第3章 勾股定理 单元测试卷 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理单元核心，融合文化传承与现实应用，覆盖概念、判定、计算及跨学科问题，适配初中数学单元复习的综合性测试卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|勾股定理判定、网格角度计算、历史证法|结合《周髀算经》考证明方法（7题），网格问题培养几何直观（3题）| |填空题|6/24|数轴表示无理数、面积差计算、航行方向|轮船航行情境考查实际应用（15题），中点性质体现推理意识（13题）| |解答题|8/76|作图、证明、物理实验、总统证法|物理滑块问题融合跨学科应用（23题），总统证法强化数学文化与推理能力（24题）|

第3章勾股定理单元测试卷 (满分：120分考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.如图，在Rt△ABC中，斜边AB=3V2,则AC2+BC2的值为() A.9 B.12 C.18 D.36 B 2.若△ABC的三边分别是a,b,c,则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是() A.a=15,b=20,c=25 B.a:b:c=3:4:5 C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 3.如图，在2×3的正方形网格中，∠AMB的度数是() A.22.5B.30°C.45D.60° 4.如图，一棵大树在离地6m处折断，树的顶端落在离树干底部8m处，那么这棵树的高度是() 6m 8m A.10m B.14m C.16m D.18m 5.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是() A.1,2,3 B.3,V4,5 C.4,5,V41 D.6,8,12 6.已知三角形的三边长a、b、c满足(a一√②)2+Vb-3+|c-V71=0,则三角形的形状是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定 第1页，共7页 7.我国是较早了解勾股定理的国家之一.据倜髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周由商高发 现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明.下 面四幅图中，不能证明勾股定理的是() 8.如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC,若AD=3,BD=7,点E是BC边上的任意一点，连接DE, 则DE的长不可能是() A.2 B.3 C.4 D.5 A D B 9.公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以2cm/s的速度从点M爬到点N,最快需要多长时间() 30cm 30cm 80cm A.57s B.50s C.47s D.40s 10.勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图1）在 梅氏丛书辑要》的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法.其中一种是在图2的基础上，运用“出 入相补”原理完成的.在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE,ACFG,BCHI均为正方形，HI与AE相交于 点J,可以证明点D在直线H上关于图2，在下列说法中： D正方形ACFG的面积+正方形BCHI的面积=正方形ABDE的面积； ②连接BE,BH,EI,△ABH的面积=△BEI的面积； ③△AHJ的面积+四边形ACFG的面积=△DEJ的面积， 其中正确的是() A.①②B.①③C.②③D.①②③ 第2页，共7页 C A H E D 图1 图2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如图，数轴上的点A表示的数是 0 3A 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.若AC=5,则正方形ABDE和正方形CBGF的面积差为 C G 13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点.若AB=8,BD=5,则BC的长为. 14.已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为 15.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口0出发，如图所示，轮船从港口0沿北偏东30的方向行30 海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距40海里的点B处，若A、B两地相距50海里，则渔船 第3页，共7页 从港口O出发的方向为 北 16.如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座垂直于道路两旁 的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短则甲到乙的最短路程为· 风 120m 30m 天桥 20m ,20m 三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分) 如图，是由36个边长为1的小正方形组成的6×6的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为 格点三角形. (1)请你在所给的网格中画出边长为5、√10、√17的格点三角形△ABC. (2)△ABC的面积= 第4页，共7页 18.(本小题8分) 如图，在Rt△ABC中，己知LA=90°，D是斜边BC的中点，DE 1 BC交AB于点E,连接CE. (1)试说明：BE2-AE2=AC2; (2)若AC=6,BD=4,求△ACE的周长. E ▣ B D C 19.(本小题8分) 如图是某校教学楼到食堂的平面图，其中四边形ABCD为草坪，已知AB=12米，AD=16米，CD=15米， BC=25米，∠A=90° (1)个别学生出现了不文明的现象，从点B处踩踏草坪直接走到点D处，走了多少米？ 食堂 (2)四边形草坪ABCD的面积是多少？ 道路D A 路 教学楼 20.(本小题8分) 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E,且BD2-DA2=AC2 (1)求证：△ABC是直角三角形： (2)若BC=2V14,AD:BD=3:4,求AC的长， A 0 B E 第5页，共7页 21.(本小题10分) 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航己经常态化.如图，甲、乙两艘海警船同时从 位于南北方向的海岸线上某港口P出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行12海里，乙 船每小时航行16海里. (1)若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于Q、R处（图1），且相距30海里，如果知道甲船沿北偏东70° 方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由 (2)若甲船沿北偏东60°方向航行（图2），从港口P离开经过两个小时后位于点C处，此时船上有名乘客需要 以最快的速度回到PA海岸线上，若他从C处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在14分钟内 回到海岸线吗？请说明理由.（提示：√3≈1.7） A A B B 图1 图2 22.(本小题10分) 阅读下列一段文字，回答问题. 【材料阅读】平面内两点M(x1,y),Vx2,y2),则由勾股定理可得，这两点间的距离MN= √(x1-x2)2+y1-y2)2 例如，如图1，M3,1),N(1,-2),则MN=√(3-1)2+(1+2)2=√13 【直接应用】 (1)己知P(2,-3),Q(-1,3),求P、Q两点间的距离： (2)如图2，在平面直角坐标系中，A(-1,-3),0B=V2,0B与x轴正半轴的夹角是45°. ①求点B的坐标； y ②试判断△ABO的形状， 图1 图2 第6页，共7页 23.(本小题10分) 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A.一端拴在滑块B上， 另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降.实 验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是5dm,物体C到定滑轮A的 垂直距离是12dm.(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计) (1)求绳子的总长度： (2)如图2所示，若物体C升高7dm至C·处，求滑块B向左滑动到B' 处的距离. 滑块B B 图1 图2 24.(本小题12分) 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”.图1为美国第二十任总统加菲尔德的 “总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上.利用此 图的面积表示证明勾股定理. B D B a E b D 图1 图2 图3 (1)如图1，Rt△ABE≌Rt△DEC,∠A=∠D=90°，直角边分别为a,b,斜边为c,请根据图1证明勾 股定理a2+b2=c2 (2)如图2，AD1CD,AB=13,BC=12,AD=4,CD=3,求阴影部分的面积： (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,该村为方便村民取水，决 定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,使CH1AB,现测得CA=1.3千米， AB=1.4千米，BC=1.5千米，求新修路CH的长. 第7页，共7页 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：在中，斜边， 由勾股定理得：， 故选：． 2.【答案】  【解析】解：，，  ，  为直角三角形，不符合题意；  B.：：：：，  设，，，  则，，  ，  为直角三角形，不符合题意；  C.，，  ，  为直角三角形，不符合题意；  D.：：：：，  设，，，  ，    解得． ，，，  不是直角三角形，符合题意；  故选：． 3.【答案】  【解析】解：连接，设小正方形的边长为， 由勾股定理得：，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 故选：． 4.【答案】  【解析】解：设这棵树折断部分的长度为，由图得，， 则这棵树的高度是． 5.【答案】  解：、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：． 6.【答案】  解：， ，，， ，，， ， 三角形是直角三角形． 故选C． 7.【答案】  解：、大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， 故A能证明勾股定理，故不符合题意； B、梯形的面积， ， ， 故B能证明勾股定理，故不符合题意； C、大正方形的面积矩形的面积两个较小正方形的面积， ， 不能证明勾股定理， 故C不能证明勾股定理，故符合题意； D、如图所示，补成一个以为边长的大正方形， 大正方形的面积直角三角形的面积以边长的正方形的面积， ， ， 故D能证明勾股定理，故不符合题意． 8.【答案】  【解析】解：过点作，    当与重合，此时最小，  平分，，，  ，  当与重合，此时最大，  ，  ，  故选：． 9.【答案】  【解析】解：展开正面和上面，  如图，连接，    ，  展开正面和右面，如图，连接，    ，  展开左面和上面，    ，  爬行的最短距离为，  最快需要时间为  故选：． 10.【答案】  【解析】解：说法：在中，， 根据勾股定理可得， 而正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 因此正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正确； 说法：已知点在直线上， 因此正方形的边，结合共线条件可推得与平行． 根据平行线间的距离处处相等， 和可以分别以、为底， 利用同底等高的面积性质：的面积等于的面积， 的面积也等于的面积， 因此的面积的面积， 正确； 说法：结合勾股定理的面积关系和出入相补原理：正方形的面积即加上的面积， 通过图形割补可以对应到的面积，满足等式关系， 正确． 综上，三个说法全部正确． 故选：． 验证：直接利用勾股定理，说明两个小正方形面积之和等于大正方形面积； 验证：通过证明直线平行于，利用“平行线间距离处处相等”推导和均与同底等高，从而得出两者面积相等； 验证：结合勾股定理的面积结论与“出入相补”原理，通过图形的割补对应关系，验证了局部图形与正方形面积之和与另一部分的等量关系． 综合结论：三个说法均符合几何逻辑与定理推导，因此全部正确选D． 本题以清代数学家梅文鼎利用“出入相补”原理证明勾股定理的经典几何图形为背景，考查了正方形面积与勾股定理的关系、平行线间三角形面积的等积变形同底等高以及图形的割补重组，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 11.【答案】  【解析】解：由图可知， 即数轴上的点表示的数是． 12.【答案】  【解析】本题考查正方形的性质，勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．由勾股定理可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：，， ， 正方形和正方形的面积差为． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：在中，，是的中点， ， ． 14.【答案】  【解析】本题考查了勾股定理，与三角形的高有关的计算，由勾股定理得出斜边长为，设斜边上的高为，再由等面积法计算即可得解． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 斜边长为， 设斜边上的高为， 由题意得， ，即此直角三角形斜边上的高长为， 故答案为：． 15.【答案】南偏东  【详解】海里，海里，海里， ， 是直角三角形，． 轮船方向为北偏东，， 与正南方向的夹角为， 因此渔船从港口出发的方向为南偏东． 16.【答案】．  【解析】解：如图，将点乙点沿垂直于道路方向向上平移得到点，连接，    由平移的性质可知，除去天桥长度外，甲到乙的最短路径即为线段的长度，天桥长度等于的长度，  在直角三角形中，，，  根据勾股定理，得，  则甲到乙的最短路程为：，  故答案为：． 17.【答案】解：如图所示：   ， ， ． 18.【解析】证明：在中，是斜边的中点，， 垂直平分， ， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， ； 解：是斜边的中点，， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 的周长． 19.【答案】米  平方米  【解析】解：如图，连接， 米，米，， 米， 答：从点处踩踏草坪直接走到点处，走了米； 由知，米， 米，米，， ， 是直角三角形，且， 平方米． 答：四边形草坪的面积是平方米． 20.【解析】证明：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 是直角三角形，且； 是直角三角形； 解：设，，则，， 在中，， 在中，， ， 解得：负值舍去， ， ． 21.【答案】【小题】 解：乙船沿南偏东方向航行；理由如下： 由题意可得：，海里，海里， 在中，，， ， 是直角三角形，且， ， 乙船沿南偏东方向航行； 【小题】 解：他能在分钟内到海岸线．理由如下： 如图，过点作于， 由题意可得：，海里， ， 海里， 海里， 海里，， 他能在分钟内到海岸线．   22.【答案】解：，， ； 过点作轴于点， 与轴正半轴的夹角是， ， ， ， ； ，， ，， ，， ， 是直角三角形．  23.【答案】【小题】 解：由题意得，物体 到定滑轮 的垂直距离为 ，即 ，  ，  在 中，由勾股定理得： ，  绳子总长度为： ， 答：绳子的总长度为 ； 【小题】 解：设物体 升高 后到达点 ，滑块 滑动到点 ，则 ，  ， 绳子总长度不变，  ， 在 中，由勾股定理得： ，  滑块 向左滑动的距离为： ， 答：滑块 向左滑动的距离为 ．   24.【答案】【小题】 证明： ，  ，  ，  ，  ，即 ，  ，  ，  ，即 ； 【小题】 解： ， ， ，  由勾股定理得， ，  ， ，  ，  ，  ， 答：阴影部分面积为； 【小题】 解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米，  千米， 答：新修路的长为千米．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 单元测试卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 1、 选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.如图，在中，斜边，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是(    ) A. ，， B. ：：：： C. D. ：：：： 3.如图，在的正方形网格中，的度数是(    ) A. B. C. D. 4.如图，一棵大树在离地处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树的高度是(    ) A. B. C. D. 5.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6.已知三角形的三边长、、满足，则三角形的形状是(    ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 7.我国是较早了解勾股定理的国家之一．据周髀算经记载，勾股定理的公式与证明是在西周由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，平分，若，，点是边上的任意一点，连接，则的长不可能是(    ) A. B. C. D. 9.公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间(    ) A. B. C. D. 10.勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生图在梅氏丛书辑要的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法其中一种是在图的基础上，运用“出入相补”原理完成的在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上关于图，在下列说法中： 正方形的面积正方形的面积正方形的面积； 连接，，，的面积的面积； 的面积四边形的面积的面积． 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如图，数轴上的点表示的数是          ． 12.如图，在中，若，则正方形和正方形的面积差为          ． 13.如图，在中，，是的中点．若，，则的长为          ． 14.已知直角三角形的两直角边长分别为和，则此直角三角形斜边上的高长为          ． 15.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口出发，如图所示，轮船从港口沿北偏东的方向行海里到达点处，同一时刻渔船已航行到与港口相距海里的点处，若、两地相距海里，则渔船从港口出发的方向为          ． 16.如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座垂直于道路两旁的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短则甲到乙的最短路程为            ． 三、解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，是由个边长为的小正方形组成的的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形． 请你在所给的网格中画出边长为、、的格点三角形． 的面积__________． 18.本小题分 如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． 试说明：； 若，，求的周长． 19.本小题分 如图是某校教学楼到食堂的平面图，其中四边形为草坪，已知米，米，米，米，． 个别学生出现了不文明的现象，从点处踩踏草坪直接走到点处，走了多少米？ 四边形草坪的面积是多少？ 20.本小题分 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，且． 求证：是直角三角形； 若，：：，求的长． 21.本小题分 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里． 若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处图，且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． 若甲船沿北偏东方向航行图，从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．提示： 22.本小题分 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图，，，则． 【直接应用】 已知，，求、两点间的距离； 如图，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是． 求点的坐标； 试判断的形状． 23.本小题分 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮 一端拴在滑块 上，另一端拴在物体 上，滑块 放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 的左右滑动来调节物体 的升降．实验初始状态如图所示，物体 静止在直轨道上，物体 到滑块 的水平距离是 ，物体 到定滑轮 的垂直距离是 实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计 求绳子的总长度； 如图所示，若物体 升高 至 处，求滑块 向左滑动到 处的距离． 24.本小题分 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”图为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． 如图， ， ，直角边分别为 ， ，斜边为 ，请根据图证明勾股定理 如图， ， ， ， ， ，求阴影部分的面积； 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点在同一条直线上，并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $