专题5.4 数列求和 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题为引领，通过公式法、分组求和法等五大题型构建数列求和方法体系，逻辑递进，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式法|4题|等差/等比求和公式及推导（倒序相加、错位相减）|从基本公式到直接应用，夯实基础| |分组求和法|4题|通项变形转化为等差/等比求和|复杂数列拆解为基本数列，培养转化思想| |裂项相消法|4题|裂项步骤、原则及消项规律|通过通项裂项实现相消，提升推理能力| |错位相减法|4题|等差乘等比求和步骤及符号处理|针对特定结构数列，强化运算严谨性| |分段数列求和|4题|分奇偶构建新数列或跳项求和|处理非常规数列，发展数学思维灵活性|

专题5-4数列求和 可给构通 重难点题型1.公式法 重难点题型2.分组求和法 数列求和 重难点题型3.裂项相消法 重难点题型4.错位相减法 重难点题型5.分段数列求和 高考真题 1.(2024全国甲卷高考真题)己知等比数列{a}的前n项和为S,且2S,=3a1-3. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{S}的前n项和。 2.(2024全国甲卷高考真题)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式： (2)设bn=(-l)nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 3.(2023全国乙卷高考真题)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=1l,S。=40 (1)求{an}的通项公式： (2)求数列a.}的前n项和T 4.(2023全国甲卷高考真题)设Sn为数列{an}的前n项和，已知4=l,2Sn=n0. (1)求{an}的通项公式： antl (2)求数列2”了的前n项和T· 重难点题型奥破 重难点题型1公式法 S.+d)-nd +nn+Dd (1) 等差数列{a,}的前n项和 2 2”,推导方法：倒序相加法。 na,q=1 S,=a(1-q" 2,9≠1 (2)等比数列a,}的前n项和 1-9 ，推导方法：乘公比，错位相减法. (3)一些常见的数列的前n项和： k=1+2+3+…+n=nn+1) 2k=2+4+6+…+2n=n(n+1) ①司 (2k-1)=1+3+5+…+(2n-1)=02 ② k2=12+2+32+…+m=nn+12n+1) ③k司 6 k=1+2+3++n=m+ *Expression is faulty 2 1. (2026海南模拟预测)已知数列{a}的前n项和Sn=16n-n2。 (1)求数列an}的通项公式： (2)令b=a,求数列b.}的前n项和Tn. 2.(2026四川遂宁模拟预测)已知{a}是等差数列，{bn}是等比数列，且a=b=3，a2+a4=2b2, aas =bs (1)求{an}和{bn}的通项公式： (2)求数列1a.-18}的前n项和W. 3.(2026宁夏银川模拟预测)己知n}是等差数列，{bn}是等比数列，且b=3,b=9,a,=b,a,=b2. (1)求{an}的通项公式： (2)设Cn=an+b.,求数列cn}的前n项和； 4.(2026四川广安·模拟预测)设数列{am}的前n项和为Sn,a=2且Sn=a1-2. (1)证明{an}为等比数列： (2)若bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和为Tn. 重难点题型2分组求和法 分鼓 (1)分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数 列或可求前n项和的数列求和. (2)分组转化法求和的常见类型 abn士cn,{bn),{cn}为等差或等比数列 求 {a (bn,n为奇数， 分 的 an= cn,n为偶数， 求和 (bn,{cn}为等差或等比数列 1. (2026陕西西安模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n (1)求an}的通项公式： (2)若b,=a,sim 2,记数列b,}的前n项和n,求To6 2.(2026宁夏吴忠三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=3”-1,数列{bn}是等差数列，且 b=a,b2 =a2 (1)求数列{an}和b}的通项公式： (2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn. 8an+12,n为奇数 3.(2026广东佛山模拟预测)已知数列 满足： anj 92’8 a,n为偶数 设 bn a2n+4 (1)求么，b,b的值： (2)判断数列b}的单调性并说明理由： 3)求数列{a}的前2n项和. 4.(2026山东济南三模)已知数列{a,}的前m项和为s,'4=a 是公差为1的等差数列， 2 (1)求{an}的通项公式： an·2”+l,n为奇数 (2)令b.= d,2,n为偶数，求数列，}的前2项和7。 重难点题型3裂项相消法 高 分鼓击 (1)基本步骤 裂项 观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式 累加 将数列裂项后的各项相加 消项 将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限 项相加，得到数列的前n项和 (2)裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. (3)消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 1.(2026海南三亚一模)已知等差数列{a,}的公差d≠0，且a=3,4,4,a,成等比数列. (1)求数列{a}的通项公式： (2)设6=，1 4记6}的前n项和为g:求证：S<分 2.(2026江苏徐州模拟预测)设Sn是等比数列{an}的前n项和，已知S2=4,aG=3a4. (1)求an和Sm: (2)设h,=01 S,S，求数列{b}的前n项和T. 个 1 3.（2026:河北秦皇岛一模)在正项数列{a,}中，设{a∫的前n项和为T:已知4=2，T4,= (1)求{an}的通项公式： ②令(n+2)a,求{，}的前n项和s, 4.(2026山东日照模拟预测)已知正项数列{a,}的前n项和为S,满足a=1,4S。=(a,+1,数列 {bn}满足b=1,b1=2bn+1. (1)求{a}和{b}的通项公式： 1 ②)若数列{c,}满足c,aa,求证：数列{c,}的前n项和小于？· 重难点题型4错位相减法 分 技 错位相减法求数列a,}的前n项和 (1)适用条件 若{a,}是公差为dd≠0)的等差数列，b.}是公比为9g≠的等比数列，求数列{ab}的前n项和 (2)基本步骡 展开Sn=a1b1ta2b2+…+an-1bn-1① 乘公比qSn=a1b2ta2bg+…+aa-rb,+amba1② 错位相减 ①-②：得(1-q）Sn=arb1ta2b2+…+am-rbm-itam:b (ab2+azb3++anbab =a1b+d(b2+b3t…+bn)-arbn+1③ 求和 Sn= arb+d(b2+b3++b)-ab 1-q (3)注意事项 ①在写出S与9S的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出S-qS: ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号 等差乘等比数列求和，令Cn二An+Bq”,可以用错位相减法。 T=(A+B)q+(2A+B)q'+(3A+B)q+...+(An+B)q"D qT。=(A+B)q2+2A+B)g2+(3A+Bq+.+An+B)q② ①-②得：1-9)Tn=(4+B)9-(4n+B)91+A(g2+q3++g). 整理得： (2026四川成都三模)己知等比数列{a,}的前n项和为S,且满足a=2S,+2(neN)】 (1)求数列{a}的通项公式： 9 n 2求数列2}的前n项和工 10 2.(2026山西忻州模拟预测)记Sn为数列{a}的前n项和，已知Sn=2an-2,{b}是等差数列，且 b=1,b=3 (1)求{an}和{bn}的通项公式： (②)若cn=a.bn,求数列{c}的前n项和Tn. 3.(25-26高二下北京期中)己知数列{a}的前n项和为Sn,且a。+S。=3n-1. (1)设b,=3-a,证明数列{b.}是等比数列，并求数列b.}的通项公式： (2)设n=(2n-l)b,求数列{c}的前n项和Tn. 4.(2026重庆·三模)已知数列an}满足a=3,对n≥2且n∈N,an-2am=2-n. (I)证明：数列{a1-a.-是等比数列： (2)设.=2，求数列{，}的前n项和S。 12 重难点题型5分段数列求和 ■■ 高、 分法 (1)分奇偶各自新数列求和 (2) 要注意处理好奇偶数列对应的项： ①可构建新数列；②可“跳项”求和 1. (2026河北模拟预测)己知等比数列{a}满足4=27，a6=729，数列亿，}满足b.=lga,. (1)求数列{b.}的通项公式： bn,(n=2k-1) ②设6.-，(a=2keZ)求数列，， 的前40项和。 bb2 {c} 2。.(2026江苏南京三模)已知数列a,}中，其前n项和记为S,且S=0,+号 (I)数列{c}满足c1+cn=2cn对于n≥2恒成立，则称数列{c}是等差数列证明：数列{a,}是等差数列： 了a,n是奇数 2若4，=3记，=2a,是偶数，求仫，}的前20项的和 13 3。(2026云南模拟预测）已知正项数列a,}的前以项和为S,且满足S-“2. 2 (1)求{an}的通项公式： 「1 n为奇数 (2)记b.=a(an+2) 求数列的前n项和. n-2,n为偶数 {b.} T 4.(2026山东泰安三模)已知数列{a}的前n项和为Sn,a=2,a=2Sn+2(n∈N) (1)求数列{an}的通项公式： n为奇数 2)数列么，}满足6，- an, 3n-l, n为偶数，求数列{，}的前21项和1， 14 专题5-4 数列求和 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 3．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 重难点题型1 公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 1．（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.68 【知识点】由Sn求通项公式、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）由分和分析计算即可求解； （2）根据的正负情况分析计算. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 2．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【难度】0.63 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）分和两种情况求和计算结果． 【详解】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 3．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【难度】0.69 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）由（1）得到，再利用分组求和法求解. 【详解】（1）因为， 所以等比数列的公比为， 所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以， ， . 4．（2026·四川广安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)证明为等比数列； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.66 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系推导递推公式，结合等比数列定义完成证明； （2）先求出的通项，将拆分为等比数列和等差数列分别求和后相加得到. 【详解】（1）已知且． 当时，，， 当且时，①，又因为②， ②式减①式得，即， 又，，∴，满足上述递推关系且，， 因此对于任意都有. 故数列是以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以， 所以. 重难点题型2 分组求和法 （1）分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． （2）分组转化法求和的常见类型 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.69 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 2．（2026·宁夏吴忠·三模）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.84 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】（1）当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． （2）由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【难度】0.54 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、分组（并项）法求和、判断数列的增减性、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 4．（2026·山东济南·三模）已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、错位相减法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等差数列通项公式得，再利用即可求解； （2）先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由是公差为的等差数列，且， 所以，所以， 当时，，解得， 当时，由得，所以， 即，所以， 所以数列为常数列，所以，即， 当时，， 所以； （2）由（1）得， 所以 ， 令①， 所以②， 由①②有：， 所以， 所以. 重难点题型3 裂项相消法 （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 1．（2026·海南三亚·一模）已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前 项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明：因为， ： 所以. 所以 因为为正整数，，所以， 因此：. 【难度】0.72 【知识点】裂项相消法求和、等比中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出，即可得出结果； （2）由（1）可得，通过裂项，根据求和计算即证得结果. 【详解】（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列， 可得：，由，解得：， 所以的通项公式为. （2）略 2．（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.69 【知识点】求等比数列前n项和、裂项相消法求和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和； （2）化简的表达式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2）， ． 3．（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 4．（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得，则， 设数列的前项和为， 则，得证. 【难度】0.7 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用化简即可求出；易知为等比数列，根据等比数列通项公式求解即可； （2）由裂项相消法求出数列的前项和，结合不等式放缩即可得出证明. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，即， 因为为正项数列，所以，则， 因为，所以，因此，是以1为首项，2为公差的等差数列， 则. 因为，所以， 由，则，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，所以． （2）略 重难点题型4 错位相减法 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 1．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.67 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． （2）∵    ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) ， (2) 【难度】0.75 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）对利用前项和与通项的关系推导其为等比数列求通项，对利用等差数列基本量求公差得通项； （2）数列为等差乘等比的结构，采用错位相减法求解前项和. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，整理得，故是首项为2、公比为2的等比数列， ， 设等差数列的公差为，由，得，解得， . （2）由（1）得，故①， 又②， ①②得，化简得， . 3．（25-26高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.66 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）先根据时，及已知等式求出. （2）利用错位相减法求和方法进行求解. 【详解】（1）由题意，当时，，解得， 当时，由①，可得②， ①-②，可得，即， 两边同时加6，可得， ，，即. 数列是以2为首项，为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为， （2）由（1）知，，则， ， ， 两式相减，得， ， . 4．（2026·重庆·三模）已知数列满足，对且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、分组（并项）法求和、错位相减法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）作差可得，再结合等比数列的定义可证得数列是等比数列； （2）由（1）求得，利用累加法可求得数列的通项公式，可得出，记数列的前项和为，则，利用错位相减法可求出的表达式，即可得出的表达式. 【详解】（1）当时，， 当时，，有， 整理有，即有， 由，所以，所以数列是等比数列. （2）由（1）知，，即， 当时，，……，， 相加有， 所以有，当时也成立，从而， 记数列的前项和为，则， ，① 可得，② ①②，， 所以，故. 重难点题型5 分段数列求和 （1）分奇偶各自新数列求和 （2）要注意处理好奇偶数列对应的项： ①可构建新数列；②可“跳项”求和 1．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式； （2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 2．（2026·江苏南京·三模）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【答案】(1)当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. (2)600. 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）由与，构造出条件所给出的模型，直接判断等差数列； （2）由数列所给出的形式判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过分组求和直接求出的前20项的和. 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 3．（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.54 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和、错位相减法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用，结合等差数列的定义求得. （2）对进行分类讨论，利用裂项求和法、错位相减求和法求得. 【详解】（1）由，得，当时，，即， 又，所以．当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）得， ①当n为偶数时， ， 设，则， 令，所以， 两式相减得：， ， 所以，所以； ②当n为奇数时， ， 所以． 4．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据的关系及等比数列的定义求解； （2）数列的奇数项及偶数项分别求和即可得解. 【详解】（1）当时 ∴当时， 又 是等比数列， （2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $