29.2.1 垂直于弦的直径（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

29.2.1 垂直于弦的直径

（教学设计）

1.教学内容

本节课是人教版2024版九年级上册第二十九章圆第2节圆的有关性质，29.2.1“垂直于弦的直径”.主要内容包括： 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 简单应用：利用垂径定理进行弦长、半径、弦心距等相关计算与证明.

2. 内容解析

本节是“圆”章节中从概念学习转向性质应用的关键节点，垂径定理是圆中最基本、最重要的定理之一.本课以圆的轴对称性为逻辑起点，这是圆的本质属性之一.同时，定理的证明需综合运用等腰三角形“三线合一”、全等三角形以及勾股定理等已有知识，是对前期几何知识的系统复习与提升.垂径定理是解决圆中有关弦、弧、弦心距等问题的重要工具，也是后续学习圆周角定理、圆内接四边形、直线与圆的位置关系等知识的基础.教材中“赵州桥”等实际问题，正是该定理在生活中的典型应用.

基于以上分析，本节课的教学重点为：垂径定理及其推论的理解与掌握.

1.教学目标

(1)理解圆的对称性：能通过折叠操作确认圆是轴对称图形，并能说出对称轴.

(2)掌握垂径定理：能准确叙述垂径定理及其推论，会用符号语言进行表达.

(3)灵活应用定理：能运用垂径定理及勾股定理解决与弦、半径、弦心距有关的计算和证明问题.

(4)发展核心素养：经历“操作—观察—猜想—验证”的探究过程，体会转化思想（将圆的问题转化为直角三角形问题）和方程思想，增强几何直观和逻辑推理能力.

2.目标解析

目标1 是定理发现的源头.通过折叠实验，学生不仅获得感性认识，更为理解“为什么直径垂直于弦时会有等量关系”提供了直观依据.

目标2 是知识掌握的核心.要求学生在图形中能准确指出“弦、被平分的弦、被平分的弧”，并规范书写几何推理过程.

目标3 是学以致用的关键.在圆中，当已知半径、弦长、弦心距三者中的任意两个时，可通过构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，利用勾股定理求出第三个量，这是解决圆中计算问题的基本模型.

目标4 是素养提升.通过“垂径定理”的证明，学生将再次感受“轴对称”在几何论证中的价值.

学生已掌握圆的定义和相关概念（弦、弧、直径），熟悉等腰三角形性质和全等三角形的判定，并具备一定的勾股定理计算能力.学生在前两节课已积累了折叠、画图等探究经验.学习障碍：证明思路受阻：学生可能知道结论成立，但难以用严谨的几何语言证明“平分弧”.模型建构薄弱：当题目中不出现垂直条件时，学生较难主动作出“弦心距”这一关键辅助线.忽略“两条弧”：在叙述定理时，容易漏掉“平分弦所对的两条弧”这一重要结论，只关注平分弦.

基于以上分析，本节课的教学难点为垂径定理的严密证明（需运用轴对称或全等三角形）.在具体问题中，

如何构造辅助线（过圆心作弦的垂线或连接半径），将问题转化为直角三角形计算.

创设情景，引入新课

情境创设：展示我国古代著名石拱桥——赵州桥的图片，简介其历史与建筑成就.

问题：赵州桥主桥拱是圆弧形，跨度（弦长）约37m，拱高（弧的中点到弦的距离）约7.23m。你能求出桥拱的半径吗？

揭示课题：要解决这个问题，需要研究垂直于弦的直径所具有的性质.

动手操作：请学生取一张圆形纸片，沿任意一条直径对折，观察两部分是否完全重合.

追问1.圆是轴对称图形吗？对称轴是什么？

追问2. 在⊙O中，如果作一条弦CD，再作垂直于CD的直径AB，垂足为E。此时将圆沿AB折叠，点C与哪个点重合？你能得到哪些相等的线段和相等的弧？

（设计意图：以赵州桥引入，既激发民族自豪感，又体现数学来源于生活，制造认知冲突，激发求知欲.通过对折实验，直观验证圆的轴对称性，为猜想垂径定理提供感性基础.引导学生在折叠中观察“垂径”的特殊位置关系，为探究定理指明方向.)

探究点1  圆的轴对称性

探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么?重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性?能证明你的结论吗?

通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.下面来证明这个结论.

分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.

如图，设AB是⊙O的任意一条直径，如果M为OO上点A，B以外的任意一点，M'是点M关于直线AB的对称点，那么直线AB是线段MM'的垂直平分线.因为圆心0在AB上，所以OM'=OM，因此点M’在⊙O上.如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立.

这样，我们就证明了:圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

（设计意图：猜想与验证：遵循“直观感知→猜想结论→逻辑证明”的认知路径，培养学生的科学探究精神.）

探究点2  垂径定理

观察思考：从上的对折和证明你发现了有哪些相等的弦和相等有弧？并说明理由.

从上面的证明可以知道，如果⊙O的直径AB垂直于弦MM'，垂足为N，那么M和M'是关于直径AB的对称点.把圆沿着直径AB对折时，点M与点M'重合，MN与M'N 重合，，分别与，重合.

因此，MN=M'N，,.

因此，直径AB平分弦MM’，并且平分 ,.

学生归纳猜想：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

证明上面的结论：

已知：在⊙O中，AB是直径，AB⊥弦MM’于N.

求证：MN=NM’，,.

学生自主写出证明，主要可能有以下方法：

证法一（利用轴对称）：沿AB折叠，根据圆的对称性，点M与点M'重合，MN与M'N 重合，故MN=NM’，,.

证法二（全等三角形）：连接OM、OM'，

  ∵ OM=OM'（半径），OＮ⊥MM’，

  ∴ △OＭＮ≌△OM’Ｎ（HL），

∴ MN=NM’，∠ＭＯＢ=∠Ｍ’ＯＢ.

 ∵ ∠ＡＯＭ=180°-∠ＭＯＢ，∠AOＭ’=180°-∠Ｍ’ＯＢ，

∴ ∠AOＭ=∠AOＭ’.

∴,.

归纳垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

几何符号语言：∵ 在⊙O中，AB⊥弦MM’于N.

∴MN=NM’，,.

（设计意图：证明多样性：既展示轴对称的简洁美，又呈现全等三角形的严谨逻辑，满足不同思维层次学生的需求；符号化表达：及时将定理翻译为几何语言，为规范解题做铺垫.）

探究点3　　垂径定理的推论

问题：如果将垂径定理的条件和结论互换，即“平分弦的直径是否垂直于弦？”引导学生思考.

分类讨论：

如果被平分的弦是直径（即两条直径互相平分），它们不一定垂直.

如果被平分的弦不是直径（普通弦），则垂直.

得出推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

强调：定理和推论常合并使用，即可概括为“知二推三”：对于一条直线（或直径），若它具备以下五个条件中的任意两个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，则可推出其余三个.（但需注意平分弦时弦不为直径）

呼应解决课前提出的赵州桥问题：

赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）.

分析：解决问题的关键是根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，将求赵州桥主桥拱的半径问题转化为求圆弧所在圆的半径问题.

解：如图，AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径长为R m.

经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.