第1节数列的概念与简单表示法专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列概念与表示，通过观察归纳、累加累乘、Sn→an转化等方法体系，构建从概念辨析到性质应用的逻辑链条，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|观察法、符号规律归纳|由具体数列抽象通项公式，建立项与序号关系| |通项公式求法|5题|累加法、累乘法、Sn与an关系转化|递推关系→通项公式，体现转化与化归思想| |数列性质|7题|周期性判断、单调性分析、最值求解|从函数视角研究数列，深化数与形的联系|

第1节 数列的概念与简单表示法 一、单选题 1.观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第12项是(　　) A.1 212 B.12 C.ln 12 D.sin 12 2.若数列的前4项分别是，－，－，则此数列的一个通项公式an＝(　　) A. B. C. D. 3.(2026·南昌测试)若数列{an}满足a2＝11，an＋1＝，则a2 026＝(　　) A. B.11 C.－ D. 4.设数列{an}的通项公式为an＝n2－tn(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，则正实数t的取值范围为(　　) A.0<t<3 B.t<3 C.0<t≤2 D.t≤2 5.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1，n≥2，n∈N，则数列{an}的通项公式an＝(　　) A. B. C. D. 6.已知数列{an}的通项公式为an＝，则an取到最小值时n的值是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 7.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝2n＋n(n∈N＋)，则a6的值为(　　) A.22 B.42 C.79 D.149 二、多选题 8.已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是(　　) A.a1是数列{an}的最小项 B.a4是数列{an}的最大项 C.a5是数列{an}的最大项 D.当n≥5时，数列{an}是递减数列 9.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝，则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1＝ B.数列{an}的通项公式为an＝ C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn＝ 三、填空题 10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－4n＋1，则an＝　　　　.   11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，2Sn＝an＋1，则数列{an}的通项公式an＝　　　　.  12.(2026·海南质检)在数列{an}中，a1＝，则a97＝　　　　.  四、解答题 13.求下列数列{an}的通项公式. (1)a1＝1，an＋1＝an＋3n; (2)a1＝1，an＋1＝2nan. 14.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn＝3n－λ，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围. 第1节 数列的概念与简单表示法 一、单选题 1.观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第12项是(　　) A.1 212 B.12 C.ln 12 D.sin 12 答案　D 解析　通过观察数列得出规律，数列中的项的数字部分是按正整数顺序排列，且3个为一循环节，由此判断第12项是sin 12. 2.若数列的前4项分别是，－，－，则此数列的一个通项公式an＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由于数列的前4项分别是，－，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于， 故此数列的一个通项公式为an＝. 3.(2026·南昌测试)若数列{an}满足a2＝11，an＋1＝，则a2 026＝(　　) A. B.11 C.－ D. 答案　D 解析　因为an＋3＝ ＝＝an， 所以数列{an}是周期为3的数列， 所以a2 026＝a3×675＋1＝a1， 因为a2＝11，所以11＝， 解得a1＝，故a2 026＝a1＝. 4.设数列{an}的通项公式为an＝n2－tn(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，则正实数t的取值范围为(　　) A.0<t<3 B.t<3 C.0<t≤2 D.t≤2 答案　A 解析　由数列{an}为递增数列，得∀n∈N*，an＋1>an，而an＝n2－tn(n∈N*)， 则∀n∈N*，(n＋1)2－t(n＋1)>n2－tn， 得t<2n＋1，而2n＋1≥3恒成立，则t<3， 所以正实数t的取值范围为0<t<3. 5.在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1，n≥2，n∈N，则数列{an}的通项公式an＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因an＝an－1，n≥2，n∈N， 则an＝·…··a1＝1×××…××， 当n＝1时，符合题意， 故数列{an}的通项公式为an＝. 6.已知数列{an}的通项公式为an＝，则an取到最小值时n的值是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　B 解析　an＝＝1＋， 当n>7，n∈N*时，2n－15>0，an＝1＋单调递减， 此时，an＝1＋>1; 当n≤7，n∈N*时，2n－15<0，an＝1＋单调递减， 此时，an＝1＋≥a7＝1＋＝－12， 所以an取到最小值时n的值是7. 7.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝2n＋n(n∈N＋)，则a6的值为(　　) A.22 B.42 C.79 D.149 答案　C 解析　数列{an}中，a1＝2，an＋1－an＝2n＋n， a6＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋(a6－a5) ＝2＋(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋(24＋4)＋(25＋5)＝2＋＝79. 二、多选题 8.已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·，则下列说法正确的是(　　) A.a1是数列{an}的最小项 B.a4是数列{an}的最大项 C.a5是数列{an}的最大项 D.当n≥5时，数列{an}是递减数列 答案　BCD 解析　假设第n项为{an}的最大项， 则 即 所以 又n∈N＋，所以n＝4或n＝5， 故在数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝， 当n≥5时，数列{an}是递减数列. 9.已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝，则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1＝ B.数列{an}的通项公式为an＝ C.数列{an}为递减数列 D.若数列{Sn}的前n项积为Tn，则Tn＝ 答案　ABC 解析　对于A，数列{an}的首项为a1＝S1＝，故A正确; 对于B，当n≥2时，an＝Sn－，a1＝适合上式，故B正确; 对于C，因为－an＝＝－<0，所以数列{an}为递减数列，故C正确; 对于D，Tn＝×××…×， 所以数列{Sn}的前n项积Tn＝，故D错误. 三、填空题 10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－4n＋1，则an＝　　　　.   答案　 解析　当n＝1时，a1＝S1＝－2; 当n≥2时，an＝Sn－＝n2－4n＋1－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5. 因为当n＝1时，不满足an＝2n－5， 所以an＝ 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，2Sn＝an＋1，则数列{an}的通项公式an＝　　　　.  答案　 解析　由2Sn＝an＋1得，n≥2时，2Sn－1＝an，两式相减得an＋1＝3an， 所以当n≥2时，{an}是公比为3的等比数列，而a2＝2，则an＝2×3n－2(n≥2)， 由a1＝1不满足上式，得an＝ 12.(2026·海南质检)在数列{an}中，a1＝，则a97＝　　　　.  答案　3 解析　因为a1＝， 故有·…··××…××， 即得， 所以a97＝a1＝3. 四、解答题 13.求下列数列{an}的通项公式. (1)a1＝1，an＋1＝an＋3n; (2)a1＝1，an＋1＝2nan. 解　(1)由an＋1＝an＋3n得an＋1－an＝3n， 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＝1＋31＋32＋33＋…＋3n－1 ＝， 当n＝1时，a1＝1＝，满足上式， ∴an＝(n∈N*). (2)由an＋1＝2nan，得＝2n， 当n≥2时，an＝a1××××…×＝1×2×22×23×…×2n－1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝.当n＝1时，a1＝1满足上式， ∴an＝(n∈N*). 14.已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn＝3n－λ，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围. 解　(1)∵2Sn＝(n＋1)an， ∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， ∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an， ∴，∴＝…＝＝1， ∴an＝n(n∈N*). (2)bn＝3n－λn2， bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2) ＝2·3n－λ(2n＋1). ∵数列{bn}为递增数列， ∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<恒成立. 令cn＝， 即·＝1＋>1， ∴{cn}为递增数列，∴λ<c1＝2， 即λ的取值范围为(－∞，2). 学科网（北京）股份有限公司 $