第3章 勾股定理 单元测试卷-2026-2027学年八年级上册数学苏科版

**基本信息** 勾股定理单元复习卷，覆盖定理应用、逆定理及实际情境，通过文化素材（赵爽弦图）与生活问题（放风筝、楼梯地毯）融合，梯度设计兼顾基础巩固与创新思维，适配初中数学单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9/27|直角三角形判定、面积计算、网格应用|结合圆柱侧面最短路径（题6）考查空间观念| |填空题|8/24|实际问题（树高、荷花）、赵爽弦图|以“赵爽弦图”（题2）渗透文化传承，培养抽象能力| |解答题|4/49|四边形计算、定理证明、实际应用|通过放风筝问题（题3）强化应用意识，设计定理证明补充题（题4）发展推理能力|

第3章 勾股定理 一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分） 1．（3分）以下列各组数为线段长，不能构成直角三角形的一组是（　　） A．1，2， B．3，4，5 C．1，2， D．6，8，12 2．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，则CD的长为（　　） A．10 B． C． D．5 3．（3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（3分）如图，若△ABC的面积为2，且点A，B，C分别是EC，AF，BD的中点，则阴影部分的面积为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 5．（3分）如图，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点E，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为（　　）（π取3） A．cm B．cm C．cm D．cm 7．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF对折，使AD与BC重合，再将△ABM沿BM折叠，使点A的对应点N落在折痕EF上，且AB＝3，则EN的长为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，CE与BD相交于点G，EF⊥BD于点F，若EF＝2，则EG的长为（　　） A． B． C． D．4 9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 　 　 米． 2．（3分）汉末三国初数学家、天文学家赵爽，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理，后人通常把图称为“赵爽弦图”，该图由四个全等的直角三角形拼接而成，已知AB＝2BC，中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积为　 　 ． 3．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，c＝5，则a2+b2+c2＝　 　 ． 4．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10，则BD的长为　 　 ． 5．（3分）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　 　 米． 6．（3分）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是　 　 尺． 7．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D在BC上，BD＝AB，DE⊥AB于E，BC＝8，DE＝5，则四边形AEDC的面积为 　 　 ． 8．（3分）如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　 ． 三．解答题（共4小题，满分49分） 1．（10分）四边形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2． 求：对角线AC的长． 2．（12分）如图，在△ABC中，已知AB＝13，CD＝12，AD＝15，△ADC的面积是72，求BD的长． 3．（13分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想要风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 4．（14分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中b＞a，点E在线段AC上，点B、D在边AC两侧，试证明：a2+b2＝c2． 证明：如图2，连结DB、DC，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a． ∵△ABC≌△DAE， ∴∠ABC＝∠DAE， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝　 　 +　 　 ＝　 　 ， ∴S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝　 　 ， ∴　 　 ， ∴　 　 ． 参考答案 一．选择题 1．【解答】解：12+22＝5＝（）2，A能构成直角三角形； 32+42＝25＝52，B能构成直角三角形； 12+（）2＝4＝22，C能构成直角三角形； 62+82＝100≠122，D不能构成直角三角形； 故选：D． 2．【解答】解：在Rt△ABC中，AB10， ∵S△ABCAC×BCAB×CD，AC＝6，BC＝8， ∴CD． 故选：B． 3．【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E， ∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C ∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24， ∴24﹣S正方形C＝6+10， ∴S正方形C＝8． 故选：C． 4．【解答】解：连接AD， ∵CD＝BC，AE＝CA， ∴S△ABC＝S△ACD＝S△AED， ∵S△DEC＝2S△ABC＝4， ∴S△CDE＝S△AEF＝S△BFD＝4， ∴阴影部分的面积为＝3×4＝12， 故选：C． 5．【解答】解：由题可知AE＝AB＝3， 在Rt△ADE中，AD＝2，AE＝3， ∴， ∴， 故选：C． 6．【解答】解：如图所示， ∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈， ∴展开后AB＝1.5×2π＝3πcm，BC＝3cm， 由勾股定理得：ACcm． 故选：A． 7．【解答】解：设BM与EN交于点O， ∵四边形AEFD是矩形，EF是折痕， ∴EF∥AD∥BC， ∴∠ONB＝∠CBN， ∵BE＝AE， ∴BO＝OM， 由翻折可知，∠MNB＝∠A＝90°， ∴OM＝OB＝ON， ∴∠OBN＝∠ONB， ∴∠OBN＝∠CBN＝∠ABM， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABM＝∠NBM＝30°， ∴∠ABN＝60°， ∵∠BEN＝90°， ∴∠ENB＝30°， ∵AB＝3， ∴BEAB， ∴EN， 故选：C． 8．【解答】解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC， ∵AE＝CD，∠BAC＝∠ACB，AC＝BC ∴△AEC≌△CDB（SAS） ∴∠ACE＝∠DBC， ∵∠EGF＝∠BCG+∠DBC＝∠BCG+∠ACE＝∠ACB ∴∠EGF＝60°，且EF⊥BD ∴∠FEG＝30° ∴EFFG＝2，EG＝2FG ∴EG 故选：B． 9．【解答】解：由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2， ∴S1+S2π（AB）2π（AC）2π（BC）2+S△ABCπ（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABCAB•AC， ∵4（S1+S2）＝S3， ∴4AB•AC＝BC2＝AB2+AC2， 即2AB•AC＝AB2+AC2， ∴（AB﹣AC）2＝0， ∴AB＝AC， 故选：A． 二．填空题 1．【解答】解：如图，设大树高为AB＝10米， 小树高为CD＝4米， 过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形， 连接AC， ∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（米）， 在Rt△AEC中，AC10（米）， 故答案为：10． 2．【解答】解：如图， 小正方形的边长BD＝BC＝1，直角三角形的直角边BE＝AC＝AB+BC＝2BC+BC＝3BC＝3， 在Rt△ABE中，AB＝2BC＝2， ∴根据勾股定理得，AE2＝AB2+BE2＝22+32＝13， ∴AE2＝13．即大正方形的面积为13， 故答案为：13． 3．【解答】解：∵c＝5， ∴a2+b2＝c2＝25， ∴a2+b2+c2＝25+25＝50． 故答案为：50． 4．【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∵CD＝10， ∴AC2+CD2＝200，AD2＝200， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD＝90°， ∵AC＝CD＝10， ∴△ACD是等腰直角三角形， 过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F， ∴∠DFC＝90°， ∴∠CDF+∠DCF＝90°， ∵∠ACD＝90°， ∴∠ACB+∠DCF＝180°﹣∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝∠CDF， ∵∠ABC＝∠DFC＝90°，AC＝CD， ∴△ABC≌△CFD（AAS）， ∴AB＝CF＝6，BC＝DF＝8， ∴BF＝BC+CF＝8+6＝14， 在Rt△BFD中，BD2， ∴BD的长为2． 故答案为：2． 5．【解答】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度4， ∵地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是3+4＝7米． 故答案为7． 6．【解答】解：设水池的深度为h尺， 则h2+32＝（h+1）2， h2+9＝h2+1+2h， 解得：h＝4， 度答案为：4． 7．【解答】解：∵DE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠BDE＝90°﹣45°＝45°＝∠B， ∴BE＝DE＝5， ∴BD5， ∵BD＝AB，∴AB＝5， 过点A作DF⊥BC于F， ∵∠B＝45°， ∴AF＝BF， 在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2， ∴AF5， ∴四边形AEDC的面积＝△ABC的面积﹣△ABC的面积BC•AFBE•DE8×55×5． 故答案为：． 8．【解答】解：根据题意知，AB2＝25，AC2＝144， 所以AB＝5，AC＝12，BC13， 所以S阴影＝BC2132139． 故答案为：139． 三．解答题 1．【解答】解：∵∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°， ∴∠BCD＝120°，即∠ECD＝60°， 在Rt△EDC中，∠E＝30°，DC＝2， ∴EC＝2DC＝4，EB＝4+1＝5， 在Rt△AEB中，∠E＝30°，设AB＝x，则有AE＝2x， 根据勾股定理得：（2x）2＝x2+52，即x2， 解得：x，即AB 则AC． 2．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E， ∵△ADC的面积是72，CD＝12， ∴12•AE＝72， ∴AE＝12， 在Rt△ABE中，BE5， 在Rt△ADE中，DE9， ∴BD＝BE+DE＝5+9＝14． 3．【解答】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， ∴CD＝20（负值舍去）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米）， 答：风筝的高度CE为21.7米； （2）由题意得，CM＝12米， ∴DM＝8米， ∴（米）， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 4．【解答】证明：如图2，连结DB、DC，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a． ∵△ABC≌△DAE， ∴∠ABC＝∠DAE， ∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠DAE+∠BAC＝90°， ∴S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB， ∵S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC， ∴， ∴c2＝a2+b2． 故答案为：∠DAE，∠BAC，90°，，S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC，c2＝a2+b2． 学科网（北京）股份有限公司 $