第3章勾股定理单元检测卷-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学勾股定理单元检测卷，适用于单元复习，以谷爱凌U型池滑行、秋千绳索长度等情境化问题为载体，覆盖勾股定理应用、逆定理等核心知识，突出数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|直角三角形判定、勾股树面积计算|基础巩固与情境应用结合（如毕达哥拉斯图案）| |填空题|8/16|勾股数组规律、折叠问题|规律探究与实际问题（如旗杆高度）| |解答题|7/64|综合实践（A系列纸折叠）、几何变换|分层设计，综合考查推理能力与模型意识（如货车噪声影响）|

第3章勾股定理单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有四种正方形纸片（每种纸片的数量足够多），面积分别是1，2，3，4，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则可以选取的方案共有（     ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A、B的对应点分别是点，，若点恰好落在边上，则点A到直线的距离为（     ） A．1 B． C． D． 3．在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 4．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 5．在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 6．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形，，，的面积分别是9，25，4，16，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 7．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 8．如图，在网格中，且，，都在格点处，现要找一格点，使得平分，甲乙两位同学给出了各自的作法，则下列说法正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 9．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 10．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送 (水平距离)时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 11．如图，中，，，，则____________． 12．在中，，，则 __________ 13．如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 14．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________． 15．如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 16．2026年2月，谷爱凌再度为国争光，成为冬奥历史上首位卫冕女子型池场地金牌的运动员，如图，该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，．从点滑到点，滑行的最短路程是______m．（边缘部分的厚度忽略不计，取3） 17．如图，在中，，，，的平分线交于点D，若P是直线上的动点，E是上的动点，连接，则的最小值为_________． 18．如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 三、解答题（共64分） 19．如图，在中，，，，试求线段的长． 20．如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 21．如图是北京第24届国际数学家大会会徽，由个全等的直角三角形拼合而成，若大小正方形的面积分别为和，求直角三角形的两直角边长？ 22．如图，某校教学楼建在一条公路旁，有一辆货车沿方向由点向点行驶．已知与A、B的距离分别为和，，以货车为圆心的周围以内为受噪声影响的区域． (1)求证：； (2)教学楼会受噪声影响吗？请你说明理由． 23．综合与实践 按照国际标准，A系列纸为长方形．如图所示，将纸进行两次折叠（折痕分别是和），使线段和均落在边上，点的对应点为点．请结合图形解决以下问题： (1)线段与之间的数量关系是：________；（填“相等”或“不相等”） (2)若纸的宽为，长为，则________； (3)已知，试判断与的位置关系，并证明． 24．（1）如图1，折叠等边纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．①求的度数．②求证：为等边三角形． （2）如图2，等腰纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，求的长度． （3）如图3，折叠锐角纸片，使点落在的右方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，请写出线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 25．小明与小丽共同探究一道数学题：如图①，在中，点是边的中点，，，，求的长． 【探索发现】 （1）小明的思路是：延长至点，使，连接，构造全等三角形； 小丽的思路是：过点作，交的延长线于点，构造全等三角形． 请从小明和小丽的思路中选择一种方法，求的长． 【类比应用】 （2）如图②，在四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，． 若，，，则的长为______． 参考答案 1．B 【分析】根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，而正方形面积恰好等于边长的平方，因此只需在1、2、3、4中选出三组可重复数字，满足两个较小面积之和等于最大面积，依次列举符合条件的组合，共计4种，由此确定答案． 【详解】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， ∵所围成的三角形是直角三角形， ∴斜边的正方形的面积=两直角边的正方形的面积和， ∴有，，，，四种情况． 2．B 【分析】易得，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，作，易得，进而求出的长即可. 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴， ∴，即点A到直线的距离为. 3．C 【详解】解：∵如图，在中，，，，分别是，，的对边，且， ∴． 4．D 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 5．D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，不满足三边关系，不能构成三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 6．C 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如图， 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，， 即． 7．C 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题． 8．C 【分析】图甲中可证明，则由三线合一定理可得平分；图乙中可证明，则，再由平行线的性质得到，则可证明，即平分． 【详解】解：如图甲所示， 设小方格的边长为1， ∴，， ∴， 由网格的特点可知， ∴平分； 如图乙所示， 同理可得，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； 综上所述，甲乙都对． 9．A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 10．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．利用秋千静止与推送后的状态找出直角三角形是解题的关键．由秋千绳索、水平移动距离和秋千垂直移动距离构成了直角三角形，通过设未知数，从而得到的代数式，最后利用勾股定理建立方程来求解秋千绳索的长度． 【详解】解：设秋千绳索， ，， ， ， 在中， ，即， 解得， 秋千绳索的长度是． 故选：C． 11． 【分析】在 中，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边． 【详解】 解：∵在 中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ． 12．51 【分析】设，根据勾股定理，得，得到，解答即可． 【详解】解：， 设， 根据勾股定理，得， 故， 解得， ， ． 13． 【分析】由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第n个勾股数中间的数为，据此计算即可得出结论． 【详解】解：由，，， … 第n个勾股数组中间的数为， 第10组勾股数组中间的数为，即勾股数组为． 14． /米 【分析】旗杆垂直地面，绳子拉开后形成直角三角形，直角边分别为旗杆高和水平拉开的距离，斜边为绳长，已知绳长比旗杆高多，水平距离为，设旗杆的高为 ，用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长度为， ∵旗杆垂直于地面， ∴绳子、旗杆、地面构成直角三角形， 由勾股定理可得： ， 解得： ， 即旗杆的高为． 15．5 【分析】设，由翻折的性质可知，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由翻折的性质可知，则， 是的中点， ． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 即． 16．20 【分析】将半圆面展开成矩形，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图所示，连接． 根据题意，得，． ， 在中，由勾股定理，得 ， 从点滑到点，滑行的最短路程是． 17．4 【分析】先根据勾股定理求出，再作点B关于直线的对称点，根据垂线段最短可知当时最小，最小值为，然后根据直角三角形的性质求出答案即可． 【详解】解：在中，, ∴， 根据勾股定理，得， 即， 解得则． 作点B关于直线的对称点，的平分线交于点D， ∴，点在直线上， ∴． 根据垂线段最短可知当时，交于点，此时最小，即最小，最小值为． 在中，, ∴， 所以的最小值为4． 18．【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， 19． 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． 20．区域的面积为． 【分析】先判定是直角三角形，根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴． 21．和 【分析】设直角三角形的两直角边长分别为，，根据大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方、小正方形的面积等于直角三角形两直角边之差（大边减去小边）的平方，列出等式，再利用完全平方公式变形求出，的值，建立方程组，解方程组即可． 【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为，， 由题意得：，， ∴；或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 联立， 解得， 即直角三角形的两直角边长分别为和． 22．(1)证明：依题得：，， ， 即， ； (2)解：教学楼会受噪声影响． 作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响． 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 23．(1)相等 (2) (3)，理由如下： 由折叠可知： 【分析】（1）根据折叠的性质，即可得出结果； （2）易得为等腰直角三角形，进而求出，即可得出结果； （3）根据平行线的性质，折叠的性质，推出，即可得出结论. 【详解】（1）解：由折叠可知，； （2）解：由折叠可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）略 24．（1）①； ②证明：， ， ， 为等边三角形； （2）；（3） 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）作，，，分别交于，，．证明，得出，，同理可得：，则可得出结论． 【详解】（1）①解：等边三角形，点为的中点， ， 折叠等边纸片，使点与边中点重合， ∴， ， ； ② 略 （2）解：， ， 折叠等腰三角形纸片， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． （3）． 证明：如图，作，，，分别交于，，． ∵点、点到的距离相等， ∴， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 同理可得：， ． 25．（1）；（2） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边等知识点，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． （1）小明：根据题意证明出，得到，然后求出，然后利用等角对等边求解即可； 小丽：根据题意证明出，得到，然后求出，然后利用等角对等边求解即可； （2）过点D作，交于点E，证明出，得到，然后利用勾股定理求出，然后得到，然后利用等角对等边求解即可． 【详解】（1）解：小明：∵点是边的中点， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 小丽：∵ ∴， ∵点是边的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：如图，过点D作，交于点E， ∴，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $