3 B.5 C.9 D.25 B 2.(北师大版教材习题)求下列两点间的距离: (1)A(-3,2),B(0,3); (2)C(-1,3),D(2,7). 知识点2　坐标法 1.坐标法又常称为解析法,它是通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算等解决问题的方法. 2.“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤. 第一步:建立坐标系,用坐标表示有关的量→第二步:进行有关的代数运算→第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论 AI·思考辨析 利用坐标法来解决问题时,建立坐标系有什么技巧? 提示 利用坐标法解决问题时,建立适当的坐标系会大大降低运算量,一般情况下,我们把题目中给出的点尽可能地让其落在坐标轴上. 体验新知 已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:AM=BC. 证明 如图,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).因为点M是斜边BC的中点,所以点M的坐标为(),即M(). 由两点间的距离公式, 得|BC|=, |AM|=, 所以AM=BC. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一　两点间距离公式的应用 【例1】 (北师大版教材例题)如图,已知△ABC的三个顶点分别为A(4,3), B(1,2),C(3,-4). (1)试判断△ABC的形状; (2)设点D为BC的中点,求BC边上中线的长. 变式训练1 (1)已知点A(-3,4),B(2, ),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. (2)(北师大版教材例题)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=2x+b上的两点,若|x2-x1|=3,求|AB|. 解 因为A(x1,y1),B(x2,y2)在直线l上, 所以y1=2x1+b,y2=2x2+b. 由|x2-x1|=3,得|y2-y1|=|(2x2+b)-(2x1+b)|=2|x2-x1|=6. 能力提升点二　坐标法及其应用 【例2】 用坐标法证明:三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 证明 如图,以A为原点,边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,其中D,E分别为边AC,BC的中点. 设A(0,0),B(c,0),C(m,n), 则|AB|=|c|. 又由中点坐标公式,得D(),E(), ∴|DE|=, ∴|DE|=|AB|,即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 变式训练2 (人教B版教材习题)已知ABCD是一个长方形,且M是ABCD所在平面上任意一个点,求证:AM2+CM2=BM2+DM2. 证明 设长方形长为2m,宽为2n. 以长方形ABCD的中心为原点, 建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(-m,n),B(m,n),C(m,-n),D(-m,-n). 设M(x,y),则|AM|2=(x+m)2+(y-n)2, |CM|2=(x-m)2+(y+n)2,|BM|2=(x-m)2+(y-n)2, |DM|2=(x+m)2+(y+n)2, 所以|AM|2+|CM|2=2x2+2m2+2y2+2n2,|BM|2+|DM|2=2x2+2m2+2y2+2n2, 所以AM2+CM2=BM2+DM2. 能力提升点三　两点间距离的最值问题 【例3—1】 已知点A(1,a),B(a,-5),则|AB|的最小值为(　　) A ★★【例3—2】 函数y=的最小值为　　　　. 解析 由题可得,y=,则函数y表示点P(x,0)到点A(0,2)和B(-3,-3)的距离之和,故|PA|+|PB|≥|AB|=. ★★【例3—3】 诗句“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为B(-2,0),若将军从山脚下的点A(3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=4,则“将军饮马”的最短总路程为 　.  解析 设A(3,0)关于直线x+y=4的对称点为A1(a,b),如图所示. 由题可得解得即A1(4,1). 此时A1B即为最短路程,则|A1B|=. 所以最短总路程为. 变式训练3 (1)已知P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),则|PQ|的最大值为(　　) B ★★(2)(2026北京东城高二期中)已知x+y=0,则的最小值为(　　) A.2 B.2+ C. D.4 C 解析 表示点P(x,y)到点A(1,1)和点B(2,0)距离的和. 设点A(1,1)关于直线l:x+y=0的对称点为A1(m,n), 由对称点的性质可得解得 如图,由对称的性质可得|PA|+|PB|=|PA1|+|PB|, 所以|PA1|+|PB|的最小值就是|A1B|, 所以|A1B|==.故选C. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)两点间的距离公式; (2)坐标法证明平面几何问题; (3)两点间距离的最大(小)值. 2.方法归纳:坐标法、数形结合. 3.常见误区:(1)由距离求参数时漏解;(2)运用坐标法时坐标系建立不合理. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.在平面直角坐标系中,点A(3,-2)和点B(-1,1)之间的距离为(　　) A.2 B.3 C. D.5 D 解析 点A(3,-2)和点B(-1,1)之间的距离为d==5.故选D. 1 2 3 4 5 2.已知点M(-1,4),N(7,0),y轴上一点P满足|PM|=|PN|,那么P点的坐标为 (　　) A.(0,-3) B.(0,-4) C.(0,-6) D.(0,-7) B 解析 由题意可设P(0,y),因为M(-1,4),N(7,0),且|PM|=|PN|, 故P点的坐标为(0,-4).故选B. 1 2 3 4 5 3.已知两点A(-2,3),B(3,2),点C在x轴上,则|CA|+|CB|的最小值为(　　) B 1 2 3 4 5 4.(AI原创)若点M(a,b)到原点O(0,0)的距离为5,则a2+b2=　　　　　.  25 1 2 3 4 5 5.已知△ABC的三个顶点为A(-2,1),B(1,4),C(0,-1). (1)求证:△ABC为直角三角形; (2)求BC边上的中线长及中线所在的直线方程. 1 2 3 4 5 (1)证明 由题可得, |AB|==3,|BC|=, |AC|==2,则|AB|2+|AC|2=|BC|2, 所以△ABC为直角三角形. (2)解 设BC的中点坐标为D(x,y),则BC边上的中线AD=,由中点坐标公式可得x=,y=,即点D的坐标为,所以直线AD的斜率为k=,所以BC边上的中线所在直线方程为y-,即x-5y+7=0. 本 课 结 束 解析 因为M(0,3),N(4,0),则|MN|==5.故选B. 解 (1)|AB|=. (2)|CD|==5. 解 (1)根据两点间的距离公式,得 |AB|=, |BC|==2, |CA|==5. 因为()2+(2)2=(5)2, 即|AB|2+|BC|2=|CA|2,所以△ABC是直角三角形. (2)因为BC的中点D的横坐标x==2,纵坐标y==-1,即D(2,-1), 所以BC边上中线的长|AD|==2. 解 设点P(x,0),则有|PA|=, |PB|=. 由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7, 解得x=-.即所求点P为, 且|PA|=. 根据两点间的距离公式,得|AB|==3. A.3 B.27 C.2 D.18 解析 点A(1,a),B(a,-5),则|AB|=,当a=-2时,|AB|min=3.故选A. A. B.2 C.4 D.2 解析 ∵P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β), ∴|PQ|= =. ∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|PQ|∈[0,2].故选B. 所以,解得y=-4. A. B.5 C.2 D. 解析 点B关于x轴的对称点为B'(3,-2), |CA|+|CB|=|CA|+|CB'|≥|AB'|==5.故选B. $