29.2.3　圆周角 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦圆周角定理及其推论、圆内接四边形性质，通过足球射门情景与圆心角复习导入，搭建从圆心角到圆周角再到圆内接四边形的知识支架，衔接前后知识点。 特色在于以生活情境激发兴趣，如人工湖休息亭问题培养数学眼光，通过测量、分类讨论证明定理发展推理意识，例题结合命题热点提升应用能力，助力学生探究与教师高效教学。

29.2.3　圆周角 第1课时　圆周角定理及其推论 教师备课　素材示例 ●情景导入　在如图中，当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？ 【教学与建议】教学：通过学生感兴趣的足球活动引入本课内容，激起学生的学习兴趣．建议：教师要关注学生是否理解示意图，是否理解圆周角的定义． ●复习导入　(1)如图①，∠AOB是圆心角，顶点在__圆心__的角叫作圆心角； (2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弦__相等__； (3)观察图②，发现∠ACB的顶点在圆周上，∠ACB是圆周角； 　 　 　 　 (4)观察图③④⑤，比较∠AOB与∠ACB的度数关系． 【教学与建议】教学：通过复习圆心角的概念，导入圆周角的概念及圆周角定理．建议：在探索圆周角定理时，实践操作画出同弧上的圆周角和圆心角． 命题角度1　圆周角定理 这类题利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解决角的度数问题． 【例1】(1)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是 (D) A．70° B．55° C．35.5° D．35° 　　　 (2)如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC＝40°，则∠BOC的度数为__80°__． 命题角度2　圆周角定理的推论1 在进行角度转换时，注意“同弧”“等弧”在角度转换中的过渡作用． 【例2】(1)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝28°，则∠BOC的度数为 (C) A．28° B．42° C．56° D．62° 　　　 (2)如图，A，B，C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M.若∠BAC＝60°，∠ABC＝50°，则∠CBM＝__30°__，∠AMB＝__70°__． 命题角度3　圆周角定理的推论2 这类题目一般情况下，直径是寻找直角的重要条件． 【例3】(1)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．若∠ACO＝32°，则∠B＝__58°__． 　　　 (2)如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝2，∠B＝∠DAC，则AC＝____． 高效课堂　教学设计 1．学习圆周角、圆周角定理及推论． 2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理． 3．理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明． ▲重点 理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明． ▲难点 1．运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 2．独自探索并证明圆周角定理的推论并能应用该推论解决问题． ◆活动1　新课导入 1．(1)圆心角指顶点在__圆心__的角； (2)如图，AB，CD是⊙O的两条弦： ①如果AB＝CD，那么__＝__，__∠AOB＝∠COD__； ②如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD__； ③如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，__＝__． ◆活动2　探究新知 1．将圆心角的顶点进行移动，如图①. (1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB.∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？ 　　　 　　　　　　　　　　　图①　　　　　 　　　图② (2)观察图②，你能仿照圆心角的定义给这类角取一个名字并下个定义吗？ (3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？ 学生完成并交流展示． 2．教材P127～128　探究． 提出问题： (1)经过测量，图29.2－5中的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC之间有什么关系？ (2)任意作一个圆，任取一条弧，作出它所对的圆周角与圆心角，测量它们的度数，你发现什么规律？ (3)一条弧所对的圆心角有几个？所对的圆周角有几个？ (4)改变动点A在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现了什么？ (5)如果把上述发现的结论中的“同弧”改为“等弧”，结论还正确吗？ (6)如图③，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？ 　　　 　　　　　　　　　　　　　图③ 　　　 　　　图④ (7)如图④，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．顶点在__圆上__， 并且两边都与圆__相交__的角叫作圆周角． 2．一条弧所对的圆周角等于它所对的__圆心角__的一半．__同弧__或__等弧__所对的圆周角相等． 3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P129　例3. 例2　如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝，AC＝1，则∠B＝__45°__． 例3　如图，AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC，BC的长． 解：∵∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，∴∠ADC＝∠ADE＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝30°.又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝AB＝5 cm.∴BC＝＝＝5(cm). 练习 1．教材P129～130　练习第1，2，3题． 2．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧上一点，则圆周角∠BAC的度数为__50°__． 　　　　　　　 　　　　　　　(第2题图) 　 　 　(第3题图) 3．如图，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.若OD＝5 cm，则BE＝__10_cm__． ◆活动5　课堂小结 圆周角的定义、定理及推论． 1．作业布置 (1)教材P132～133　习题29.2第3，4，10题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 第2课时　圆内接四边形 教师备课　素材示例 ●情景导入　如图，在这个圆形人工湖边上造4个休息亭(即A，B，C，D)，用仪器测得∠A＝75°，∠B＝65°，能求出另两个角∠C和∠D的度数吗？需要哪些数据可以求该圆形人工湖的直径？ 【教学与建议】教学：通过导入人工湖建休息亭建立圆内接四边形数学模型，激发学生学习兴趣．建议：从圆内接四边形的定义出发，引导学生发现四边形的四个内角都是圆周角． ●置疑导入　(1)什么是圆心角、圆周角？ (2)同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？ (3)圆周角定理的推论是什么？ (4)如图，所对的圆心角是__∠AOD__，所对的圆周角有__∠ABD，∠ACD__，∠ABD__＝__∠ACD，它们都等于∠AOD度数的__一半__． 【教学与建议】教学：置疑圆心角、圆周角相关问题导入课题．建议：学生回答问题后相互点评． 命题角度　利用圆内接四边形的性质计算或证明 利用圆内接四边形的对角互补探索角相等或互补关系． 【例】(1)若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是 (B) A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4 B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4 C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4 D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶3∶2 (2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝115°，则∠BOD等于__130°__. (3)如图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D.求证：DB＝DC. 证明：∵AD是∠EAC的平分线， ∴∠DAC＝∠DAE. ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DCB＋∠BAD＝∠DAE＋∠BAD＝180°， ∴∠DCB＝∠DAE. ∵圆周角∠DBC和∠DAC所对的弧都是， ∴∠DBC＝∠DAC，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 高效课堂　教学设计 1．掌握圆内接多边形、多边形的外接圆的概念． 2．理解圆内接四边形的性质． 3．通过探究讨论，培养学生的推理能力． ▲重点 圆内接四边形性质的探究及运用． ▲难点 圆内接四边形性质的灵活运用以及几何图形中辅助线的添加． ◆活动1　新课导入 1．圆周角定理及其推论． 2．如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB.若∠ABO＝25°，则∠C＝__65°__． 　　　 3．如图，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝__30°__． ◆活动2　探究新知 1．教材P130　思考． 提出问题： (1)图29.2－11中，∠A是圆周角吗？∠ABC，∠C，∠ADC呢？ (2)∠A与∠C，∠ABC与∠ADC之间有什么关系？用圆周角定理尝试证明； (3)由此你能得出圆内接四边形的什么结论？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作__圆内接多边形__，这个圆叫作这个多边形的__外接圆__． 2．圆内接四边形的对角__互补__． ◆活动4　例题与练习 例1　教材P131　例4. 例2　在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数． 解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°， ∴x＝18°，∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°. 又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－36°＝144°. 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC＝BC. 求证：DC平分∠BDE. 证明：∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDA＋∠ABC＝180°. 又∵∠3＋∠CDA＝180°， ∴∠3＝∠ABC.又∵AC＝BC， ∴∠1＝∠ABC，∴∠1＝∠3. 又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3， 即DC平分∠BDE. 练习 1．教材P131　练习第1，2，3题． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC等于 (　C　) 　A．45°　　　　B．50°　　　　C．60°　　　　D．75° 　　　 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为__128°__． 4．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A的度数． 解：∵在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°， ∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＝180°－∠C＝50°. ◆活动5　课堂小结 圆内接四边形的对角互补． 1．作业布置 (1)教材P132　习题29.2第5题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $