第6章几何图形初步 教学设计 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦几何图形的认识与性质，涵盖立体与平面图形、视图与展开图、点线面体、直线射线线段及角等核心知识点。通过生活实例、诗句等情境导入，建立数学与现实的联系，形成从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于情境化导入培养数学眼光，如用《题西林壁》引入视图，从生活物体抽象几何图形。问题链驱动探究发展数学思维，如折叠找线段中点、尺规作图比较线段。综合实践设计田径场强化数学语言，提升学生空间观念与应用意识，为教师提供结构化教学流程和丰富实例。

课题：6.1.1 立体图形与平面图形 教学目标 1.了解从实物抽象出来的几何图形等概念； 2.认识圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球，并能用语言描述它们的某些特征及能对它们进行简单的分类. 重点难点 知道柱体与锥体；从具体事物中抽象出几何图形. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （组内集体备课） 一、情境导入 欣赏下面这些图片，我们现实生活中的图形世界多姿多彩.各种各样的物体都有颜色、质量、材质、形状、大小、位置关系等方面的特征，其中形状、大小和位置关系是几何中要研究的内容.让我们一起走进本课时的学习吧！ 2、 合作探究 探究点1 立体图形 问题1 画一画下面这些小学学过的图形，结合“活动一”中的实物图，想一想它们是怎么得出的？ 它们都是从形形色色的物体外形中得出的. 问题2 上面这些小学学过的图形都是几何图形.观察上面诸如长方体、圆柱、圆锥、球等几何图形，与三角形、四边形、圆等几何图形相比，它们有什么共同特征区别于其他几何图形呢？ 这些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形. 问题3 除了上述图形外，棱柱、棱锥也是常见的立体图形.如图，下面现实生活中的物品或物体给人以棱柱或棱锥的形象.你能再找出一些棱柱、棱锥的实例吗？ 问题4 （教材P151“思考”） 下图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来. 【对应训练】 1.教材P152练习第1题. 2.下图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与立体图形名称用线连起来. 探究点2 平面图形 问题1 观察探究点1问题1中的线段、三角形、四边形和圆等几何图形，它们又有什么共同特征区别于立体图形呢？它们是什么图形？ 这些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形. 问题2 （教材P152“思考”改编） 下面各图中包含哪些简单平面图形？请再举出一些平面图形的例子. 平面图形的例子：如黑板、课本表面是长方形，三角尺是三角形，硬币是圆等. 问题3 结合下面两组图形，你认为平面图形与立体图形有什么关联？ 从上面图形可以看出，很多立体图形中的某些部分是平面图形.   【对应训练】 1.下面四个几何图形中，是平面图形的是（ D  ） 2.观察下面两个图案. （1）这两个图案中包含哪些简单平面图形？ （2）图①中包含几个四边形？图②中包含几个三角形？ 解：（1）图①包含三角形、正方形、长方形、梯形；图②包括三角形、正方形、平行四边形. （2）图①中包含四个四边形，图②中包含五个三角形.  3、 例题分析 例 （教材P152练习第2题） 图中的各立体图形的表面中包含哪些平面图形？指出这些平面图形在立体图形中的位置. 解：从左往右第一个图中上、下底面是圆；第二个图中底面是圆；第三个图中上、下底面是五边形，侧面是五个长方形；第四个图中底面是六边形，侧面是六个三角形；第五个图中底面和与其相邻的侧面是五个长方形，上面是四个三角形. 4、 课堂练习 如图，说出各立体图形的名称，它们的表面中包含哪些平面图形？指出这些平面图形在立体图形中的位置. 解：第①个图形是三棱锥，表面都是三角形，它在三棱锥的四个面上. 第②个图形是三棱柱，表面包含三角形、长方形，三角形位于三棱柱的上、下底面，长方形位于三棱柱的三个侧面. 第③个图形是四棱柱，表面包含梯形、长方形，梯形位于四棱柱的上、下底面，长方形位于四棱柱的四个侧面. 第④个图形是一个组合图形，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱，表面包含圆、圆环，圆位于下底面，圆环部分位于其中圆柱的上底面. 5、 课堂总结 回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.几何研究哪些内容？什么是几何图形？ 2.什么是立体图形？ 3.什么是平面图形？平面图形和立体图形的区别与联系是什么？ 【知识结构】 （个人二次备课） 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：6.1.1 从不同方向看立体图形与立体图形的展开图 教学目标 1.初步体会从不同方向观察同一物体可能看到不同的结果； 2.能从一组图形中辨认出从不同方向看立体图形得到的平面图形，并能说出从不同方向看简单立体图形以及它们的简单组合体得到的平面图形，在立体图形与平面图形相互转换的过程中，初步建立空间观念，发展几何直观； 3.了解展开图，能根据展开图想象和制作模型，并通过实例，了解展开图在现实生活中的应用. 重点难点 识别从不同方向看两个简单立体图形的组合体和多个小正方体组合体得到的平面图形. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （组内集体备课） 一、情境导入 题西林壁 苏轼 横看成岭侧成峰，远近高低各不同. 不识庐山真面目，只缘身在此山中. 1.从诗中可以看出作者从不同角度对庐山进行了仔细观察，那他都从哪些角度对庐山进行了观察呢？ 2.诗中隐含着什么道理？对我们有什么启发？ 从不同方向看山可看到“岭”，看到“峰”，那么从不同方向看立体图形又能看到什么呢？你想知道吗？那就让我们一起来学习今天这节课. 2、 合作探究 探究点1 从不同方向看立体图形 问题1 苏轼的诗句给我们提供了一个看物体的视角，我们再来看一个例子：下面五幅图片是从不同方向看一个茶壶得到的图形，请指出每个图形对应的观察方向，这说明什么？ 这五幅图分别是从前面、右面、左面、后面、上面看得到的，它说明从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形. 问题2 在建筑、工程等设计中，也常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形.下图是某个工件的立体图.从前面、左面、上面观察得到的平面图形是什么样的？ 归纳： 对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理，通常画出从前面、左面、上面看到的平面图形来表示相应的立体图形. 例 （教材P153例1） 如图是一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从前面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？ 解：分别从前面、左面、上面观察这个立体图形，得到的平面图形如图所示.  【对应训练】 1.教材P154练习第1题. 2.如图是一个由7个大小相同的正方体组成的立体图形，请在方格纸中用实线画出从前面、左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形. 解：如图所示. 探究点2 立体图形的展开图 概念引入： 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图. 问题1 如图，要设计、制作一个长方体形状的粉笔盒，除了美术设计以外，还需要知道些什么？自己动手试试. 还需要了解它展开后的形状，根据它的展开图来裁剪纸张. 问题2 （教材P154探究） 你还记得长方体和圆柱的展开图吗？下面是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬纸片上，剪下来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否相同. 第一个图形能围成正方体；第二个图形能围成圆柱（含上、下底面）；第三个图形能围成三棱柱（含上、下底面）；第四个图形能围成圆锥（含底面）；第五个图形能围成四棱柱（或长方体）. 探究点3正方体的展开图 问题1将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展开成哪些平面图形？请同学们试着剪一剪，画出示意图. 有如下11种展开图： 问题2观察上面每种正方体展开图中正方形的行数和每一行正方形的个数，这些展开图中正方形的分布有没有什么规律？哪几个展开图可以分为一类？ 问题3结合上面的问题，想一想正方体相对两个面在其展开图中的位置有什么特点？ 相对面不相连，上下隔一行或左右隔一列. 问题4完成教材P155练习T3，说一说什么样的图形不能作为正方体的展开图？ 下面这些图形不能作为正方体的展开图（下面是几种常见的情况）： 【对应训练】 下列是正方体的展开图的是（ A  ） 4、 课堂总结 回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.如何从不同的方向看立体图形？ 2.从不同方向看立体图形得到的平面图形是一样的吗？ 3.什么是展开图？ 4.你会画哪些立体图形的展开图？ 【知识结构】 （个人二次备课） 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：6.1.2 点、线、面、体 教学目标 1.能根据现实情境理解方程的意义. 2.能针对具体问题列出方程，初步感受模型观念. 重点难点 根据实际问题列出方程. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （组内集体备课） 一、情境导入 欣赏下列图片： 大家思考一下构成图形的元素是什么呢？这些元素之间又存在着什么关系呢？就让我们一起进入今天这节课的学习. 2、 合作探究 探究点1点、线、面、体 物体的构成往往包含多种元素，几何图形也是如此.我们来看下面的几个问题： 问题1 （教材P155思考） 下图是一个长方体，它有几个面？面和面相交的地方形成了几条棱？棱和棱相交成几个顶点？ Ⅰ.体的相关探究 问题2 除了上面的长方体外，还有以下一些立体图形，它们和长方体相比，是否也有类似的构成共性呢？ 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体.几何体也简称体. Ⅱ.面的相关探究 问题3 （1）从问题1、2中的图我们容易看出什么？ 包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种. （2）观察下面两个图，水面和建筑屋顶给人以什么形象？ （3）说一说下面图中碗的内壁和桌面给人以什么形象？ （4）说一说下面两个几何体是由怎样的面围成的？ Ⅲ.线和点的相关探究 问题4（1）下面流星划过天空、焰火、星星分别给人以什么形象？ 流星划过天空、焰火给人以线的形象，星星给人以点的形象.  （2）①下面两个几何体面和面相交的地方形成了什么？它们有什么不同吗？ ②线和线相交又形成了什么？它们有什么不同吗？ 教师总结： 面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线之分. 线和线相交形成点.点只代表位置，没有大小，所以点都是相同的. 【对应训练】 教材P156练习第1题. 探究点2点、线、面、体之间的关系 问题1 （1）把笔尖看作一个点，让这个点在纸上运动.观察结果，你可以得出什么结论？ 结论：点动成线. （2）你还能举出其他“点动成线”的例子吗？, 前面图中所示的流星、焰火等. 问题2 （1）如果把刮窗器与玻璃接触的部分看成一条线，观察刮窗器运动时所留下的痕迹，你可以得出什么结论？ 结论：线动成面. （2）你还能举出其他“线动成面”的例子吗？ 如打开折扇、墙面刷漆等. 问题3 （1）长方形硬纸片绕它的一边旋转一周，观察所形成的图形，你能得出什么结论？ 结论：面动成体. （2）你还能举出其他“面动成体”的例子吗？ 如酒店大厅的旋转门，还有球、圆锥、圆台等几何体的形成等. 【对应训练】 教材P157练习第2，3题. 三、例题分析 例 李晓跟妈妈到银行办理业务，她发现银行大堂的旋转门内部是由三块宽为2 m、高为3 m的玻璃隔板组成的，此情此景，她提出了以下问题： （1）将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是 圆柱 . （2）这能说明的事实是 C （选择正确的一项填入）. A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 （3）求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积（边框及衔接处忽略不计，结果保留π）. 解：对应圆柱的体积为π×22×3＝12π（m3）. 答：该旋转门旋转一周形成的几何体的体积为12π m3. 4、 课堂练习 如图是一个粮仓，已知粮仓底面直径为8 m，粮仓顶部顶点到地面的垂直距离为9 m，粮仓下半部分高为6 m.观察并解决下列问题： （1）粮仓是由两个几何体组成的，它们分别是 圆锥、圆柱 . （2）将如图的图形分别绕轴旋转一周，哪一个能形成粮仓？用线连一连. （3）求出该粮仓的容积（结果保留π）. 解：（2）连线如图. （3）依题意，圆柱的底面直径为8 m，圆柱的高为6 m，圆锥的底面直径为8 m，圆锥的高为9－6＝3（m），所以粮仓的容积 V＝π×（）2×6＋π×（）2×3＝112π（m3）. 答：该粮仓的容积为112π m3. 5、 课堂总结 回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是体？什么是面？什么是线？什么是点？ 2.分别说说点、线、面、体是如何形成的？ 3.几何图形由什么构成？什么是构成图形的基本元素？ 【知识结构】 （个人二次备课） 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：6.2.1 直线、射线、线段 教学目标 1.认识直线、射线、线段的联系和区别，掌握它们的表示方法； 2.掌握“两点确定一条直线”的基本事实； 3.能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形，在图形的基础上发展数学语言. 重点难点 理解画图语言，建立图形与语言之间的联系. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （组内集体备课） 一、情境导入 我们生活在一个丰富多彩的图形世界里，生活中处处都有图形，如笔直的铁轨、手电筒射出的光线、绷紧的琴弦等等，你能用图形表示以上现象吗？ 这些图形有哪些性质呢？让我们一起进入今天这节课的学习！ 2、 合作探究 活动1直线、射线、线段是基本的几何图形。在小学我们已经对它们有了初步认识，你能说说它们的联系与区别吗？ 预设： 联系：射线、线段都是直线的一部分． 区别：直线无端点，长度无限，向两方无限延伸；不可度量。 射线只有一个端点，长度无限，向一方无限延伸；不可度量。 线段有两个端点，长度有限；可度量。 三、合作探究 探究点1直线 问题1 （1）如图，要在墙上固定一根木条，至少需要 2 颗钉子. （2） 经过一点O画直线，能画出几条？经过两点A，B呢？动手试一试. （3）由此可以总结出什么结论？有哪些方法可以表示直线？ 通过画图和思考，可以得到一个基本事实： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线． 简单地说成“两点确定一条直线”． 直线表示：直线AB或直线BA或直线l （4）上面“确定”表示什么含义？ “确定”的含义有两方面：一方面经过两点肯定有一条直线，另一方面经过两点只有一条直线. 问题2下面有三种应用“两点确定一条直线”的日常生活场景，你能说说是如何运用的吗？ 学生根据理解自由作答即可. 问题3所画直线与点是怎样的位置关系？有几种情形？ 教师总结： 一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点；一个点在一条直线外，也可以说这条直线不经过这个点. 问题4过点A再画一条直线m. 直线l与直线m之间的位置关系是什么？ 教师总结： 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. （2）直线的其他性质： ①经过一点的直线有无数条； ②不同的两条直线最多有一个公共点． 【对应训练】 教材P163练习第1(2)，3题. 四、新知讲解 探究点2 射线、线段 问题1 （1）如图，若将直线上点A的左侧擦去，则该线还是直线吗？ 不是直线，是射线. （2）射线AB与射线BA是不是同一条射线？用字母表示射线时要注意什么问题？ 如图，射线AB与射线BA不是同一条射线，用字母表示射线时要把表示射线端点的字母写在前面. 问题2 如图，若再将线上点B的右侧也擦去，则该线又是什么？ 是线段. 问题3 （1）怎样由一条线段得到一条射线或一条直线？试着画一画，议一议它们之间的联系. 如图，将线段向一个方向无限延长就形成了射线； 将线段向两个方向无限延长就形成了直线. 直线、射线、线段三者的联系：线段和射线都是直线的一部分. （3） 结合上面的问题探究，试着比较直线、射线、线段，并完成下面的表格. 问题4 学习几何知识过程中，需要理解一些基本作图的语言并作图，下面有三个例子，说一说数学上它们分别是什么意思？并画出相应图形. 【对应训练】 教材P163练习第1（1）（3）（4）题. 五、课堂练习 例 按下列语句画出图形： （1）画一条经过A，B两点的直线； （2）画射线OA； （3）反向延长线段EF； （4）找一点E，使点E既在直线AB上，又在直线CD上. 解：（1）如图①所示. （2）如图②所示. （3）如图③所示. （4）如图④所示. 【对应训练】 教材P163练习第2题. （1）如图，下列说法不正确的是（ B ） A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.射线OA与射线AB是同一条射线 C.线段AB与线段BA是同一条线段 D.射线OA与射线OB是同一条射线 （2）下列图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是（ C ） 六、课堂总结 回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1. 什么是直线、射线、线段？三者有什么联系与区别？ 2.说一说有关直线的基本事实. 3.直线的相交和交点是什么意思？ 【知识结构】 （个人二次备课） 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：6.2.2 线段的比较与运算 教学目标 1.能用尺规作图，会画一条线段等于已知线段.； 2.会用度量法与叠合法来比较线段的长短.理解两条线段的长短比较所隐含的意义，能从“量”与“形”上进行转化； 3.掌握线段的基本事实：两点之间，线段最短.理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离. 重点难点 线段的中点、三等分点、四等分点的表示方法及运用. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （组内集体备课） 一、问题导入 观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段a和b的长短吗？ 三组图形中，线段a和b的长度均相等. 很多时候，眼见未必为实.准确比较线段的长短还需要更加严谨的方法.如何找到更为严谨的方法呢？这就是本节课要解决的问题. 2、 合作探究 探究点1尺规作图、线段长短的比较 Ⅰ.尺规作图 问题1 如图，老师手里的纸上有一条线段，你能在你的本子上作出一条同样长短的线段吗？ 可用刻度尺直接测量后画出. 问题2 除了常用的用刻度尺度量的方法，是否还有其他方法？ 可用圆规和无刻度的直尺作图. 概念引入： 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 问题3想一想，两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥了什么作用？ 刻度尺可以量出长度和画出相应线段.直尺只能用来画线，不能测量线段的长度，圆规可测量线段的长度. Ⅱ.线段的长短比较 如何进行更为严谨的线段长短比较，我们可从身高比较中找一找方法. 问题1 下面两人要比较身高，类比上面尺规作图中的方法，说一说你是如何比较的？ 可按直接测量的方法或脚底平齐再看两人头顶高度的方法进行比较. 问题2 （1）类似地，我们如何比较两条线段的长短呢？ ①度量法： ②叠合法：使用圆规按【教学建议】中的方法进行“叠合”. 注意事项：叠合线段时要注意两条线段的一个端点对齐（重合），另一个端点落在同一侧. （2）你认为按照叠合法，两条线段的长短比较有哪些可能性？ 【对应训练】 教材P166练习第1题. 探究点2 关于线段的基本事实 问题1 （教材P165探究） 如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路. 从图②可以看出线段AB最短. 概念引入： ①关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短. ②距离的概念：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离. 问题2如上图②中，线段AB的长度就是点A与点B之间的距离.想一想，我们能说A，B两点间的距离是线段AB吗？ 不能，两点间的距离是一个具体的数量，而线段是图形，因此不能把A，B两点间的距离说成线段AB. 问题3你能举出线段的基本事实在生活中的一些应用吗？ 应用举例1 河道改直问题 如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？ 河道的长度变短了. 应用举例2 九曲桥问题 如图，公园里修建了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座笔直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出其中的道理. 由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了桥的长度，一方面能容纳更多的游人来观光，另一方面也增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏湖面风光. 【对应训练】 如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计道路？请在图中画出，并说明理由. 解：设计道路如图中线段AB.理由：两点之间，线段最短. 三、例题分析 探究点3 线段的运算 Ⅰ.线段和、差的意义及作图 问题1 （1）如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？ AB＜AC. （2）上图中AB，BC，AC有怎样的和、差关系？ AC＝AB＋BC，AB＝AC－BC，BC＝AC－AB. 问题2 如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和、a与b的差呢？ 例 （教材P165例1） 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a－b. 解：如图，在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线段BC＝a，则线段AC＝2a.在线段AC上作线段CD＝b，则线段AD＝2a－b. 教师总结： 作线段的和、差时，按“右加左减”的方法作图.线段的倍数也可转化为线段的和进行作图. Ⅱ.线段的中点、三等分点、四等分点及倍、分 问题1 在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合.折痕与线段的交点是线段的什么位置？ 中点位置. 问题2 如图，已知线段a，求作线段AB＝2a. 如图，线段AB即为所求. 知识引入： 如问题2图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫作线段AB的中点. 问题3那么什么叫做三等分点？四等分点呢？ 【对应训练】 教材P166练习第2，3题. 4、 课堂总结 回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是尺规作图？如何用尺规作一条线段等于已知线段？ 2.比较线段的长短有哪些方法？ 3.线段的基本事实是什么？ 4.什么是两点间的距离？ 5.如何作线段的和，线段的差？ 6.什么是线段的中点、三等分点、四等分点？ （个人二次备课） 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：6.3.1 角的概念 教学目标 1.通过丰富的实例，理解角的有关概念，从运动的观点理解平角、周角.经历运用图形描述现实世界的过程，通过由学生观察实物图形抽象出角的概念，培养学生的抽象概括能力. 2.掌握角的表示方法及方位角的相关概念和画法. 3.认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算. 重点难点 角的概念和表示方法，画表示方位角的射线及度、分、秒的换算. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （组内集体备课） 一、情境导入 在日常生活中，角的实例随处可见.例如，钟面上的时针与分针、棱锥相交的两条棱、三角尺两条相交的边线，等等，都给我们以角的形象.小学的时候我们学习过角，你还记得角的概念是什么吗？观察图形，你能在图中找到角吗？ 二、合作探究 探究点1角的相关概念 问题1 我们已经了解了生活中角的形象，那么什么样的图形才是角呢？ 角及其相关概念（静态）： 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边 问题2 角可以怎样表示？试着填一填下面的表格. 角的表示方法 问题3如图，能把∠α记作∠O吗？为什么？ ∠α还可以怎样表示呢？ 不能把∠α记作∠O，因为以O为顶点的角不止一个.∠α还可以用∠AOB来表示. 问题4 （1）角还有其他的定义方法吗？ 角的概念（动态）： 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （2）射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？ 如图，射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB和起始位置成一条直线时，形成 平角 ；继续旋转，OB和OA重合时，形成 周角 . 【对应训练】 1.下面的四个图形是角的是 ④ （填序号）. 2.下列四个图中，能用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的是（ A ） 探究点2 角的度量和单位换算 问题1 如图，我们常用量角器量角，并且知道角的度量单位是度，除了度，还有别的度量单位吗？ 还有分、秒这样的度量单位. 问题2 （1）我们如何理解度、分、秒呢？ 图形 相关概念 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1° 把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′ 把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″ 度、分、秒是常用的角的度量单位. （2）比照上面的定义，若∠α的度数是48度56分37秒，则可记作∠α＝48°56′37″ . 问题3 结合上面度、分、秒的相关定义，填一填下面的空. 试一试： 借助三角尺，可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角；借助量角器，可以画出任何给定度数（如36°，108°）的角.大家动手画一画！ 【对应训练】 教材P172练习. 探究点3方位角 问题1 在小学我们学过八大方向，它们是如何表示的？ 学生自由作答. 问题2 如图中射线OM和射线ON表示的方向，还有些角度不是刚好在八大方向上，这些角度我们如何更为准确地表示其方向呢？ 学生自由发言即可. 知识引入：方位角 概念 用角度和方向表示方位的角 形成 以第一个方向（正北或正南）为角的始边向第二个方向（正东或正西）转动所形成的角 表示规则 （1）一般以正北或正南的方向为基准，再加上偏东或偏西的角度； （2）习惯上把北或南写在前，把东或西写在后，用两个方向表示，方位角的度数为两条射线的夹角的度数 问题3 东北、东南、西北、西南四个方向可如何用方位角表示？问题2中射线OM和射线ON表示的方位角是什么？ 问题2中射线OM表示的方位角为南偏西25°，射线ON表示的方位角为北偏东30°. 三、例题分析 例 （教材P171例1） 如图（1），货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线. 解：如图（2），以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向. 同样的方法可以画出货轮C和海岛D，如图（2）所示（让学生动手自己完成）. 【对应训练】 如图，某轮船上午8时在A处，测得灯塔S在北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，该轮船在B处，测得灯塔S在北偏西30°的方向上，在图上找到灯塔S的位置. 解：灯塔S的位置如图所示. 4、 课堂练习 1.下列关于角的说法正确的有（ ） ①角是由不共端点的两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.钟表是我们日常生活中常用的计时工具.如图，在圆形钟面上，把一周等分成12个大格，每个大格等分成5个小格.据此回答下列问题： （1）分针每分钟转 °，时针每分钟转 °；当时间为3：30时，时针和分针的夹角为 °. （2）从2：00开始，几分钟后分针第一次追上时针？ 5、 课堂总结 回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.对角的概念有哪两种描述？ 2.如何表示一个角，有哪些注意事项？ 3.常用的角的度量单位有哪些，它们之间如何换算？ 4.如何画表示方位角的射线？ （个人二次备课） 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：6.3.2 角的比较与运算 第1课时 角的比较与运算 教学目标 1.能比较两个角的大小，会计算角的和、差. 2.会利用三角尺拼角，锻炼动手动脑能力，培养合作交流意识. 重点难点 学会比较角的大小的方法，并且能够进行简单的角度加减运算. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （组内集体备课） 一、情境导入 有一天李明和王芳各带了一把折扇（状态如下）. 同学们有办法帮他们进行判断吗？学习完今天这节课，大家就能轻松找到答案了！ 2、 合作探究 探究点1角的大小比较 问题 我们已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较两个角的大小呢？类比线段长短的比较，你能得出哪些比较方法？度量法和叠合法. （1）现有如图两个角∠1和∠2，请你用量角器量出它们的度数，并比较它们的大小.通过用量角器进行度量，得到∠1＝55°，∠2＝40°.因为55°＞40°，所以∠1＞∠2. （2） 下面是用叠合法比较两个角的大小所得到的不同情况，请你结合图形，判断两个角的大小. 【对应训练】 如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列各式错误的是_____ （填序号）. ①∠AOB＜∠AOD；②∠BOC＜∠AOB； ③∠COD＜∠AOD；④∠AOB＜∠AOC. 解析：根据用叠合法比较两个角的大小分析可知①②③正确，④错误. 探究点2角的和、差运算 回顾： 问题1 （教材P173思考） 类比两条线段的和与差，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？ 教师总结： 共顶点的几个角，可进行加减. 问题2 （教材P173探究） 参考下图，借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？ 列表总结： 追问 画出的角的度数有什么规律吗？ 教师总结： （1）用三角尺画特殊角，关键在于把它写成30°，45°，60°，90°角的和或差. （2）凡是15°的整数倍的角，都能用三角尺画出，而能用三角尺画出的，也只限于这样的角. 【对应训练】 教材P174练习第1，2题. 三、例题分析 例 （教材P174例2） 如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度数. 分析：AB是直线，∠AOB是平角，∠BOC与∠AOC的和是∠AOB. 解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC， 所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝180°－53°17′＝126°43′. 【对应训练】 教材P174练习第3题. 4、 课堂练习 1.计算：（1）52°20′＋39°58′21″； （2）180°－52°18′36″. 2. 如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB＝（ D ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 180° 培优点 求折叠问题中的角度 请仔细观察如图所示的长方形纸片的折叠过程，回答下列问题： （1）∠2的度数为 ； （2）∠1与∠3的数量关系为 ； （3）∠1与∠AEC的数量关系为 . 5、 课堂总结 回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.比较两个角大小的方法有哪些？ 2.借助三角尺利用角的和、差可以画出哪些角？ 3.如何进行度、分、秒的加、减运算？ 【知识结构】 （个人二次备课） 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：6.3.2 角的比较与运算 第2课时 角的平分线 教学目标 1.认识角的平分线及角的等分线，能通过折纸法画出一个角的平分线，培养几何直观； 2.掌握度、分、秒的乘、除运算，提高运算能力； 3.会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题. 重点难点 利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （组内集体备课） 一、回顾导入 前面的课时，我们就学过：在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合.折痕与线段的交点就是线段的 中点 .如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫作线段AB的 中点 . 类似地，我们把一个角折叠，会得到什么呢？就让我们一起进入今天这节课的学习吧！ 2、 合作探究 探究点 角的平分线 问题1如图，如果∠AOB＝∠BOC，类比线段的中点，∠AOB，∠BOC和∠AOC之间存在什么样的关系？填一填： ∠AOC＝2∠AOB＝2 ∠BOC ， ∠AOB＝∠BOC＝ ∠AOC . 概念引入： 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 教师总结： 问题2 类似地，如图，OB，OC是∠AOD内的两条射线，当存在下列关系时，OB，OC是∠AOD的三等分线. ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ∠AOD （或∠AOD＝3 ∠AOB ＝3 ∠BOC ＝ 3 ∠COD ）. 三、例题分析 例2 （教材P175例3） 把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？ 解：360°÷7 ＝51°＋3°÷7 ＝51°＋180′÷7 ≈51°26′. 答：每份是约51°26′的角. 【对应训练】 教材P175练习第1，3题. 4、 课堂练习 1. （方程思想） 如图，已知∠AOC∶∠BOC＝1∶4， OD平分∠AOB，且∠COD＝33°.求∠AOB的度数. 解：因为∠AOC∶∠BOC＝1∶4，所以可设∠AOC＝x°，则∠BOC＝（4x）°， 所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝（5x）°. 因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝（2.5x）°. 因为∠COD＝∠AOD－∠AOC＝33°，所以2.5x－x＝33，解得x＝22，所以∠AOB＝（5x）°＝110°. 2 （整体思想） 如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.求∠EOD的度数. 解：（1）因为∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC， 所以∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝∠BOC＋∠AOC＝（∠BOC＋∠AOC）＝∠AOB＝×120°＝60°. 5、 课堂总结 回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.角的平分线是什么？其中有哪些数量关系？ 2.什么是角的等分线？其中有哪些数量关系？ 3.如何进行度、分、秒的乘除运算？ 【知识结构】 （个人二次备课） 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：6.3.3 余角和补角 教学目标 1.理解余角、补角的概念； 2.探索并掌握同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等； 3.通过余角和补角的学习过程，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理. 重点难点 角的互余、互补关系及其性质. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （组内集体备课） 一、情景引入 意大利著名建筑比萨斜塔的塔身与地面、塔身与垂直于地面的方向会形成夹角.图中的∠1和∠2、∠3和∠4分别有怎样的数量关系呢？ 经测量可知：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝180°. 学完本节课，你就知道啦！下面我们一起走进本节课的学习. 二、合作探究 探究点1余角和补角的概念 问题1 （1）在一副三角尺中，大家观察一下每个三角尺的度数有什么特点？ 每个三角尺都有一个角是90°，而其他两个角的和是 90°（30°＋60°＝90°，45°＋45°＝90°） . 知识引入： （2）钝角有余角吗？ 钝角没有余角，只有锐角有余角. 问题2 类似地，如果两个角的和等于180°（平角），这两个角有什么数量关系？ 知识引入： 追问 改变问题1，2中∠1与∠2（或∠3与∠4）的位置关系，它们仍然互余（互补）吗？ 因为∠1+∠2=90°，∠3+∠4=180°，所以∠1和∠2仍互余，∠3和∠4仍互补. 例1 （教材P177例4）如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC. 图中哪些角互为余角？ 分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角. 解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以 所以∠COD和∠COE互为余角. 同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE , ∠COD和∠BOE也互为余角. 【对应训练】 教材P177练习第1，2，4题. 探究点2余角和补角的性质 问题1已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3的大小有什么关系？请说明理由. 因为∠1与∠2互为余角，所以∠2＝90°－∠1. 因为∠1与∠3互为余角，所以∠3＝90°－∠1，所以∠2＝∠3. 教师归纳： 同角（等角）的余角相等. 问题2已知∠1与∠2互为补角，∠1与∠3互为补角，那么∠2与∠3的大小有什么关系？请说明理由. 因为∠1与∠2互为补角，所以∠2＝180°－∠1. 因为∠1与∠3互为补角，所以∠3＝180°－∠1，所以∠2＝∠3. 教师归纳： 同角（等角）的补角相等. 3、 例题讲解 例2 如图，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠1与 ∠2有什么数量关系？为什么？ 解：∠1=∠2. 理由： 因为∠AOB＝∠COD＝90°， 所以∠1＋∠BOC＝90°，∠2＋∠BOC＝90°， 所以∠1＝∠2. 【对应训练】 3.如图，点C，O，E在同一条直线上，∠AOB＝∠EOD＝90°.比较∠1与∠3的大小，并说明理由. 解：∠1=∠3. 理由： 因为∠DOE＝90°， 所以∠DOC＝180°－∠DOE＝90°. 因为∠DOC＝∠AOB＝90°， 所以∠DOC－∠2＝∠AOB－∠2，所以∠1＝∠3. 例3一个角的余角与这个角的3倍互补，求这个角的度数. 解：设这个角的度数为x°. 根据题意得90－x＋3x＝180. 解得x＝45. 所以这个角的度数是45°. 【对应训练】 教材P177练习第3题. 四、课堂总结 回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.余角和补角的概念是什么？ 2.余角和补角的性质是什么？ 【知识结构】 （个人二次备课） 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地 教学目标 1.了解环形跑道的基本结构，能用数学的思维分析要素之间的关系并发现规律，能综合运用几何、代数知识来计算并确定不同情况下环形跑道的起跑线位置； 2.了解田赛各项目比赛中的各项要求，提高学生的应用意识，培养学生跨学科运用知识的能力. 重点难点 1.了解400 m标准跑道各项特征及各赛程比赛跑道起点的情况. 2.了解田赛各项目比赛对于场地的各项要求. 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 （组内集体备课） 一、情景导入 在400 m比赛中，为什么运动员站在不同的起跑线上？ 二、合作探究 任务1径赛项目跑道的设计 任务准备 标准跑道由两条 直 的跑道和两个 半圆 形跑道组成，两个半圆 形跑道合起来就是一个圆.三条重要的跑道数据如下： 任务解决 问题1 （1）上面给出了一个标准的400 m跑道的直道长，说一说第一分道的总长度是多少米（π取3.14159）？ 第一分道的总长度： 圆的周长＝πd＝3.14159×72.6≈228.08（m）， 跑道全长＝圆的周长＋直道长×2≈228.08＋85.96×2＝400（m）. （2）弯道中各分道的长度是多少米？（填写下面表格，第1分道的数据已经给出）你能找到其中蕴含的规律吗？ 分析：弯道中各分道的长度就是求 圆的周长 . 规律：每一个外侧的弯道都比与其相邻的内侧弯道长约7.85 m. 问题2 在一个标准的400 m跑道内，100 m，200 m，400 m，800 m，1500 m等比赛跑道的起点相同吗？为什么会出现这种情况？ 不相同.因为各赛程所经过的弯道数有差异. 问题3 如何在学校400 m跑道内划定400 m跑比赛的起跑线？4×100 m接力跑比赛的起跑线又该如何划定？画出它们的示意图. 4×100 m接力跑比赛可类比进行，示意图略. 问题4 若学校只有300 m跑道，如何划定200 m跑比赛的起跑线？画出示意图. 参考数据：直道67.38 m，分道宽1.22 m，弯道直径52.6 m，类比问题3进行确定，起跑线位置应设置在第二直、曲分界线前的直道上.第一分道起跑线在第二直、曲分界线前17.38 m处，其余各分道起跑线依次前移3.83 m.示意图略. 任务2田赛项目场地的设计 问题1跳高比赛的场地设置有什么具体要求？ 问题2 跳远场地中长方形沙坑的长与宽分别是多少米？助跑区的设计有什么要求？选择适当比例画出跳远场地的示意图. 沙坑必须长6～9 m（取决于它的近端和起跳线之间的距离），宽至少为2.75 m.助跑道从起点至起跳线的长度至少40 m，助跑道宽（1.22±0.01）m.示意图如下： 问题3 铅球场地由扇形的一部分与圆组成，圆的半径是多少米？扇形所在圆的半径是多少米？场地的占地面积约是多少平方米？选择适当比例画出铅球场地的示意图. 铅球场地由扇形与圆组成，圆的半径是1.067`5 m，扇形所在圆的半径是25 m，场地（不包含安全区）的占地面积约是195 m2. 示意图如下： 任务3各比赛项目场地的合理安排 问题1铅球比赛场地比较特殊，安排在运动场什么位置较好？ 铅球因具有一定的危险性（扇形落地区周围2 m设置为安全区），落地区应设置在跑道运动场内，投掷圈应设置在足球场端线以外. 问题2 跳高比赛时需要助跑，为尽量不影响其他项目同时比赛，比赛地点安排在运动场什么位置更合理？ 跳高因需要助跑，场地宜设置在跑道直道的外侧，也可设在半圆区内. 问题3 请你将铅球、跳高、跳远在图中画出你安排的示意图. 图中跑道及数据不用画出，重点画出跳远区、铅球区和跳高区这几个位置. 三、课堂总结 回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.确定径赛跑道起跑线划定的关键是什么？2.不同类型跑道各赛程比赛的起跑线是否相同？3.田赛中有什么场地设置要求？4.田赛场地应该怎样合理布局在径赛场地中？ （个人二次备课） 板书设计： 作业内容： 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $