第18讲 电磁感应双杆导轨和线框模型（模型和方法）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦电磁感应双杆导轨和线框模型核心考点，按等宽双杆、不等宽双杆、线框模型三大模块分层架构，每个模块细化无外力/有外力、等效电路/图像/生热/电量等类型，通过模型剖析梳理知识点、公式及易错点，结合典例精讲与变式训练，构建“考点梳理-方法指导-真题演练”系统复习链。 讲义突出科学思维与模型建构，如线框图像模型设计四步解题法，引导学生划分运动阶段、判断运动类型、判定方向、绘制图像，培养分析能力。设置基础到综合的分层练习，配合易错点警示，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第18讲 电磁感应双杆导轨和线框模型 —————————————⏩目录⏪————————————— 模型一 双杆在等宽导轨上运动问题模型 类型1 双杆无外力模型 类型2 双杆有外力模型 模型二 双杆在不等宽导轨上运动问题模型 模型三线框模型 类型1 线框进出磁场等效电路模型 类型2 描绘线框的图像模型 类型3 线框进出磁场生热模型 类型4 线框进出磁场截面电量模型 ———————————⏩模型建构⏪———————————— ✡模型一 双杆在等宽导轨上运动问题模型 ▶模型剖析 类型1 双杆无外力模型 项目 知识点详细讲解 公式/结论 易错点 场景 水平/倾斜光滑等宽导轨，一杆具有初速度，另一杆初始静止，全程无拉力、无摩擦力 — 仅限光滑、无外力、等宽三大条件，缺一不可 受力 两杆切割长度相同，回路感应电流相同，安培力等大反向，属于系统内力，系统合外力为零 系统动量守恒 倾斜导轨重力分力为外力，动量不守恒，不可套用本模型 运动过程 主动杆受反向安培力减速，被动杆受正向安培力加速；速度差不断减小，感应电流、安培力持续减小，做变加速运动 先变加速，后匀速共速 全程无匀变速阶段，不能用 原理 当两杆速度相等时，相对速度为零，回路磁通量不再变化，感应电动势、电流、安培力全部消失，两杆匀速运动 共速后无电流，不再受安培力，保持匀速而非静止 计算 利用动量守恒直接求共速速度，能量差值为回路总焦耳热，是高考最常考计算点 焦耳热为系统总损耗，不单独属于某一根杆 类型2 双杆有外力模型 项目 知识点详细讲解 核心公式/结论 考场易错点 场景 等宽光滑导轨，初始双杆静止，单杆施加恒定拉力，另一杆不受外力，无摩擦 — 外力为恒力，变力拉力不适用本稳态结论 受力 系统存在恒定外力，合外力不为零，动量不守恒；安培力为内力始终等大反向 动量不守恒，可用动量定理 禁止误用动量守恒，只能用全过程动量定理 运动过程 拉杆：拉力大于安培力，加速、速度增大、安培力增大、加速度减小；自由杆：仅受安培力，加速度持续增大 双杆均为变加速运动 两杆加速度一减一增，最终趋于相等 原理 当两杆加速度相等时，速度差恒定，回路电动势、电流、安培力保持不变，系统进入稳定运动状态 稳态不是共速，是加速度相等、速度差恒定 核心计算 联立牛顿方程求共同加速度，动量定理求末速度，能量守恒求焦耳热 位移、速度不可混用，动量定理对应时间，能量对应位移 ▶模型特训 类型1 双杆无外力模型 【典例1】（2025·江西鹰潭·一模）如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现给ab棒一水平向右的初速度，其速度随时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知ab棒的质量为m，电阻为R。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．ab棒刚开始运动时，cd棒中的电流方向为 B．ab运动后，cd棒将做加速度逐渐增大的加速运动 C．在时间内，ab棒产生的热量为 D．在时间内，通过cd棒的电荷量为 【推理演示】A．金属棒ab刚开始运动时，根据右手定则可知cd棒中的电流方向为c→d，故A错误； B．ab运动后，由于安培力作用，速度会逐渐减小，同时cd棒将做加速运动，回路总电动势减小，电流减小，cd棒受到的安培力会减小，由于，可知，cd棒的加速度会减小，故B错误； C．两金属棒组成的系统动量守恒 解得 由于ab棒与cd棒质量之比为1:2，且它们的材料和长度相同，故横截面积之比为1:2，由 得电阻之比为2:1，故ab棒与cd棒产生的热量之比为2:1，根据两棒组成的系统能量守恒有 时间内ab棒产生的热量 故C错误； D．对cd棒列动量定理有 又 则在时间内，通过cd棒的电荷量 故D正确。 故选D。 【变式1-1】（2026·天津和平·二模）两根平行等长金属导轨弯折成正对的“”形固定在水平面上，导轨间距为，水平段、光滑且足够长，端点和间连接阻值为的定值电阻，空间存在竖直向上、磁感应强度为的匀强磁场。质量为、电阻为的金属棒放在水平导轨上，竖直段、外侧有一根与完全相同的金属棒，金属棒与竖直导轨间的动摩擦因数为，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。给以向左的初速度，同时由静止释放，经过一段时间金属棒刚好开始下滑，此时棒的速度为初始时的。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨电阻不计，重力加速度为，求： (1)cd刚要开始运动时，ab的速度大小； (2)cd从释放到刚开始运动过程，电阻上产生的热量； (3)cd从释放到刚开始运动过程，向左移动的位移。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对棒，刚要运动时，根据平衡条件有 根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路欧姆定律有 其中 联立解得 （2）根据能量守恒有 其中， 联立解得 （3）根据，，， 联立解得 对，根据动量定理有 联立解得 【变式1-2】（2026·江西·一模）如图所示，单匝线圈处于均匀减小的磁场中，磁通量变化率为k，线圈电阻为2R，线圈通过开关导线与两根足够长的平行光滑水平金属轨道相连，轨道宽为L，图中虚线右侧存在垂直轨道向下的匀强磁场，磁感应强度为B，轨道上静止放置有两根相同的金属棒MN和PQ，它们的质量均为m、电阻均为R，其中MN在磁场外，PQ在磁场内且距离磁场虚线边界d0，两部分磁场不会相互影响。不计连接线圈的导线和水平轨道的电阻，则（　　） A．开关闭合瞬间，流过MN棒的电流方向N→M B．开关闭合瞬间，PQ棒的加速度为 C．若开关处于断开状态，给MN一个向右的初速度v0，稳定时PQ棒上产生的热量 D．若开关处于断开状态，给MN一个向右的初速度v0，稳定时两金属棒的间距 【答案】D 【详解】A．由楞次定律可知，开关闭合瞬间，流过MN棒的电流方向M→N，故A错误； B．根据法拉第电磁感应定律，单匝线圈产生的感应电动势 闭合开关后，根据闭合电路欧姆定律， 联立解得 所以流过金属棒PQ的电流 对PQ，根据牛顿第二定律 联立解得 方向向右，故B错误； C．两金属棒组成的系统动量守恒，有 联立解得 两导体棒损失的动能转化为内能，则 所以，故C错误； D．对PQ，在安培力作用下加速，由动量定理， 所以 根据闭合电路欧姆定律 根据法拉第电磁感应定律 联立解得 所以最终两棒间距，故D正确。 故选D。 【变式1-3】（2026·山东枣庄·一模）如图所示，足够长的平行金属导轨固定在水平面上，间距为L，电阻不计，相同的导体棒a、b均与导轨垂直而且始终与导轨接触良好。已知单根导体棒的质量为m、电阻为R，导轨间分布着磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。导体棒a、b初始均处于静止状态，某时刻导体棒b获得水平向右的初速度v0，重力加速度为g。 (1)若导轨光滑，导体棒b从开始运动至状态稳定，求其内部产生的焦耳热Qb； (2)若导体棒b与导轨间的动摩擦因数为μ，固定导体棒a，导体棒b从获得水平速率v0开始，经过时间t，速度减小为0，求其在上述过程中滑行的距离x。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据动量守恒有 解得 根据能量守恒定律有 又 联立解得 （2）对导体棒b，根据动量定理有 又， 联立解得 【变式1-4】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图所示，长直金属杆M、N在水平固定的平行光滑长直金属导轨上运动，导轨间距为L=0.4 m；水平虚线PQ与导轨垂直，PQ左、右两侧区域分别充满垂直于导轨平面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B=0.25T。初始时刻，N静止在PQ左侧导轨上，M从N左侧以初速度v0=6m/s水平向右运动。M、N质量均为m=0.1kg、在导轨间的电阻均为R=0.1Ω，整个运动过程中，两金属杆始终与导轨垂直并接触良好。感应电流产生的磁场、导轨电阻、空气阻力及两金属杆粗细均忽略不计，导轨足够长。 (1)求初始时刻M的加速度大小和方向； (2)若M、N在PQ左侧未相撞，N进入PQ右侧时速度大小为2 m/s，求此时M杆的速度及这个过程中M杆产生的焦耳热 (3)在（2）的条件下，若M到达PQ处时速度大小为3 m/s，求此时N的速度大小并判断两杆之后是否会发生碰撞 【答案】(1)3m/s2，方向向左；(2)4m/s，0.4J；(3)1m/s，刚好不相撞 【详解】（1）开始时，感应电动势 感应电流 受安培力为 加速度 联立解得a=3m/s2，方向向左； （2）当N在PQ左侧时，由MN组成的系统受合外力为零，则总动量守恒，则由动量守恒定律 其中的v2=2m/s，解得v1=4m/s 此过程中产生的热量 M杆产生的焦耳热 （3）N杆过PQ右侧以后，两杆受安培力大小方向均相同，安培力的冲量相同，均向左，则对M杆由动量定理 对N杆由动量定理 解得v4=1m/s 从N杆经过PQ到M杆经过PQ，对N杆由动量定理 其中 解得 当M杆过了PQ后MN系统动量守恒，最终达到共同速度，则 解得v=2m/s 对N由动量定理 其中 解得 因Δx′=Δx可知，MN刚好不相碰。 【变式1-5】（2025·河北石家庄·一模）如图所示，光滑金属导轨、水平固定放置，间距为，两导轨之间存在着与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为。金属棒与质量分别为、，电阻分别为、，长度均为，放置在导轨上并与导轨垂直。现同时给金属棒与一个大小为的初速度，方向分别向左、向右，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则下列说法正确的是（    ） A．通过金属棒的最大电流为 B．金属棒的最大加速度为 C．金属棒的速度减为零时，回路中的电流为 D．从初始时刻到金属棒的速度减为零时，两导体棒之间的距离增大了 【答案】B 【详解】A．开始运动时通过金属棒的电流最大，最大值为 选项A错误； B．开始运动时，两棒受安培力最大，加速度最大，则金属棒的最大加速度为 选项B正确； CD．两棒组成的系统受合外力为零，则动量守恒，则从初始时刻到金属棒的速度减为零时，根据动量守恒定律（向左为正） 解得 此时回路中的电流为 该过程中对导体棒cd由动量定理 其中 解得 可知两导体棒之间的距离增大了，选项CD错误。 故选B。 【变式1-6】（2025·湖北·一模）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨间距m，单边有界匀强磁场垂直导轨平面竖直向下，磁场左边界为（垂直导轨），磁感应强度大小为T，两根长度相同的金属棒a、b垂直放置在导轨上，金属棒a、b的质量分别为、，其电阻分别为、，金属棒a位于磁场边界紧靠PQ放置，金属棒b在磁场内部。时刻同时给两金属棒大小相等、方向相反的初速度，两金属棒相向运动，且始终没有发生碰撞，时刻回路中电流强度为零，此时金属棒a又恰好运动到磁场边界处，金属棒b最终恰好停在磁场边界处，运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及摩擦，求： (1)时刻金属棒b加速度大小； (2)时间内通过回路的电荷量； (3)时刻金属棒b距离磁场边界的距离及整个过程金属棒b产生的热量。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据右手定则可知，时刻两金属棒产生的感应电流方向相同，回路中感应电动势 根据欧姆定律可得，回路中感应电流为 对金属棒b，根据牛顿第二定律则有 联立解得 （2）时刻回路中电流强度为零，此时两金属棒速度相等，两棒受安培力始终等大反向，系统动量守恒，则有 解得 方向向左，对b棒由动量定理有 此过程通过回路电量 联立解得 （3）最终金属棒b恰好停在磁场边界处处，a棒以向左做匀速运动设金属棒b距离磁场边界距离为x，对金属棒由动量定理 由 解得 整个回路中产生热量 由于两棒串联，整个过程金属棒b产生热量 类型2 双杆有外力模型 【典例2】（2026·陕西·二模）（多选）如图所示，在一水平面上固定有足够长且电阻不计的两个金属导轨，它们间的距离为L。现将两阻值均为R、质量均为m的导体棒ab、cd静置于导轨上，两导体棒与导轨始终垂直且保持良好接触，两导体棒与导轨接触面间的动摩擦因数均为，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感强度大小为B。现对导体棒ab施加垂直于ab棒的水平恒力作用，ab棒由静止开始加速运动，经时间t速度达最大速度v，此时导体棒cd受到的摩擦力恰达到最大静摩擦力。已知重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（　　） A．外力F的大小为 B．ab棒的最大速度v为 C．t时间内ab棒上产生的焦耳热为 D．t时间内ab棒上产生的焦耳热为 【推理演示】A．导体棒ab、cd串联，电流大小相同，二者所受安培力大小相等，cd棒恰好静止，则有ab棒最终匀速，则有 联立解得，故A正确； B．当ab棒以最大速度v稳定运动时，回路中的感应电动势为 通过ab棒的电流为 ab棒所受安培力大小为 解得，故B错误； CD．ab棒运动至速度v时，由动量定理得 可得 又 解得 ab棒运动时，由动能定理得 可得 根据能量守恒得回路中焦耳热 则ab棒上产生焦耳热： 联立解得，故C正确，D错误。 故选AC。 【变式2-1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）两根平行等长金属导轨弯折成正对的“”形固定在水平面上。水平段MN、光滑，竖直段NP、粗糙，导轨间距，空间存在竖直向上、磁感应强度的匀强磁场。质量、电阻、长度也为L的金属棒ab放在水平导轨上，竖直段NP、外侧有一根与ab完全相同的金属棒cd，ab、cd始终与导轨垂直。给ab以向左的初速度，同时由静止释放cd。cd与竖直导轨间动摩擦因数（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），两棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计，取。求： (1)初始时，cd受到的摩擦力大小； (2)cd刚要开始运动时，ab所受安培力的功率大小； (3)cd刚要开始运动时，ab向左移动的位移大小。 【答案】(1)2N (2)16W (3)0.8m 【详解】（1）初始时，根据法拉第电磁感应定律，有 根据欧姆定律，有 受力分析，金属棒cd与导轨间的弹力，满足 金属棒cd与导轨间的最大静摩擦力，满足 在竖直方向上，有 则金属棒cd受到的摩擦力大小。 （2）设cd刚要开始运动时，ab棒的速度为，则必有 解得 则ab所受安培力的功率大小 （3）从开始到cd棒刚要开始运动过程中，根据动量定理，有 其中 则有 即 联立解得 【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）如图所示，两条光滑平行金属导轨相距，水平部分有磁感应强度大小B=2T、方向竖直向上的匀强磁场，倾斜部分与水平面间夹角为，有垂直轨道斜面向上、磁感应强度大小B=2T的匀强磁场，在倾斜导轨和水平导轨上，各放一根与导轨垂直的金属杆、，金属杆与导轨接触良好。金属杆、质量均为，电阻、，其余电阻不计。已知从时刻起，杆在外力作用下由静止开始水平向右运动，杆在水平向右的外力作用下始终保持静止状态，且（，，取）。 (1)判断杆的电流方向并通过计算说明杆的运动情况，若是匀加速直线运动，请计算出加速度大小，若不是匀加速直线运动，请说明理由； (2)从时刻开始计时，求内通过杆的电荷量； (3)若已知从时刻起，内作用在杆上的外力做功为，则求这段时间内杆上产生的热量。 【答案】(1)电流方向从c→d，杆cd做匀加速直线运动且加速度为0.4m/s2 (2)0.08C (3)0.0864J 【详解】（1）由楞次定律知电流方向从c→d 对金属杆ab，由平衡条件得 安培力为 联立解得 感应电动势 根据加速度定义式有 所以杆cd做匀加速直线运动。 （2）杆cd在1s内运动的距离为 通过杆ab的电荷量 平均感应电动势 平均感应电流 联立解得 （3）设整个电路中产生的热量为Q，1.5s内作用在杆cd上的外力F做功为W1=0.162J 由功能关系得 由运动学公式得 联立解得 【变式2-3】（2025·天津宁河·一模）如图所示，电阻不计足够长的光滑平行金属导轨与水平面夹角θ=30°，导轨间距l，所在平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度为B=0.2T，方向垂直斜面向上。甲、乙金属杆质量均为m=0.02kg、电阻均为R，甲金属杆处在磁场的上边界，乙金属杆距甲也为l，其中l=0.4m。同时无初速释放两金属杆，此刻在甲金属杆上施加一个沿着导轨的外力F，保持甲金属杆始终与乙金属杆未进入磁场时的加速度相同。（取g=10m/s2） (1)若甲金属杆刚出磁场时，乙金属杆进入磁场恰好做匀速运动，计算电阻R为多少？ (2)以刚释放时t=0，写出从开始到甲金属杆离开磁场，外力F随时间t的变化关系，并说明F的方向； (3)若从开始释放到乙金属杆离开磁场，整个过程回路中共产生热量Q=0.055J，试求此过程中外力F对甲做的功W。 【答案】(1)0.064Ω (2)F=0.25t，方向沿导轨向下 (3)0.015J 【详解】（1）乙进入磁场前的加速度为 甲乙加速度相同，当乙进入磁场时，甲刚出磁场，根据速度位移关系 可得乙进入磁场时 乙在磁场中做匀速运动有 代入数据解得 （2）甲在磁场中运动时有 外力F始终等于安培力 方向沿导轨向下； （3）设乙进入磁场前，甲乙产生的总热量为Q1，此过程中甲一直在磁场中，外力F始终等于安培力，则有 乙在磁场中运动过程中，回路产生的总热量Q2，根据能量守恒定律有 解得 由于甲出磁场以后，外力F为零，可得 【变式2-4】（2025·四川成都·二模）如图所示，电阻不计足够长的光滑平行金属导轨与水平面夹角，导轨间距l，所在平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度方向垂直斜面向上。甲、乙金属杆质量均为、电阻均为，甲金属杆处在磁场的上边界，乙金属杆距甲也为l，其中。同时无初速释放两金属杆，此刻在甲金属杆上施加一个沿着导轨的外力F，保持甲金属杆在运动过程中始终与乙金属杆未进入磁场时的加速度相同。取 (1)乙金属杆刚进入磁场后做匀速运动，求匀强磁场的磁感应强度？ (2)若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量，试求此过程中外力F对甲做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）乙进入磁场前，由牛顿第二定律 解得乙的加速度 甲、乙加速度相同，当乙进入磁场时，甲刚出磁场；乙进入磁场时由运动学公式 解得 乙在磁场中匀速运动有 解得 （2）乙进入磁场前，甲、乙产生相同热量，均设为Q1，此过程中甲一直在磁场中，外力F始终等于安培力，则有 乙在磁场中运动产生热量，利用能量守恒定律 解得 甲、乙产生相同热量则 解得 由于甲出磁场以后，外力F为零，可得 【变式2-5】（2025·四川成都·模拟预测）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成角。杆1、杆2是两根用细线连接的金属杆，质量分别为和，两杆垂直导轨放置，且两端始终与导轨接触良好，两杆的总电阻，两杆在沿导轨向上的外力F作用下保持静止（F作用在杆1上）。整个装置处在磁感应强度的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，在时刻将细线烧断，保持F不变，重力加速度g取，求： (1)外力F的大小； (2)当杆2达到最大速度时，流过该杆的电流强度的大小； (3)两杆从开始运动到刚达到最大速度经历的时间为，此时杆1和杆2相对于各自初始位置的距离为多大？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）线烧断前外力F的大小 （2）当杆2达到最大速度时，对杆2有 得 （3）细线烧断后 方向相反，由系统动量守恒得 两杆同时达到最大速度，之后做匀速直线运动。又由 联立解得， 再由系统动量守恒 则 设所求时间为t，对杆2由动量定理得， 解得， 【变式2-6】（2026·广东东莞·一模）（多选）如图所示空间存在竖直向下的匀强磁场B，足够长的两金属导轨平行正对放置，间距为L，竖直导轨粗糙，水平导轨光滑。导体棒Q借助小立柱静置于竖直导轨上并保持水平，其与竖直导轨间的动摩擦因数为。导体棒P垂直于水平导轨放置，处于静止状态。两导体棒的质量均为m，接入导轨间的电阻均为R，其余电阻不计。时起，对导体棒P施加水平向右的拉力F，使其做匀加速直线运动，同时撤去小立柱，导体棒Q开始下滑。已知两导体棒与导轨始终垂直且接触良好，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。对于拉力F，Q棒的速度、加速度及受到的摩擦力随时间t变化的关系图像，下列图像可能正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A．设导体棒P匀加速直线运动的加速度为，则时刻的速度为 导体棒P产生的感应电动势为 由于导体棒Q在竖直轨道上滑动时不切割磁感线，不产生电动势，则回路中的感应电流为 对导体棒P进行受力分析，根据牛顿第二定律有 联立解得 所以图像应为不过原点的倾斜直线，故A错误； C．由左手定则可知，导体棒Q受到的安培力水平向右，水平方向受力平衡，设导体棒Q受到竖直导轨的弹力为，则有 导体棒Q在竖直方向做变速运动，设t时刻的加速度为，则根据牛顿第二定律有 联立解得 所以图像为向下倾斜的直线，与纵轴的截距为，故C正确； B．图像与坐标轴围成的面积表示速度的变化。由C选项可知，时刻导体棒Q的加速度减为零，此时导体棒Q的速度应有最大值。之后导体棒Q做加速度逐渐增大的减速运动，由对称性可知应在时刻导体棒Q的速度减为零，故B错误； D．在内，导体棒Q受到的摩擦力为 即此过程图像为过原点的倾斜直线；当导体棒Q的速度减为零后，根据平衡关系可知，此时导体棒Q受到的摩擦力与重力等大反向，则有，故D正确。 故选CD。 ✡模型二 双杆在不等宽导轨上运动问题模型 ▶模型剖析 项目 知识点详细讲解 核心公式/结论 考场易错点 场景 导轨两段宽度不同，双杆切割长度，一杆初速度、一杆静止、光滑无外力 — 和等宽模型核心区别：永远不共速 电路原理 两杆同时切割产生电动势，方向相反相互抵消，总电动势由长度与速度乘积差值决定 不可直接套用等宽公式 受力原理 电流相同、长度不同，安培力大小不等，系统合外力不为零，动量一定不守恒 动量不守恒 极易误判动量守恒，是高频错题点 原理 当回路电流为零时，安培力全部消失，两杆不受力，各自匀速运动；此时双杆电动势完全抵消 稳态条件是乘积相等，不是速度相等 解题逻辑 无守恒量，必须联立：稳态乘积等式 + 系统动量定理，二元方程组求解末速度 必须两个方程联立，缺一不可 ▶模型特训 【典例1】（2025·甘肃·模拟预测）如图所示，足够长光滑平行水平导轨所在空间，有垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为。导轨间距分别为和，质量为、电阻为的铜棒跨放在导轨上，同种材料、粗细相同的铜棒的长度是的两倍，两棒与导轨始终垂直且接触良好。若使棒获得一个大小为、水平向右的初速度，导轨电阻不计，则在两棒运动过程中（棒始终在宽度为的导轨上运动），下列说法正确的是（　　） A．两棒组成的系统动量守恒，且最终速度相等 B．ab棒最终的速度大小为 C．棒产生的焦耳热为 D．ab棒克服安培力做的功为 【推理演示】A．两棒受到的安培力不相等，系统受到的合外力不为零，系统动量不守恒，最终两棒切割磁感线产生的电动势相等，速度不相等，故A错误； B．设ab棒和cd棒的最终速度大小分别为和v2，则有 对ab棒有 对cd棒有 解得，，故B错误； C．系统产生的焦耳热 cd棒产生的焦耳热占总焦耳热的，则，故C错误； D．ab棒克服安培力做的功，故D正确。 故选D。 【变式1-1】（2026·陕西榆林·一模）（多选）如图所示，两根足够长的平行金属光滑导轨、固定在倾角为30°的斜面上，导轨电阻不计。与间距为，与间距为。在与区域有方向垂直斜面向下的匀强磁场，在与区域有方向垂直斜面向上的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为。在与区域中，将质量为，电阻为，长度为的导体棒置于导轨上，且被两立柱挡住。与区域中将质量为，电阻为，长度为的导体棒置于导轨上，由静止下滑，经时间，恰好离开立柱，、始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度大小为。则（　　） A．棒做匀加速直线运动 B．两导体棒最终做匀速直线运动 C．时刻，的速度大小为 D．内，下滑的距离为 【答案】CD 【详解】AB．a棒下滑时的加速度 则随速度增加，a棒的加速度逐渐减小，即棒做加速度减小的加速运动；根据左手定则可知，最后两个金属棒受到的安培力方向均向上。如果最终二者均做匀速直线运动，对a分析：FA1=mgsinθ；对b分析：FA2=mgsinθ；所以FA1=FA2，即二者的安培力大小相等，而两根金属棒的长度不同，安培力大小不同，故最终二者不是做匀速直线运动，故AB错误； C．金属棒b刚好离开立柱时，立柱对b棒的弹力恰为零，对金属棒b根据平衡条件可得：mgsinθ-F安b=0，F安b的方向沿斜面向上。 金属棒a沿斜面向下加速，金属棒a产生的电动势E=BLv1 回路中的电流 受到的安培力F安a=BIL 根据上下导轨的电流和宽度关系，可得F安b=2F安a t时刻，a的速度大小为，故C正确； D．取沿导轨向下为正方向，在时间t内，对a棒根据动量定理得 则有 结合运动学公式可得 联立解得，故D正确。 故选CD。 【变式1-2】（2025·福建龙岩·模拟预测）如图甲，abcd和a'b'c'd'为在同一水平面内的固定光滑平行金属导轨，左右导轨间距分别为2L、L，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，左侧导轨间的磁感应强度大小为B0，右侧导轨间的磁感应强度大小按图乙规律变化，两根金属杆M、N分别垂直两侧导轨放置，N杆与cc'之间恰好围成一个边长为L的正方形，M杆中点用一绝缘细线通过轻质定滑轮与一重物相连，t=0时释放重物，同时在N杆中点处施加一水平向右的拉力F，两杆在0~t0时间内均处于静止状态，从t0时刻开始，拉力F保持不变，重物向下运动x距离时（M杆未到达定滑轮处），速度达到最大，已知M、N杆和重物的质量都为m，M、N接入电路的电阻都为R，不计导轨电阻，重力加速度为g，下列说法不正确的是（　　） A．0~t0时间内，回路中的感应电动势为 B．0~t0时间内，施加在N杆上的拉力F随时间t变化的关系为 C．重物下落的最大速度为 D．从t=0时刻到重物达到最大速度的过程中，回路产生的焦耳热为 【答案】B 【详解】A．0~t0时间内回路的感应电动势为 根据图乙可知 解得，故A正确； B．根据图乙可知，令0~t0时间内回路的感应电流为I0，对M有 对N有 联立解得，故B错误； C．根据上述，t0时刻的拉力大小为，t0时刻之后，对M与重物整体进行分析有 对N进行分析有 解得 可知M、N的加速度大小相等，当时，重物速度最大，即 其中 解得，故C正确； D．在0~t0时间内，有 在0~t0时间内，产生的热量为 由，M、N杆的速度在任意时刻大小均相等，位移大小也相等。则从t0时刻开始到重物最大速度的过程中有 解得 则回路产生的焦耳热为，故D正确。 本题选错误的，故选B。 【变式1-3】（2025·山西吕梁·三模）（多选）如图所示，足够长的光滑水平轨道左侧部分的轨道间距为，右侧部分的轨道间距为，两部分轨道通过导线连通。整个区域存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小。质量的金属棒和质量的金属棒垂直于导轨分别静止放置在左、右两侧轨道上。现给金属棒一大小为、方向沿轨道向右的初速度，已知两金属棒接入电路的有效电阻均为，轨道电阻不计，，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，棒总在宽轨上运动，棒总在窄轨上运动。下列说法正确的是（　　） A．整个过程金属棒、动量守恒 B．金属棒匀速运动的速度大小为 C．整个过程通过金属棒某横截面的电荷量为 D．整个运动过程金属棒、扫过的面积之差为 【答案】BC 【详解】A．因为受到的安培力大小不相等，合力不为零，所以整个过程金属棒动量不守恒，A错误； B．选取水平向右为正方向，对分别应用动量定理，对有 对Q有 其中 整理得 两棒最后匀速时，电路中无电流，此时回路总电动势为零，必有 即 联立解得 B正确； C．在Q加速过程中根据动量定理有 又电荷量 解得 C正确； D．根据 代入数据解得 D错误。 故选BC。 【变式1-4】（2025·福建·二模）如图所示，导体棒、分别静置于水平固定的平行窄导轨和宽导轨上，导轨间距分别为、，导轨电阻不计，所在区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，、棒的质量分别为，两导体棒总电阻为，棒与导轨间无摩擦，棒与导轨间的动摩擦因数。时刻，给导体棒一个大小为，方向水平向右的恒力作用，时棒刚要滑动，再过一段时间后回路中电流大小为且保持恒定。已知棒距宽导轨足够远，棒所在导轨足够长，导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)时，棒中电流的大小和方向； (2)时间内，安培力对棒的冲量大小； (3)电流的大小。 【答案】(1)0.5A，由d指向c (2) (3) 【详解】（1）当时，对棒受力分析，由平衡条件 解得棒中电流的大小 由右手定则可知，棒中电流方向为由d指向c； （2）时，ab棒产生的感应电动势为 由欧姆定律 代入数据解得 时间内，对ab棒受力分析，由动量定理 解得 （3）稳定后，电路中电流一定，由欧姆定律得 再过时间，ab棒、cd棒的速度变化量分别为、，则由 联立可得 其中 则 由牛顿第二定律 代入数据解得 【变式1-5】（2025·广西桂林·一模）（多选）如图所示，两根光滑平行金属导轨平放在绝缘水平面上，左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距为L，左右两侧分别存在垂直导轨所在平面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．两根由相同材料制成的不同粗细的金属杆a、b恰好横跨在导轨上，a、b的质量均为m，b的电阻为R，初始时给a、b杆向左的瞬时速度，大小均为v，不计导轨电阻，a、b两杆到导轨两端及导轨间距变化处均足够远且运动过程中始终与导轨垂直，则（　　） A．刚开始运动时通过a的电流大小为 B．导体棒a先向左减速，再向右加速，最后匀速 C．从开始到运动恰好稳定的过程中通过b某横截面的电荷量为 D．从开始到运动恰好稳定的过程中b上产生的焦耳热为 【答案】BD 【详解】A．两杆质量相同，a杆的长度是b杆的2倍，则a杆的横截面积是b杆的，又因为电阻率相同，根据电阻定律可知a杆电阻是b杆电阻的4倍。结合法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律计算电流初始时，根据右手定则可知两杆产生的电动势方向相同，总电动势为两电动势之和，等于3BLv，根据闭合电路欧姆定律可知通过a的电流为， A错误。 B．开始运动时，可知a杆受到的安培力向右，b杆受到的安培力也向右，两杆均向左做减速运动，a杆所受的安培力大小为b杆所受安培力大小的2倍，两杆质量相同，则a杆做减速运动的加速度大小较大，先减速到零，然后在向右的安培力作用下向右做加速运动，产生与b杆相反的电动势，即，当两杆电动势大小相等时，闭合回路电流为0，此时a杆向右做匀速运动， b杆向左做匀速运动，故B确。 C．a杆向左减速至0，由动量定理得： 得 b杆向左减速至v1，， a杆向右加速速至匀速， b杆向左继续减速至匀速v3， 当a、b杆电动势等大反向时，回路电流为0，及 得，， 选项C错误。 D．a、b杆的电阻之比为4：1，设产生的总热量为Q，则b上产生的热量 由能量守恒定律有 解得 D正确。 故选BD。 【变式1-6】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，两不等距足够长光滑平行金属导轨水平放置，左侧导轨相距，右侧导轨相距，左侧导轨接有一电容器。空间充满垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小。略长于的金属杆静止在左侧导轨上，略长于的金属杆静止在右侧导轨上，两杆质量均为，均有一定电阻。给金属杆水平向右的初速度 ，系统稳定时，杆的速度减小为。已知运动过程中，两杆始终在各自的导轨上，与导轨垂直且接触良好，杆始终未到达电容器所在的位置。导轨电阻不计，求： (1)系统稳定时，电容器储存的电荷量； (2)系统稳定时，金属杆的速度大小； (3)电容器的电容。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对金属杆b根据动量定理，有 又有 联立解得电容器储存的电荷量为 （2）对金属杆根据动量定理，有 又有 联立解得金属杆a的速度大小为 （3）对整个电路，有 又有 联立解得电容器的电容为 【变式1-7】（2025·河南安阳·一模）如图所示，光滑圆弧导轨与水平导轨相切于处，的右侧处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，bc段水平导轨宽度为，cd段水平导轨宽度为d，bc段轨道和段轨道均足够长。由同种材料制成的金属棒和分别置于轨道上的段和段，已知金属棒的质量为，棒长为，电阻为，金属棒的质量为，棒长也为，现让金属棒从距水平轨道高为处无初速度释放，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，不计其他电阻及空气阻力，重力加速度为，求： (1)金属棒的电阻； (2)金属棒下滑到处时金属棒接入电路部分两端的电压； (3)整个过程中金属棒产生的焦耳热； (4)两金属棒距离最近时回路中的电流。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由、 知 由、 知 （2）实际只有一半长度接入电路，所以有效阻值为 从到，由能量守恒得 此时， （3）从下滑到处到最终达成稳态的过程，对列动量定理得 对列动量定理 最终二者稳态，产生的电动势相等 解得、 整个过程由能量守恒有 由于接入电路的电阻相等，求得 （4）相距最近，即二者共速，由动量定理可得， 解得 此时回路中的电流为 【变式1-8】（2025·山东·模拟预测）（多选）如图所示的水平装置置于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，电源电动势为E、内阻为R，两副平行且光滑的导轨间距分别为d与2d。材质均匀的导体棒b、c的长度均为2d、电阻均为R、质量均为m，垂直置于导轨上，导轨足够长且不计电阻。从闭合开关到两导体棒达到稳定状态的全过程中，下列说法正确的是（　　） A．稳定前b、c棒均做加速度增大的加速运动 B．稳定前b、c棒的加速度大小之比始终是1∶2 C．稳定时导体棒c的速度大小为 D．导体棒b中产生的焦耳热为 【答案】BCD 【详解】A．稳定前b、c棒均做加速运动，由 可知两棒产生的反电动势越来越大，则回路中的电动势越来越小，由闭合电路欧姆定律知回路中电流越来越小，由牛顿第二定律得 则两棒的加速度越来越小，故稳定前b、c棒均做加速度减小的加速运动，故A错误； B．加速过程，b棒的加速度大小为 c棒的加速度大小为 故稳定前b、c棒的加速度大小之比始终是1∶2，故B正确； C．两棒稳定时，两棒产生的反电动势与电源电动势的关系为 根据动量定理，对b棒有 对c棒有 解得， 故C正确； D．由能量守恒定律得，电源提供的电能转化为两棒的动能和焦耳热，有 则 解得导体棒b中产生的焦耳热为 故D正确。 故选BCD。 ✡模型三 线框模型 ▶模型剖析 类型1 线框进出磁场等效电路模型 项目 知识点详细讲解 核心结论公式 易错提醒 等效电路规则 线框进出磁场时，唯一切割边为电源，其余三条边为纯电阻外电路，整体为串联纯电阻电路 切割边=电源， 其余=外阻 完全进入磁场后无切割、无电动势、无电路 电路物理量 电动势由切割速度决定，电流匀速恒定、减速逐渐减小；路端电压为外电路分压 路端电压不是电动势，必须区分内外阻 进出场差异 进场、出场磁通量变化方向相反，感应电流方向相反；完全在磁场中磁通量不变，无电磁感应现象 全场无电流、无安培力、无热量 很多学生误判全场仍有感应电流 安培力特点 楞次定律阻碍相对运动，进场阻碍进入、出场阻碍离开，始终为阻力 安培力全程做负功 安培力永不做正功 类型2 线框进出磁场图像模型 1. 描绘线框两点间电势差的 U-t 图像 项目 知识点详细讲解 核心图像规律 易错点 电路等效原理 线框切割边 = 电源，其余三边为外电路电阻；求框上两点电势差，本质是求外电路分压或电源内电压 切割边两端电势差为路端电压；非切割边两点电势差为分段分压 极易把电源内电压、路端电压搞反，正负号出错 分阶段变化规律 1. 进场阶段：切割边产生恒定电动势（匀速）/ 递减电动势（自由减速），电势差随速度同步变化； 2. 完全在磁场中：无感应电动势，回路无电流，线框各点电势相等，； 3. 出场阶段：切割边更换，电动势方向反向，电势差正负与进场相反，大小变化趋势和进场一致 匀速运动：进场 U 为定值、全场 U=0、出场 U 反向定值； 自由减速：进场 U 递减曲线、全场 U=0、出场反向递减曲线 出场电势差正负和进场相反，不能画成同向图像；全场阶段电势严格相等，图像与 t 轴重合 正负判断技巧 右手定则判断切割边正负极：磁感线穿手心，拇指指向运动方向，四指指向电源正极；外电路电势从正极向负极降低 靠近切割边正极的点位电势更高，两点电势差正负由点位位置决定 很多学生忽略电源内部电势高低规律，正负完全画反 2.描绘线框进出磁场区域的 I-t 图像 项目 知识点详细讲解 核心图像规律 易错点 电流产生逻辑 只有线框一边切割磁感线时，磁通量发生变化，回路才有感应电流；线框全部处于磁场内时，磁通量不变，无感应电流 ，电流大小和瞬时速度成正比；进场、出场电流方向相反 完全在磁场区间电流必须为 0，不能画成有电流的线段 匀速运动图像特征 外力匀速拉动线框，速度 v 恒定，电流大小恒定不变；进场、出场电流大小相等、正负相反；中间全场段 I=0 图像分段：进场水平直线、t 轴零线段、出场反向水平直线 匀速图像是水平线段，不能画成倾斜 / 曲线，电流大小进场出场完全相同 无外力自由进出图像特征 仅受安培阻力，线框做加速度减小的减速运动，速度持续减小，电流同步减小；进场、出场均为递减曲线，正负相反；全场段 I=0 图像分段：进场向下递减曲线、t 轴零线段、出场向上递减曲线 图像斜率逐渐变小（减速变缓），不是匀减速的倾斜直线，是曲线 楞次定律方向判定 进场磁通量增加，感应电流磁场阻碍磁通量增加；出场磁通量减少，感应电流磁场阻碍磁通量减少，因此进场、出场电流环绕方向相反 图像用正负区分电流方向，进场为正、出场为负（可自定义正负） 进场出场电流正负必须相反，不能画在 t 轴同一侧 3.判断线框进出磁场区域的 a-t 图像 项目 知识点详细讲解 核心图像规律 易错点 加速度受力原理 线框仅安培力提供合外力，安培力始终为阻力，加速度方向与运动方向相反；加速度大小，与瞬时速度 v 成正比 ，加速度变化趋势和速度完全一致；全程加速度符号不变（始终为阻力，正负固定） 加速度方向全程不变，进场、出场加速度正负相同，不会反向 匀速运动图像特征 外力匀速拉动，速度 v 恒定，安培力恒定，加速度大小恒定；进场、出场加速度大小相等，全场段不受安培力， 图像分段：进场水平直线、t 轴零线段、出场同向等长水平直线 匀速 a-t 图像为水平线段，进场出场加速度大小、正负完全一致 无外力自由进出图像特征 线框减速运动，v 持续减小，加速度同步不断减小；进场、出场均为向 t 轴靠近的递减曲线；全场段 图像分段：进场递减曲线、t 轴零线段、出场同向递减曲线 曲线斜率持续变小，加速度无限趋近于 0，不是倾斜直线；出场加速度不会反向 核心避坑结论 加速度由安培阻力产生，只要线框向同一方向运动，安培力、加速度方向永远不变；只有线框反向运动时，加速度正负才会改变 同一运动方向下，进场、出场 a 的正负完全相同 高频错题：很多学生误以为出场加速度反向，画成正负相反的两段图像 4.线框图像专题通用解题步骤 （1）划分运动三阶段：进场阶段、完全在磁场中阶段、出场阶段，全场区间统一判定物理量为 0； （2）判断运动类型：匀速运动→物理量大小恒定（水平直线）；无外力自由运动→变减速，物理量递减曲线； （3）判定正负方向：I-t、U-t 进场出场正负相反；a-t 进场出场正负完全相同；全场段全部与时间轴重合； （4）绘制图像分段标注：三段图像严格区分，标注进场、全场、出场，曲线 / 直线不混淆，正负区间不画错。 类型3 线框进出磁场生热模型 项目 知识点详细讲解 核心公式结论 易错点 能量核心原理 电磁感应中安培力做功的绝对值等于回路焦耳热，无外力时只有动能转化为内能 全场运动不生热 自由进出生热 进场速度大、平均安培力大、位移相同，进场生热大于出场生热；全程总热量为两次生热之和 出场末速度一定小于进场初速度 匀速进出生热 外力匀速拉动线框，动能不变，外力克服安培力做功全部转化为焦耳热 匀速生热可直接用功求解 类型4 线框进出磁场截面电量模型 项目 知识点详细讲解 核心公式结论 高频考点 电量本质 感应电荷量是过程累积量，由平均电动势、平均电流推导，只取决于磁通量变化量，与运动快慢、时间无关 速度不影响电量大小 线框专用推导 线框进出磁场位移为边长，磁通量变化，直接代入通用公式即可 x为有效进出磁场位移 进出场电量关系 进场、出场磁通量变化量大小相等，所以通过导体截面的电量大小相等、方向相反 电量是标量，只比较大小 ▶模型特训 类型1 线框进出磁场等效电路模型 【典例1】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框，置于始终竖直向下的匀强磁场中，边与磁场边界平行，边中点位于磁场边界。导体框的质量，电阻、边长。磁感应强度B随时间t连续变化，内图像如图（b）所示。导体框中的感应电流I与时间t关系图像如图（c）所示，其中内的图像未画出，规定顺时针方向为电流正方向。 (1)求时边受到的安培力大小F； (2)画出图(b)中内图像（无需写出计算过程）； (3)从开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度，求ad边离开磁场时的速度大小。 【推理演示】（1）由法拉第电磁感应定律 由闭合电路欧姆定律可知，0∼1s内线框中的感应电流大小为 由图（b）可知，t=0.5s时磁感应强度大小为 所以此时导线框ad的安培力大小为 （2）0∼1s内线框内的感应电流大小为，根据楞次定律及安培定则可知感应电流方向为顺时针，由图（c）可知1∼2s内的感应电流大小为 方向为逆时针，根据欧姆定律可知1∼2s内的感应电动势大小为 由法拉第电磁感应定律 可知1∼2s内磁感应强度的变化率为 解得t=2s时磁感应强度大小为 方向垂直于纸面向里，故1∼2s的磁场随时间变化图为 （3）由动量定理可知 其中 联立解得ad经过磁场边界的速度大小为 【变式1-1】（2026·天津武清·一模）如图甲所示，间距为、倾角为的平行光滑金属导轨固定放置，其上端用金属杆连接固定。导体棒垂直于导轨，并用平行于导轨的绝缘细线将其与金属杆连接，细线长为，导体棒处于静止状态。空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。时，细线拉力刚好为零，此时断开细线，导体棒从静止开始运动至某一位置处（图中未画出）达到稳定速度，这一过程中通过导体棒横截面的电荷量为。导体棒与导轨始终垂直且接触良好。已知导体棒和金属杆的电阻均为，导轨电阻不计且足够长，重力加速度。求： (1)导体棒的质量； (2)断开细线后，棒运动到点的位移大小； (3)从时刻开始至导体棒运动到点过程中棒上产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）2s时，拉力为零，合力为0，根据平衡条件有        因为 由图可知 联立解得， （2）因为 代入题中数据，解得 （3）内，电路中电动势恒定，电流恒定，则该段时间产生的热量 断开细线后，到导体棒ab稳定过程，根据能量守恒有 根据平衡条件有 联立解得 则该段时间导体棒产生的热量 则从时刻开始至导体棒运动到点过程中棒上产生的焦耳热 【变式1-2】（2026·北京西城·二模）如图1所示，是一个边长为的正方形导体框，其电阻为，在位置1时具有大小为的速度。在某一恒定拉力作用下，导体框向右匀速进入匀强磁场区域。磁场区域的宽度为，磁感应强度大小为。 (1)在导体框进入磁场的过程中（由位置1到位置2），求： a．导体框内的感应电流大小； b．拉力做的功。 (2)若换用更大的恒定拉力作用在导体框上，导体框在位置1的速度大小仍为，请写出导体框由位置1到位置3的过程中做什么运动，并在图2坐标系中定性画出此过程导体框运动的图像。 【答案】(1)a．；b． (2)导体框先做加速度逐渐减小的加速直线运动，然后做匀加速直线运动， 【详解】（1）a．导体框进入磁场，边切割磁感线，产生电动势 导体框内的感应电流 解得 b．导体框进入磁场的过程中，受拉力 进入过程拉力做功 解得 （2）导体框先做加速运动，随着速度增大，感应电动势增大，感应电流增大，导体框所受安培力增大，根据牛顿第二定律可知导体框加速度减小，导体框完全进入磁场中后，所受安培力为零，根据牛顿第二定律可知，导体框加速度不变，即导体框先做加速度逐渐减小的加速直线运动，然后做匀加速直线运动。图像如图所示 【变式1-3】（2026·北京朝阳·一模）如图甲所示，边长为l的正方形导线框abcd，以恒定速度沿x轴向右运动，穿过图中所示的匀强磁场区域。从导线框在图示位置的时刻开始计时，则乙图的纵轴对应的物理量为导线框（　　） A．所包围面积的磁通量 B．b、c两点的电势差Ubc C．bc边所受安培力大小 D．所受外力的功率 【答案】B 【详解】A． 磁通量 时，线框进入磁场，进入磁场的面积随增大线性增大，也线性增大，不符合乙图中该段为恒定值的特点，故A错误； B．设线框总电阻为，每边电阻为，线框速度为。时，线框未进入磁场，无感应电动势，，符合；时，边切割磁感线，总感应电动势，电流，为路端电压，大小，为恒定值，符合； 时，整个线框在磁场中，感应电流，但边仍切割磁感线，电动势为，无电流时，为恒定值，符合； 时，线框出磁场，边切割磁感线，电流，为外电路电阻，，为恒定值，符合乙图规律，故B正确； C．由B选项，时，线框感应电流，因此边安培力为，不符合乙图中该段为最大值的特点，故C错误； D．线框匀速运动，外力功率等于感应电流功率，时感应电流为，功率为，不符合乙图中该段为最大值的特点，故D错误。 故选B。 【变式1-4】（2026·福建厦门·二模）电磁驱动在军事、科研和生活中有着广泛的应用，如图所示是某个电磁驱动模型的俯视图，水平面上每间隔L分布有宽度也为L的有界匀强磁场，磁场磁感应强度大小为B、方向竖直向上，控制所有磁场以速度水平向右匀速运动。放在水平面上的正方形导线框abcd从图示位置由静止释放，在安培力的驱动下向右运动，经过时间达到最大速度。已知导线框质量为m、边长为L、电阻为R，运动过程中所受阻力大小恒为，ab边始终与磁场边界平行，求导线框： (1)释放瞬间的加速度大小； (2)经过时间达到的最大速度大小； (3)时间内运动的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导线框释放瞬间，由法拉第电磁感应定律可知导线框的电动势 导线框的电流 由牛顿第二定律可知导线框的加速度满足 解得 （2）经过时间导线框达到最大速度时，安培力的大小与阻力大小相等，满足 设导线框的最大速度为，导线框的电动势满足 导线框的电流 两式联立解得 （3）在时间内，以向右为正方向，设任意时刻导线框的速度大小为，对应的电流大小为，由动量定理得 其中 整理得 其中， 解得 【变式1-5】（2026·广东·一模）（多选）如图，采用电磁刹车技术的列车质量为m，其下方固定有边长为L、匝数为N、总电阻为R的正方形闭合线框abcd。垂直于钢轨间隔分布的匀强磁场，磁感应强度为B，每个磁场区域的宽度及相邻两磁场区域的间距均为L。当ab边以初速度v0进入磁场区域时，列车开始刹车，经31L停下。已知钢轨宽度为D，刹车过程，列车所受钢轨及空气阻力的合力恒为f，则（　　） A．ab边进入磁场瞬间，线框中的感应电流沿adcba方向 B．ab边进入磁场瞬间，线框中的感应电流大小为 C．列车从开始刹车到停止，线框产生的焦耳热为 D．列车从开始刹车到停止，所经历的时间为 【答案】ACD 【详解】A．根据右手定则可知，当ab边进入磁场瞬间，线框中的感应电流沿adcba方向，故A正确； B．ab边进入磁场瞬间，线框中的感应电流大小为，故B错误； C．列车从开始刹车到停止，根据能量守恒定律可得 所以线框产生的焦耳热为，故C正确； D．设线框完全进入左侧第一个磁场时速度为v1，根据动量定理可得， 所以 同理，线框离开磁场的过程，有 依此类推，当列车经31L停下，有 所以列车从开始刹车到停止，所经历的时间为，故D正确。 故选ACD。 【变式1-6】（2026·河北邯郸·一模）某一具有电磁缓冲功能的火箭模型结构示意图如图所示，模型由缓冲槽、主体及主体内固定的线圈构成。闭合正方形线圈的匝数为，边长为，总电阻为，且边与主体的底端重合。模型外侧安装有由绝缘材料制成的缓冲槽，槽中有垂直于线圈平面、磁感应强度大小为的匀强磁场，主体底端到缓冲槽底端的距离为。模型整体以竖直向下、大小为的速度落至水平地面时缓冲槽立即静止，主体则因线圈与缓冲槽内磁场间的作用而减速，当线圈的边落至缓冲槽底端时，线圈的速度大小为，此时线圈的边还未进入磁场。已知主体和线圈的总质量为，重力加速度大小为，不计摩擦和空气阻力。求： (1)模型着地后瞬间边中电流的大小和方向； (2)从模型着地到线圈的边落至缓冲槽底端的过程中线圈上产生的焦耳热； (3)从模型着地到线圈的边落至缓冲槽底端的时间。 【答案】(1)，方向为由到 (2) (3) 【详解】（1）模型着地后瞬间，线圈的感应电动势满足 感应电流 根据右手定则可得，感应电流的方向为由到。 （2）由能量守恒定律有 解得 （3）（3）从模型着地到线圈的边落至缓冲槽底端的过程中，由动量定理有 其中 解得 【变式1-7】（2026·湖北·一模）如图所示，导线框由水平直导线和曲线导线组合而成，总电阻。线框在外力作用下水平向右以的速度匀速运动，时进入右边的匀强磁场，磁感应强度，方向垂直于线框所在平面向下。下列说法正确的是（    ） A．线框进入磁场过程中，感应电流为顺时针方向 B．线框中产生的感应电动势最大值为0.2V C．时，线框中的瞬时电流为0.3A D．线框进入磁场过程中产生的焦耳热 【答案】D 【详解】A．根据楞次定律的“增反减同”得线框进入磁场过程中，感应电流为逆时针方向，故A错误； B．当切割长度为时，线框中产生的感应电动势最大值为，故B错误； C．时，，，即导线框恰好完全进入磁场，线框中的瞬时电流为零，故C错误； D．因，又切割长度按正弦规律变化，故产生正弦式交流电，其电动势的有效值为 线框进入磁场过程中产生的焦耳热，故D正确。 故选D。 【变式1-8】（2025·山东枣庄·一模）如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度大于的匀强磁场，其磁感应强度大小为。甲、乙两个闭合导线框的质量均为，长均为，宽均为，电阻分别为和。两线框在光滑水平面上以相同初速度并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（　　） A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为 C．甲线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为 【答案】C 【详解】A．根据楞次定律结合安培定则可知，甲线框进磁场的过程电流方向为顺时针，出磁场的过程中电流方向为逆时针，故A错误； B．甲线框刚进磁场区域时，有， 乙线框刚进磁场区域时，有， 可得甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为，故B错误； CD．假设甲、乙都能完全出磁场，对甲根据动量定理有 其中 解得 对乙根据动量定理有 其中 解得 可知甲线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0；由能量守恒可知甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热分别为， 则甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为，故C正确，D错误。 故选C。 类型2 描绘线框的图像模型 【典例2】（2026·重庆沙坪坝·一模）某手摇发电机原理简化为题图：正方形导线框abcd在条形匀强磁场中左右往复切割磁感线，从而供电。已知导线框电阻均匀，边长大于磁场宽度。某次导线框向右匀速穿过磁场，以边刚进入磁场时为零时刻，则间电势差随时间变化的图像，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【推理演示】设正方形导体框的边长为L，磁感应强度为B，运动速度为v，则cd边进入磁场时，产生感应电动势 设导体框的总电阻为R，则有 当cd边通过磁场的右边界，ab边还未进入磁场时，导体框中磁通量不变，不产生感应电流，此时Uab=0 当ab边进入磁场时，ab边充当电源，此时 根据以上计算结果，可判断Uab随时间变化的规律。 故选B。 【变式2-1】（2025·河南许昌）如图所示，abcdef为“日”字形导线框，其中abdc和cdfe均为边长为l的正方形，导线ab、cd、ef的电阻相等，其余部分电阻不计。导线框右侧存在着宽度等于的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，导线框以速度v水平向右匀速穿过磁场区域，运动过程中线框平面始终和磁场垂直且无转动。从ab边进入磁场边界的时刻开始，线框平面穿过磁场的过程中，下列选项关于ab两点之间的电势差随位移变化的图像正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】边长ab、cd、ef切割磁感线时，单独产生的电动势均为E=Blv 由于匀强磁场的宽度等于2l，导线ab在磁场内且cd、ef在磁场外时，导线ab充当电源，则Uab表示路端电压 导线ab、cd在磁场内且ef在磁场外时，导线ab、cd充当电源，Uab是外电路电压，则 导线ef、cd在磁场内且ab在磁场外时，导线ef、cd充当电源，Uab是外电路电压，则 导线ef在磁场内且ab、cd在磁场外时，导线ef充当电源，Uab是外电路并联电压，则 故选A。 【变式2-2】（2025·四川绵阳）如图所示，边长为L的单匝均匀金属线框置于光滑水平桌面上，在拉力作用下以恒定速度通过宽度为D（D>L）、方向竖直向下的有界匀强磁场，在整个过程中线框的ab边始终与磁场的边界平行，若以F表示拉力大小（以向右为正）、以Uab表示线框ab两点间的电势差，则下列反映这些物理量随时间变化的图像中可能正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】AB．线框向右做匀速直线运动，进入磁场和出磁场过程中根据楞次定律阻碍相对运动的条件，可知拉力与安培力等大反向，即 即线圈进入磁场和出离磁场的过程中拉力大小相同，方向相同；线框完全进入磁场运动过程中，闭合线框中，线框中无感应电流，所以安培力为0，拉力大小为0，故AB错误； CD．线框进入磁场时，导体棒切割磁感线，即电源，根据右手定则可知 所以两端电势差为路端电压 完全进入磁场，线框中无电流，所以 线框穿出磁场过程中，边切割磁感线，根据楞次定律判断感应电流可知 则 对应图像可知，选项C正确，D错误。 故选C。 【变式2-3】（2025·云南昆明）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B。一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框CDEF从图示位置开始沿x轴正方向以速度v匀速穿过磁场区域。规定逆时针为线框中电流的正方向。则线框中的电流i，E、F两端的电势差UEF随x的变化图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．当x在0~a范围内时，线框进入磁场，此时EF切割磁感线产生的感应电动势大小为 则回路中感应电流大小恒定，并且根据右手定则可知，此时E点电势高于F点电势，回路中电流的方向为逆时针，即电流为正，电流大小为，故AB错误； CD．由以上分析可得，x在0~a范围内时，E、F两端的电势差为 x在a~2a范围内时，线框全部在磁场中运动，此时回路中磁通量不变，感应电流为零，但EF、DC都切割磁感线产生的感应电动势大小相等，大小为 所以E、F两端的电势差为 x在2a~3a范围内时，线框离开磁场，此时DC切割磁感线产生的感应电动势大小为 根据右手定则可知此时E点电势仍高于F点电势，根据闭合电路欧姆定律可得回路中感应电流，方向为顺时针，电流大小为 所以E、F两端的电势差为，故C正确，D错误。 故选C。 【变式2-4】（2026·黑龙江大庆·二模）如图所示，在两平行虚线间的区域内存在着匀强磁场，闭合直角三角形线圈的边与磁场的边界虚线平行，而且边的长度恰好和两平行虚线之间的宽度相等。当线圈以速度匀速向右穿过该区域时，下列四个图像中的哪一个可以定性地表示线圈中感应电流随时间变化的规律（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，线圈进入磁场过程，磁通量增大，根据楞次定律结论增反减同可知，感应电流为逆时针方向，ac边切割磁感线的有效长度逐渐增大，根据，可知感应电流逐渐增大，线圈穿出磁场过程，磁通量减小，感应电流为顺时针方向，ab边和ac边切割磁感线的有效长度逐渐增大，根据，可知感应电流逐渐增大，综上所述，B选项与题目相符，故选B。 【变式2-5】（2025·黑龙江哈尔滨）（多选）如图所示，边长为L、粗细均匀的正方形闭合导线框以水平速度v0穿过宽度为d（d>L）的匀强磁场区域（ab、cd边和磁场竖直边界平行），磁场的磁感应强度大小为B，线框总阻值为R，线框平面与磁场方向垂直。从ab边到达磁场左侧边界开始计时，则线框中的感应电流I、线框上d、c两点间的电势差Udc、线框所受安培力F、穿过线框的磁通量随时间t变化的图像可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A．进入磁场过程感应电流为 由楞次定律可知，感应电流的方向为逆时针方向，全部进入磁场后，感应电流为零，而离开磁场的过程感应电流大小与进磁场时相等，但电流方向为顺时针，故A正确； B．线框进入磁场过程中 全部进入磁场后 离开磁场过程 故B正确； C．进入磁场过程线框所受安培力大小为 由左手定则可知，进入磁场过程线框所受安培力方向向左，全部进入磁场后，线框不受安培力，离开磁场过程中，安培力大小方向均与进入磁场过程相同，故C错误； D．线框进入磁场过程磁通量为 当线框全部进入磁场后，磁通量达到最大，且保持不变，线框离开磁场过程，磁通量均匀减小，故D正确。 故选ABD。 【变式2-6】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为，方向垂直纸面向里，边长为的等边三角形线圈位于纸面内。时刻，边与磁场边界垂直且点在磁场边界上。当线圈沿垂直于磁场边界的方向以速度匀速穿过磁场时，线圈中的感应电流随时间变化的图像可能是（　　）（取逆时针方向为感应电流的正方向） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】C．线框进入磁场的过程中，根据楞次定律判断，感应电流的方向为逆时针方向，即为正方向，线框离开磁场的过程中，感应电流的方向为顺时针方向，即为负方向，故C错误； D．线框匀速进入和离开磁场所用时间均为，线框完全进入磁场后运动的时间内磁通量不变化，线框中没有感应电流，故D错误； B．线框进入磁场过程中，设等边三角形线圈的顶角为，匀强磁场的磁感应强度为 在时间内，切割磁感线的有效长度为 根据法拉第电磁感应感应定律得 根据闭合电路欧姆定律得 联立各式得 即感应电流i是时间t的一次函数，故B错误； A．同理可得，在线框进入磁场的时间内，电流随时间均匀减小，但方向不变；当线框离开磁场的和时间段内，电流随时间均匀增大和均匀减少，但电流方向为负，故A正确； 故选A。 【变式2-7】（2025·湖北）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为，磁感应强度的大小为。一直角边长为的等腰直角三角形均匀导线框ABC从图示位置开始沿轴正方向以速度匀速穿过磁场区域。规定逆时针电流方向为正，水平向左为安培力的正方向。则关于线框中的电流，线框受到的安培力与线框移动距离的关系图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】AB．导线框进入磁场中切割磁感线的有效长度与位移大小相等，导线框进入磁场中的感应电动势 此过程的感应电流 感应电流与位移大小成正比，根据右手定则可知，感应电流方向沿逆时针方向，即感应电流为正值，上述过程导线框的位移为L；当导线框的A出磁场后，导线框切割磁感线的有效长度始终为L，即感应电动势一定，感应电流一定，根据右手定则可知，感应电流方向沿逆时针方向，感应电流为正值，此过程维持的位移大小为L；当导线框的BC边开始进入磁场时，令从导线框刚刚进入磁场作为初始位置，总位移为，则磁感线的有效长度，导线框进入磁场中的感应电动势 根据右手定则可知，感应电流方向沿顺时针方向，为负值，则此过程的感应电流 结合上述可知，A正确，B错误； CD．结合上述可知，导线框刚刚进入磁场时感应电流方向沿逆时针方向，根据左手定则可知，安培力方向向左，安培力为正值，大小为 可知，安培力与位移成二次函数的关系；当导线框的A出磁场后，感应电流方向沿逆时针方向，根据左手定则可知，安培力方向向左，安培力为正值，大小为 当导线框的BC边开始进入磁场时，感应电流方向沿顺时针方向，根据左手定则可知，安培力方向向左，安培力为正值，大小为 可知，安培力与位移成二次函数的关系，故CD错误。 故选A。 类型3 线框进出磁场生热模型 【典例3】（2026·天津河西·三模）如图所示，间距为的水平边界之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。单匝矩形金属线框由粗细均匀的同种材料制成，线框的电阻为、质量为、边长为、边长为。开始时，边在边界的上方，且其到边界的距离为，线框由静止释放，运动过程中边始终平行于边界且线框也始终位于竖直平面内。忽略空气阻力及磁场的边界效应，重力加速度大小为。若边离开磁场区域前已达到匀速运动状态，求： (1)边进入磁场瞬间，线框克服安培力做功的功率； (2)边进入磁场瞬间，两点的电势差； (3)线框从静止到完全穿过磁场区域的过程中产生的总焦耳热。 【推理演示】（1）设bc边进入磁场瞬间，线框的速度为，由动能定理 所受安培力 感应电流 电动势 线框克服安培力做功的功率 联立解得 （2）b、c两点的电势差 解得 （3）设ad边匀速离开磁场时的速度为，由力的平衡得 感应电流 从静止到ad边刚好穿出磁场的过程，由能量守恒得 解得 【变式3-1】（2026·广西崇左·二模）如图所示，光滑且足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面（纸面）上，间距L=0.5m，OP右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，cd边的长度L=0.5m、bc边的长度d=0.8m的矩形金属线框置于导轨上。现使线框以的速度水平向右运动，ab边刚进入磁场时，线框的速度大小，整个运动过程中线框始终与导轨接触良好。已知线框的质量m=0.4kg，cd边的电阻，ab边的电阻，其他边和导轨的电阻均可忽略。求： (1)磁场的磁感应强度大小B； (2)cd边刚进入磁场时线框加速度的大小a； (3)线框进入磁场的过程中，cd边产生的焦耳热Q。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）从cd边刚进入磁场到ab边刚进入磁场的过程中，cd边产生的平均感应电动势 由欧姆定律有 由动量定理有 解得 （2）cd边刚进入磁场时，感应电动势 根据牛顿第二定律有，其中 解得 （3）线框进入磁场的过程中，产生的热量， 解得 【变式3-2】（2026·河北唐山·二模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立直角坐标系，在至的区域内存在垂直平面的匀强磁场，磁感应强度大小为。将电阻为的金属丝按照正弦函数关系制成线圈，并置于轴上之间，两端点用导线相连，导线电阻不计且与轴重合。现用水平拉力使该闭合回路以速度沿轴匀速通过磁场区域，则线圈穿过磁场区域过程中拉力所做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】线圈匀速通过磁场区域，拉力做的功等于线圈克服安培力做的功，也等于回路中产生的焦耳热。线圈进入磁场的过程，感应电动势 可知这是一个正弦式交变电动势，线圈进磁场过程用时 则该段时间产生热量 线圈完全处于磁场中，穿过线圈的磁通量保持不变，感应电动势为零，感应电流为零，拉力不做功；根据对称性，穿出过程与进入过程产生的感应电动势变化规律相同，产生的热量，故拉力做的总功 故选A。 【变式3-3】（2026·北京东城·二模）如图所示，虚线右侧存在竖直向下的有界匀强磁场，磁感应强度大小B=0.1 T。光滑水平面上的正方形金属线框abcd，cd边与磁场左边界重合，在此位置时线框的速度v=4 m/s，方向水平向右，在水平外力F作用下匀速进入磁场区域。已知线框的电阻R=0.4 Ω，边长L=0.1 m，线框运动过程中ab、cd两边始终与磁场边界平行。在线框进入磁场的过程中，求： (1)cd边切割磁感线产生的感应电动势E； (2)外力F的大小； (3)线框中产生的焦耳热Q。 【答案】(1)0.04V (2) (3) 【详解】（1）导体垂直切割磁感线有 解得 （2）线框匀速进入磁场，外力与安培力大小相等。 由欧姆定律得感应电流 安培力大小为 由平衡条件 解得 （3）线框完全进入磁场的运动时间 由焦耳定律 代入数据得 【变式3-4】（2026·四川·二模）一边长为L、质量为m、总电阻为R的单匝正方形导线框，自磁场上方某处静止下落。如图所示，区域Ⅰ、Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向相反，二者宽度分别为L、H，且。导线框恰好匀速进入区域Ⅰ，一段时间后又恰好匀速离开区域Ⅱ，已知线框下落过程中无旋转且上下边始终平行于磁场边界，重力加速度为g。求： (1)导线框下边进入区域Ⅰ时的速度大小； (2)导线框下边进入区域Ⅱ时的加速度大小； (3)导线框进入区域Ⅱ的过程中产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导线框恰好匀速进入区域Ⅰ，根据平衡条件得 又，， 可得 解得 （2）导线框匀速进入区域I到刚进入区域II之间一直做匀速运动，由平衡关系和电磁感应定律可得 导线框下边刚进入磁场区域Ⅱ时，上下边都切割磁感线，由法拉第电磁感应定律 电流 线框所受安培力 由牛顿第二定律有 解得，方向竖直向上。 （3）导线框恰好匀速进入区域I，故线框在区域I中以速度v匀速运动；设线框完全离开磁场I时速度为，从完全离开磁场I到开始离开区域II的过程中，由动能定理得 导线框进入区域II的过程根据能量守恒可得 联立解得导线框进入区域II的过程产生的焦耳热为 【变式3-5】（2026·广东江门·一模）某电磁缓冲小车车底安装着电磁铁，可产生竖直向下的匀强磁场；粗糙水平地面上固定着闭合矩形线圈abcd，磁场的长度大于线圈的bc边的长度，如图所示（俯视），关闭动力的小车向右通过线圈，在该过程中，下列说法正确的是（　　） A．小车向右做匀减速直线运动 B．当磁场的右边界刚经过ab边时，线圈里产生的感应电流方向为顺时针 C．当磁场的右边界刚经过dc边时，ab两端的电压等于dc两端的电压 D．小车的动能减少量等于线圈abcd产生的焦耳热 【答案】C 【详解】A．线圈相对磁场向左切割磁感线，产生电动势 电流为 根据牛顿第二定律 得到 加速度不是定值，不是匀变速运动，故A错误； B．当磁场的右边界刚经过ab边时，根据右手定则，可知线圈里产生的感应电流方向为逆时针，故B错误； C．当磁场的右边界刚经过dc边时，左右两边均切割磁感线，根据可知，ab两端的电压等于dc两端的电压，故C正确； D．根据能量守恒可知，小车的动能减少量大于线圈abcd产生的焦耳热，还有一部分克服阻力做功产生了热量，故D错误。 故选C。 【变式3-6】（2026·贵州黔东南·模拟预测）（多选）如图所示，固定光滑绝缘斜面的倾角为，斜面上宽度为的区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直斜面向上的矩形匀强磁场（图中未画出），一个质量为、边长为的正方形导线框，从磁场区域上方由静止沿斜面下滑，开始下滑时，边到磁场上边界的距离为，当边（始终与磁场边界平行）刚到达处时，导线框恰好开始匀速下滑。重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．导线框匀速下滑的速度大小为 B．当边在磁场区域中运动时，导线框中的电流方向为 C．导线框的电阻为 D．在导线框通过磁场区域的过程中，导线框中产生的焦耳热为 【答案】AC 【详解】A．设导线框匀速下滑的速度大小为，根据功能关系有 解得，故A正确； B．当边在磁场区域中运动时，根据右手定则可知，导线框中的电流方向为，故B错误； C．根据平衡条件可得 其中 解得导线框的电阻，故C正确； D．根据能量守恒定律可知，在导线框通过磁场的过程中，导线框中产生的焦耳热，故D错误。 故选AC。 【变式3-7】（2026·山西大同·一模）如图所示，光滑绝缘的水平面上边界MN的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，现给正方形刚性导线框一水平向右的初速度，线框边始终垂直MN运动，且恰能完全进入磁场区域。则导线框进入磁场区域后，其速度、电功率随运动距离变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．设匀强磁场的磁感应强度为，导线框的质量为、边长为、总电阻为，其在磁场中的速度为时，感应电动势 导线框内部的电流 其所受安培力大小为 根据牛顿第二定律，有 又， 联立解得 为一小于0的常数，则图线为斜率为负的倾斜直线，故A正确，B错误； CD．导线框的电功率 结合A、B项分析，可知 联立解得 则图像是一条开口向上的抛物线的一部分，故CD错误。 故选A。 【变式3-8】（2026·广东汕头·一模）某学校科技社团为图书馆自动还书系统设计了电磁缓冲装置，用以保护还书箱及降低噪音，装置简化后如图所示。的光滑斜面固定在水平地面，其底端固定2根劲度系数均为的轻弹簧，弹簧静止时上端恰好处于虚线处，以下区域存在垂直斜面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。还书箱放在斜面上，底边与距离为，边长为L的正方形底面上装有匝数为n、边长为L、阻值为R的正方形线圈，还书箱与线圈的总质量为m，将还书箱静止释放。已知弹簧弹性势能表达式为，其中k为劲度系数，为形变量，弹簧始终没有超出弹性限度，还书箱最终静止。重力加速度为g。求： (1)线圈刚进入磁场时所受安培力大小； (2)还书箱从释放到最终静止的过程中，线圈产生的热量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从静止释放到线圈刚进入磁场过程，由动能定理可得 解得线圈刚进入磁场时的速度大小为 线圈刚进入磁场时有，， 联立解得线圈刚进入磁场时所受安培力大小为 （2）还书箱最终静止时，由受力平衡可得 解得弹簧的压缩量为 还书箱从释放到最终静止过程，由能量守恒可得 解得线圈产生的热量为 【变式3-9】（2025·广东·模拟预测）（多选）如图所示，正方形金属线框abcd下方存在宽度为L的匀强磁场区域，该区域的上、下边界水平，磁感应强度的大小为B。线框从距磁场上边界高度为h处由静止开始自由下落。线框ab边进入磁场时开始减速，cd边穿出磁场时的速度是ab边进入磁场时速度的。已知线框的边长为L，质量为m，电阻为R，重力加速度大小为g，线框下落过程中ab边始终与磁场边界平行，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电流方向为abcda B．线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电动势大小为 C．线框在穿过磁场区域的过程中最大加速度为 D．线框在穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热为 【答案】AD 【详解】A．根据右手定则可得线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电流方向为abcda，选项A正确； B．设ab边进入磁场时的速度大小为v，有 ab边进入磁场时，感应电动势 解得，选项B错误； C．ab边进入磁场时，线框的加速度最大，根据闭合电路欧姆定律可知，线框中感应电流的大小 ab边受到的安培力大小 根据牛顿第二定律有 得，选项C错误； D．线框穿过磁场的过程中，根据能量守恒定律有，选项D正确。 故选AD。 【变式3-10】（2025·辽宁鞍山·一模）如图，两条平行光滑金属导轨水平放置，间距为L，中间有宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场；导轨右侧接有一个阻值为R的定值电阻。一个边长为L的正方形单匝导线框abcd置于导轨左侧，其ab、cd边始终与导轨接触良好。导线框的ac、bd两边电阻均为R，ab、cd边电阻可忽略，现给导线框一个初速度v，当它完全进入磁场区域时，速度变为，求： (1)线框进入磁场区域左边界瞬间bd两点间的电压U； (2)线框的质量m； (3)上述过程中导轨右侧定值电阻R上产生的焦耳热Q。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）bd边切割磁感线，电动势 由欧姆定律 即 解得 b、d两点间电压 解得 （2）线框进入磁场的过程，根据动量定理有 其中， 解得 （3）由系统能量守恒得系统产生的总焦耳热 解得 根据 其中，， 解得 【变式3-11】（2025·广东广州·模拟预测）（多选）如图所示，由导体材料制成的闭合线框，曲线部分PNQ满足函数y＝0.5sin(0.5πx)，其中x、y单位为m，x满足0≤x≤2，曲线部分电阻不计，直线部分PMQ的电阻为R＝10Ω。将线框从图示的位置开始（t＝0），以v＝1m/s的速度匀速通过宽度为d=2 m、磁感应强度B=1T的匀强有界磁场，在线框穿越磁场的过程中，下列说法正确的是（　　） A．线框穿越磁场的过程中，线圈内的电流方向不变 B．线框穿越磁场的过程中，回路中的最大电流为0.05A C．线框穿越磁场的过程中，感应电流变化规律为i=0.05sin(πt)A D．线框穿越磁场的过程中，线框中产生的焦耳热为0.05J 【答案】BD 【详解】A．线框穿越磁场的过程中，根据楞次定律得，前内线圈中的电流方向为逆时针，后内顺时针，故A错误； B．当最大时，线框产生的电动势最大，最大值为 解得，故B正确； C．则线框穿越磁场的过程中，感应电流变化规律为，故C错误； D．线框通过磁场过程中产生正弦式交变电流，有，故D正确。 故选BD。 【变式3-12】（2026·云南曲靖·模拟预测）如图所示，垂直纸面向外的正方形匀强磁场区域内，有一位于纸面的正方形导体框abcd，现将导体框分别以速度v（竖直向上）、3v（水平向右）匀速拉出磁场（不计重力和空气阻力）。设导体框总电阻为R，边长为L，磁感应强度为B，下列说法正确的是（　　） A．两个过程中，导体框中感应电流的磁场方向相反 B．两个过程中，导体框所受安培力的冲量大小之比为1：3 C．两个过程中，外力的功率之比为1：9 D．两个过程中，导体框中产生的焦耳热与外力做功的比值均为1：3 【答案】C 【详解】A．两个过程中，导体框拉出磁场，穿过线框的磁通量均减小。根据楞次定律，感应电流的磁场方向均与原磁场方向相同，即垂直纸面向外，方向相同，故A错误； B．设拉出速度为，感应电动势 感应电流 安培力 拉出过程的时间 安培力的冲量大小 可见冲量大小与速度无关，两个过程中冲量大小之比为，故B错误； C．导体框匀速运动，外力等于安培力，即 外力的功率 第一次速度为，功率 第二次速度为，功率 所以 故C正确； D．导体框匀速拉出磁场，根据能量守恒定律，外力做的功全部转化为焦耳热，即，所以比值为，故D错误。 故选C。 类型4 线框进出磁场截面电量模型 【典例4】（2026·重庆沙坪坝·三模）（多选）重庆青山工业汽车零部件输送线中的电磁制动装置，利用电磁阻尼实现零部件精准制动定位，其简化图如题图所示。足够长的光滑水平平行金属导轨间距为L，导轨间部分区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。单匝矩形导体线框abcd四条边的电阻均为R，线框总质量为m。线框以初速度沿导轨向右运动，经过一段时间后完全进入磁场区域，此时线框的速度刚好为零。已知线框ad边长为L，cd边长度与磁场沿导轨方向的宽度相同；运动过程中线框始终与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．线框刚进磁场时，线框中的电流为 B．磁场区域沿导轨方向的宽度 C．磁场区域沿导轨方向的宽度 D．全过程线框bc边产生的焦耳热 【推理演示】A．线框刚进磁场时，bc边切割磁感线产生的感应电动势为 由于ab、cd边被短路，整个回路的总电阻 线框中的电流为，故A错误； BC．对线框整个过程应用动量定理， 其中q为过程中的平均电荷量， 即 解得，故B正确，C错误； D．根据能量守恒，全过程线框动能全部转化为焦耳热，总焦耳热 bc边产生的热量，故D正确。 故选BD。 【变式4-1】（2026·河南驻马店·三模）如图所示，间距为的水平线、间有竖直向上的匀强磁场，质量为、电阻为、边长为的正方形金属线框静止在左侧的水平面上，给金属线框一个水平向右的初速度，金属线框刚好能完全进入磁场，通过线框边截面的电量为，整个水平面绝缘光滑，线框运动过程中边始终与平行，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)线框边刚进磁场时线框的速度大小； (3)若在线框边刚进磁场时，给边施加一个垂直于边的水平向右、大小为的恒力，结果线框恰好能通过磁场，则线框穿过磁场的时间为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）线框进磁场过程，根据法拉第电磁感应定律 根据欧姆定律 根据电流定义式 线框进磁场过程 解得 （2）设线框刚进磁场时的速度大小为，根据动量定理有    又 变形得 解得 （3）线框在穿过磁场过程中，设运动的时间为，根据动量定理有 整理得 解得 【变式4-2】（2026·北京房山·二模）如图所示，一质量为m、边长为l的正方形导线框abcd，由高度h处自由下落，ab边进入磁感应强度为B的匀强磁场区域后，线框开始做匀速运动，直到dc边刚刚开始穿出磁场为止。已知磁场区域宽度为l。重力加速度为g，不计空气阻力。线框在穿越磁场过程中，下列说法正确的是（　　） A．进入磁场时，线框感应电流为adcba方向 B．线框穿越磁场的过程中电流大小为 C．线框穿越磁场的过程中产生的焦耳热为2mgl D．进入磁场的过程中，通过线框导线的电荷量为 【答案】C 【详解】A．线框进入磁场的过程中，ab边切割磁感应线，根据右手定则可知，电流方向为abcda方向，故A错误； B．由题可知，线框进入磁场后开始做匀速运动，根据平衡条件有 解得，故B错误； C．从ab边进入磁场到cd边刚好离开磁场，线框一直做匀速运动，且下降的高度为2l，根据能量守恒，可知线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热等于减小的重力势能，则有，故C正确； D．线框从高为h处静止释放，则 线框以速度v进入磁场做匀速运动，经过时间t完全进入磁场，则有 则线框进入磁场的过程中通过导线横截面的电荷量为，故D错误。 故选C。 【变式4-3】 （2026·安徽·模拟预测）如图，在光滑绝缘水平面上有一同种金属材料制成的单匝矩形线圈，在水平外力作用下运动，第一次以大小为的速度向右垂直于磁场边界匀速进入竖直向上的匀强磁场，第二次同样方式进入，速度大小为。则在线圈进入匀强磁场的过程中，下列说法正确的是（　　） A．第二次进入与第一次进入时外力之比为 B．第二次进入与第一次进入时外力做功功率之比为 C．第二次进入与第一次进入时线圈中产生的热量之比为 D．第二次进入与第一次进入时通过线圈中某一横截面的电荷量之比为 【答案】D 【详解】A．由，，可得匀速进入磁场时外力 则第二次进入与第一次进入时外力之比为，故A错误； B．外力做功功率 则第二次进入与第一次进入时外力做功功率之比为，故B错误； C．热量 则第二次进入与第一次进入时线圈中产生的热量之比为，故C错误； D．电荷量 则第二次进入与第一次进入时通过线圈中某一横截面的电荷量之比为，故D正确。 故选D。 【变式4-4】（2026·安徽·模拟预测）（多选）如图所示，acefdb是质量为的“日”字形金属线框，aefb是边长为的正方形，cd为正方形的中线，ab、cd、ef三边的电阻均为R，ae、bf边的电阻不计，水平虚线MN与PQ间有沿水平方向且垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B；MN与PQ间的距离为，将金属线框由静止释放，线框运动过程中始终在垂直于磁场的竖直面内，ab边始终水平，当cd边刚要进磁场时，线框的加速度为0，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．当cd边刚要进磁场时，线框的速度大小为 B．从释放到cd边刚要进磁场，通过ef边的电荷量为 C．从释放到cd边刚要进磁场，线框运动的时间为 D．从cd边刚要进磁场到ef边出磁场的过程中，ef边产生的焦耳热为 【答案】BC 【详解】A．当cd边刚要进磁场时，设线框的速度为，则有安培力等于重力，即 其中 解得，故A错误； B．设从静止释放到cd边刚要进磁场，通过ef边的电量为，干路电流为，则，故B正确； C．设从静止释放到cd边刚要进磁场，线框运动的时间为，根据动量定理有 解得，故C正确； D．从cd边刚要进磁场到ef边出磁场的过程中，线框一直做匀速运动，则ef边产生的焦耳热，故D错误。 故选BC。 【变式4-5】（2026·吉林长春·二模）如图，直线右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，完全相同的粗细均匀的单匝圆形金属线圈甲、乙处于图中实线位置，且与相切，切点分别为。甲绕过点垂直于纸面的轴匀速转动、乙以为轴匀速转动，甲、乙第一次运动至图中虚线位置所用时间相同。在这段时间内，下列说法正确的是（　　） A．甲中电流方向改变 B．甲、乙中有感应电流通过的时间相等 C．甲、乙中感应电动势最大值之比为 D．通过甲、乙横截面的电荷量之比为 【答案】C 【详解】A．甲线圈绕点匀速转动进入磁场，穿过线圈的磁通量一直增加，根据楞次定律，感应电流方向不变，故A错误； B．甲线圈从实线位置运动到虚线位置的过程中，一直有磁通量的变化，一直有感应电流；乙线圈绕轴转动，前一半时间线圈在磁场外（左侧），无感应电流，后一半时间进入磁场（右侧），有感应电流，所以甲、乙中有感应电流通过的时间不相等，故B错误； C．设线圈半径为，面积为 角速度为。甲线圈绕点转动，进入磁场的有效切割长度 感应电动势 最大值 乙线圈绕轴转动，进入磁场后磁通量 从进入磁场时刻开始计时，感应电动势 最大值 甲、乙中感应电动势最大值之比为，故C正确； D．根据 甲、乙线圈磁通量变化量均为，电阻相同，所以通过横截面的电荷量之比为，故D错误。 故选C。 【变式4-6】（2026·辽宁·一模）如图所示，间距为d的足够长的平行光滑金属导轨与水平面的夹角为，导轨顶端接有一定值电阻，虚线MN是导轨平面内垂直导轨的分界线，其下方空间存在垂直导轨所在平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量为m、边长为d、每个边阻值均为的单匝正方形金属线框abcd，从虚线MN上方的导轨上由静止释放，线框ad边和bc边与两根导轨始终平行且接触良好，线框经过虚线MN的整个过程中速度大小保持不变，重力加速度为g，导轨电阻忽略不计。 (1)求线框经过虚线MN时的速度大小； (2)求线框经过虚线MN的过程中，定值电阻R产生的焦耳热； (3)若线框cd边经过虚线MN后，又经过时间，线框刚好再次达到匀速，求此时线框cd边到虚线MN的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设线框经过虚线MN的速度大小为，则ab边切割磁感线产生的电动势大小为 线框ad边和bc边被短路，dc边和定值电阻R作为用电器，回路的电阻为 通过ab边的电流大小为    线框ab边受到的安培力大小为      线框匀速运动，受力平衡有     解得 （2）线框经过虚线MN时，流过定值电阻R的电流大小为     线框经过虚线MN用时      所以线框经过虚线MN的过程中，定值电阻R产生的焦耳热为      解得 （3）当cd边经过虚线MN后，设线框再次匀速运动时的速度大小为，则ab边和cd边切割磁感线产生的电动势为     此时ab边和cd边作为两个并联的电源给定值电阻R供电，回路的总电阻    线框再次运动时受力平衡有    从线框cd边经过虚线MN到线框再次匀速运动，由动量定理有       整理得 解得 【变式4-7】（2026·湖南郴州·模拟预测）（多选）如图所示，光滑水平桌面内有一单匝矩形导体闭合线框abcd。ab边长度等于bc边长度的2倍，置于垂直于桌面向里、边界为MN的匀强磁场外。线框两次以大小相等、方向为垂直MN的初速度开始进入磁场。第一次ab边平行于MN进入磁场，进入瞬间线框加速度为，线框完全进入磁场过程速度变化量大小为、线框上产生的热量为、通过线框导体横截面的电荷量为；第二次bc边平行于MN进入磁场，进入瞬间线框加速度为，线框完全进入磁场过程速度变化量大小为、线框上产生的热量为、通过线框导体横截面的电荷量为，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】A．设，则，线框面积 线框质量为，电阻为，初速度大小为，磁感应强度为 进入磁场瞬间，感应电动势 安培力 加速度 第一次平行，切割边长 ，得 第二次平行，切割边长，得 因此 故A正确； B．由动量定理，安培力冲量等于动量变量 整理得 电荷量 两次完全进入磁场，磁通量变化均为，因此 代入得 因此 故B正确； C．由能量守恒，线框产生的热量等于动能的减少量 因 代入得 故C错误； D．电荷量 两次磁通量变化相同，因此 故D错误。 故选AB。 【变式4-8】（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，光滑水平绝缘面上有宽度为的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小，虚线为磁场边界。电阻、边长也为的正方形细导线框置于磁场区域左侧的水平面上，边与磁场边界平行，线框以的速度开始运动，线框边刚进入磁场区域时的速度。运动过程中线框形状不变，边始终与磁场边界平行。求： (1)线框边刚进入磁场区域时，线框受到的安培力的大小； (2)线框边刚进入磁场区域到线框边刚进入磁场区域的过程中，流过线框的电荷量； (3)线框穿过磁场区域的全过程中，线框内产生的焦耳热。 【答案】(1)7N (2)1C (3)12J 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律可得E=BLv0 由闭合电路欧姆定律可得 结合安培力公式F=BIL 线框ab刚开始进入磁场区域Ⅰ的瞬间，ab边所受安培力的大小为 （2）线框边刚进入磁场区域到线框边刚进入磁场区域的过程中，流过线框的电荷量 （3）由动量定理 其中 解得m=1kg 线圈传出磁场过程由动量定理 其中，可得 线框穿过磁场区域的全过程中，线框内产生的焦耳热 【变式4-9】（2025·云南红河·一模）（多选）列车进站时可借助电磁阻尼辅助刹车，其简化结构如下图所示：站台旁轨道上足够长的区域存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，在车身下方固定一与车身等大的矩形单匝线框abcd，利用线框进入磁场时所受的安培力来辅助列车刹车。列车进站时，线框ab边恰好进入磁场时列车的速度为，当线框cd边进入磁场并运动一段时间后，列车停止。已知列车的质量为m，车身长为s，线框ab边的长度为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。则列车（　　） A．刚进站时加速度大小 B．从进站到停下来所用时间 C．从进站到停下来的过程中，减少的动能大于线框产生的热量 D．完全在磁场中运动时，线框中感应电流为零，ab间电势差也为零 【答案】BC 【详解】A．线框刚进入磁场时产生的感应电动势为E=BLv0 根据闭合电路欧姆定律可得 根据安培力的计算公式可得F安=BIL 由牛顿第二定律有F安+f=ma 联立解得，A错误； B．线框从开始进入磁场到完全停止时，由动量定理 其中 解得，B正确； C．从进站到停下来的过程中，减少的动能转化为线圈的焦耳热以及克服铁轨及空气阻力做功而产生的内能，C正确； D．完全在磁场中运动时，线框中磁通量不变，则感应电流为零，但ab切割磁感线运动，ab间电势差不为零，D错误。 故选BC。 【变式4-10】（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）某列车制动器的简化图如图所示。在列车的底座上固定一个边长为L的正方形单匝线圈abcd，在轨道间存在两个宽度均为L的匀强磁场，边界1、2间磁场的磁感应强度大小为B、方向竖直向上，边界2、3间磁场的磁感应强度大小为2B、方向竖直向下。已知列车（包含线圈）的质量为m，运动过程中列车关闭动力，当线圈的ab边运动到磁场边界1时的速度为，ab边穿过磁场边界2后，再向右运动速度恰好减为0。忽略运动过程中受到的摩擦阻力，下列说法正确的是（　　） A．线圈ab边经过边界2时的速度大小为 B．线圈ab边刚进入磁场时与线圈ab边刚通过边界2时的加速度大小之比为4∶1 C．线圈ab边从刚进入磁场到刚穿过边界2的过程中线圈产生的热量为 D．从线圈cd边刚通过边界1到线圈停止运动的过程中，流过线圈某一截面的电荷量为 【答案】CD 【详解】A．设线圈ab边经过边界2时的速度大小为，则线圈ab边在边界1到边界2运动过程中，根据动量定理 其中 线圈ab边由边界2到停止过程，根据动量定理 其中 联立，解得，故A错误； B．线圈ab边刚进入磁场时，安培力为 ab边刚通过边界2时，安培力为 则线圈ab边刚进入磁场时与线圈ab边刚通过边界2时的安培力之比为 根据牛顿第二定律可知，线圈ab边刚进入磁场时与线圈ab边刚通过边界2时的加速度之比为，故B错误； C．根据能量守恒可知，线圈ab边从刚进入磁场到刚穿过边界2的过程中线圈产生的热量为，故C正确； D．从线圈cd边刚通过边界1到线圈停止运动的过程中，即线圈ab边由边界2到停止过程，因为 且 则，故D正确。 故选CD。 【变式4-11】（2025·浙江台州·一模）如图所示，日字形金属框长、宽L，放置在光滑绝缘水平面上，左侧接一个阻值为的定值电阻，中间位置和右端接有阻值为的金属棒和金属棒，其它电阻不计，线框总质量为m。金属框右侧有宽为的匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B。已知金属框以初速度进入匀强磁场，最终棒恰好没从磁场中穿出。下列说法正确的是（　　） A．在棒进入磁场前，通过棒间定值电阻的总电荷量为 B．在棒进入磁场后，通过间定值电阻的总电荷量为 C．棒刚进入磁场时的速度为 D．整个过程中间定值电阻产生的焦耳热为 【答案】C 【详解】A．在PQ棒进入磁场前，回路总电阻 通过CF的总电量 通过棒间定值电阻的总电荷量为，A错误； BC．设PQ棒刚进入磁场时的速度为v1，则从CF进入磁场到PQ棒刚进入磁场的过程，由动量定理 其中 从PQ进入磁场到DE刚进入磁场的过程，由动量定理 其中 联立解得 在棒进入磁场后，通过间定值电阻的总电荷量为，B错误，C正确； D．金属棒PQ刚进入磁场时，整体产生的焦耳热为 其中间定值电阻产生的焦耳热为 金属棒PQ进入磁场后整体产生的焦耳热 D、E间定值电阻产生的焦耳热为 所以整个过程中D、E间定值电阻产生的焦耳热为Q=Q1+Q2=，D错误。 故选C。 【变式4-12】（2025·陕西西安·一模）（多选）电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动。每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。磁场中，边长为L的n匝正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。若线圈电阻为R，某时刻磁铁正在以速度v上升，线圈始终在磁场中，关于图乙中的线圈。下列说法正确的是（　　） A．如果磁铁从此处上升，流过线圈的电量为，与v大小无关 B．如果磁铁从此处上升，速度越快，流过线圈的电量越大 C．此时线圈中感应电动势为，线圈中感应电流的方向为逆时针方向 D．此时线圈所受安培力的合力为，方向竖直向上 【答案】ACD 【详解】AB．根据图乙可知此时穿过线圈的磁通量为0，磁铁上升，磁通量的变化量为 流过线圈的电量 又， 联立解得，可知电量与速度无关，故A正确，B错误； C．由题分析，可知磁通量向里增加，根据楞次定律和安培定则可知线圈中感应电流的方向为逆时针方向，此时线圈中感应电动势，故C正确； D．根据左手定则，可知此时上下边受安培力均向上，故线圈受安培力的合力向上，根据，， 联立解得，故D正确。 故选ACD。 【变式4-13】（2025·江苏徐州·一模）作为高速交通的有益补充，高速磁悬浮列车可以满足人们多元化的出行需求（如图甲所示），图乙为磁悬浮列车系统的简化模型：水平光滑的绝缘平行直导轨间，等距离分布方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，导轨的间距为L，每个磁场分布区间的长度也为L。现导轨上有一边长为L、质量为m的单匝正方形金属线框，电阻为R。线框从如图乙所示位置以速度开始向右滑行，下列说法正确的是（　　） A．此时线框中的感应电流方向是顺时针方向 B．线框中产生的电流最大值为 C．线框运动过程中的最大加速度为 D．当线框停止滑行时，通过线框截面的电荷量为 【答案】C 【详解】A．线框向右运动，根据右手定则可知此时线框中的感应电流方向是逆时针方向，故A错误； B ．线框左、右两个边产生的感应电动势顺次相加，根据法拉第电磁感应定律，知此时有最大感应电动势 线框中的电流，故B错误； C．线框所受安培力为 根据牛顿第二定律得线框的最大加速度，故C正确； D．在线框滑行过程中，其左、右两条边均受到安培力作用，由左手定则可知安培力水平向左，对线框从速度为到停止的过程，由动量定理有 且，联立解得通过线框截面的电荷量，故D错误。 故选C。 【变式4-14】（2026·河北·一模）如图所示，将涂有绝缘漆的金属圆环绕成“8”字形线圈，两小圆的半径均为r，圆心分别为O₁、O₂，线圈放置在光滑水平面上，水平面上MN右侧存在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。线圈两次均以相同的初速度垂直MN向右开始运动，第1次O₁O₂连线垂直初速度方向，第2次O₁O₂连线平行初速度方向。已知线圈的电阻为R，则（　　） A．第1、2次，完全进入磁场后线圈速度相同 B．第1、2次，进入磁场瞬间加速度之比为2：1 C．第2次，线圈进入磁场过程通过线圈某截面的净电荷量为0 D．第2次，线圈进入磁场过程通过线圈某截面的净电荷量为 【答案】C 【详解】AB．第一次 连线垂直速度方向，两环同时进入磁场，任意时刻两环进入磁场的面积相等，总磁通量 磁通量变化率为0，感应电动势为0，感应电流为0，线圈不受安培力，做匀速运动，完全进入后速度等于初速度 ；第二次 连线平行速度方向，两环先后进入磁场，进入过程中总磁通量不为0，有感应电流，受安培力阻碍，做减速运动，完全进入后速度小于 ，因此 ；第一次进入瞬间感应电动势为0，加速度 ，第二次进入瞬间只有一个环切割磁感线，感应电动势不为0，加速度 ，加速度之比不为 ，故AB错误。 CD．通过线圈某截面的净电荷量公式 ，初态线圈在磁场外，总磁通量 ，末态线圈完全进入磁场，两环面积均为 ，且绕向相反，总磁通量 因此磁通量变化量 ，净电荷量 ，故C正确D错误。 故选C。 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 电磁感应双杆导轨和线框模型 ✡模型一 双杆在等宽导轨上运动问题模型 类型1 双杆无外力模型 【典例1】【答案】D 【变式1-1】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对棒，刚要运动时，根据平衡条件有 根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路欧姆定律有 其中 联立解得 （2）根据能量守恒有 其中， 联立解得 （3）根据，，， 联立解得 对，根据动量定理有 联立解得 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据动量守恒有 解得 根据能量守恒定律有 又 联立解得 （2）对导体棒b，根据动量定理有 又， 联立解得 【变式1-4】【答案】(1)3m/s2，方向向左；(2)4m/s，0.4J；(3)1m/s，刚好不相撞 【详解】（1）开始时，感应电动势 感应电流 受安培力为 加速度 联立解得a=3m/s2，方向向左； （2）当N在PQ左侧时，由MN组成的系统受合外力为零，则总动量守恒，则由动量守恒定律 其中的v2=2m/s，解得v1=4m/s 此过程中产生的热量 M杆产生的焦耳热 （3）N杆过PQ右侧以后，两杆受安培力大小方向均相同，安培力的冲量相同，均向左，则对M杆由动量定理 对N杆由动量定理 解得v4=1m/s 从N杆经过PQ到M杆经过PQ，对N杆由动量定理 其中 解得 当M杆过了PQ后MN系统动量守恒，最终达到共同速度，则 解得v=2m/s 对N由动量定理 其中 解得 因Δx′=Δx可知，MN刚好不相碰。 【变式1-5】【答案】B 【变式1-6】【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据右手定则可知，时刻两金属棒产生的感应电流方向相同，回路中感应电动势 根据欧姆定律可得，回路中感应电流为 对金属棒b，根据牛顿第二定律则有 联立解得 （2）时刻回路中电流强度为零，此时两金属棒速度相等，两棒受安培力始终等大反向，系统动量守恒，则有 解得 方向向左，对b棒由动量定理有 此过程通过回路电量 联立解得 （3）最终金属棒b恰好停在磁场边界处处，a棒以向左做匀速运动设金属棒b距离磁场边界距离为x，对金属棒由动量定理 由 解得 整个回路中产生热量 由于两棒串联，整个过程金属棒b产生热量 类型2 双杆有外力模型 【典例2】【答案】AC 【变式2-1】【答案】(1)2N (2)16W (3)0.8m 【详解】（1）初始时，根据法拉第电磁感应定律，有 根据欧姆定律，有 受力分析，金属棒cd与导轨间的弹力，满足 金属棒cd与导轨间的最大静摩擦力，满足 在竖直方向上，有 则金属棒cd受到的摩擦力大小。 （2）设cd刚要开始运动时，ab棒的速度为，则必有 解得 则ab所受安培力的功率大小 （3）从开始到cd棒刚要开始运动过程中，根据动量定理，有 其中 则有 即 联立解得 【变式2-2】【答案】(1)电流方向从c→d，杆cd做匀加速直线运动且加速度为0.4m/s2 (2)0.08C (3)0.0864J 【详解】（1）由楞次定律知电流方向从c→d 对金属杆ab，由平衡条件得 安培力为 联立解得 感应电动势 根据加速度定义式有 所以杆cd做匀加速直线运动。 （2）杆cd在1s内运动的距离为 通过杆ab的电荷量 平均感应电动势 平均感应电流 联立解得 （3）设整个电路中产生的热量为Q，1.5s内作用在杆cd上的外力F做功为W1=0.162J 由功能关系得 由运动学公式得 联立解得 【变式2-3】【答案】(1)0.064Ω (2)F=0.25t，方向沿导轨向下 (3)0.015J 【详解】（1）乙进入磁场前的加速度为 甲乙加速度相同，当乙进入磁场时，甲刚出磁场，根据速度位移关系 可得乙进入磁场时 乙在磁场中做匀速运动有 代入数据解得 （2）甲在磁场中运动时有 外力F始终等于安培力 方向沿导轨向下； （3）设乙进入磁场前，甲乙产生的总热量为Q1，此过程中甲一直在磁场中，外力F始终等于安培力，则有 乙在磁场中运动过程中，回路产生的总热量Q2，根据能量守恒定律有 解得 由于甲出磁场以后，外力F为零，可得 【变式2-4】【答案】(1) (2) 【详解】（1）乙进入磁场前，由牛顿第二定律 解得乙的加速度 甲、乙加速度相同，当乙进入磁场时，甲刚出磁场；乙进入磁场时由运动学公式 解得 乙在磁场中匀速运动有 解得 （2）乙进入磁场前，甲、乙产生相同热量，均设为Q1，此过程中甲一直在磁场中，外力F始终等于安培力，则有 乙在磁场中运动产生热量，利用能量守恒定律 解得 甲、乙产生相同热量则 解得 由于甲出磁场以后，外力F为零，可得 【变式2-5】【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）线烧断前外力F的大小 （2）当杆2达到最大速度时，对杆2有 得 （3）细线烧断后 方向相反，由系统动量守恒得 两杆同时达到最大速度，之后做匀速直线运动。又由 联立解得， 再由系统动量守恒 则 设所求时间为t，对杆2由动量定理得， 解得， 【变式2-6】【答案】CD ✡模型二 双杆在不等宽导轨上运动问题模型 【典例1】【答案】D 【变式1-1】【答案】CD 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】BC 【变式1-4】【答案】(1)0.5A，由d指向c (2) (3) 【详解】（1）当时，对棒受力分析，由平衡条件 解得棒中电流的大小 由右手定则可知，棒中电流方向为由d指向c； （2）时，ab棒产生的感应电动势为 由欧姆定律 代入数据解得 时间内，对ab棒受力分析，由动量定理 解得 （3）稳定后，电路中电流一定，由欧姆定律得 再过时间，ab棒、cd棒的速度变化量分别为、，则由 联立可得 其中 则 由牛顿第二定律 代入数据解得 【变式1-5】【答案】BD 【变式1-6】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对金属杆b根据动量定理，有 又有 联立解得电容器储存的电荷量为 （2）对金属杆根据动量定理，有 又有 联立解得金属杆a的速度大小为 （3）对整个电路，有 又有 联立解得电容器的电容为 【变式1-7】【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由、 知 由、 知 （2）实际只有一半长度接入电路，所以有效阻值为 从到，由能量守恒得 此时， （3）从下滑到处到最终达成稳态的过程，对列动量定理得 对列动量定理 最终二者稳态，产生的电动势相等 解得、 整个过程由能量守恒有 由于接入电路的电阻相等，求得 （4）相距最近，即二者共速，由动量定理可得， 解得 此时回路中的电流为 【变式1-8】【答案】BCD ✡模型三 线框模型 类型1 线框进出磁场等效电路模型 【典例1】【答案】(1)0.015N (2) (3)0.01m/s 【推理演示】（1）由法拉第电磁感应定律 由闭合电路欧姆定律可知，0∼1s内线框中的感应电流大小为 由图（b）可知，t=0.5s时磁感应强度大小为 所以此时导线框ad的安培力大小为 （2）0∼1s内线框内的感应电流大小为，根据楞次定律及安培定则可知感应电流方向为顺时针，由图（c）可知1∼2s内的感应电流大小为 方向为逆时针，根据欧姆定律可知1∼2s内的感应电动势大小为 由法拉第电磁感应定律 可知1∼2s内磁感应强度的变化率为 解得t=2s时磁感应强度大小为 方向垂直于纸面向里，故1∼2s的磁场随时间变化图为 （3）由动量定理可知 其中 联立解得ad经过磁场边界的速度大小为 【变式1-1】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）2s时，拉力为零，合力为0，根据平衡条件有        因为 由图可知 联立解得， （2）因为 代入题中数据，解得 （3）内，电路中电动势恒定，电流恒定，则该段时间产生的热量 断开细线后，到导体棒ab稳定过程，根据能量守恒有 根据平衡条件有 联立解得 则该段时间导体棒产生的热量 则从时刻开始至导体棒运动到点过程中棒上产生的焦耳热 【变式1-2】【答案】(1)a．；b． (2)导体框先做加速度逐渐减小的加速直线运动，然后做匀加速直线运动， 【详解】（1）a．导体框进入磁场，边切割磁感线，产生电动势 导体框内的感应电流 解得 b．导体框进入磁场的过程中，受拉力 进入过程拉力做功 解得 （2）导体框先做加速运动，随着速度增大，感应电动势增大，感应电流增大，导体框所受安培力增大，根据牛顿第二定律可知导体框加速度减小，导体框完全进入磁场中后，所受安培力为零，根据牛顿第二定律可知，导体框加速度不变，即导体框先做加速度逐渐减小的加速直线运动，然后做匀加速直线运动。图像如图所示 【变式1-3】【答案】B 【变式1-4】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导线框释放瞬间，由法拉第电磁感应定律可知导线框的电动势 导线框的电流 由牛顿第二定律可知导线框的加速度满足 解得 （2）经过时间导线框达到最大速度时，安培力的大小与阻力大小相等，满足 设导线框的最大速度为，导线框的电动势满足 导线框的电流 两式联立解得 （3）在时间内，以向右为正方向，设任意时刻导线框的速度大小为，对应的电流大小为，由动量定理得 其中 整理得 其中， 解得 【变式1-5】【答案】ACD 【变式1-6】【答案】(1)，方向为由到 (2) (3) 【详解】（1）模型着地后瞬间，线圈的感应电动势满足 感应电流 根据右手定则可得，感应电流的方向为由到。 （2）由能量守恒定律有 解得 （3）（3）从模型着地到线圈的边落至缓冲槽底端的过程中，由动量定理有 其中 解得 【变式1-7】【答案】D 【变式1-8】【答案】C 类型2 描绘线框的图像模型 【典例2】【答案】B 【变式2-1】【答案】A 【变式2-2】【答案】C 【变式2-3】【答案】C 【变式2-4】【答案】B 【变式2-5】【答案】ABD 【变式2-6】【答案】A 【变式2-7】【答案】A 类型3 线框进出磁场生热模型 【典例3】【答案】(1) (2) (3) 【变式3-1】【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）从cd边刚进入磁场到ab边刚进入磁场的过程中，cd边产生的平均感应电动势 由欧姆定律有 由动量定理有 解得 （2）cd边刚进入磁场时，感应电动势 根据牛顿第二定律有，其中 解得 （3）线框进入磁场的过程中，产生的热量， 解得 【变式3-2】【答案】A 【变式3-3】【答案】(1)0.04V (2) (3) 【详解】（1）导体垂直切割磁感线有 解得 （2）线框匀速进入磁场，外力与安培力大小相等。 由欧姆定律得感应电流 安培力大小为 由平衡条件 解得 （3）线框完全进入磁场的运动时间 由焦耳定律 代入数据得 【变式3-4】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）导线框恰好匀速进入区域Ⅰ，根据平衡条件得 又，， 可得 解得 （2）导线框匀速进入区域I到刚进入区域II之间一直做匀速运动，由平衡关系和电磁感应定律可得 导线框下边刚进入磁场区域Ⅱ时，上下边都切割磁感线，由法拉第电磁感应定律 电流 线框所受安培力 由牛顿第二定律有 解得，方向竖直向上。 （3）导线框恰好匀速进入区域I，故线框在区域I中以速度v匀速运动；设线框完全离开磁场I时速度为，从完全离开磁场I到开始离开区域II的过程中，由动能定理得 导线框进入区域II的过程根据能量守恒可得 联立解得导线框进入区域II的过程产生的焦耳热为 【变式3-5】【答案】C 【变式3-6】【答案】AC 【变式3-7】【答案】A 【变式3-8】【答案】(1) (2) 【详解】（1）从静止释放到线圈刚进入磁场过程，由动能定理可得 解得线圈刚进入磁场时的速度大小为 线圈刚进入磁场时有，， 联立解得线圈刚进入磁场时所受安培力大小为 （2）还书箱最终静止时，由受力平衡可得 解得弹簧的压缩量为 还书箱从释放到最终静止过程，由能量守恒可得 解得线圈产生的热量为 【变式3-9】【答案】AD 【变式3-10】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）bd边切割磁感线，电动势 由欧姆定律 即 解得 b、d两点间电压 解得 （2）线框进入磁场的过程，根据动量定理有 其中， 解得 （3）由系统能量守恒得系统产生的总焦耳热 解得 根据 其中，， 解得 【变式3-11】【答案】BD 【变式3-12】【答案】C 类型4 线框进出磁场截面电量模型 【典例4】【答案】BD 【变式4-1】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）线框进磁场过程，根据法拉第电磁感应定律 根据欧姆定律 根据电流定义式 线框进磁场过程 解得 （2）设线框刚进磁场时的速度大小为，根据动量定理有    又 变形得 解得 （3）线框在穿过磁场过程中，设运动的时间为，根据动量定理有 整理得 解得 【变式4-2】【答案】C 【变式4-3】【答案】D 【变式4-4】【答案】BC 【变式4-5】【答案】C 【变式4-6】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设线框经过虚线MN的速度大小为，则ab边切割磁感线产生的电动势大小为 线框ad边和bc边被短路，dc边和定值电阻R作为用电器，回路的电阻为 通过ab边的电流大小为    线框ab边受到的安培力大小为      线框匀速运动，受力平衡有     解得 （2）线框经过虚线MN时，流过定值电阻R的电流大小为     线框经过虚线MN用时      所以线框经过虚线MN的过程中，定值电阻R产生的焦耳热为      解得 （3）当cd边经过虚线MN后，设线框再次匀速运动时的速度大小为，则ab边和cd边切割磁感线产生的电动势为     此时ab边和cd边作为两个并联的电源给定值电阻R供电，回路的总电阻    线框再次运动时受力平衡有    从线框cd边经过虚线MN到线框再次匀速运动，由动量定理有       整理得 解得 【变式4-7】【答案】AB 【变式4-8】【答案】(1)7N (2)1C (3)12J 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律可得E=BLv0 由闭合电路欧姆定律可得 结合安培力公式F=BIL 线框ab刚开始进入磁场区域Ⅰ的瞬间，ab边所受安培力的大小为 （2）线框边刚进入磁场区域到线框边刚进入磁场区域的过程中，流过线框的电荷量 （3）由动量定理 其中 解得m=1kg 线圈传出磁场过程由动量定理 其中，可得 线框穿过磁场区域的全过程中，线框内产生的焦耳热 【变式4-9】【答案】BC 【变式4-10】【答案】CD 【变式4-11】【答案】C 【变式4-12】【答案】ACD 【变式4-13】【答案】C 【变式4-14】【答案】C 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 电磁感应双杆导轨和线框模型 —————————————⏩目录⏪————————————— 模型一 双杆在等宽导轨上运动问题模型 类型1 双杆无外力模型 类型2 双杆有外力模型 模型二 双杆在不等宽导轨上运动问题模型 模型三线框模型 类型1 线框进出磁场等效电路模型 类型2 描绘线框的图像模型 类型3 线框进出磁场生热模型 类型4 线框进出磁场截面电量模型 ———————————⏩模型建构⏪———————————— ✡模型一 双杆在等宽导轨上运动问题模型 ▶模型剖析 类型1 双杆无外力模型 项目 知识点详细讲解 公式/结论 易错点 场景 水平/倾斜光滑等宽导轨，一杆具有初速度，另一杆初始静止，全程无拉力、无摩擦力 — 仅限光滑、无外力、等宽三大条件，缺一不可 受力 两杆切割长度相同，回路感应电流相同，安培力等大反向，属于系统内力，系统合外力为零 系统动量守恒 倾斜导轨重力分力为外力，动量不守恒，不可套用本模型 运动过程 主动杆受反向安培力减速，被动杆受正向安培力加速；速度差不断减小，感应电流、安培力持续减小，做变加速运动 先变加速，后匀速共速 全程无匀变速阶段，不能用 原理 当两杆速度相等时，相对速度为零，回路磁通量不再变化，感应电动势、电流、安培力全部消失，两杆匀速运动 共速后无电流，不再受安培力，保持匀速而非静止 计算 利用动量守恒直接求共速速度，能量差值为回路总焦耳热，是高考最常考计算点 焦耳热为系统总损耗，不单独属于某一根杆 类型2 双杆有外力模型 项目 知识点详细讲解 核心公式/结论 考场易错点 场景 等宽光滑导轨，初始双杆静止，单杆施加恒定拉力，另一杆不受外力，无摩擦 — 外力为恒力，变力拉力不适用本稳态结论 受力 系统存在恒定外力，合外力不为零，动量不守恒；安培力为内力始终等大反向 动量不守恒，可用动量定理 禁止误用动量守恒，只能用全过程动量定理 运动过程 拉杆：拉力大于安培力，加速、速度增大、安培力增大、加速度减小；自由杆：仅受安培力，加速度持续增大 双杆均为变加速运动 两杆加速度一减一增，最终趋于相等 原理 当两杆加速度相等时，速度差恒定，回路电动势、电流、安培力保持不变，系统进入稳定运动状态 稳态不是共速，是加速度相等、速度差恒定 核心计算 联立牛顿方程求共同加速度，动量定理求末速度，能量守恒求焦耳热 位移、速度不可混用，动量定理对应时间，能量对应位移 ▶模型特训 类型1 双杆无外力模型 【典例1】（2025·江西鹰潭·一模）如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现给ab棒一水平向右的初速度，其速度随时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知ab棒的质量为m，电阻为R。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．ab棒刚开始运动时，cd棒中的电流方向为 B．ab运动后，cd棒将做加速度逐渐增大的加速运动 C．在时间内，ab棒产生的热量为 D．在时间内，通过cd棒的电荷量为 【变式1-1】（2026·天津和平·二模）两根平行等长金属导轨弯折成正对的“”形固定在水平面上，导轨间距为，水平段、光滑且足够长，端点和间连接阻值为的定值电阻，空间存在竖直向上、磁感应强度为的匀强磁场。质量为、电阻为的金属棒放在水平导轨上，竖直段、外侧有一根与完全相同的金属棒，金属棒与竖直导轨间的动摩擦因数为，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。给以向左的初速度，同时由静止释放，经过一段时间金属棒刚好开始下滑，此时棒的速度为初始时的。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导轨电阻不计，重力加速度为，求： (1)cd刚要开始运动时，ab的速度大小； (2)cd从释放到刚开始运动过程，电阻上产生的热量； (3)cd从释放到刚开始运动过程，向左移动的位移。 【变式1-2】（2026·江西·一模）如图所示，单匝线圈处于均匀减小的磁场中，磁通量变化率为k，线圈电阻为2R，线圈通过开关导线与两根足够长的平行光滑水平金属轨道相连，轨道宽为L，图中虚线右侧存在垂直轨道向下的匀强磁场，磁感应强度为B，轨道上静止放置有两根相同的金属棒MN和PQ，它们的质量均为m、电阻均为R，其中MN在磁场外，PQ在磁场内且距离磁场虚线边界d0，两部分磁场不会相互影响。不计连接线圈的导线和水平轨道的电阻，则（　　） A．开关闭合瞬间，流过MN棒的电流方向N→M B．开关闭合瞬间，PQ棒的加速度为 C．若开关处于断开状态，给MN一个向右的初速度v0，稳定时PQ棒上产生的热量 D．若开关处于断开状态，给MN一个向右的初速度v0，稳定时两金属棒的间距 【变式1-3】（2026·山东枣庄·一模）如图所示，足够长的平行金属导轨固定在水平面上，间距为L，电阻不计，相同的导体棒a、b均与导轨垂直而且始终与导轨接触良好。已知单根导体棒的质量为m、电阻为R，导轨间分布着磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。导体棒a、b初始均处于静止状态，某时刻导体棒b获得水平向右的初速度v0，重力加速度为g。 (1)若导轨光滑，导体棒b从开始运动至状态稳定，求其内部产生的焦耳热Qb； (2)若导体棒b与导轨间的动摩擦因数为μ，固定导体棒a，导体棒b从获得水平速率v0开始，经过时间t，速度减小为0，求其在上述过程中滑行的距离x。 【变式1-4】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图所示，长直金属杆M、N在水平固定的平行光滑长直金属导轨上运动，导轨间距为L=0.4 m；水平虚线PQ与导轨垂直，PQ左、右两侧区域分别充满垂直于导轨平面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B=0.25T。初始时刻，N静止在PQ左侧导轨上，M从N左侧以初速度v0=6m/s水平向右运动。M、N质量均为m=0.1kg、在导轨间的电阻均为R=0.1Ω，整个运动过程中，两金属杆始终与导轨垂直并接触良好。感应电流产生的磁场、导轨电阻、空气阻力及两金属杆粗细均忽略不计，导轨足够长。 (1)求初始时刻M的加速度大小和方向； (2)若M、N在PQ左侧未相撞，N进入PQ右侧时速度大小为2 m/s，求此时M杆的速度及这个过程中M杆产生的焦耳热 (3)在（2）的条件下，若M到达PQ处时速度大小为3 m/s，求此时N的速度大小并判断两杆之后是否会发生碰撞 【变式1-5】（2025·河北石家庄·一模）如图所示，光滑金属导轨、水平固定放置，间距为，两导轨之间存在着与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为。金属棒与质量分别为、，电阻分别为、，长度均为，放置在导轨上并与导轨垂直。现同时给金属棒与一个大小为的初速度，方向分别向左、向右，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则下列说法正确的是（    ） A．通过金属棒的最大电流为 B．金属棒的最大加速度为 C．金属棒的速度减为零时，回路中的电流为 D．从初始时刻到金属棒的速度减为零时，两导体棒之间的距离增大了 【变式1-6】（2025·湖北·一模）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，导轨间距m，单边有界匀强磁场垂直导轨平面竖直向下，磁场左边界为（垂直导轨），磁感应强度大小为T，两根长度相同的金属棒a、b垂直放置在导轨上，金属棒a、b的质量分别为、，其电阻分别为、，金属棒a位于磁场边界紧靠PQ放置，金属棒b在磁场内部。时刻同时给两金属棒大小相等、方向相反的初速度，两金属棒相向运动，且始终没有发生碰撞，时刻回路中电流强度为零，此时金属棒a又恰好运动到磁场边界处，金属棒b最终恰好停在磁场边界处，运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及摩擦，求： (1)时刻金属棒b加速度大小； (2)时间内通过回路的电荷量； (3)时刻金属棒b距离磁场边界的距离及整个过程金属棒b产生的热量。 类型2 双杆有外力模型 【典例2】（2026·陕西·二模）（多选）如图所示，在一水平面上固定有足够长且电阻不计的两个金属导轨，它们间的距离为L。现将两阻值均为R、质量均为m的导体棒ab、cd静置于导轨上，两导体棒与导轨始终垂直且保持良好接触，两导体棒与导轨接触面间的动摩擦因数均为，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感强度大小为B。现对导体棒ab施加垂直于ab棒的水平恒力作用，ab棒由静止开始加速运动，经时间t速度达最大速度v，此时导体棒cd受到的摩擦力恰达到最大静摩擦力。已知重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是（　　） A．外力F的大小为 B．ab棒的最大速度v为 C．t时间内ab棒上产生的焦耳热为 D．t时间内ab棒上产生的焦耳热为 【变式2-1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）两根平行等长金属导轨弯折成正对的“”形固定在水平面上。水平段MN、光滑，竖直段NP、粗糙，导轨间距，空间存在竖直向上、磁感应强度的匀强磁场。质量、电阻、长度也为L的金属棒ab放在水平导轨上，竖直段NP、外侧有一根与ab完全相同的金属棒cd，ab、cd始终与导轨垂直。给ab以向左的初速度，同时由静止释放cd。cd与竖直导轨间动摩擦因数（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），两棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计，取。求： (1)初始时，cd受到的摩擦力大小； (2)cd刚要开始运动时，ab所受安培力的功率大小； (3)cd刚要开始运动时，ab向左移动的位移大小。 【变式2-2】（2025·全国·模拟预测）如图所示，两条光滑平行金属导轨相距，水平部分有磁感应强度大小B=2T、方向竖直向上的匀强磁场，倾斜部分与水平面间夹角为，有垂直轨道斜面向上、磁感应强度大小B=2T的匀强磁场，在倾斜导轨和水平导轨上，各放一根与导轨垂直的金属杆、，金属杆与导轨接触良好。金属杆、质量均为，电阻、，其余电阻不计。已知从时刻起，杆在外力作用下由静止开始水平向右运动，杆在水平向右的外力作用下始终保持静止状态，且（，，取）。 (1)判断杆的电流方向并通过计算说明杆的运动情况，若是匀加速直线运动，请计算出加速度大小，若不是匀加速直线运动，请说明理由； (2)从时刻开始计时，求内通过杆的电荷量； (3)若已知从时刻起，内作用在杆上的外力做功为，则求这段时间内杆上产生的热量。 【变式2-3】（2025·天津宁河·一模）如图所示，电阻不计足够长的光滑平行金属导轨与水平面夹角θ=30°，导轨间距l，所在平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度为B=0.2T，方向垂直斜面向上。甲、乙金属杆质量均为m=0.02kg、电阻均为R，甲金属杆处在磁场的上边界，乙金属杆距甲也为l，其中l=0.4m。同时无初速释放两金属杆，此刻在甲金属杆上施加一个沿着导轨的外力F，保持甲金属杆始终与乙金属杆未进入磁场时的加速度相同。（取g=10m/s2） (1)若甲金属杆刚出磁场时，乙金属杆进入磁场恰好做匀速运动，计算电阻R为多少？ (2)以刚释放时t=0，写出从开始到甲金属杆离开磁场，外力F随时间t的变化关系，并说明F的方向； (3)若从开始释放到乙金属杆离开磁场，整个过程回路中共产生热量Q=0.055J，试求此过程中外力F对甲做的功W。 【变式2-4】（2025·四川成都·二模）如图所示，电阻不计足够长的光滑平行金属导轨与水平面夹角，导轨间距l，所在平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度方向垂直斜面向上。甲、乙金属杆质量均为、电阻均为，甲金属杆处在磁场的上边界，乙金属杆距甲也为l，其中。同时无初速释放两金属杆，此刻在甲金属杆上施加一个沿着导轨的外力F，保持甲金属杆在运动过程中始终与乙金属杆未进入磁场时的加速度相同。取 (1)乙金属杆刚进入磁场后做匀速运动，求匀强磁场的磁感应强度？ (2)若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量，试求此过程中外力F对甲做的功。 【变式2-5】（2025·四川成都·模拟预测）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成角。杆1、杆2是两根用细线连接的金属杆，质量分别为和，两杆垂直导轨放置，且两端始终与导轨接触良好，两杆的总电阻，两杆在沿导轨向上的外力F作用下保持静止（F作用在杆1上）。整个装置处在磁感应强度的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，在时刻将细线烧断，保持F不变，重力加速度g取，求： (1)外力F的大小； (2)当杆2达到最大速度时，流过该杆的电流强度的大小； (3)两杆从开始运动到刚达到最大速度经历的时间为，此时杆1和杆2相对于各自初始位置的距离为多大？ 【变式2-6】（2026·广东东莞·一模）（多选）如图所示空间存在竖直向下的匀强磁场B，足够长的两金属导轨平行正对放置，间距为L，竖直导轨粗糙，水平导轨光滑。导体棒Q借助小立柱静置于竖直导轨上并保持水平，其与竖直导轨间的动摩擦因数为。导体棒P垂直于水平导轨放置，处于静止状态。两导体棒的质量均为m，接入导轨间的电阻均为R，其余电阻不计。时起，对导体棒P施加水平向右的拉力F，使其做匀加速直线运动，同时撤去小立柱，导体棒Q开始下滑。已知两导体棒与导轨始终垂直且接触良好，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。对于拉力F，Q棒的速度、加速度及受到的摩擦力随时间t变化的关系图像，下列图像可能正确的有（    ） A． B． C． D． ✡模型二 双杆在不等宽导轨上运动问题模型 ▶模型剖析 项目 知识点详细讲解 核心公式/结论 考场易错点 场景 导轨两段宽度不同，双杆切割长度，一杆初速度、一杆静止、光滑无外力 — 和等宽模型核心区别：永远不共速 电路原理 两杆同时切割产生电动势，方向相反相互抵消，总电动势由长度与速度乘积差值决定 不可直接套用等宽公式 受力原理 电流相同、长度不同，安培力大小不等，系统合外力不为零，动量一定不守恒 动量不守恒 极易误判动量守恒，是高频错题点 原理 当回路电流为零时，安培力全部消失，两杆不受力，各自匀速运动；此时双杆电动势完全抵消 稳态条件是乘积相等，不是速度相等 解题逻辑 无守恒量，必须联立：稳态乘积等式 + 系统动量定理，二元方程组求解末速度 必须两个方程联立，缺一不可 ▶模型特训 【典例1】（2025·甘肃·模拟预测）如图所示，足够长光滑平行水平导轨所在空间，有垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为。导轨间距分别为和，质量为、电阻为的铜棒跨放在导轨上，同种材料、粗细相同的铜棒的长度是的两倍，两棒与导轨始终垂直且接触良好。若使棒获得一个大小为、水平向右的初速度，导轨电阻不计，则在两棒运动过程中（棒始终在宽度为的导轨上运动），下列说法正确的是（　　） A．两棒组成的系统动量守恒，且最终速度相等 B．ab棒最终的速度大小为 C．棒产生的焦耳热为 D．ab棒克服安培力做的功为 【变式1-1】（2026·陕西榆林·一模）（多选）如图所示，两根足够长的平行金属光滑导轨、固定在倾角为30°的斜面上，导轨电阻不计。与间距为，与间距为。在与区域有方向垂直斜面向下的匀强磁场，在与区域有方向垂直斜面向上的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为。在与区域中，将质量为，电阻为，长度为的导体棒置于导轨上，且被两立柱挡住。与区域中将质量为，电阻为，长度为的导体棒置于导轨上，由静止下滑，经时间，恰好离开立柱，、始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度大小为。则（　　） A．棒做匀加速直线运动 B．两导体棒最终做匀速直线运动 C．时刻，的速度大小为 D．内，下滑的距离为 【变式1-2】（2025·福建龙岩·模拟预测）如图甲，abcd和a'b'c'd'为在同一水平面内的固定光滑平行金属导轨，左右导轨间距分别为2L、L，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，左侧导轨间的磁感应强度大小为B0，右侧导轨间的磁感应强度大小按图乙规律变化，两根金属杆M、N分别垂直两侧导轨放置，N杆与cc'之间恰好围成一个边长为L的正方形，M杆中点用一绝缘细线通过轻质定滑轮与一重物相连，t=0时释放重物，同时在N杆中点处施加一水平向右的拉力F，两杆在0~t0时间内均处于静止状态，从t0时刻开始，拉力F保持不变，重物向下运动x距离时（M杆未到达定滑轮处），速度达到最大，已知M、N杆和重物的质量都为m，M、N接入电路的电阻都为R，不计导轨电阻，重力加速度为g，下列说法不正确的是（　　） A．0~t0时间内，回路中的感应电动势为 B．0~t0时间内，施加在N杆上的拉力F随时间t变化的关系为 C．重物下落的最大速度为 D．从t=0时刻到重物达到最大速度的过程中，回路产生的焦耳热为 【变式1-3】（2025·山西吕梁·三模）（多选）如图所示，足够长的光滑水平轨道左侧部分的轨道间距为，右侧部分的轨道间距为，两部分轨道通过导线连通。整个区域存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小。质量的金属棒和质量的金属棒垂直于导轨分别静止放置在左、右两侧轨道上。现给金属棒一大小为、方向沿轨道向右的初速度，已知两金属棒接入电路的有效电阻均为，轨道电阻不计，，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，棒总在宽轨上运动，棒总在窄轨上运动。下列说法正确的是（　　） A．整个过程金属棒、动量守恒 B．金属棒匀速运动的速度大小为 C．整个过程通过金属棒某横截面的电荷量为 D．整个运动过程金属棒、扫过的面积之差为 【变式1-4】（2025·福建·二模）如图所示，导体棒、分别静置于水平固定的平行窄导轨和宽导轨上，导轨间距分别为、，导轨电阻不计，所在区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，、棒的质量分别为，两导体棒总电阻为，棒与导轨间无摩擦，棒与导轨间的动摩擦因数。时刻，给导体棒一个大小为，方向水平向右的恒力作用，时棒刚要滑动，再过一段时间后回路中电流大小为且保持恒定。已知棒距宽导轨足够远，棒所在导轨足够长，导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)时，棒中电流的大小和方向； (2)时间内，安培力对棒的冲量大小； (3)电流的大小。 【变式1-5】（2025·广西桂林·一模）（多选）如图所示，两根光滑平行金属导轨平放在绝缘水平面上，左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距为L，左右两侧分别存在垂直导轨所在平面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．两根由相同材料制成的不同粗细的金属杆a、b恰好横跨在导轨上，a、b的质量均为m，b的电阻为R，初始时给a、b杆向左的瞬时速度，大小均为v，不计导轨电阻，a、b两杆到导轨两端及导轨间距变化处均足够远且运动过程中始终与导轨垂直，则（　　） A．刚开始运动时通过a的电流大小为 B．导体棒a先向左减速，再向右加速，最后匀速 C．从开始到运动恰好稳定的过程中通过b某横截面的电荷量为 D．从开始到运动恰好稳定的过程中b上产生的焦耳热为 【变式1-6】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，两不等距足够长光滑平行金属导轨水平放置，左侧导轨相距，右侧导轨相距，左侧导轨接有一电容器。空间充满垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小。略长于的金属杆静止在左侧导轨上，略长于的金属杆静止在右侧导轨上，两杆质量均为，均有一定电阻。给金属杆水平向右的初速度 ，系统稳定时，杆的速度减小为。已知运动过程中，两杆始终在各自的导轨上，与导轨垂直且接触良好，杆始终未到达电容器所在的位置。导轨电阻不计，求： (1)系统稳定时，电容器储存的电荷量； (2)系统稳定时，金属杆的速度大小； (3)电容器的电容。 【变式1-7】（2025·河南安阳·一模）如图所示，光滑圆弧导轨与水平导轨相切于处，的右侧处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，bc段水平导轨宽度为，cd段水平导轨宽度为d，bc段轨道和段轨道均足够长。由同种材料制成的金属棒和分别置于轨道上的段和段，已知金属棒的质量为，棒长为，电阻为，金属棒的质量为，棒长也为，现让金属棒从距水平轨道高为处无初速度释放，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，不计其他电阻及空气阻力，重力加速度为，求： (1)金属棒的电阻； (2)金属棒下滑到处时金属棒接入电路部分两端的电压； (3)整个过程中金属棒产生的焦耳热； (4)两金属棒距离最近时回路中的电流。 【变式1-8】（2025·山东·模拟预测）（多选）如图所示的水平装置置于竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，电源电动势为E、内阻为R，两副平行且光滑的导轨间距分别为d与2d。材质均匀的导体棒b、c的长度均为2d、电阻均为R、质量均为m，垂直置于导轨上，导轨足够长且不计电阻。从闭合开关到两导体棒达到稳定状态的全过程中，下列说法正确的是（　　） A．稳定前b、c棒均做加速度增大的加速运动 B．稳定前b、c棒的加速度大小之比始终是1∶2 C．稳定时导体棒c的速度大小为 D．导体棒b中产生的焦耳热为 ✡模型三 线框模型 ▶模型剖析 类型1 线框进出磁场等效电路模型 项目 知识点详细讲解 核心结论公式 易错提醒 等效电路规则 线框进出磁场时，唯一切割边为电源，其余三条边为纯电阻外电路，整体为串联纯电阻电路 切割边=电源， 其余=外阻 完全进入磁场后无切割、无电动势、无电路 电路物理量 电动势由切割速度决定，电流匀速恒定、减速逐渐减小；路端电压为外电路分压 路端电压不是电动势，必须区分内外阻 进出场差异 进场、出场磁通量变化方向相反，感应电流方向相反；完全在磁场中磁通量不变，无电磁感应现象 全场无电流、无安培力、无热量 很多学生误判全场仍有感应电流 安培力特点 楞次定律阻碍相对运动，进场阻碍进入、出场阻碍离开，始终为阻力 安培力全程做负功 安培力永不做正功 类型2 线框进出磁场图像模型 1. 描绘线框两点间电势差的 U-t 图像 项目 知识点详细讲解 核心图像规律 易错点 电路等效原理 线框切割边 = 电源，其余三边为外电路电阻；求框上两点电势差，本质是求外电路分压或电源内电压 切割边两端电势差为路端电压；非切割边两点电势差为分段分压 极易把电源内电压、路端电压搞反，正负号出错 分阶段变化规律 1. 进场阶段：切割边产生恒定电动势（匀速）/ 递减电动势（自由减速），电势差随速度同步变化； 2. 完全在磁场中：无感应电动势，回路无电流，线框各点电势相等，； 3. 出场阶段：切割边更换，电动势方向反向，电势差正负与进场相反，大小变化趋势和进场一致 匀速运动：进场 U 为定值、全场 U=0、出场 U 反向定值； 自由减速：进场 U 递减曲线、全场 U=0、出场反向递减曲线 出场电势差正负和进场相反，不能画成同向图像；全场阶段电势严格相等，图像与 t 轴重合 正负判断技巧 右手定则判断切割边正负极：磁感线穿手心，拇指指向运动方向，四指指向电源正极；外电路电势从正极向负极降低 靠近切割边正极的点位电势更高，两点电势差正负由点位位置决定 很多学生忽略电源内部电势高低规律，正负完全画反 2.描绘线框进出磁场区域的 I-t 图像 项目 知识点详细讲解 核心图像规律 易错点 电流产生逻辑 只有线框一边切割磁感线时，磁通量发生变化，回路才有感应电流；线框全部处于磁场内时，磁通量不变，无感应电流 ，电流大小和瞬时速度成正比；进场、出场电流方向相反 完全在磁场区间电流必须为 0，不能画成有电流的线段 匀速运动图像特征 外力匀速拉动线框，速度 v 恒定，电流大小恒定不变；进场、出场电流大小相等、正负相反；中间全场段 I=0 图像分段：进场水平直线、t 轴零线段、出场反向水平直线 匀速图像是水平线段，不能画成倾斜 / 曲线，电流大小进场出场完全相同 无外力自由进出图像特征 仅受安培阻力，线框做加速度减小的减速运动，速度持续减小，电流同步减小；进场、出场均为递减曲线，正负相反；全场段 I=0 图像分段：进场向下递减曲线、t 轴零线段、出场向上递减曲线 图像斜率逐渐变小（减速变缓），不是匀减速的倾斜直线，是曲线 楞次定律方向判定 进场磁通量增加，感应电流磁场阻碍磁通量增加；出场磁通量减少，感应电流磁场阻碍磁通量减少，因此进场、出场电流环绕方向相反 图像用正负区分电流方向，进场为正、出场为负（可自定义正负） 进场出场电流正负必须相反，不能画在 t 轴同一侧 3.判断线框进出磁场区域的 a-t 图像 项目 知识点详细讲解 核心图像规律 易错点 加速度受力原理 线框仅安培力提供合外力，安培力始终为阻力，加速度方向与运动方向相反；加速度大小，与瞬时速度 v 成正比 ，加速度变化趋势和速度完全一致；全程加速度符号不变（始终为阻力，正负固定） 加速度方向全程不变，进场、出场加速度正负相同，不会反向 匀速运动图像特征 外力匀速拉动，速度 v 恒定，安培力恒定，加速度大小恒定；进场、出场加速度大小相等，全场段不受安培力， 图像分段：进场水平直线、t 轴零线段、出场同向等长水平直线 匀速 a-t 图像为水平线段，进场出场加速度大小、正负完全一致 无外力自由进出图像特征 线框减速运动，v 持续减小，加速度同步不断减小；进场、出场均为向 t 轴靠近的递减曲线；全场段 图像分段：进场递减曲线、t 轴零线段、出场同向递减曲线 曲线斜率持续变小，加速度无限趋近于 0，不是倾斜直线；出场加速度不会反向 核心避坑结论 加速度由安培阻力产生，只要线框向同一方向运动，安培力、加速度方向永远不变；只有线框反向运动时，加速度正负才会改变 同一运动方向下，进场、出场 a 的正负完全相同 高频错题：很多学生误以为出场加速度反向，画成正负相反的两段图像 4.线框图像专题通用解题步骤 （1）划分运动三阶段：进场阶段、完全在磁场中阶段、出场阶段，全场区间统一判定物理量为 0； （2）判断运动类型：匀速运动→物理量大小恒定（水平直线）；无外力自由运动→变减速，物理量递减曲线； （3）判定正负方向：I-t、U-t 进场出场正负相反；a-t 进场出场正负完全相同；全场段全部与时间轴重合； （4）绘制图像分段标注：三段图像严格区分，标注进场、全场、出场，曲线 / 直线不混淆，正负区间不画错。 类型3 线框进出磁场生热模型 项目 知识点详细讲解 核心公式结论 易错点 能量核心原理 电磁感应中安培力做功的绝对值等于回路焦耳热，无外力时只有动能转化为内能 全场运动不生热 自由进出生热 进场速度大、平均安培力大、位移相同，进场生热大于出场生热；全程总热量为两次生热之和 出场末速度一定小于进场初速度 匀速进出生热 外力匀速拉动线框，动能不变，外力克服安培力做功全部转化为焦耳热 匀速生热可直接用功求解 类型4 线框进出磁场截面电量模型 项目 知识点详细讲解 核心公式结论 高频考点 电量本质 感应电荷量是过程累积量，由平均电动势、平均电流推导，只取决于磁通量变化量，与运动快慢、时间无关 速度不影响电量大小 线框专用推导 线框进出磁场位移为边长，磁通量变化，直接代入通用公式即可 x为有效进出磁场位移 进出场电量关系 进场、出场磁通量变化量大小相等，所以通过导体截面的电量大小相等、方向相反 电量是标量，只比较大小 ▶模型特训 类型1 线框进出磁场等效电路模型 【典例1】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图（a），固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框，置于始终竖直向下的匀强磁场中，边与磁场边界平行，边中点位于磁场边界。导体框的质量，电阻、边长。磁感应强度B随时间t连续变化，内图像如图（b）所示。导体框中的感应电流I与时间t关系图像如图（c）所示，其中内的图像未画出，规定顺时针方向为电流正方向。 (1)求时边受到的安培力大小F； (2)画出图(b)中内图像（无需写出计算过程）； (3)从开始，磁场不再随时间变化。之后导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度，求ad边离开磁场时的速度大小。 【变式1-1】（2026·天津武清·一模）如图甲所示，间距为、倾角为的平行光滑金属导轨固定放置，其上端用金属杆连接固定。导体棒垂直于导轨，并用平行于导轨的绝缘细线将其与金属杆连接，细线长为，导体棒处于静止状态。空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。时，细线拉力刚好为零，此时断开细线，导体棒从静止开始运动至某一位置处（图中未画出）达到稳定速度，这一过程中通过导体棒横截面的电荷量为。导体棒与导轨始终垂直且接触良好。已知导体棒和金属杆的电阻均为，导轨电阻不计且足够长，重力加速度。求： (1)导体棒的质量； (2)断开细线后，棒运动到点的位移大小； (3)从时刻开始至导体棒运动到点过程中棒上产生的焦耳热。 【变式1-2】（2026·北京西城·二模）如图1所示，是一个边长为的正方形导体框，其电阻为，在位置1时具有大小为的速度。在某一恒定拉力作用下，导体框向右匀速进入匀强磁场区域。磁场区域的宽度为，磁感应强度大小为。 (1)在导体框进入磁场的过程中（由位置1到位置2），求： a．导体框内的感应电流大小； b．拉力做的功。 (2)若换用更大的恒定拉力作用在导体框上，导体框在位置1的速度大小仍为，请写出导体框由位置1到位置3的过程中做什么运动，并在图2坐标系中定性画出此过程导体框运动的图像。 【变式1-3】（2026·北京朝阳·一模）如图甲所示，边长为l的正方形导线框abcd，以恒定速度沿x轴向右运动，穿过图中所示的匀强磁场区域。从导线框在图示位置的时刻开始计时，则乙图的纵轴对应的物理量为导线框（　　） A．所包围面积的磁通量 B．b、c两点的电势差Ubc C．bc边所受安培力大小 D．所受外力的功率 【变式1-4】（2026·福建厦门·二模）电磁驱动在军事、科研和生活中有着广泛的应用，如图所示是某个电磁驱动模型的俯视图，水平面上每间隔L分布有宽度也为L的有界匀强磁场，磁场磁感应强度大小为B、方向竖直向上，控制所有磁场以速度水平向右匀速运动。放在水平面上的正方形导线框abcd从图示位置由静止释放，在安培力的驱动下向右运动，经过时间达到最大速度。已知导线框质量为m、边长为L、电阻为R，运动过程中所受阻力大小恒为，ab边始终与磁场边界平行，求导线框： (1)释放瞬间的加速度大小； (2)经过时间达到的最大速度大小； (3)时间内运动的距离。 【变式1-5】（2026·广东·一模）（多选）如图，采用电磁刹车技术的列车质量为m，其下方固定有边长为L、匝数为N、总电阻为R的正方形闭合线框abcd。垂直于钢轨间隔分布的匀强磁场，磁感应强度为B，每个磁场区域的宽度及相邻两磁场区域的间距均为L。当ab边以初速度v0进入磁场区域时，列车开始刹车，经31L停下。已知钢轨宽度为D，刹车过程，列车所受钢轨及空气阻力的合力恒为f，则（　　） A．ab边进入磁场瞬间，线框中的感应电流沿adcba方向 B．ab边进入磁场瞬间，线框中的感应电流大小为 C．列车从开始刹车到停止，线框产生的焦耳热为 D．列车从开始刹车到停止，所经历的时间为 【变式1-6】（2026·河北邯郸·一模）某一具有电磁缓冲功能的火箭模型结构示意图如图所示，模型由缓冲槽、主体及主体内固定的线圈构成。闭合正方形线圈的匝数为，边长为，总电阻为，且边与主体的底端重合。模型外侧安装有由绝缘材料制成的缓冲槽，槽中有垂直于线圈平面、磁感应强度大小为的匀强磁场，主体底端到缓冲槽底端的距离为。模型整体以竖直向下、大小为的速度落至水平地面时缓冲槽立即静止，主体则因线圈与缓冲槽内磁场间的作用而减速，当线圈的边落至缓冲槽底端时，线圈的速度大小为，此时线圈的边还未进入磁场。已知主体和线圈的总质量为，重力加速度大小为，不计摩擦和空气阻力。求： (1)模型着地后瞬间边中电流的大小和方向； (2)从模型着地到线圈的边落至缓冲槽底端的过程中线圈上产生的焦耳热； (3)从模型着地到线圈的边落至缓冲槽底端的时间。 【变式1-7】（2026·湖北·一模）如图所示，导线框由水平直导线和曲线导线组合而成，总电阻。线框在外力作用下水平向右以的速度匀速运动，时进入右边的匀强磁场，磁感应强度，方向垂直于线框所在平面向下。下列说法正确的是（    ） A．线框进入磁场过程中，感应电流为顺时针方向 B．线框中产生的感应电动势最大值为0.2V C．时，线框中的瞬时电流为0.3A D．线框进入磁场过程中产生的焦耳热 【变式1-8】（2025·山东枣庄·一模）如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度大于的匀强磁场，其磁感应强度大小为。甲、乙两个闭合导线框的质量均为，长均为，宽均为，电阻分别为和。两线框在光滑水平面上以相同初速度并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（　　） A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进磁场区域时，所受合力大小之比为 C．甲线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为 类型2 描绘线框的图像模型 【典例2】（2026·重庆沙坪坝·一模）某手摇发电机原理简化为题图：正方形导线框abcd在条形匀强磁场中左右往复切割磁感线，从而供电。已知导线框电阻均匀，边长大于磁场宽度。某次导线框向右匀速穿过磁场，以边刚进入磁场时为零时刻，则间电势差随时间变化的图像，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·河南许昌）如图所示，abcdef为“日”字形导线框，其中abdc和cdfe均为边长为l的正方形，导线ab、cd、ef的电阻相等，其余部分电阻不计。导线框右侧存在着宽度等于的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，导线框以速度v水平向右匀速穿过磁场区域，运动过程中线框平面始终和磁场垂直且无转动。从ab边进入磁场边界的时刻开始，线框平面穿过磁场的过程中，下列选项关于ab两点之间的电势差随位移变化的图像正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·四川绵阳）如图所示，边长为L的单匝均匀金属线框置于光滑水平桌面上，在拉力作用下以恒定速度通过宽度为D（D>L）、方向竖直向下的有界匀强磁场，在整个过程中线框的ab边始终与磁场的边界平行，若以F表示拉力大小（以向右为正）、以Uab表示线框ab两点间的电势差，则下列反映这些物理量随时间变化的图像中可能正确的是（　　） A．B．C． D． 【变式2-3】（2025·云南昆明）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a，磁感应强度的大小为B。一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框CDEF从图示位置开始沿x轴正方向以速度v匀速穿过磁场区域。规定逆时针为线框中电流的正方向。则线框中的电流i，E、F两端的电势差UEF随x的变化图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（2026·黑龙江大庆·二模）如图所示，在两平行虚线间的区域内存在着匀强磁场，闭合直角三角形线圈的边与磁场的边界虚线平行，而且边的长度恰好和两平行虚线之间的宽度相等。当线圈以速度匀速向右穿过该区域时，下列四个图像中的哪一个可以定性地表示线圈中感应电流随时间变化的规律（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】（2025·黑龙江哈尔滨）（多选）如图所示，边长为L、粗细均匀的正方形闭合导线框以水平速度v0穿过宽度为d（d>L）的匀强磁场区域（ab、cd边和磁场竖直边界平行），磁场的磁感应强度大小为B，线框总阻值为R，线框平面与磁场方向垂直。从ab边到达磁场左侧边界开始计时，则线框中的感应电流I、线框上d、c两点间的电势差Udc、线框所受安培力F、穿过线框的磁通量随时间t变化的图像可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-6】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图所示，有界匀强磁场的宽度为，方向垂直纸面向里，边长为的等边三角形线圈位于纸面内。时刻，边与磁场边界垂直且点在磁场边界上。当线圈沿垂直于磁场边界的方向以速度匀速穿过磁场时，线圈中的感应电流随时间变化的图像可能是（　　）（取逆时针方向为感应电流的正方向） A． B． C． D． 【变式2-7】（2025·湖北）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为，磁感应强度的大小为。一直角边长为的等腰直角三角形均匀导线框ABC从图示位置开始沿轴正方向以速度匀速穿过磁场区域。规定逆时针电流方向为正，水平向左为安培力的正方向。则关于线框中的电流，线框受到的安培力与线框移动距离的关系图像可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   类型3 线框进出磁场生热模型 【典例3】（2026·天津河西·三模）如图所示，间距为的水平边界之间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场。单匝矩形金属线框由粗细均匀的同种材料制成，线框的电阻为、质量为、边长为、边长为。开始时，边在边界的上方，且其到边界的距离为，线框由静止释放，运动过程中边始终平行于边界且线框也始终位于竖直平面内。忽略空气阻力及磁场的边界效应，重力加速度大小为。若边离开磁场区域前已达到匀速运动状态，求： (1)边进入磁场瞬间，线框克服安培力做功的功率； (2)边进入磁场瞬间，两点的电势差； (3)线框从静止到完全穿过磁场区域的过程中产生的总焦耳热。 【变式3-1】（2026·广西崇左·二模）如图所示，光滑且足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面（纸面）上，间距L=0.5m，OP右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，cd边的长度L=0.5m、bc边的长度d=0.8m的矩形金属线框置于导轨上。现使线框以的速度水平向右运动，ab边刚进入磁场时，线框的速度大小，整个运动过程中线框始终与导轨接触良好。已知线框的质量m=0.4kg，cd边的电阻，ab边的电阻，其他边和导轨的电阻均可忽略。求： (1)磁场的磁感应强度大小B； (2)cd边刚进入磁场时线框加速度的大小a； (3)线框进入磁场的过程中，cd边产生的焦耳热Q。 【变式3-2】（2026·河北唐山·二模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立直角坐标系，在至的区域内存在垂直平面的匀强磁场，磁感应强度大小为。将电阻为的金属丝按照正弦函数关系制成线圈，并置于轴上之间，两端点用导线相连，导线电阻不计且与轴重合。现用水平拉力使该闭合回路以速度沿轴匀速通过磁场区域，则线圈穿过磁场区域过程中拉力所做的功为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·北京东城·二模）如图所示，虚线右侧存在竖直向下的有界匀强磁场，磁感应强度大小B=0.1 T。光滑水平面上的正方形金属线框abcd，cd边与磁场左边界重合，在此位置时线框的速度v=4 m/s，方向水平向右，在水平外力F作用下匀速进入磁场区域。已知线框的电阻R=0.4 Ω，边长L=0.1 m，线框运动过程中ab、cd两边始终与磁场边界平行。在线框进入磁场的过程中，求： (1)cd边切割磁感线产生的感应电动势E； (2)外力F的大小； (3)线框中产生的焦耳热Q。 【变式3-4】（2026·四川·二模）一边长为L、质量为m、总电阻为R的单匝正方形导线框，自磁场上方某处静止下落。如图所示，区域Ⅰ、Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向相反，二者宽度分别为L、H，且。导线框恰好匀速进入区域Ⅰ，一段时间后又恰好匀速离开区域Ⅱ，已知线框下落过程中无旋转且上下边始终平行于磁场边界，重力加速度为g。求： (1)导线框下边进入区域Ⅰ时的速度大小； (2)导线框下边进入区域Ⅱ时的加速度大小； (3)导线框进入区域Ⅱ的过程中产生的焦耳热。 【变式3-5】（2026·广东江门·一模）某电磁缓冲小车车底安装着电磁铁，可产生竖直向下的匀强磁场；粗糙水平地面上固定着闭合矩形线圈abcd，磁场的长度大于线圈的bc边的长度，如图所示（俯视），关闭动力的小车向右通过线圈，在该过程中，下列说法正确的是（　　） A．小车向右做匀减速直线运动 B．当磁场的右边界刚经过ab边时，线圈里产生的感应电流方向为顺时针 C．当磁场的右边界刚经过dc边时，ab两端的电压等于dc两端的电压 D．小车的动能减少量等于线圈abcd产生的焦耳热 【变式3-6】（2026·贵州黔东南·模拟预测）（多选）如图所示，固定光滑绝缘斜面的倾角为，斜面上宽度为的区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直斜面向上的矩形匀强磁场（图中未画出），一个质量为、边长为的正方形导线框，从磁场区域上方由静止沿斜面下滑，开始下滑时，边到磁场上边界的距离为，当边（始终与磁场边界平行）刚到达处时，导线框恰好开始匀速下滑。重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．导线框匀速下滑的速度大小为 B．当边在磁场区域中运动时，导线框中的电流方向为 C．导线框的电阻为 D．在导线框通过磁场区域的过程中，导线框中产生的焦耳热为 【变式3-7】（2026·山西大同·一模）如图所示，光滑绝缘的水平面上边界MN的右侧有垂直纸面向里的匀强磁场，现给正方形刚性导线框一水平向右的初速度，线框边始终垂直MN运动，且恰能完全进入磁场区域。则导线框进入磁场区域后，其速度、电功率随运动距离变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-8】（2026·广东汕头·一模）某学校科技社团为图书馆自动还书系统设计了电磁缓冲装置，用以保护还书箱及降低噪音，装置简化后如图所示。的光滑斜面固定在水平地面，其底端固定2根劲度系数均为的轻弹簧，弹簧静止时上端恰好处于虚线处，以下区域存在垂直斜面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。还书箱放在斜面上，底边与距离为，边长为L的正方形底面上装有匝数为n、边长为L、阻值为R的正方形线圈，还书箱与线圈的总质量为m，将还书箱静止释放。已知弹簧弹性势能表达式为，其中k为劲度系数，为形变量，弹簧始终没有超出弹性限度，还书箱最终静止。重力加速度为g。求： (1)线圈刚进入磁场时所受安培力大小； (2)还书箱从释放到最终静止的过程中，线圈产生的热量。 【变式3-9】（2025·广东·模拟预测）（多选）如图所示，正方形金属线框abcd下方存在宽度为L的匀强磁场区域，该区域的上、下边界水平，磁感应强度的大小为B。线框从距磁场上边界高度为h处由静止开始自由下落。线框ab边进入磁场时开始减速，cd边穿出磁场时的速度是ab边进入磁场时速度的。已知线框的边长为L，质量为m，电阻为R，重力加速度大小为g，线框下落过程中ab边始终与磁场边界平行，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电流方向为abcda B．线框ab边刚进入磁场时，产生的感应电动势大小为 C．线框在穿过磁场区域的过程中最大加速度为 D．线框在穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热为 【变式3-10】（2025·辽宁鞍山·一模）如图，两条平行光滑金属导轨水平放置，间距为L，中间有宽度为L、磁感应强度为B的匀强磁场；导轨右侧接有一个阻值为R的定值电阻。一个边长为L的正方形单匝导线框abcd置于导轨左侧，其ab、cd边始终与导轨接触良好。导线框的ac、bd两边电阻均为R，ab、cd边电阻可忽略，现给导线框一个初速度v，当它完全进入磁场区域时，速度变为，求： (1)线框进入磁场区域左边界瞬间bd两点间的电压U； (2)线框的质量m； (3)上述过程中导轨右侧定值电阻R上产生的焦耳热Q。 【变式3-11】（2025·广东广州·模拟预测）（多选）如图所示，由导体材料制成的闭合线框，曲线部分PNQ满足函数y＝0.5sin(0.5πx)，其中x、y单位为m，x满足0≤x≤2，曲线部分电阻不计，直线部分PMQ的电阻为R＝10Ω。将线框从图示的位置开始（t＝0），以v＝1m/s的速度匀速通过宽度为d=2 m、磁感应强度B=1T的匀强有界磁场，在线框穿越磁场的过程中，下列说法正确的是（　　） A．线框穿越磁场的过程中，线圈内的电流方向不变 B．线框穿越磁场的过程中，回路中的最大电流为0.05A C．线框穿越磁场的过程中，感应电流变化规律为i=0.05sin(πt)A D．线框穿越磁场的过程中，线框中产生的焦耳热为0.05J 【变式3-12】（2026·云南曲靖·模拟预测）如图所示，垂直纸面向外的正方形匀强磁场区域内，有一位于纸面的正方形导体框abcd，现将导体框分别以速度v（竖直向上）、3v（水平向右）匀速拉出磁场（不计重力和空气阻力）。设导体框总电阻为R，边长为L，磁感应强度为B，下列说法正确的是（　　） A．两个过程中，导体框中感应电流的磁场方向相反 B．两个过程中，导体框所受安培力的冲量大小之比为1：3 C．两个过程中，外力的功率之比为1：9 D．两个过程中，导体框中产生的焦耳热与外力做功的比值均为1：3 类型4 线框进出磁场截面电量模型 【典例4】（2026·重庆沙坪坝·三模）（多选）重庆青山工业汽车零部件输送线中的电磁制动装置，利用电磁阻尼实现零部件精准制动定位，其简化图如题图所示。足够长的光滑水平平行金属导轨间距为L，导轨间部分区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。单匝矩形导体线框abcd四条边的电阻均为R，线框总质量为m。线框以初速度沿导轨向右运动，经过一段时间后完全进入磁场区域，此时线框的速度刚好为零。已知线框ad边长为L，cd边长度与磁场沿导轨方向的宽度相同；运动过程中线框始终与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．线框刚进磁场时，线框中的电流为 B．磁场区域沿导轨方向的宽度 C．磁场区域沿导轨方向的宽度 D．全过程线框bc边产生的焦耳热 【变式4-1】（2026·河南驻马店·三模）如图所示，间距为的水平线、间有竖直向上的匀强磁场，质量为、电阻为、边长为的正方形金属线框静止在左侧的水平面上，给金属线框一个水平向右的初速度，金属线框刚好能完全进入磁场，通过线框边截面的电量为，整个水平面绝缘光滑，线框运动过程中边始终与平行，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)线框边刚进磁场时线框的速度大小； (3)若在线框边刚进磁场时，给边施加一个垂直于边的水平向右、大小为的恒力，结果线框恰好能通过磁场，则线框穿过磁场的时间为多少？ 【变式4-2】（2026·北京房山·二模）如图所示，一质量为m、边长为l的正方形导线框abcd，由高度h处自由下落，ab边进入磁感应强度为B的匀强磁场区域后，线框开始做匀速运动，直到dc边刚刚开始穿出磁场为止。已知磁场区域宽度为l。重力加速度为g，不计空气阻力。线框在穿越磁场过程中，下列说法正确的是（　　） A．进入磁场时，线框感应电流为adcba方向 B．线框穿越磁场的过程中电流大小为 C．线框穿越磁场的过程中产生的焦耳热为2mgl D．进入磁场的过程中，通过线框导线的电荷量为 【变式4-3】 （2026·安徽·模拟预测）如图，在光滑绝缘水平面上有一同种金属材料制成的单匝矩形线圈，在水平外力作用下运动，第一次以大小为的速度向右垂直于磁场边界匀速进入竖直向上的匀强磁场，第二次同样方式进入，速度大小为。则在线圈进入匀强磁场的过程中，下列说法正确的是（　　） A．第二次进入与第一次进入时外力之比为 B．第二次进入与第一次进入时外力做功功率之比为 C．第二次进入与第一次进入时线圈中产生的热量之比为 D．第二次进入与第一次进入时通过线圈中某一横截面的电荷量之比为 【变式4-4】（2026·安徽·模拟预测）（多选）如图所示，acefdb是质量为的“日”字形金属线框，aefb是边长为的正方形，cd为正方形的中线，ab、cd、ef三边的电阻均为R，ae、bf边的电阻不计，水平虚线MN与PQ间有沿水平方向且垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B；MN与PQ间的距离为，将金属线框由静止释放，线框运动过程中始终在垂直于磁场的竖直面内，ab边始终水平，当cd边刚要进磁场时，线框的加速度为0，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．当cd边刚要进磁场时，线框的速度大小为 B．从释放到cd边刚要进磁场，通过ef边的电荷量为 C．从释放到cd边刚要进磁场，线框运动的时间为 D．从cd边刚要进磁场到ef边出磁场的过程中，ef边产生的焦耳热为 【变式4-5】（2026·吉林长春·二模）如图，直线右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，完全相同的粗细均匀的单匝圆形金属线圈甲、乙处于图中实线位置，且与相切，切点分别为。甲绕过点垂直于纸面的轴匀速转动、乙以为轴匀速转动，甲、乙第一次运动至图中虚线位置所用时间相同。在这段时间内，下列说法正确的是（　　） A．甲中电流方向改变 B．甲、乙中有感应电流通过的时间相等 C．甲、乙中感应电动势最大值之比为 D．通过甲、乙横截面的电荷量之比为 【变式4-6】（2026·辽宁·一模）如图所示，间距为d的足够长的平行光滑金属导轨与水平面的夹角为，导轨顶端接有一定值电阻，虚线MN是导轨平面内垂直导轨的分界线，其下方空间存在垂直导轨所在平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，质量为m、边长为d、每个边阻值均为的单匝正方形金属线框abcd，从虚线MN上方的导轨上由静止释放，线框ad边和bc边与两根导轨始终平行且接触良好，线框经过虚线MN的整个过程中速度大小保持不变，重力加速度为g，导轨电阻忽略不计。 (1)求线框经过虚线MN时的速度大小； (2)求线框经过虚线MN的过程中，定值电阻R产生的焦耳热； (3)若线框cd边经过虚线MN后，又经过时间，线框刚好再次达到匀速，求此时线框cd边到虚线MN的距离。 【变式4-7】（2026·湖南郴州·模拟预测）（多选）如图所示，光滑水平桌面内有一单匝矩形导体闭合线框abcd。ab边长度等于bc边长度的2倍，置于垂直于桌面向里、边界为MN的匀强磁场外。线框两次以大小相等、方向为垂直MN的初速度开始进入磁场。第一次ab边平行于MN进入磁场，进入瞬间线框加速度为，线框完全进入磁场过程速度变化量大小为、线框上产生的热量为、通过线框导体横截面的电荷量为；第二次bc边平行于MN进入磁场，进入瞬间线框加速度为，线框完全进入磁场过程速度变化量大小为、线框上产生的热量为、通过线框导体横截面的电荷量为，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-8】（2026·安徽马鞍山·一模）如图所示，光滑水平绝缘面上有宽度为的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小，虚线为磁场边界。电阻、边长也为的正方形细导线框置于磁场区域左侧的水平面上，边与磁场边界平行，线框以的速度开始运动，线框边刚进入磁场区域时的速度。运动过程中线框形状不变，边始终与磁场边界平行。求： (1)线框边刚进入磁场区域时，线框受到的安培力的大小； (2)线框边刚进入磁场区域到线框边刚进入磁场区域的过程中，流过线框的电荷量； (3)线框穿过磁场区域的全过程中，线框内产生的焦耳热。 【变式4-9】（2025·云南红河·一模）（多选）列车进站时可借助电磁阻尼辅助刹车，其简化结构如下图所示：站台旁轨道上足够长的区域存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，在车身下方固定一与车身等大的矩形单匝线框abcd，利用线框进入磁场时所受的安培力来辅助列车刹车。列车进站时，线框ab边恰好进入磁场时列车的速度为，当线框cd边进入磁场并运动一段时间后，列车停止。已知列车的质量为m，车身长为s，线框ab边的长度为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。则列车（　　） A．刚进站时加速度大小 B．从进站到停下来所用时间 C．从进站到停下来的过程中，减少的动能大于线框产生的热量 D．完全在磁场中运动时，线框中感应电流为零，ab间电势差也为零 【变式4-10】（2025·甘肃武威·模拟预测）（多选）某列车制动器的简化图如图所示。在列车的底座上固定一个边长为L的正方形单匝线圈abcd，在轨道间存在两个宽度均为L的匀强磁场，边界1、2间磁场的磁感应强度大小为B、方向竖直向上，边界2、3间磁场的磁感应强度大小为2B、方向竖直向下。已知列车（包含线圈）的质量为m，运动过程中列车关闭动力，当线圈的ab边运动到磁场边界1时的速度为，ab边穿过磁场边界2后，再向右运动速度恰好减为0。忽略运动过程中受到的摩擦阻力，下列说法正确的是（　　） A．线圈ab边经过边界2时的速度大小为 B．线圈ab边刚进入磁场时与线圈ab边刚通过边界2时的加速度大小之比为4∶1 C．线圈ab边从刚进入磁场到刚穿过边界2的过程中线圈产生的热量为 D．从线圈cd边刚通过边界1到线圈停止运动的过程中，流过线圈某一截面的电荷量为 【变式4-11】（2025·浙江台州·一模）如图所示，日字形金属框长、宽L，放置在光滑绝缘水平面上，左侧接一个阻值为的定值电阻，中间位置和右端接有阻值为的金属棒和金属棒，其它电阻不计，线框总质量为m。金属框右侧有宽为的匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，磁感应强度大小为B。已知金属框以初速度进入匀强磁场，最终棒恰好没从磁场中穿出。下列说法正确的是（　　） A．在棒进入磁场前，通过棒间定值电阻的总电荷量为 B．在棒进入磁场后，通过间定值电阻的总电荷量为 C．棒刚进入磁场时的速度为 D．整个过程中间定值电阻产生的焦耳热为 【变式4-12】（2025·陕西西安·一模）（多选）电磁俘能器可在汽车发动机振动时利用电磁感应发电实现能量回收，结构如图甲所示。两对永磁铁可随发动机一起上下振动。每对永磁铁间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。磁场中，边长为L的n匝正方形线圈竖直固定在减震装置上。某时刻磁场分布与线圈位置如图乙所示，永磁铁振动时磁场分界线不会离开线圈。若线圈电阻为R，某时刻磁铁正在以速度v上升，线圈始终在磁场中，关于图乙中的线圈。下列说法正确的是（　　） A．如果磁铁从此处上升，流过线圈的电量为，与v大小无关 B．如果磁铁从此处上升，速度越快，流过线圈的电量越大 C．此时线圈中感应电动势为，线圈中感应电流的方向为逆时针方向 D．此时线圈所受安培力的合力为，方向竖直向上 【变式4-13】（2025·江苏徐州·一模）作为高速交通的有益补充，高速磁悬浮列车可以满足人们多元化的出行需求（如图甲所示），图乙为磁悬浮列车系统的简化模型：水平光滑的绝缘平行直导轨间，等距离分布方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，导轨的间距为L，每个磁场分布区间的长度也为L。现导轨上有一边长为L、质量为m的单匝正方形金属线框，电阻为R。线框从如图乙所示位置以速度开始向右滑行，下列说法正确的是（　　） A．此时线框中的感应电流方向是顺时针方向 B．线框中产生的电流最大值为 C．线框运动过程中的最大加速度为 D．当线框停止滑行时，通过线框截面的电荷量为 【变式4-14】（2026·河北·一模）如图所示，将涂有绝缘漆的金属圆环绕成“8”字形线圈，两小圆的半径均为r，圆心分别为O₁、O₂，线圈放置在光滑水平面上，水平面上MN右侧存在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。线圈两次均以相同的初速度垂直MN向右开始运动，第1次O₁O₂连线垂直初速度方向，第2次O₁O₂连线平行初速度方向。已知线圈的电阻为R，则（　　） A．第1、2次，完全进入磁场后线圈速度相同 B．第1、2次，进入磁场瞬间加速度之比为2：1 C．第2次，线圈进入磁场过程通过线圈某截面的净电荷量为0 D．第2次，线圈进入磁场过程通过线圈某截面的净电荷量为 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $