专题03 圆中的重要模型之四点共圆模型（几何模型讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学讲义以“四点共圆模型”为核心，通过知识框架图系统梳理四大判定模型（定点定长、定边对双直角、定边对定角、对角互补），结合圆的基本性质、直角三角形特性等知识储备，构建“模型原理-考点联动-历史演进”的三维知识脉络，突出角度转化、等量代换等重难点。 讲义亮点在于“模型-真题-方法”三位一体的练习设计，精选2026年安徽合肥校考一模等典型例题，通过A组基础题、B组提升题、C组压轴题分层训练，配套“定弦定角轨迹圆解题步骤”等方法总结，培养学生推理意识与几何直观，助力教师实施精准分层教学，提升不同层次学生解题能力。

专题03 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆：同一平面内的四个点落在同一个圆上，核心价值是利用圆的圆周角、圆内接四边形性质，实现角度自由转化、等量代换。多数几何难题角度杂乱、线段分散，常规全等、相似难以突破，通过构造四点共圆，可快速倒角、证垂直、证等角、求最值，是初中几何最实用的“隐形解题工具”。本模型兼容性极强，高频联动考点：直角三角形性质、旋转三大全等模型（手拉手/半角/对角互补）、相似三角形、圆的基本性质、几何最值、动点几何、折叠问题。命题趋势：基本不直接考查共圆证明，而是将共圆作为隐藏条件，需要学生自主判定、主动构造，简化压轴题推导过程。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 11 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型 1）圆的基础性质：同弧所对的圆周角相等，直径所对圆周角为直角； 2）圆内接四边形性质：对角互补、外角等于内对角； 3）直角三角形特性：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； 4）基础几何能力：角度倒角、等角代换、垂直判定、几何模型识别。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型提炼与证明】 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，即确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（2026·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．平分 【典例2】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，点D在上，且，点E是上的动点，连线，点F，G分别是和的中点，连结，当时，线段长为（　　）    A． B． C． D．4 【典例3】（24-25九年级·湖北·专题练习）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求． 【典例4】（24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 模型2.定边对双直角共圆模型 【模型提炼与证明】 图1（同侧型） 图2（ 异侧型） 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图1，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【典例2】（2026·山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【典例3】（25-26广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 模型3定边对定角共圆模型 【模型提炼与证明】 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 【典例2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．    【典例3】（24-25九年级上·广东江门·期末）【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．继续探究如下： 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究证明过程展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则（依据1）． ∵，∴，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2“分别是指什么？ 依据1： ；依据2： ． 【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点D，连接．小明发现，旋转过程中，点D始终为的中点，为验证这结论，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论． 请你帮小明完成探究过程：①证明：A，D，B，C四点共圆；②证明： 模型4. 对角互补共圆模型 【模型提炼与证明】 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 图1 图2 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·成都·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆； 【典例2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图 ，，，点 在内部且，则 的最大值是    【典例2】（2026·河南·校考一模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ． 【典例3】（2025·河南·校考一模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．    特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点． 小明的思考如下： 连接，∵，，∴，（依据1） ∵，∴，∴点共圆， ∴，，（依据2）；∴，∴．（依据3） 填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________； 一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由； 结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长． 模型常见易错点 1）定弦定角混淆同侧、异侧 2）误用对角互补判定条件 3）共圆后不会用性质倒角 4）共斜边直角三角形漏共圆结论 5）忽略动点轨迹圆的取值范围 6）大题直接写“四点共圆”无推导 解题方法总结 1）直角共圆快速判定（共斜边型） 步骤1：观察图形，找到共斜边的两个直角三角形； 步骤2：取斜边中点，证明四点到中点距离相等； 步骤3：判定四点共圆，利用圆周角相等、直径性质倒角求值； 步骤4：规范作答。 2）定弦定角轨迹圆解题（最值专用） 步骤1：锁定固定线段（定弦），确认动点定角； 步骤2：判定动点轨迹为圆弧，四点共圆； 步骤3：结合圆的半径、弦高，判断最值位置； 步骤4：计算最值、边长、角度。 3）对角互补共圆解题 步骤1：梳理四边形四个内角，证明一组对角和为180°； 步骤2：判定四点共圆； 步骤3：利用圆内接四边形性质：对角互补、外角=内对角、同弧等角； 步骤4：完成角度、线段、面积推导。 1．（2026·广西·模拟预测）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2025江苏无锡·统考一模）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．若，则 4.（25-26连云港九年级期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是　 　． 5．（24-25·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则的值是 ． 6．（25-26·广东九年级课时练习）如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：. 7．（25-26·江苏·九年级期中）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 8．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，是线段同侧两点，且．求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接，则（依据） 又，（依据）所以，所以， 这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立． 如图③，若点在内，…… 综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆． 任务：(1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？依据：______；  依据：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分．(3)如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，点E在上，垂足为C，点G在上运动（不与E重合），点F为的中点，则的最大值为（     ） A． B．6 C． D．8 2．（25-26·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ． 3．（2020·黑龙江大庆·中考真题）如图，等边中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为 ． 4（24-25九年级下·广西·开学考试）综合与实践 【问题提出】在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题： 如图1，中，，．点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接． 【初步感知】（1）求证：A，，，四点共圆； 【深入探究】（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； 【延伸探究】（3）已知，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，求出圆心与点距离的最小值． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期中）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，求证：；（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆； （3）若点，，三点共线，且，求的长． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 7．（24-25·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期末）问题提出（1）如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．小颖同学认为：连接，取的中点，连接、来证明，请你按照小颖的思路完成证明； 问题解决（2）如图②，在正方形中，，点是的中点，点是边上一点，连接、，过点作于点，当点在线段上时，求线段的长．      1．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如图放置的两个正方形，大正方形的边长为，小正方形的边长为，点在边上，且，连接，，交于点，将绕点旋转至，将绕点旋转至，下列结论：①；②；③；④，，，四点共圆．其中结论正确的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①④ 2．（2025·浙江宁波·一模）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 3．（2026九年级·山东·培优）如图，在正方形中，分别在边上，且分别与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号）    4．（2026·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H． ①若，则 ；②若，则四边形的面积最大值为 ． 5．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 6．（25-26上·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）（1）【基础巩固】如图1，内接于，若，弦，则半径______； （2）【问题探究】如图2，四边形的四个顶点均在上，若，，点为弧上一动点（不与点，点重合）．求证：； （3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段、、）和一条道路劣弧CD围成，已知千米，，CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个圆上，请你帮他们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．    7．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时，①找出图中与全等的三角形，并说明理由； ②求的度数；③利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆：同一平面内的四个点落在同一个圆上，核心价值是利用圆的圆周角、圆内接四边形性质，实现角度自由转化、等量代换。多数几何难题角度杂乱、线段分散，常规全等、相似难以突破，通过构造四点共圆，可快速倒角、证垂直、证等角、求最值，是初中几何最实用的“隐形解题工具”。本模型兼容性极强，高频联动考点：直角三角形性质、旋转三大全等模型（手拉手/半角/对角互补）、相似三角形、圆的基本性质、几何最值、动点几何、折叠问题。命题趋势：基本不直接考查共圆证明，而是将共圆作为隐藏条件，需要学生自主判定、主动构造，简化压轴题推导过程。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 6 模型2.定边对双直角共圆模型 8 模型3.定边对定角共圆模型 11 模型4.对角互补共圆模型 11 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型 1）圆的基础性质：同弧所对的圆周角相等，直径所对圆周角为直角； 2）圆内接四边形性质：对角互补、外角等于内对角； 3）直角三角形特性：直角三角形斜边中线等于斜边的一半； 4）基础几何能力：角度倒角、等角代换、垂直判定、几何模型识别。 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型提炼与证明】 若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。 条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。 结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。 证明：∵OA=OB=OC=OD ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，即确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（2026·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．平分 【答案】D 【详解】如图，以点O为圆心，长为半径作圆． 由题意可知：．即点A、B、C、D都在圆O上． A．∵，∴，故A不符合题意；B．∵，∴，故B不符合题意； C．∵四边形是的内接四边形，∴，故C不符合题意； D．∵和不一定相等，∴和不一定相等， ∴不一定平分，故D符合题意．故选：D． 【典例2】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，点D在上，且，点E是上的动点，连线，点F，G分别是和的中点，连结，当时，线段长为（　　）    A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：连接，    在中，，∴， ∵点G是的中点，点F是的中点， ∴，∴， ∵，∴=AG，∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径 ∴是直角三角形，且，∵， ∴，∴，∴，∴， ∴，故选：C． 【典例3】（24-25九年级·湖北·专题练习）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是； 迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式； 拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求． 【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：①详见解析；② 【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴， 在和中，，∴， ②解：结论：．理由：如图中，作于． ∵，∴，在中，， ∵，，∴，∴； 拓展延伸：①证明：如图3中，连接， ∵四边形是菱形，，∴是等边三角形，∴， ∵E、C关于对称，∴，∴A、D、E、C四点共圆， ∴，∴，∴是等边三角形； ②解：作于H，∵，∴， 在中，∵，∴，∴． 【典例4】（24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论： ①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：①连接、，如图所示：    ∵中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到， ∴和为等腰直角三角形，根据旋转可知：，， ∵O为、的中点，∴，，，，，，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴，故①正确； ②∵，，∴， ∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以为圆心的圆上，∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确； ③∵，∴A、D、E在以为圆心的圆上，∴， ∴，故③错误；综上分析可知：正确的有①②．故选：A． 模型2.定边对双直角共圆模型 【模型提炼与证明】 图1（同侧型） 图2（ 异侧型） 定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：如图1，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足， 结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。 注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。 证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED， ∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角， ，，，，，，共圆， ，，，平分， 平分，为的内心，， ，， ，，当为该圆直径时，最大， 的最小值为，故答案为：． 【典例2】（2026·山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点，作射线， 是等边三角形，，， ，点，点，点，点四点共圆，， 点在的角平分线上运动，当时，的长度有最小值， ，，的最小值为，故选：B． 【典例3】（25-26广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，，如图，∵且为中点，∴，，∴，        ∵为中点，∴，∵∠，∴，，，四点共圆， ∵，，∴，∴， ∴，∴，在中，，， ∴，∴，由勾股定理得：， ∴，∴，故选：． 模型3定边对定角共圆模型 【模型提炼与证明】 定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。 图1 图2 条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。 条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。 证明：∵，∴， 又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆． 【答案】见解析 【详解】解：如图，连接， ，为等腰三角形，， 又∵，∴为中点，∴垂直平分，，∴，， 又，为等腰三角形，，∴，∴A，，，四点共圆． 【典例2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证：∵，∴，∵，∴， ∴、、、四点共圆，∴； （2）解：∵，∴， ∵，平分，∴， ∴在中，， ∵，∴，， ∵、、、四点共圆，∴， ∴在中，，∴． 【典例3】（24-25九年级上·广东江门·期末）【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．继续探究如下： 【提出问题】如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究证明过程展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则（依据1）． ∵，∴，∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2）， ∴点B，D在点A，C，E所确定的上．∴点A，B，C，D四点在同一个圆上． 【反思归纳】（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2“分别是指什么？ 依据1： ；依据2： ． 【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点D，连接．小明发现，旋转过程中，点D始终为的中点，为验证这结论，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论． 请你帮小明完成探究过程：①证明：A，D，B，C四点共圆；②证明： 【答案】（1）圆内接四边形的对角互补，过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 （2）①详见解析②详见解析 【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形的对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；故答案为：圆内接四边形的对角互补，过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）①证明：设交于点O．由旋转变换的性质可知， ，，∴点A，C，B，D四点共圆； ②证明：∵点A，C，B，D四点共圆，， ，，，，． 模型4. 对角互补共圆模型 【模型提炼与证明】 条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆． 条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆. 图1 图2 证明：∵，∴，又∵，。∴， ∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·成都·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆； 【答案】见解析 【详解】证明：连接，如图，∵所对的圆周角是,所对的圆周角是， ，，，，， ，，， ，，，，，四点共圆； 【典例2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图 ，，，点 在内部且，则 的最大值是    【答案】 【详解】如图，连接、，在上取一点，使得，    ，，，、、、四点共圆， ，，是等边三角形，， ，是等边三角形，，，， ，，，， 四边形的周长为， ，当最大时，四边形的周长最大，则最大， 当是的外接圆的直径时，最大，此时点在中点处， ，最大值=，最大为，故答案为：． 【典例2】（2026·河南·校考一模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ． 【答案】/ 【详解】解析：过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：∵∴点A,M,B,C四点共圆 ∵∴∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴ 【典例3】（2025·河南·校考一模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．    特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点． 小明的思考如下： 连接，∵，，∴，（依据1） ∵，∴，∴点共圆， ∴，，（依据2）；∴，∴．（依据3） 填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________； 一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由； 结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边 (2)成立，理由见解析(3)或3 【详解】（1）解：由题意可知：①两直线平行，内错角相等，②同弧所对的圆周角相等，③等角对等边， 故答案为：两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：连接DQ，如图1所示：          ∵在菱形中，∴，， ∵，∴点共圆，∴，， ∵为菱形的对角线，∴，∴，∴； （3）解：或3． 由于点为对角线上一个动点，分两类情况讨论如下： ①当时，如图2所示： ∵在菱形中，，，∴， ∵，∴，∴， 由（2）中知点共圆，知，， ∴，∴，即， ∴在中，，则，∴由（2）知； ②当时，如图3所示： 在菱形中，，则， ，点与点重合， 由（2）可知，，，综上所述：或3． 模型常见易错点 1）定弦定角混淆同侧、异侧 2）误用对角互补判定条件 3）共圆后不会用性质倒角 4）共斜边直角三角形漏共圆结论 5）忽略动点轨迹圆的取值范围 6）大题直接写“四点共圆”无推导 解题方法总结 1）直角共圆快速判定（共斜边型） 步骤1：观察图形，找到共斜边的两个直角三角形； 步骤2：取斜边中点，证明四点到中点距离相等； 步骤3：判定四点共圆，利用圆周角相等、直径性质倒角求值； 步骤4：规范作答。 2）定弦定角轨迹圆解题（最值专用） 步骤1：锁定固定线段（定弦），确认动点定角； 步骤2：判定动点轨迹为圆弧，四点共圆； 步骤3：结合圆的半径、弦高，判断最值位置； 步骤4：计算最值、边长、角度。 3）对角互补共圆解题 步骤1：梳理四边形四个内角，证明一组对角和为180°； 步骤2：判定四点共圆； 步骤3：利用圆内接四边形性质：对角互补、外角=内对角、同弧等角； 步骤4：完成角度、线段、面积推导。 1．（2026·广西·模拟预测）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF． ∵AB=AC=AD=2，∴D，C在圆A上， ∵DC∥AB，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4， ∵FB是⊙A的直径，∴∠FDB=90°，∴BD= = 故选B 2．（2025江苏无锡·统考一模）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，点是的中点，，， ，，， 点，，，在以为直径的圆上，， ∵，在中，，， 根据勾股定理得，故选A． 3．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．则下面结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】D 【详解】∵点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，∴， 故点A，B，C，D都在以点O为圆心，为半径的圆上，且是直径， ∴，故A正确；四边形是圆的内接四边形，∴，故B正确； 根据同弧上的圆周角相等，得到，故C正确； 作的平分线，交圆于点E，则， 又，∴，∴， ∵，∴．故D错误，故选D． 4.（25-26连云港九年级期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是　 　． 【详解】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示， ∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案为：140°． 5．（24-25·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则的值是 ． 【答案】 【详解】∵BA⊥AD，BC⊥CD ∴∠BAD=∠BCD=90° ∴A、B、C、D四点共圆 ∴∠BDA=∠BCA ∵∠BDA+∠DBA=∠BCA +∠CBO=90°∴∠DBA=∠CBO∴∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CBA 即∠DBC=∠ABO 又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90° ∴∠BDC=∠BAO ∵点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4）， ∴BO=4，OA=3，AB=∴ 故答案为：． 6．（25-26·广东九年级课时练习）如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：. 【答案】见解析. 【详解】在正方形ABCD中，,∠BDC=45° ∵∴∴∠ADC+∠AEF=180° ∴，，，共圆，∴，∴∴. 7．（25-26·江苏·九年级期中）已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点． (1)线段与有何关系．说明理由； (2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 【答案】(1)且，证明见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：且． 证明：、分别是、的中点，，，， 又，，，，， 在直角中，，，，； （2）连接．，，， ，，在直角中，，，， ，，，在以为圆心、长为半径的圆上． 8．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，是线段同侧两点，且．求证：四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点在外或在内． 如图②，若点在外，设与交于点，连接，则（依据） 又，（依据）所以，所以， 这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立． 如图③，若点在内，…… 综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆． 任务：(1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？依据：______；  依据：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分．(3)如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______ 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：依据：同弧所对的圆周角相等；依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）解：如图③，若点在内，延长与交于点，连接，则， 又∵，∴，∴， 这与已知条件“”矛盾，故点在圆内不成立； （3）解：∵在四边形中，，点在的同侧， ∴四点共圆，∴，∵，∴为直径，∴， ∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，点E在上，垂足为C，点G在上运动（不与E重合），点F为的中点，则的最大值为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，∵点是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴点在以为直径的圆上，∴， 在中，， 根据勾股定理得，，∴， ∴，∴的最大值为6，故选：B． 2．（25-26·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ． 【答案】17 【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°， 在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE， ∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°； 延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT， ∵∠AFE=60°，∴△AFG是等边三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°， ∵∠BAF+∠EAF =∠CAG+∠EAF =60°，∴∠BAF=∠CAG， ∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD， ∴A、B、D、T四点共圆，∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE， 在△FAT和△GAE中，，∴△FAT≌△GAE（ASA），∴FT= GE， ∵FG=50，TE=16，∴FT=(FG- TE)=17．故答案为：17． 3．（2020·黑龙江大庆·中考真题）如图，等边中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为 ． 【答案】 【详解】解：如图：作过A、B、F作⊙O,过O作OG⊥AB，连OB ∵等边∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°；∵∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120° ∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角∴∠AOB=120°；∵OG⊥AB,OA=OB ∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°,BG=AB=∴∠OBG=30° 设OB=x，则OG=x ∴，解得x=或x=-（舍）∴的长度为．故答案为：． 4（24-25九年级下·广西·开学考试）综合与实践 【问题提出】在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题： 如图1，中，，．点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接． 【初步感知】（1）求证：A，，，四点共圆； 【深入探究】（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； 【延伸探究】（3）已知，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，求出圆心与点距离的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，∴， ∴，即， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴A、B、D、E四点共圆； （2）证明：如图所示，连接， ∵，∴， ∵是四边形的外接圆，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，∴， 又∵是的半径∴是的切线； （3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接， ∵，∴， ∵点M是边的中点，，∴，，∴， 由勾股定理得，∴，∴， 在中，，∴，由得，∴， ∵是四边形的外接圆，∴点P一定在的垂直平分线上， ∴点P在直线上，∴当时，有最小值， ∵，∴， ∴在中，，∴， ∴圆心P与点M距离的最小值为． 5．（24-25九年级上·福建莆田·期中）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，求证：；（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆； （3）若点，，三点共线，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）根据旋转的性质可得，， ∵，∴，∵，∴，∴； （2）∵，∴， ∵点，，三点共线，∴，∴，∴，，，四点共圆； （3）∵，，∴为等腰直角三角形，∴，以点为圆心，为半径作， ∵，，∴，∴点在圆上，∴． 6．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵，∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，为所求直角三角形； （3）∵在正方形中，，， ∴，，，， ∴，∵，∴， 又∵是直角三角形，，∴，∴ 又∵，∴即∴． 7．（24-25·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 【答案】(1)证明过程见详解(2)，(3)证明过程见详解 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，，∴，∴． （2）解：由（1）可知，，∴， 在，， ∴在中，，∴； ∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示， ∵，，∴是等腰直角三角形，即， ∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同，∴，故答案为：，． （3）解：如图所示，取的中点，连接， 由（2）可知，，，∴在中，点是的中点， ∴根据定理二，可知，即，∴是等腰三角形，且， ∵是外角，∴， 在中，，∴， ∴是等腰三角形，即，∴，∴． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期末）问题提出（1）如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．小颖同学认为：连接，取的中点，连接、来证明，请你按照小颖的思路完成证明； 问题解决（2）如图②，在正方形中，，点是的中点，点是边上一点，连接、，过点作于点，当点在线段上时，求线段的长．      【答案】（1）见解析；（2）． 【详解】（1）证明：如图①中，连接，取的中点，连接、． ，，，， ，，，，四点共圆； （2）解：∵在正方形中，，点是的中点， ∴，，，∴， ∵，∴，由（1）知，四点共圆， ∴，∴是等腰直角三角形，∴． 1．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如图放置的两个正方形，大正方形的边长为，小正方形的边长为，点在边上，且，连接，，交于点，将绕点旋转至，将绕点旋转至，下列结论：①；②；③；④，，，四点共圆．其中结论正确的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】C 【详解】解：①∵四边形是正方形，∴，∴， ∵绕点旋转至，∴， ∴，∴，故①正确； ②∵将绕点旋转至，∴，∵，∴， 在与中，，∴；故②正确； ③∵绕点旋转至，∴，∵将绕点旋转至，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形， ∵，∴，∴，∴四边形是正方形， 在中，，∴；故③正确； ④如图，连接，∵四边形是正方形，∴， ∵，∴点M，D都在以为直径的圆上，∴A，M，P，D四点共圆，故④正确．故选：C． 2．（2025·浙江宁波·一模）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图旋转，连接 以为直径作，以为半径作，过点作的切线交于点 在和中 ∴点共圆，点共圆，点在上运动 ，的半径为∴ 又∵，∴当点运动到点时，到直线距离的最大， 过点作，过点作，， ∴四边形是矩形，   是圆心，设 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 3．（2026九年级·山东·培优）如图，在正方形中，分别在边上，且分别与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号）    【答案】①②③④ 【详解】解：∵在正方形中，，且， ∴点G、A、D、F四点共圆，∴，故①符合题意； ∵，∴，∴， ∴，故③符合题意；延长至K，使，连接，如图，    ∵四边形是正方形，∴， 则在和中，∵， ∴，∴， ∴， ∵，∴， 在和中，∵，∴， ∴，∴；故④符合题意； 设，则，∴，， ∴，故②符合题意；故答案为：①②③④ 4．（2026·广东广州·九年级广东实验中学校考期末）如图，在菱形中，，点E、F分别在上，且，连接与相交于点G，连接与相交于点H． ①若，则 ；②若，则四边形的面积最大值为 ． 【答案】 / / 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，∴， ∵，∴，∴是等边三角形， ∵，，∴，∴点G是的重心，∴，∴．故答案为：； （2）∵为等边三角形．∴．∴， ∵，，，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴点B、C、D、G四点共圆， ∴当是直径时，四边形的面积最大，最大面积为．故答案为：． 5．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，四点共圆， ．故答案为： （2）在线段取一点，使得，如图2所示： ，，， ， ，，，，， 在和中，，（），， ，是等腰直角三角形，； （3）作于，则是的中点，连接，，如图3所示： ，、、、和、、、分别四点共圆， ，，是等边三角形， ，作，则为的中点，， ，， ． 6．（25-26上·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）（1）【基础巩固】如图1，内接于，若，弦，则半径______； （2）【问题探究】如图2，四边形的四个顶点均在上，若，，点为弧上一动点（不与点，点重合）．求证：； （3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段、、）和一条道路劣弧CD围成，已知千米，，CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个圆上，请你帮他们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．    【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在．四条慢跑道总长度（即四边形的周长）的最大值为 【详解】解：（1）连接，作，如下图：       ∵∴ 又∵，∴，∴， 设，则，由勾股定理可得：，即 解得，即 ； （2）证明：在上取点，使，连接，， ∵，，∴为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∴为等边三角形， ∴，，∴， ∴，∴，∴； （3）解：存在．∵千米，∴当取得最大值时，四边形的周长最大， 连接，过点作于点，设， ∵，，，∴， ∴，∴，∴， ∵， ∴，∴或（舍去）， ∴，∴，∴D、P、C、M四点共圆， ∴， 由（2）可知，故当是直径时，最大值为2， ∵四边形的周长， ∴四边形的周长的最大值为：， 即四条慢跑道总长度（即四边形的周长）的最大值为    7．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如： 已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题： (1)当点在如图所示的位置时，①找出图中与全等的三角形，并说明理由； ②求的度数；③利用题干中的结论，证明：四点共圆； (2)连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长． 【答案】(1)①，理由见解析；②；③见解析(2) 【详解】（1）解：①，理由如下：是等腰直角三角形，，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段，，， ，， 在和中，，； ②，，， ，； ③证明：，，，四点共圆； （2）解：如图，连接，过点D作于点H， ，， ，，，， 四点共圆，，，是等腰直角三角形， ，， ， 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $