第15讲 磁场模型（一）（模型和方法）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦磁场模块核心考点，涵盖带电粒子在有界磁场中的运动模型（直边界、圆弧形边界、多解问题、动态圆）及电磁仪器模型（质谱仪、回旋加速器等），按模型建构逻辑组织知识点，通过模型剖析梳理规律，方法指导突破难点，真题特训分层训练，帮助学生系统掌握磁场问题解题思路。 讲义以科学思维和模型建构为核心，创新采用“模型剖析+典例精讲+变式训练”教学模式，如动态圆模型中通过平移圆、旋转圆方法培养空间想象能力，电磁仪器原理结合高考真题强化应用，设置基础到综合的分层练习，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第15讲 磁场模型（一） 类型1 带电粒子在直边界磁场中运动模型 【典例1】【答案】C 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在电场中加速过程，根据动能定理 解得 （2）电子在磁场中的运动轨迹如图 由几何关系可得 解得 洛伦兹力提供向心力 解得 （3）设电子进入正方体区域后半径为，运动过程如图所示 由图中几何关系可知，，得 若恰好从底面射出，则有 洛伦兹力提供向心力 解得 若恰好从侧面射出，如图，由 洛伦兹力提供向心力 解得 磁感应强度B2的大小范围 【变式1-4】【答案】CD 类型2 带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动模型 【典例2】【答案】C 【变式2-1】【答案】(1)，垂直纸面向里 (2) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 可得 根据几何关系可得 联立可得 根据左手定则可知磁感应强度方向垂直纸面向里。 （2）根据结合可得 电子从S点第一次到达P点转过的圆心角为，电子从S点第一次到达P点所用的时间 联立可得 【变式2-2】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在电子枪中加速，由动能定理得 解得电子离开加速电场的速度 （2）电子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力有 电子运动轨迹如图甲所示。由几何关系得 解得圆形区域内的磁感应强度 （3）电子在磁场中运动的半径，平行于方向射入磁场的电子经偏转后都将经过点后打在荧光屏上，电子枪在纸面内向下平移位置射入磁场的电子打在荧光屏上的点其轨迹如图乙所示 由几何关系可知图中 由几何关系可知电子打在荧光屏上的位置与点的距离 【变式2-3】【答案】BD 【变式2-4】【答案】BC 类型3 带电粒子在磁场中运动的多解问题模型 【典例3】【答案】D 【变式3-1】【答案】CD 【变式3-2】【答案】CD 【变式3-3】【答案】CD 【变式3-4】【答案】AC 【变式3-5】【答案】AD 【变式3-6】【答案】A 【变式3-7】【答案】ABD 【变式3-8】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中仅受电场力的作用做类平抛运动，由P到Q，由牛顿第二定律可得 竖直方向，有     水平方向，有 联立解得， （2）粒子在Q点的速度大小为 解得 设与x轴正方向夹角为，则 可知 在磁场中洛伦兹力提供向心力，有 又根据几何关系 联立解得， （3）如图所示 粒子从第Ⅳ象限进入第Ⅰ象限后做类似斜抛运动，速度方向与x轴正方向成37°，大小为，由运动对称性知CD沿x轴方向距离与DE沿x轴方向距离相等，则 粒子第n次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过x轴的横坐标为 又 解得 当时，可得 【变式3-9】【答案】AC 类型4 动态圆模型 【典例4】【答案】BC 【变式4-1】【答案】BD 【变式4-2】【答案】BC 【变式4-3】【答案】BC 【变式4-4】【答案】C 【变式4-5】【答案】A 【变式4-6】【答案】C 【变式4-7】【答案】C 【变式4-8】【答案】A 【变式4-9】【答案】C ✡模型二 电磁仪器模型 类型1 质谱仪模型 【典例1】【答案】(1) (2)不会相撞， (3) 【推理演示】（1）在加速电场中，由动能定理有 在静电分析器中，有 解得 （2）由题可知粒子束1带负电，粒子束2带正电； 根据 可得 它们的速率大小相等，可知正、负粒子在磁分析器中运动的圆周半径均为R，圆周运动的周期也相等，则两粒子同时进入速度选择器； 粒子束1虽然可以通过磁分析器进入速度选择器，但是负粒子从左侧进入速度选择器，受到的洛伦兹力与电场力方向都向下，将向下偏转打到下极板上，不会与粒子束2相撞； 粒子在磁分析器中运动由洛伦兹力提供向心力，有 解得。 （3）带正电的粒子能通过速度选择器，则有 可得 又 联立解得。 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】(1) (2) (3)a.；b. 【详解】（1）对离子在速度选择器内的运动进行受力分析可知，由于离子恰能沿图中虚线通过速度选择器，所以离子受力平衡，则根据平衡关系有 又因为 联立解得离子经过P点时的速度大小为 （2）离子在偏转分离器中做匀速圆周运动，根据题意可知，其做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力有 解得离子的质量为 （3）a.当偏转分离器中的磁感应强度为时，根据洛伦兹力提供向心力有 解得此时离子做匀速圆周运动的半径为 当偏转分离器中的磁感应强度为时，根据洛伦兹力提供向心力有 解得此时离子做匀速圆周运动的半径为 所以MN的距离为 b.假设质量为的粒子，恰好能到达M点，则根据洛伦兹力提供向心力有 解得 假设质量为的粒子，恰好能到达N点，则根据洛伦兹力提供向心力有 解得 所以MN范围内离子质量的最大值和最小值之差为 【变式1-3】【答案】AC 【变式1-4】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子经过电压U加速，根据动能定理 进入匀强磁场时的动能 （2）设某种同位素粒子的质量为m，经加速电压加速后，从进入匀强磁场的速度为v，运动的半径为r，打到照相底片D上的位置为d， 由几何关系得 根据动能定理 在磁场中洛伦兹力提供向心力 联立可得，即 所以 （3）要使两种同位素a、b都打在照相底片D上，设粒子a、b在匀强磁场中的运动半径分别为、 对粒子a有 洛伦兹力提供向心力 可得 对粒子b有 洛伦兹力提供向心力 可得 所以 【变式1-5】【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子在加速器中，根据动能定理 可得 （2）在速度选择器中 又因为 解得 （3）①粒子在分离器中做匀速圆周运动 粒子在分离器中做匀速圆周运动 由几何关系得 解得 ②粒子做圆周运动的周期 粒子做圆周运动的周期 又因为 解得 【变式1-6】【答案】(1) (2)粒子打在接收底板上的位置到的距离为，可知与成正比，因此这些刻线数值是对应于。(3)，由可知，越大，越大。由于“74”比“73”的更大，因此“74”对应的刻线位置应在“73”刻线的左侧（远离的一侧）且74与73的间距小于73与72的间距。 【详解】（1）粒子在加速电场中运动时，根据动能定理有 解得粒子进入磁场的速度大小为 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 解得粒子做匀速圆周运动的半径为 粒子打在接收底板上的位置到的距离为 由上式可知，与成正比，因此这些刻线数值是对应于。 （3）由可知，越大，越大。由于“74”比“73”的更大，因此“74”对应的刻线位置应在“73”刻线的左侧（远离的一侧）且74与73的间距小于73与72的间距，则“74”对应的刻线位置如图所示： 【变式1-7】【答案】ACD 【变式1-8】【答案】AD 【变式1-9】【答案】BC 类型2 回旋加速器模型 【典例2】【答案】A 【变式2-1】【答案】BD 【变式2-2】【答案】C 【变式2-3】【答案】BD 【变式2-4】【答案】BC 【变式2-5】【答案】(1) (2) (3)不同意，粒子的最大动能仅与磁感应强度B、D形盒半径R、粒子的电荷量q和质量m有关，与交流电源的电压U无关。 【详解】（1）粒子在磁场中做圆周运动有 因为 联立解得 为保证粒子每次经过盒缝时都能被加速，交流电源的周期必须与粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，所以交流电源电压的频率为 （2）当粒子从D形盒边缘射出时，做圆周运动的轨道半径达到最大，即为R，则有 粒子的最大动能为： 联立解得 （3）由（2）中推导的最大动能公式可知，粒子的最大动能仅与磁感应强度B、D形盒半径R、粒子的电荷量q和质量m有关，与交流电源的电压U无关。因此只增大交流电源电压U不能使粒子获得更高能量。 【变式2-6】【答案】C 【变式2-7】【答案】ABD 【详解】A．磁感应强度B最小时，离子可经一次加速后从P点离开磁场，根据动能定理得 进入磁场后做匀速圆周运动，有 解得，故A正确； B．若，根据 得到 可知离子经过加速后在磁场中转一圈打到离子源外壁被吸收，不能从P射出，故B正确； CD．若，，则离子第一次加速后的半径为 在磁场中转动半圈后进入电场做减速运动，到下极板速度减为零又再次加速飞出上极板，速度大小不变，半径仍为 如此重复两次后离子从下极板进入电场，可继续加速，速度变大半径变大，如此重复直至从P射出。射出时的半径为 所以射出时的速度 因此射出时动能为 离子在磁场中运动的时间为16.5个周期，即，故C错误，D正确。 故选ABD。 【变式2-8】【答案】C 【变式2-9】【答案】AC 类型3 电场与磁场叠加的应用实例模型 【典例3】【答案】(1) (2)，垂直纸面向里 (3) 【推理演示】（1）在加速电场中运动时 解得加速电压 （2）粒子在速度选择器中做直线运动，则 解得 因电场力向下，则洛伦兹力向上，根据左手定则，磁感应强度的方向垂直纸面向里。 （3）仍从S点释放另一初速度为0、电荷量为q、质量为3m的带正电粒子，可知粒子进入速度选择器的速度，则，粒子在速度选择器中向下偏转，则电场力做正功，由动能定理 【变式3-1】【答案】BC 【变式3-2】【答案】(1) (2) 【详解】（1）在加速电场中，由动能定理，有         代入数据得             在速度选择器中，电场力与洛伦兹力平衡           代入数据得磁场Ⅰ的磁感应强度大小 （2）撤去磁场Ⅰ后，粒子在该区域只受电场力作用，做类平抛运动，水平方向         竖直加速度          竖直分速度               合速度              设速度与水平方向夹角为， 可得               因，粒子未碰到极板进入偏转磁场Ⅱ。 在磁场Ⅱ中，洛伦兹力提供向心力             代入数据得                   结合粒子运动轨迹，由几何关系，竖直方向的偏转距离 【变式3-3】【答案】C 【变式3-4】【答案】C 【变式3-5】【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）由于该粒子在速度选择器中受力平衡，故 其中 则该粒子通过速度选择器的速率为 （2）粒子在区域内做匀速圆周运动，从ON的中点垂直ON射入磁屏蔽区域，由几何关系可知 由洛伦兹力提供给向心力 联立可得 由于，根据洛伦兹力提供给向心力 解得 当时粒子磁屏蔽区向上做匀速直线运动，离开磁屏蔽区后根据左手定则，粒子向左偏转，如图所示 根据洛伦兹力提供向心力 可得 故粒子打在y轴3L处，综上所述y轴上可能检测到该粒子的范围为。 （3）若在Q处检测到该粒子，如图 由几何关系可知 解得 由洛伦兹力提供向心力 联立解得 其中 根据磁屏蔽效率可得若在Q处检测到该粒子，则 【变式3-6】【答案】AC 【变式3-7】【答案】C 【变式3-8】【答案】BCD 【变式3-9】【答案】BC 【变式3-10】【答案】BC 【变式3-11】【答案】D 【变式3-12】【答案】BD 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 磁场模型（一） —————————————⏩目录⏪————————————— 模型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动模型 类型1 带电粒子在直边界磁场中运动模型 类型2 带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动模型 类型3 带电粒子在磁场中运动的多解问题模型 类型4 动态圆模型 模型二 电磁仪器模型 类型1 质谱仪模型 类型2 回旋加速器模型 类型3 电场与磁场叠加的应用实例模型 ———————————⏩模型建构⏪———————————— ✡模型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动模型 ▶模型剖析 1.带电粒子在有界匀强磁场中的运动 （1）直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) （2）平行边界(往往存在临界条件，如图所示) （3）圆形边界(进出磁场具有对称性) ①沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 ②不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态不唯一或速度大小不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出 运动的往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性 3. 动态圆模型 （1）“平移圆” 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R=，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R=的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 （2）“旋转圆” 适用 条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R=，如图所示 轨迹圆圆 心共圆　 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上 界定 方法 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 （3）“放缩圆” 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆 心共线　 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 ▶模型特训 类型1 带电粒子在直边界磁场中运动模型 【典例1】（2026·河南·高考真题）如图，间距为的两虚线、间存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，虚线上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子在纸面内垂直于虚线从点射入磁场，一段时间后又从点射出磁场。已知该粒子在下方磁场中运动的圆轨迹半径为，不计重力，则上、下磁场的磁感应强度大小之比为（     ） A． B． C． D． 【推理演示】根据运动的对称性，可得粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示 带电粒子在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力，有 整理得磁感应强度 由于粒子的不变，因此磁感应强度，即 由几何关系，可知与相似，则 由勾股定理得 且 联立解得 故选C。 【变式1-1】（2025·河北保定·一模）如图所示，平行虚线MN、PQ间有宽度为L、磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子沿着纸面与MN 夹角为θ=37°的方向以速率 v垂直射入磁场中，恰能垂直PQ边界射出磁场；改变粒子入射速度方向和大小，使粒子均以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，不计粒子的重力， 下列说法正确的是（　　） A．粒子射入磁场的速率 v满足 B．粒子以的速率沿纸面不同方向射入磁场时，粒子在磁场中运动的周期变为原来一半 C．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从PQ边界射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 D．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从 PQ边界射出范围的长度为 【答案】C 【详解】A．速度为的粒子沿着纸面与 夹角为的方向垂直射入磁场时，洛伦兹力提供向心力，在磁场中做圆周运动轨道半径为 洛伦兹力提供向心力有 解得，A错误； B．根据周期公式 洛伦兹力提供向心力 解得周期 从周期表达式可以看出周期只与磁感应强度，粒子质量和粒子电荷量有关，而这些物理量均未发生变化，所以周期不变，B错误； C．从A项中洛伦兹力表达式可以看出速度为时，轨道半径 从B选项中洛伦兹力表达式可以看出速度为时，轨道半径 解得 分析知，当粒子在磁场中的弦长为时，圆心角最小，时间最短，设此时圆心角为 则 因此 所以速度为的粒子在磁场中的最短时间为 解得，C正确； D．当粒子平行于边界向下入射时，在边界射出时有最低点，出射点与入射点竖直方向的距离为 当出射方向与边界相切时，在上有最高点，出射点与入射点竖直方向距离为 所以从边界射出范围为，D错误。 故选C。 【变式1-2】（2026·北京海淀·二模）边界MN上方区域内存在垂直于纸面的匀强磁场，带电粒子a、b垂直于磁场方向（同时垂直于磁场边界）从O点射入，它们的部分运动轨迹如图所示。不计粒子所受重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．若两粒子射入时的初速度相同，则粒子a先回到磁场边界 C．若两粒子射入时的初动量相同，则粒子b先回到磁场边界 D．若两粒子射入时的初动能相同，则粒子b先回到磁场边界 【答案】B 【详解】A．根据左手定则，磁场方向垂直纸面向里，粒子初速度向上。粒子向左偏转，受到的洛伦兹力向左，可知粒子带正电；粒子向右偏转，受到的洛伦兹力向右，可知粒子带负电，故A错误； B．粒子垂直射入并在边界射出匀强磁场，均做半个圆周的运动，由图可知轨道半径。若初速度相同，根据在磁场中运动时间可知，即粒子先回到磁场边界，故B正确； C．若两粒子初动量相同，由和可知，两粒子电荷量大小。粒子在磁场中运动时间 ，由于两粒子的质量关系未知，无法比较运动时间的长短，故C错误； D．若两粒子初动能相同，则粒子在磁场中运动时间，由于两粒子的质量关系未知，无法比较运动时间的长短，故D错误。 故选B。 【变式1-3】（2026·江西宜春·模拟预测）利用电子束轰击芯片的特定区域，可生成不同的图像。如图，边长的正方体内存在沿方向的匀强磁场，在过、中点的长方形区域内（该区域垂直于面），也存在沿方向的匀强磁场偏转区，该区域高为、长为。电子枪连续发出初速度不计的电子，经加速电压（）加速后，从磁场偏转区左边界中点垂直左边界进入磁场偏转区，并从面的中心点进入正方体区域，调节正方体内磁场的磁感应强度大小使电子从面离开，电子的比荷取，电子进入磁场偏转区时速度为，不计电子重力，，。求： (1)加速电压； (2)磁场偏转区的磁感应强度的大小； (3)正方体区域内磁感应强度的大小范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在电场中加速过程，根据动能定理 解得 （2）电子在磁场中的运动轨迹如图 由几何关系可得 解得 洛伦兹力提供向心力 解得 （3）设电子进入正方体区域后半径为，运动过程如图所示 由图中几何关系可知，，得 若恰好从底面射出，则有 洛伦兹力提供向心力 解得 若恰好从侧面射出，如图，由 洛伦兹力提供向心力 解得 磁感应强度B2的大小范围 【变式1-4】（2026·四川遂宁·模拟预测）（多选）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从点射入，从点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在点速率大于在点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从点左侧的下边界射出 D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 【答案】CD 【详解】A．带电粒子向下偏转，根据左手定则可知粒子带负电，故A错误； B．磁场对带电粒子不做功，因此粒子在点速率等于在点速率，故B错误； C．带电粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，满足 解得粒子做圆周运动的半径 若增大磁感应强度，则圆周运动的半径减小,如图所示 粒子可能从点左侧的下边界射出，故C正确； D．若仅增大入射速率，由可知粒子做圆周运动的半径增大，由图可知，粒子在磁场中运动的圆心角减小，粒子在磁场中运动时间 故粒子在磁场中运动时间变短，故D正确。 故选CD。 类型2 带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动模型 【典例2】（2026·广西·高考真题）圆心在原点、半径为的圆形匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；质量为、电荷量为的带电粒子以初速度（未知）从磁场外沿轴正方向从点进入磁场，从点射出，出射速度方向与轴正方向夹角为，如图所示。不计粒子的重力，则（     ） A．带电粒子带正电 B．粒子的运动轨迹是抛物线 C．粒子运动速度大小 D．粒子在磁场内的运动时间 【推理演示】A．根据题意，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A错误； B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则粒子的运动轨迹MN是圆弧，故B错误； CD．根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系有 解得 由洛伦兹力提供向心力有 解得 由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为θ=60°，则粒子在磁场内的运动时间，故C正确，D错误。 故选C。 【变式2-1】（2026·云南·高考真题）洛伦兹力演示仪示意图如图甲所示，玻璃泡处于励磁线圈产生的磁场中。玻璃泡内有一垂直磁场的竖直圆面，图乙为其放大示意图，其圆心为O、半径为R、最高点为P，区域内的磁场视为匀强磁场。电子枪将电子从O点正下方0.8R处的S点，以速度v水平向左射出，电子在圆面内运动一段时间后到达P点。已知电子质量为m、电荷量为e，不计电子的重力和电子之间的相互作用。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)电子从S点第一次到达P点所用的时间。 【答案】(1)，垂直纸面向里 (2) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力有 可得 根据几何关系可得 联立可得 根据左手定则可知磁感应强度方向垂直纸面向里。 （2）根据结合可得 电子从S点第一次到达P点转过的圆心角为，电子从S点第一次到达P点所用的时间 联立可得 【变式2-2】（2026·河南濮阳·模拟预测）如图所示，圆心在点、半径为的圆形区域内有方向垂直纸面向外的匀强磁场。初速度为0的电子在电子枪中经加速电压为的电场加速后沿方向进入磁场，电子经磁场偏转后从点射出并垂直打在荧光屏上的点，平行于，与的距离为，电子的比荷为，忽略电子间的相互作用。求： (1)电子离开加速电场的速度大小； (2)圆形区域内的磁感应强度大小； (3)若保持电子枪与平行，仅将电子枪在纸面内向下平移至虚线位置，则电子打在荧光屏上的位置与点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在电子枪中加速，由动能定理得 解得电子离开加速电场的速度 （2）电子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力有 电子运动轨迹如图甲所示。由几何关系得 解得圆形区域内的磁感应强度 （3）电子在磁场中运动的半径，平行于方向射入磁场的电子经偏转后都将经过点后打在荧光屏上，电子枪在纸面内向下平移位置射入磁场的电子打在荧光屏上的点其轨迹如图乙所示 由几何关系可知图中 由几何关系可知电子打在荧光屏上的位置与点的距离 【变式2-3】（2026·广西河池·二模）（多选）如图所示，空间存在某四分之一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度从圆心沿方向射入磁场，恰好从点离开磁场。若电子以初速度从点沿方向射入磁场，恰好从圆弧的中点离开磁场。则（     ） A．的大小为 B．的大小为 C．增大，电子将从边上离开磁场 D．增大，电子将从边上离开磁场 【答案】BD 【详解】AB．设磁场区域半径为，电子从A离开磁场，几何关系为 解得，对应速度 从圆弧的中点离开磁场，几何关系为 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 则有 得 即，故A错误，B正确； CD． 增大，轨迹半径增大，轨迹会与CD边相交，因此电子从边离开，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式2-4】（2026·河北邢台·二模）（多选）如图所示，在半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，直径和直径相互垂直。现甲、乙两个相同的带电粒子以相同速率从点进入磁场，甲粒子入射速度方向与方向的夹角为，乙粒子入射速度方向与方向的夹角为。粒子甲从圆弧上的点平行于离开磁场，点到直径的距离为，两个粒子的重力及粒子间相互作用力均不计，下列说法正确的是 A．两粒子带正电 B．两粒子的比荷为 C．甲、乙两粒子在磁场中的运动时间之比为 D．乙粒子离开磁场时的位置到直径的距离为 【答案】BC 【详解】A．利用左手判定可知两粒子应该带负电，故A错误； B．由几何关系可知得 由 得粒子比荷，故B正确； D．两粒子相同，速率也相同，所以在同一磁场中两粒子运动半径相同，由几何关系可知，粒子乙平行于离开磁场，乙粒子离开磁场时的位置到直径的距离为，故D错误； C．粒子在磁场中运动时间 甲粒子在磁场中速度偏转，乙粒子在磁场中速度偏转，甲、乙两粒子在磁场中的运动时间之比为，故C正确。 故选BC。 类型3 带电粒子在磁场中运动的多解问题模型 【典例3】（2025·安徽马鞍山·二模）垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【推理演示】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 由图可知磁场变化的周期为 根据 可得在时间内偏转的角度为 同理在在时间内偏转的角度为 设粒子的出发点为a，经磁场变化的一个周期的终点为b，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得粒子的位移即为a、b两点的距离，则有 从t=0时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小故选D。 【变式3-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）（多选）如图甲所示，、为竖直放置彼此平行两块足够长的平板，板间距离为，两板中央各有一个小孔、且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在时垂直于板从小孔射入磁场，已知正离子质量为，带电荷量为，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，粒子撞到平板即被吸收，不计离子所受重力，下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小等于 B．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 C．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 D．若正离子能从孔垂直于板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为时所用时间最短 【答案】CD 【详解】A．正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力 做匀速圆周运动的周期 联立两式得磁感应强度 选项A错误； BCD．要使正离子从N板O′孔射出磁场，v0的方向应如图所示 结合粒子运动的方向可知，当运动的轨迹是一个周期时，运动的时间最短，所以 tmin=T0 此时离子做匀速圆周运动的半径为； 两板之间正离子运动n个周期，即nT0，则 联立上式可得，正离子的速度 当n=1时 当n=2时 选项B错误，CD正确。 故选CD。 【变式3-2】（2025·山西临汾·二模）（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面）向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B₁的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】根据洛伦兹力提供向心力 可得 则在第Ⅰ象限内运动的半径为 在第Ⅳ象限内运动的半径为 设粒子最后从P点离开时在第Ⅰ象限运动n次，在第Ⅳ象限次，根据几何关系有 解得， A，当时，n不为整数，故A错误； B，当时，n=0，不符合取值范围，故B错误； C，当时，，故C正确； D，当时，，故D正确。 故选CD。 【变式3-3】（2024·河北·模拟预测）（多选）真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，如图所示 根据几何关系有 解得 根据 解得 粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，根据几何关系有 解得 根据 可得 故选CD。 【变式3-4】（23-24高三上·辽宁·阶段检测）（多选）如图所示，多边形区域内有磁感应强度为B的垂直纸面向里的匀强磁场（边界处有磁场），粒子源P可以沿底边向右发射质量为m、电荷量为的粒子，粒子速率各不相同；右侧边界中点处有一粒子源Q可以在纸面内沿各个方向向磁场内部发射质量为m、电荷量为、速率为的粒子。下列说法正确的是（    ） A．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为3a B．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为4a C．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界（除Q所在的边界）的最短时间为 D．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界的最长时间为 【答案】AC 【详解】AB．由粒子源P发射的粒子轨迹的圆心在图（a）中虚线上，如图 由可知 轨迹半径r随速度增大而增大。当时，粒子能够到达之间；当时，粒子能够到达之间；当时，粒子能够到达Q点正下方的边界上，A正确，B错误； CD．由粒子源Q发射的粒子，速率相同，将代入 可得 如图（b）所示 粒子首次到达M点的时间最短，由几何关系 则 粒子恰好没有落在M点时，落点为N，此时是首次到达边界的最长时间，由几何关系 所以 故C正确，D错误。 故选AC。 【变式3-5】（2025·贵州遵义）（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ之间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧）： 由几何知识知： 而OB=s+R2 所以R2=s 所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得； 当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧）： 由几何知识知道相切圆的半径为 所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。 由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出， 所以得 故选AD。 【变式3-6】（2025·甘肃兰州）如图所示，边长为的等边三角形区域内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点处有一正粒子源，能沿的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，粒子运动的半径 由洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 将代入，只有选项A符合，故选A。 【变式3-7】（2025·海南海口）（多选）如图，在xoy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成的速度从P点射出，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程可能为 C．粒子在Q点的速度方向可能与y轴垂直 D．粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为 【答案】ABD 【详解】C．由题意，可画出粒子的运动轨迹如下图所示两种情形 显然，粒子在Q点的速度方向不可能与y轴垂直，故C错误； A．粒子运动的最短时间为图1所示情形，根据几何知识，知此时运动轨迹所对圆心角为，则可得，故A正确； B．在图1中，由几何知识可得粒子运动的半径为 则粒子运动的总路程为 在图2中，由几何知识可得粒子运动的半径为 则粒子运动的总路程为，故B正确； D．由于粒子在磁场中运动的周期相同，则粒子运动的时间之比等于圆心角之比，根据粒子的运动轨迹图可知图1情形粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为；图2粒子从P到O的时间为粒子从O到Q的时间为，故D正确。 故选ABD。 【变式3-8】（2025·河北）如图所示，平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于平面向外的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为的带电粒子以初速度从y轴上点沿x轴正方向开始运动，经过电场后从x轴上的点进入磁场，粒子恰能不经过第Ⅲ象限又回到第Ⅰ象限。不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第8次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过x轴的横坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中仅受电场力的作用做类平抛运动，由P到Q，由牛顿第二定律可得 竖直方向，有     水平方向，有 联立解得， （2）粒子在Q点的速度大小为 解得 设与x轴正方向夹角为，则 可知 在磁场中洛伦兹力提供向心力，有 又根据几何关系 联立解得， （3）如图所示 粒子从第Ⅳ象限进入第Ⅰ象限后做类似斜抛运动，速度方向与x轴正方向成37°，大小为，由运动对称性知CD沿x轴方向距离与DE沿x轴方向距离相等，则 粒子第n次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过x轴的横坐标为 又 解得 当时，可得 【变式3-9】（2025·安徽阜阳）（多选）在如图所示的平面内，分界线将宽度为的区域分成两部分，上部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，下部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，与磁场左右边界垂直。离子源从处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与成角。已知离子比荷为，不计重力。若离子从点射出，设出射方向与入射方向相同，则离子的入射速度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由 得， 依题意，如图所示有 解得 当时，；当时，。 故选AC。 类型4 动态圆模型 【典例4】（2026·四川达州）（多选）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，y轴右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第四象限内有垂直于x轴的无限长探测薄板PQ，其与y轴距离，左右两表面均能接收粒子。位于原点O处的粒子源，沿坐标平面内向磁场区域各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速率均为v，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，粒子撞击薄板后不再反弹。则（     ） A．粒子在磁场中运动的最短时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．薄板左表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板右表面接收到粒子的区域长度为 【推理演示】A．存在不接触PQ从y轴离开磁场的粒子，即时间趋近于0，故最短时间不为，故A错误； B．粒子轨迹半径满足 代入数据解得半径R=2d 粒子运动周期 最长时间对应最大的圆心角，粒子从右侧打在PQ上时存在圆心角最大，当速度沿y轴正方向时所对应的轨迹圆心角最大，如图轨迹1所示： 由几何关系可知，圆心角，则，故B正确； C．粒子从左侧打在PQ上时，最上端能打在P点，打在最下端的粒子轨迹与PQ相切，如上图轨迹3所示，由几何关系可知，轨迹圆心角为，则薄板上该切点距离P点的距离为，故薄板左表面接收到粒子的区域长度为，故C正确； D．粒子从右侧打在PQ上时，能打在最上端的粒子应沿y轴正方向入射（如图轨迹1所示），此粒子在PQ上的位置离P点的距离，由几何关系可知 能打在最下端的粒子，其入射点和吸收点正好为直径（如图轨迹2所示），则吸收点离P点的距离，故薄板右表面接收到粒子的区域长度为，故D错误。 故选BC。 【变式4-1】（2026·湖南郴州）（多选）如图所示，真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界，在上。大量质量为、电荷量为的粒子（不计重力），从点以相同速率沿不同方向垂直磁场射入。入射角的粒子，运动轨迹刚好与边界相切。下列说法正确的是（　　） A．入射角的粒子在磁场中运动时间为 B．粒子在磁场中的轨道半径为 C．若入射角的粒子，速度从0逐渐增大，则粒子从离开磁场的边界长度为 D．若速率不变，入射角由增大到，则粒子从离开磁场的边界长度为 【答案】BD 【详解】B．对于且轨迹与相切的粒子，其轨迹如图所示 由几何关系可得 整理得，故B正确； A．粒子从入射，相切后从出射，轨迹为优弧，圆心角 运动时间，故A错误； C．由洛伦兹力提供向心力 得轨道半径 不变，速度从0增大，则轨迹半径从0增大，仅当时粒子从出射。轨迹与PQ相切时会打在MN最远处为 代入得出射点 出射边界范围从到 总长度为，故C错误； D．速率不变则不变，从增大到，轨迹与PQ相切时会打在PQ最上方为 为时会打在PQ最下方，轨迹如图所示 由几何关系可得 解得 则粒子从离开磁场的边界长度为，故D正确。 故选BD。 【变式4-2】（2026·河北张家口·二模）（多选）研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为、圆心为的圆形区域内有方向垂直于圆平面向外的匀强磁场，、为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发射最小速率为，大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上点射入磁场，入射速度方向平行于、与夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧逃逸出磁场。已知带电粒子的比荷为（），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，，。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电 B．粒子的最大速度为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为 【答案】BC 【详解】A．磁场垂直纸面向外，由题意可知粒子向下偏转，由左手定则可知该粒子带正电，故A项错误； C．粒子的最小速率为v0，由题意可知，该粒子将从b点离开磁场，由于粒子从P点入射时，其与OP的夹角为30°，所以由几何关系可知 设该粒子的轨迹半径为r，则由几何关系可知，粒子的轨迹圆的圆心角也是120°，即有 又因为 解得，故C项正确； B．当粒子的速度最大时，粒子将从d点离开磁场，设此时该粒子的运动轨迹圆的半径为，由几何关系有 解得 又因为 解得，故B项正确； D．由之前的分析可知，当粒子从b点离开时，此时粒子轨迹圆对应的圆心角为，当粒子从d点离开时，其轨迹圆对应圆心角为。粒子在磁场中运动，有，， 结合之前及题意，整理有 所以粒子最短运动时间为 粒子最长运动时间为 粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为，故D项错误。 故选BC。 【变式4-3】（2026·内蒙古赤峰·一模）（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】带负电粒子斜向右上与x轴成入射，粒子垂直打在，结合几何关系可得 最大半径 当轨迹恰好与相切时，有 最小半径 所以轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力 解得速度范围 故选BC。 【变式4-4】（2026·江西上饶·一模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 弦切角越大，圆心角越大，粒子在磁场中运动的时间最长。如图，粒子从点射出时弦切角最大，由几何关系可知 已知该粒子的比荷为k，粒子在磁场中运动的最长时间为 故选C。 【变式4-5】（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 【答案】A 【详解】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为 设正方形abcd的边长为l，则，， 则有t1 < t2 = t3 故选A。 【变式4-6】（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C 【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有，可得，故A错误； B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，，故上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C．根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确； D．根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D错误。 故选C。 【变式4-7】（2024·广东·二模）如图所示，斜边长度为L的等腰直角三角形区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场（三角形边界上也存在磁场）。一电荷量为q，质量为m的带正电的粒子（不计重力）从斜边上的P点进入磁场，速度方向与间的夹角，且。经过一段时间，粒子从上的D点（未画出）离开磁场，则下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于纸面向里 B．粒子的最大速度为 C．D点到P点的最大距离为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【答案】C 【详解】A．根据左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向外，A项错误； B．速度越大，粒子在磁场中做圆周运动的半径越大，当速度达到最大值时，根据几何关系可知，粒子做圆周运动的轨迹同时与三角形的，边相切，且从D点飞出的速度方向与的夹角也为，画出粒子在磁场中的运动轨迹如图， 由几何关系有 由洛伦兹力提供向心力有 解得 B项错误； C．由几何关系有 C项正确； D．粒子做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的时间 D项错误。 故选C。 【变式4-8】（2026·湖南衡阳·模拟预测）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束带正电的粒子，在纸面内从点垂直于射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为、电荷量为。在磁场中运动时间最长的粒子的速率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，满足 故粒子做圆周运动的半径 粒子做圆周运动的周期 粒子在磁场中转过角度所需要的时间 联立解得 由此可知，粒子在磁场中运动的时间与转过的圆心角成正比，设粒子的运动轨迹过上的某一点，为粒子做圆周运动轨迹的圆心，当最大时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长；由几何关系可知当点与点重合时，粒子运动时间最长，如图所示 设运动半径为，则有 解得 代入粒子做圆周运动的半径表达式 解得 故选A。 【变式4-9】（2026·重庆）如图所示，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板接收到的粒子数占总粒子数量的 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C 【详解】A．由洛伦兹力提供向心力 解得 运动周期 最长时间对应圆心角 则最长时间，故A错误； B．薄板的上表面接收到粒子最远点对应轨迹为半圆，最远点距点为 最近点距点为 则薄板的上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C．如图与相切的轨迹为临界情况，对应的圆心角，则速度偏向角等于，从点出发时与轴正向夹角为，则薄板接收到的粒子数占总粒子数量的，故C正确； D．最短时间为粒子刚好到达点，对应圆心角为，由几何关系可得 则最短时间，不等于，故D错误。 故选C。 ✡模型二 电磁仪器模型 ▶模型剖析 1.质谱仪： 测量带电粒子的质量和分离同位素。 原理(如图所示) (1)加速电场：qU=mv2； (2)偏转磁场：qvB=l=2r； 由以上式子可得r=m==。 2.回旋加速器 如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。 （1）.原理 交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙就被加速一次。 （2）最大动能 由qvmB=、Ekm=m得Ekm=粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。 （3）运动时间的计算 ①粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n=粒子在磁场中运动的总时间t1=T=·=。 ②粒子在各狭缝中的运动连在一起为匀加速直线运动，运动时间为t2==。(缝隙宽度为d) ③粒子运动的总时间t=t1+t2=+。 3.电场与磁场叠加的应用实例分析 装置 原理图 规律 速度 选择器 若qv0B=Eq，即v0=则粒子做匀速直线运动 磁流体 发电机 等离子体射入，受洛伦兹力而偏转，使两极板分别带正、负电，两极板间电压为U时稳定，有q=qv0B，即U=Bv0d 电磁 流量计 稳定时有q=qvB，所以v=流量Q=vS= 霍尔 元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差U，q=qvB，I=nqvS，S=hd，联立解得U= ▶模型特训 类型1 质谱仪模型 【典例1】（2026·河北沧州·三模）用如图所示的装置进行实验探究：将比荷均为的正、负粒子，一起注入加速电场的中心，忽略各粒子的初速度，部分粒子经电场加速形成的粒子束从正极板的小孔射出，然后进入磁分析器部分粒子经电场加速后形成粒子束从负极板上的小孔射出，沿半径为的圆弧轨迹通过静电分析器，接着通过速度选择器（已知只有沿直线运动的粒子才能通过速度选择器），最后在磁分析器中沿半圆弧轨迹偏转回到点。其中加速电场的电压大小为，静电分析器中与圆心等距离的各点电场强度大小相等，方向指向圆心，磁分析器中以为圆心的足够大的半圆形区域内，分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场。整个系统处于真空中，磁分析器与静电分析器到加速电场与速度选择器的距离相等，不计重力、粒子间的相互作用力及相对论效应。 (1)求静电分析器中粒子运动轨迹处电场强度的大小。 (2)分析两束粒子是否会相撞，并求磁分析器中匀强磁场的磁感应强度大小。 (3)若速度选择器中磁场的磁感应强度大小为磁分析器中匀强磁场的磁感应强度大小的，则速度选择器中电场的电场强度为多大？ 【推理演示】（1）在加速电场中，由动能定理有 在静电分析器中，有 解得 （2）由题可知粒子束1带负电，粒子束2带正电； 根据 可得 它们的速率大小相等，可知正、负粒子在磁分析器中运动的圆周半径均为R，圆周运动的周期也相等，则两粒子同时进入速度选择器； 粒子束1虽然可以通过磁分析器进入速度选择器，但是负粒子从左侧进入速度选择器，受到的洛伦兹力与电场力方向都向下，将向下偏转打到下极板上，不会与粒子束2相撞； 粒子在磁分析器中运动由洛伦兹力提供向心力，有 解得。 （3）带正电的粒子能通过速度选择器，则有 可得 又 联立解得。 【变式1-1】（2026·重庆·三模）如图所示，一束质量相同的带电粒子以一定的初速度沿直线通过由相互正交的匀强磁场和匀强电场组成的速度选择器（速度选择器中的电场方向水平向右），然后粒子通过平板S上的狭缝P进入平板下方的匀强磁场，平板下方的磁场方向如图中所示。粒子最终打在S板上，粒子重力不计，则下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带负电 B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里 C．能沿直线通过狭缝P的粒子在通过狭缝P时具有的动量不一定相同 D．粒子打在平板S上的位置离狭缝P越近，粒子的比荷越大 【答案】D 【详解】A．粒子进入下方磁场后向左偏转，下方磁场方向垂直纸面向外，根据左手定则，可知粒子带正电，故A错误； B．粒子在速度选择器中做直线运动，受力平衡，粒子带正电，电场方向水平向右，则电场力水平向右，洛伦兹力必须水平向左，根据左手定则，速度向下，洛伦兹力向左，则磁场方向垂直纸面向外，故B错误； C．能通过速度选择器的粒子满足 解得 即速度相同，题目已知粒子质量相同，根据 可知动量一定相同，故C错误； D．粒子在下方磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子打在平板上的位置离狭缝的距离 由于、、均相同，则与比荷成反比，位置离越近，越小，比荷越大，故D正确。 故选D。 【变式1-2】（2026·北京海淀·三模）质谱仪可用来研究微观粒子的同位素。某质谱仪的结构如图所示，Ⅰ为粒子加速器，Ⅱ为速度选择器，Ⅲ为偏转分离器，Ⅳ为照相底片。速度选择器内磁场与电场正交，磁感应强度大小为B1，两板间电压为U1，距离为d；偏转分离器内磁感应强度大小为B2。有一束电荷量为q的同位素粒子经加速后，恰能沿图中虚线通过速度选择器，从P点进入分离器后打到照相底片上的Q点，PQ之间的距离为x0。不计同位素粒子飘入电场的初速度、粒子所受重力以及粒子间的相互作用。 (1)求离子经过P点时的速度大小v； (2)求离子的质量m； (3)某次实验中，偏转分离器中的磁感应强度在到之间波动，离子打到照相底片上的MN范围内，求： a.求MN的距离xMN； b.在（2）的基础上，若不考虑磁感应强度的波动，求MN范围内离子质量的最大值和最小值之差Δm。 【答案】(1) (2) (3)a.；b. 【详解】（1）对离子在速度选择器内的运动进行受力分析可知，由于离子恰能沿图中虚线通过速度选择器，所以离子受力平衡，则根据平衡关系有 又因为 联立解得离子经过P点时的速度大小为 （2）离子在偏转分离器中做匀速圆周运动，根据题意可知，其做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力有 解得离子的质量为 （3）a.当偏转分离器中的磁感应强度为时，根据洛伦兹力提供向心力有 解得此时离子做匀速圆周运动的半径为 当偏转分离器中的磁感应强度为时，根据洛伦兹力提供向心力有 解得此时离子做匀速圆周运动的半径为 所以MN的距离为 b.假设质量为的粒子，恰好能到达M点，则根据洛伦兹力提供向心力有 解得 假设质量为的粒子，恰好能到达N点，则根据洛伦兹力提供向心力有 解得 所以MN范围内离子质量的最大值和最小值之差为 【变式1-3】（2026·广东广州·二模）（多选）如图为质谱仪的原理示意图，现有氕（）、氘（）两种粒子从容器A下方的小孔S无初速度飘入电势差为U的加速电场。加速后垂直进入匀强磁场中，最后打在照相底片D上，形成两条质谱线a、b。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的有（　　） A．氕和氘的动能相等 B．氕和氘的动量大小相等 C．氕的运动时间比氘的短 D．质谱线a是由氕形成的 【答案】AC 【详解】A．加速电场加速，由动能定理得 由于氕氘电荷量相等，同一个加速电场，故两者离开加速电场时的动能相等，故A正确； B．因为， 联立故有 由于氕氘进入磁场动能相等，两者质量不等，故动量不等，故B错误： C.两者在磁场中的运动时间均为圆周运动的半周期，即 氕氘电荷量相等，同一个磁场B相等，氕的质量是氘的，故氕的运动时间较短，故C正确； D．磁场中，洛伦兹力提供向心力 联立解得半径 可知质量越大r越大，氘的质量较大，所以质谱线a对应的是质量较大的氘，故D错误。 故选AC。 【变式1-4】（2026·北京海淀·二模）质谱仪可用来研究微观粒子的同位素。电荷量均为q的某元素的两种同位素粒子a、b，从容器A下方飘入S1、S2间电压为U的加速电场，加速后从小孔S3垂直于磁场方向进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，最后打到照相底片D上，如图所示。不计同位素粒子飘入电场的初速度、粒子所受重力及粒子间的相互作用。 (1)求同位素粒子a进入匀强磁场时的动能Ek。 (2)若测得该元素的两种同位素粒子a、b打到底片上的位置到小孔S3的距离分别为d1、d2，求同位素粒子a与b的质量之比k1。 (3)调节磁感应强度的大小，同位素粒子打到D上的位置到S3的距离会随之改变。已知同位素粒子a、b的质量分别为m1、m2，D的最左端、最右端到小孔S3的距离分别为L1、L2，为使同位素粒子a、b都能打到D上，求磁感应强度最大值与最小值之比k2。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子经过电压U加速，根据动能定理 进入匀强磁场时的动能 （2）设某种同位素粒子的质量为m，经加速电压加速后，从进入匀强磁场的速度为v，运动的半径为r，打到照相底片D上的位置为d， 由几何关系得 根据动能定理 在磁场中洛伦兹力提供向心力 联立可得，即 所以 （3）要使两种同位素a、b都打在照相底片D上，设粒子a、b在匀强磁场中的运动半径分别为、 对粒子a有 洛伦兹力提供向心力 可得 对粒子b有 洛伦兹力提供向心力 可得 所以 【变式1-5】（2026·天津河东·二模）质谱仪是最早用来测定微观粒子比荷的精密仪器，其原理如图所示。为粒子加速器，加速电压为，为速度选择器，其中磁场与电场正交，磁场磁感应强度为，两极板间距为，为粒子偏转分离器，磁感应强度为。今有一重力不计、比荷未知的带正电的粒子，从小孔“飘入”（初速度为零）粒子加速器，加速后从小孔以速度进入速度选择器并恰好沿直线通过，粒子从小孔进入分离器后做匀速圆周运动，打在照相底片点上。 (1)求粒子的比荷； (2)计算速度选择器的电压； (3)另有的同位素同样从小孔“飘入”，仅调节的大小使粒子通过速度选择器进入分离器，最后打到照相底片上的点，测出与两点间距离。若同位素两粒子带电量均为，求： ①该同位素两粒子的质量差； ②该同位素两粒子在分离器中运动的时间差。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子在加速器中，根据动能定理 可得 （2）在速度选择器中 又因为 解得 （3）①粒子在分离器中做匀速圆周运动 粒子在分离器中做匀速圆周运动 由几何关系得 解得 ②粒子做圆周运动的周期 粒子做圆周运动的周期 又因为 解得 【变式1-6】（2026·北京东城·一模）如图1为质谱仪的工作原理图，粒子从电离室A中的小孔逸出（初速度不计），经电压恒定为的电场加速后，通过小孔和，从磁场上边界垂直于磁场方向进入磁感应强度为的匀强磁场中，运动半个圆周后打在接收底板上并被吸收。对于不同的带电粒子，可能会在上的不同位置出现谱线。不计带电粒子的重力。 (1)求质量为电荷量为的粒子进入磁场的速度大小 ； (2)某同学观察到，接收底板的刻线旁印有“72  73  74”等数值，他猜想该数值对应于粒子的某种特性，请你判断这些数值是对应于还是，并说明理由； (3)某同学还观察到，“72  73”对应的刻线清晰，“74”对应的刻线因磨损已模糊不清，请在图2中定性画出“74”对应的刻线位置，并说明理由。 【答案】(1) (2)粒子打在接收底板上的位置到的距离为，可知与成正比，因此这些刻线数值是对应于。 (3)，由可知，越大，越大。由于“74”比“73”的更大，因此“74”对应的刻线位置应在“73”刻线的左侧（远离的一侧）且74与73的间距小于73与72的间距。 【详解】（1）粒子在加速电场中运动时，根据动能定理有 解得粒子进入磁场的速度大小为 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有 解得粒子做匀速圆周运动的半径为 粒子打在接收底板上的位置到的距离为 由上式可知，与成正比，因此这些刻线数值是对应于。 （3）由可知，越大，越大。由于“74”比“73”的更大，因此“74”对应的刻线位置应在“73”刻线的左侧（远离的一侧）且74与73的间距小于73与72的间距，则“74”对应的刻线位置如图所示： 【变式1-7】（2026·广东中山·一模）（多选）图甲是粒子检测装置的示意图，图乙为其俯视图，粒子源释放出的经电离后的碳与碳原子核（初速度不计），经直线加速器加速后由中缝进入通道，该通道的上下表面是内半径为、外半径为的半圆环，磁感应强度为的匀强磁场垂直于半圆环，正对着通道出口处放置一张照相底片，能记录粒子从出口射出时的位置。当直线加速器的加速电压为时，原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，下列说法正确的有（　　） A．在图乙中，磁场的方向是垂直于纸面向外 B．若原子核和原子核均能击中照相底片，原子核在磁场中的运动时间一定比在磁场中的运动时间小 C．加速电压为时，原子核所击中的位置比原子核更远离圆心 D．当加速电压时，原子核全部打在外圆环上 【答案】ACD 【详解】A．由题图可知，碳原子核进入磁场区时受到的洛伦兹力方向应向右，则根据左手定则可知，磁场的方向垂直纸面向外，故A正确； B．碳原子核在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力有 解得碳原子核做匀速圆周运动的半径为 则碳原子核在磁场中做匀速圆周运动时的周期为 所以碳原子核在磁场中运动的时间为 由于原子核的质量数大于原子核的质量数，所以原子核在磁场中的运动时间一定比原子核在磁场中的运动时间大，故B错误； C．当加速电压为时，根据动能定理有 解得碳原子核进入磁场区的速度为 结合B选项解得碳原子核做匀速圆周运动的半径为 由于原子核的质量数大于原子核的质量数，所以原子核所击中的位置比原子核更远离圆心，故C正确； D．当直线加速器的加速电压为时，原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，则有 当时，解得原子核做匀速圆周运动的半径为 由于中缝到外圆环最右端的距离为，恰好等于，所以当加速电压时，原子核恰好从外圆环的右侧射出，因此当加速电压时，原子核将全部打在外圆环上，故D正确。 故选ACD。 【变式1-8】（2025·广西·高考真题）（多选）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 【答案】AD 【详解】A．对M粒子在加速电场中 在速度选择器中 解得M的质量，故A正确； B．进入粒子速度选择器后因N粒子向下偏转，可知 即，故B错误； C．M粒子在磁场中运动半径为r1，则 解得 N粒子在磁场中运动的半径为r2，则 解得 其中 可得 由动能定理N粒子在选择器中 在加速电场中 解得， 则要想使得粒子N沿轴线OO＇通过选择器，则需满足 联立解得，故C错误； D．若N粒子沿直线通过选择器，则在磁场中运动的半径为r3，则 其中， 由AB选项分析可知，所以 则打在探测器的位移与调节前M打在探测器上的位置间距为 可得，故D正确。 故选AD。 【变式1-9】（2026·福建福州·二模）（多选）如图某一质谱仪由加速电场、静电分析器和磁分析器组成。若加速电场的电压为U，静电分析器通道为四分之一圆弧，中心线的半径为R，通道内存在均匀辐射电场，中心线处的电场强度大小为E。磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，y轴为两个分析器的边界。比荷为k的粒子从静止开始经加速电场加速后，沿中心线MN通过静电分析器，由N点垂直y轴进入磁分析器，最后恰好垂直打在放置于磁分析器下边界（x轴）的探测板上，不计粒子重力。则（    ） A．打在探测板上的带电粒子为负电荷 B．静电分析器中心线处电场强度大小 C．E与B的关系为 D．比荷为2k的带电粒子从离子源飘入质谱仪，将打在探测板距O点2R的位置 【答案】BC 【详解】A．粒子沿x正方向进入磁场，向下偏转后垂直打在轴，磁场垂直纸面向外，根据左手定则：正电荷向右运动时，洛伦兹力向下，符合偏转方向，因此粒子带正电，A错误； B．粒子经加速电场加速，由动能定理 静电分析器中，辐射电场的电场力提供向心力 解得，故B正确； C．磁分析器中，洛伦兹力提供向心力 解得 比荷 原粒子轨迹为四分之一圆，偏转半径 由动能定理得 又因为 联立解得，故C正确； D．对于比荷的粒子，磁分析器中，洛伦兹力提供向心力 由动能定理得 比荷 解得 结合原粒子 解得 ，因此不会打在距O点2R的位置，故D错误。 故选BC。 类型2 回旋加速器模型 【典例2】（2025·广东·高考真题）某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为、质量为m的离子以初速度从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．第1次加速后，离子的动能增加了 C．第k次加速后，离子的速度大小变为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 【推理演示】A．直线通道PQ有电势差为U的加速电场，粒子带负电，粒子沿顺时针方向运动，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向里，故A正确； BC．根据题意，由动能定理可知，加速一次后，带电粒子的动能增量为qU，由于洛伦兹力不做功，则加速k次后，带电粒子的动能增量为kqU，加速k次后，由动能定理有 解得 故BC错误； D．粒子在偏转磁场中运动的半径为R，则有 联立解得 故D错误。 故选A。 【变式2-1】（2026·辽宁朝阳·模拟预测）（多选）如图所示为回旋加速器的示意图，形金属盒半径为，两盒间的狭缝很小，磁感应强度为的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为，加速电压为。A处粒子源产生氦核，不考虑相对论效应和重力的影响，若粒子在磁场中运动的周期与高频交流电周期相等，则下列说法正确的是（　　） A．若加速电压增加为原来4倍，则氦核的最大动能变为原来的4倍 B．若高频交流电的频率减少为原来的，则磁感应强度应变为原来的 C．若该加速器对氚核加速，则高频交流电频率应变为原来的倍 D．若该加速器对氘核加速，则氘核的最大动能是氦核最大动能的 【答案】BD 【详解】A．氦核出回旋加速器的速度最大，此时的半径为，则根据 解得 则最大动能为，可知最大动能与加速的电压无关，故A错误； B．电场的变化周期与粒子在磁场中运动的周期相等，若高频交流电的频率减少为原来的，则为原来2倍，根据 可知磁感应强度变为原来的，故B正确； C．氦核的比荷为，氚核的比荷为，根据 可知若该加速器对氚核加速，则高频交流电的周期应变为原来的倍，频率为原来的，故C错误； D．最大动能 若该加速器对氘核加速，则氘核的最大动能是氦核最大动能的，故D正确。 故选BD。 【变式2-2】（2026·江西南昌·二模）回旋加速器的两个半圆形“”型盒之间的距离不可忽略（如图甲所示），将导致被加速的粒子运动一周所用的时间略大于方波交流电（如图乙所示）的周期。若粒子的初速度为零，“”型盒的半径为，匀强磁场的磁感应强度为，不考虑相对论效应，为使粒子能完成加速离开回旋加速器，则加在两“”型盒之间的电压至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】离开回旋加速器时，粒子的轨迹半径等于“”型盒的半径，根据洛伦兹力提供向心力可得 可得 圆周运动的周期为 “”型盒之间的距离不可忽略，将导致被加速的粒子运动一周所用的时间略大于方波交流电周期，为了保证粒子每次穿过缝隙时电场方向恰好反向，使粒子持续加速，粒子在缝隙中运动的总时间必须不超过半个周期，设粒子被加速次，每次加速获得动能，总动能 粒子在缝隙中做匀加速直线运动，总位移为，平均速度为，可得在缝隙运动时间为 临界条件为 联立可得 代入，可得 故选C。 【变式2-3】（2026·浙江金华·二模）（多选）“圈套”常用于冷却高能粒子束。某回旋加速器中，匀强磁场的磁感强度，高频加速电压的频率，带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流，最后粒子束从半径的轨道飞出，进入冷却“圈套”的水中并停止运动。不考虑电磁辐射等其它能量损失，不考虑相对论效应。设“圈套”中水的用量，水的比热容。则（　　） A．回旋加速器正常工作时，高频加速电压频率是粒子回旋频率的2倍 B．粒子的比荷为 C．粒子离开加速器时的速度为 D．可使“圈套”中的水温升高约 【答案】BD 【详解】A．回旋加速器正常工作时，为了使带电粒子不断在D形盒的缝隙中被电场加速，则高频加速电压频率应该等于粒子的回旋频率，A错误； B．根据可得粒子的比荷为，B正确； C．根据可得，粒子离开加速器时的速度为，C错误； D．设单位时间内飞出回旋加速器的粒子为N，则I=Nq 粒子束在单位时间内释放出来的能量为 解得 由热平衡条件得 所以升高的温度 解得Δt=2.1K 可使“圈套”中的水温升高约，D正确。 故选BD。 【变式2-4】（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）用如图所示的回旋加速器使质子加速，质子从图中点开始加速。下列说法正确的是（     ） A．质子第二次加速前、后在磁场中运动的轨道半径之比为 B．仅增大加速电压，质子飞出D形盒的动能不变 C．仅增大加速电压，质子在磁场中运动的时间减小 D．不改变交流电的周期，用此加速器加速氘核，质子与氘核的最大动能之比为 【答案】BC 【详解】A．粒子在加速电场中做匀加速运动，在磁场中做匀速圆周运动，根据知，质子第二次加速前、后经过D形盒狭缝的速度比为 根据 则半径比为，故A错误； B．根据 知 则最大动能，故质子飞出D形盒的动能与加速的电压无关，故B正确； C．因 质子在磁场中运动的时间 故仅增大加速电压，质子在磁场中运动的时间减小，故C正确； D．因质子与氘核的电荷数相同，质量之比为1：2，由 质子若正常被加速,换氘核要被正常加速,则要改变交流电的周期,故D错误。 故选BC。 【变式2-5】（2026·北京昌平·一模）回旋加速器的工作原理如图所示，两个半径为的D形金属盒与一高频交流电源两极相接，两盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为。处的粒子源产生质量为、电荷量为的带电粒子，初速度不计。粒子在两盒之间的缝隙被电场加速，然后在磁场中做圆周运动，最终从D形盒的边缘射出。不计粒子重力和粒子间相互作用，不计粒子经过盒缝的时间。 (1)若粒子每次经过盒缝时都能被加速，求交流电源的频率应满足的条件； (2)求粒子获得的最大动能； (3)有同学认为，只增大交流电源电压即可使粒子获得更高能量。你是否同意该同学的说法？简要说明理由。 【答案】(1) (2) (3)不同意，粒子的最大动能仅与磁感应强度B、D形盒半径R、粒子的电荷量q和质量m有关，与交流电源的电压U无关。 【详解】（1）粒子在磁场中做圆周运动有 因为 联立解得 为保证粒子每次经过盒缝时都能被加速，交流电源的周期必须与粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，所以交流电源电压的频率为 （2）当粒子从D形盒边缘射出时，做圆周运动的轨道半径达到最大，即为R，则有 粒子的最大动能为： 联立解得 （3）由（2）中推导的最大动能公式可知，粒子的最大动能仅与磁感应强度B、D形盒半径R、粒子的电荷量q和质量m有关，与交流电源的电压U无关。因此只增大交流电源电压U不能使粒子获得更高能量。 【变式2-6】（2026·安徽池州·二模）如图为某回旋加速器的示意图。磁感应强度大小为B的匀强磁场仅分布于两个相同且正对的半圆形中空金属盒内，方向与金属盒表面垂直。交变电源通过I、II分别与相连，仅在缝隙间的狭窄区域产生交变电场，I、II间电势差绝对值始终为U。核和核自加速器中央O处同时由静止释放，经电场加速后，以垂直磁场的速度进入。核和核每次经过缝隙时均被加速（假设粒子经过缝隙的时间和粒子间相互作用可忽略）。则（　　） A．核和核加速后获得的最大动能之比为1：3 B．核和核在加速器内运动的时间之比为3：1 C．核完成三次加速时的动能与此时核的动能之比为3：1 D．核完成三次加速时的动能与此时核的动能之比为9：1 【答案】C 【详解】A．设氕核质量为，电荷量为；氚核质量为，电荷量为，即两者电荷量相同，质量比。 粒子最大动能对应轨迹半径等于D形盒半径，洛伦兹力提供向心力 得最大动能 故，故A错误； B．回旋加速器中粒子运动周期，最大加速次数 总运动时间 总时间与无关，，故B错误； CD．周期，故 氕核完成3次加速，总时间 该时间内氚核的加速次数，仅加速1次。 动能 因此， 得，故C正确，D错误。 故选C。 【变式2-7】（2026·江西·模拟预测）（多选）某种回旋加速器的设计方案如图甲所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两极板的板面中部各有一沿OP方向的狭长狭缝，带电粒子可通过狭缝穿越极板，如图乙所示。两虚线外侧区域存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S中产生的质量为m、带电量为q的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，最终只能从出射孔P射出。如果离子打到器壁或离子源外壁即被吸收。O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为bD，图乙磁场的磁感应强度B大小可调，下列说法正确的是（　　） A．离子能从射出，可能的磁感应强度的最小值为 B．若，则离子一定不能从射出 C．若，，离子打到点时在磁场中运动总时间为 D．若，，离子从射出时的动能为 【答案】ABD 【详解】A．磁感应强度B最小时，离子可经一次加速后从P点离开磁场，根据动能定理得 进入磁场后做匀速圆周运动，有 解得，故A正确； B．若，根据 得到 可知离子经过加速后在磁场中转一圈打到离子源外壁被吸收，不能从P射出，故B正确； CD．若，，则离子第一次加速后的半径为 在磁场中转动半圈后进入电场做减速运动，到下极板速度减为零又再次加速飞出上极板，速度大小不变，半径仍为 如此重复两次后离子从下极板进入电场，可继续加速，速度变大半径变大，如此重复直至从P射出。射出时的半径为 所以射出时的速度 因此射出时动能为 离子在磁场中运动的时间为16.5个周期，即，故C错误，D正确。 故选ABD。 【变式2-8】（2026·湖南长沙）如图甲、乙为两款加速器工作原理的示意图，它们都利用电场加速，最后将高能粒子引出。图乙中磁感应强度为B，加速电压为U，下列说法正确的是（　　） A．两装置所接电源都是交流电源，粒子出射速度都与加速电压的大小有关 B．图甲中粒子在筒中匀速运动，且第n个筒的长度应与n成线性关系 C．若利用图乙加速比荷为k的粒子，则D2中第n个半圆形轨道的半径为 D．用于加速质子的两装置，只要改变输入电压就可用来加速α粒子 【答案】C 【详解】A．图甲中同一个金属筒所处的电势相同，整个金属筒是一个等势体，内部无电场，故粒子是在筒缝中间不断加速，而在筒中匀速运动，由，可得粒子的最大速度除与电压有关外，还与加速次数有关。图乙中双D形金属盒与高频交流电源两极相连，在两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，一个周期加速两次，由，可得粒子的最大速度 显见带电粒子的最大速度与D形盒半径有关而与加速电压U无关，故A错误； B．设vn为粒子在第n个筒内的速度，则筒长为 又因为 可得 即第n个筒的长度与n不成线性关系，故B错误； C．图乙D2中，粒子过第n个半圆形轨道前加速了n次，则有， 解得第n个半圆形轨道半径为，故C正确； D．甲、乙装置制成后，甲图中各筒的长度 图乙回旋加速器交流电压的周期，因质子和α粒子的比荷不同，改变加速电压不能保证α粒子一直加速，因此是不可行的，故D错误。 故选C。 【变式2-9】（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）如图为一种改进后的回旋加速器示意图，其中盒缝间的加速电场被限制在A、C板间，且AC之间的距离不可忽略。带电粒子从处以速度沿电场线方向射入加速电场，经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动。对于这种改进后的回旋加速器，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子每运动一周的时间越来越短 B．带电粒子每运动一周被加速两次 C．加速粒子的最大速度与D形盒的尺寸有关 D．AC之间的加速电场应该是交变电场，且周期与粒子在磁场中运动的时间相等 【答案】AC 【详解】A．带电粒子每运动一周，速率越来越快，其在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力 则周期为 可知粒子在磁场中运动的周期与速度无关，即时间与速度无关，但是粒子在电场中做直线运动的时间变短，故A正确； B．带电粒子只有经过A、C板间时被加速，即带电粒子每运动一周被加速一次，故B错误； C．当粒子从D形盒边缘射出时，速度最大，圆周运动的半径为D型盒半径，则 解得 可知加速粒子的最大速度与D形盒的尺寸有关，故C正确； D．盒缝间的加速电场被限制在A、C板间，右边界没有电场，不需要改变电场方向，即不需要加交变电场，故D错误。 故选AC。 类型3 电场与磁场叠加的应用实例模型 【典例3】（2026·北京顺义·二模）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度的大小为，方向竖直向下。从S点释放初速度为0、电荷量为、质量为的带正电粒子，经M加速后恰好以速度沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计粒子重力。 (1)求粒子加速器M的加速电压； (2)求速度选择器N两板间的磁感应强度的大小，并判断其方向； (3)仍从点释放另一初速度为0、电荷量为、质量为的带正电粒子，粒子离开N时偏离图中虚线的距离为，求该粒子离开N时的动能。 【推理演示】（1）在加速电场中运动时 解得加速电压 （2）粒子在速度选择器中做直线运动，则 解得 因电场力向下，则洛伦兹力向上，根据左手定则，磁感应强度的方向垂直纸面向里。 （3）仍从S点释放另一初速度为0、电荷量为q、质量为3m的带正电粒子，可知粒子进入速度选择器的速度，则，粒子在速度选择器中向下偏转，则电场力做正功，由动能定理 【变式3-1】（2026·湖北武汉·三模）（多选）离子注入是芯片制造的核心工艺之一，工作原理如图所示。电荷量相同、质量不同的混合正离子束由静止经同一电场加速后，进入速度选择器，使具有相同速度的离子垂直进入磁分析器，最后经偏转系统注入晶圆。已知磁分析器内只存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，下列说法正确的是（     ） A．磁分析器利用洛伦兹力改变离子的速度大小，从而实现离子的筛选 B．在离子注入工艺流程中，磁场和加速电场匹配，共同完成对离子的筛选 C．调节磁感应强度的大小，离子的轨道半径与磁分析器匹配后方可进入偏转系统 D．若需质量更大的离子进入偏转系统，应将磁分析器内的磁感应强度减小 【答案】BC 【详解】A．洛伦兹力不能改变离子速度的大小，只能改变离子速度的方向，A错误； B．在离子注入工艺流程中，加速电场、速度选择器的电磁场、磁分析器的磁场共同配合完成离子筛选，B正确； C．根据，可得 调节磁感应强度的大小，离子的轨道半径与磁分析器匹配后离子可通过磁分析器方可进入偏转系统，C正确； D．根据，若需质量更大的离子进入偏转系统，因R要相同，则应将磁分析器内的磁感应强度增大，D错误。 故选BC。 【变式3-2】（2026·辽宁锦州·二模）如图所示，某科研装置由加速电场、速度选择器和偏转磁场组成。带正电的粒子从加速电场的点由静止漂入，经电压为的电场加速后，沿直线通过速度选择器，再垂直射入磁感应强度为的匀强磁场Ⅱ中。已知粒子的比荷，速度选择器水平极板长、间距，板间电压，磁场Ⅱ区域的水平宽度为，不计粒子重力。 (1)求速度选择器中磁场Ⅰ的磁感应强度的大小； (2)若仅撤去速度选择器中的磁场Ⅰ，粒子仍从点由静止加速，求粒子在磁场Ⅱ中运动至离开磁场时，沿竖直方向的偏转距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在加速电场中，由动能定理，有         代入数据得             在速度选择器中，电场力与洛伦兹力平衡           代入数据得磁场Ⅰ的磁感应强度大小 （2）撤去磁场Ⅰ后，粒子在该区域只受电场力作用，做类平抛运动，水平方向         竖直加速度          竖直分速度               合速度              设速度与水平方向夹角为， 可得               因，粒子未碰到极板进入偏转磁场Ⅱ。 在磁场Ⅱ中，洛伦兹力提供向心力             代入数据得                   结合粒子运动轨迹，由几何关系，竖直方向的偏转距离 【变式3-3】（2026·北京朝阳·一模）一种磁流体发电装置如图甲所示。间距为d的平行金属板M、N之间充满垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。等离子体（高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子）以速度 v 沿垂直于磁场的方向射入磁场，M、N两板间便产生电压。某同学设想了另一种方案：如图乙所示，一细束质量为m、电荷量为q的带正电的离子束以相同的速度v紧邻下极板N射入磁场（N板接地），M、N两板间也同样能够产生电压。已知，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．图甲中M板是电源的负极 B．图甲中M、N板间的最大电压大于Bdv C．图乙中M、N板间的最大电压为 D．图甲与图乙中M、N板间的最大电压均为Bdv 【答案】C 【详解】A．在图甲中，根据左手定则，可知正离子向上偏，负离子向下偏，故M板是电源的正极，N板是电源的负极，故A错误； B．在图甲中，当带电离子在叠加场做匀速直线运动时，M、N板间产生稳定的电压，即最大电压，根据平衡条件有 其中 解得，故B错误； C．图乙中，负离子一进入极板间就会打到N板而后流入大地，因此只要考虑正离子的运动即可。初始时极板间无电压，正离子做匀速圆周运动的半径为 则正离子会打在M板上。随着正离子在M板聚集，会产生电压U，后续进入的正离子将会做摆线运动，使用配速法，将速度分解为，其中满足 即离子其中的一个运动为以向右做匀速直线运动，另一个运动为做匀速圆周运动，U较小时，较小，仍较大，则做匀速圆周运动的半径仍能大于，正离子将继续打到M板上，则电压U将继续增大，直到做匀速圆周运动的半径仍能等于，之后进入极板间的粒子将不再打到M板上。则M、N板间达到最大电压后，对向右做匀速直线运动的分运动，有 对做匀速圆周运动的分运动有 且， 联立解得，故C正确，D错误。 故选C。 【变式3-4】（2025·黑龙江哈尔滨）磁流体发电机可简化为如下模型：两块长、宽分别为a、b的平行板，彼此相距L，将两板与外电阻R相连，两板间存在一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向与两板平行，板间持续通入速度为v、电导率（电阻率的倒数）为σ的等离子体，等离子体速度方向与磁场方向垂直，如图所示。则（　　） A．产生的电动势为 B．该磁流体发电机模型的内阻为 C．流过外电阻R的电流为 D．该磁流体发电机模型的路端电压为 【答案】C 【详解】A．根据左手定则知正电荷向上偏，负电荷向下偏，上极板带正电，下极板带负电，最终电荷处于平衡有 解得电动势为E=BLv，故A错误； B．根据电阻定律可知内阻为，故B错误； C．根据闭合电路欧姆定律有，故C正确； D．该磁流体发电机模型的路端电压为，故D错误； 故选C。 【变式3-5】（2025·云南·高考真题）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为（未知）。第一象限内存在边长为的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直平面向里，其磁感应强度大小为（未知），但满足。某质量为m、电荷量为的带电粒子通过速度选择器后，在平面内垂直y轴射入区域，经磁场偏转后刚好从ON中点垂直ON射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压U、间距d、内部磁感应强度大小已知，不考虑该粒子的重力。 (1)求该粒子通过速度选择器的速率； (2)求以及y轴上可能检测到该粒子的范围； (3)定义磁屏蔽效率，若在Q处检测到该粒子，则是多少？ 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）由于该粒子在速度选择器中受力平衡，故 其中 则该粒子通过速度选择器的速率为 （2）粒子在区域内做匀速圆周运动，从ON的中点垂直ON射入磁屏蔽区域，由几何关系可知 由洛伦兹力提供给向心力 联立可得 由于，根据洛伦兹力提供给向心力 解得 当时粒子磁屏蔽区向上做匀速直线运动，离开磁屏蔽区后根据左手定则，粒子向左偏转，如图所示 根据洛伦兹力提供向心力 可得 故粒子打在y轴3L处，综上所述y轴上可能检测到该粒子的范围为。 （3）若在Q处检测到该粒子，如图 由几何关系可知 解得 由洛伦兹力提供向心力 联立解得 其中 根据磁屏蔽效率可得若在Q处检测到该粒子，则 【变式3-6】（2024·湖北·高考真题）（多选）磁流体发电机的原理如图所示，MN和PQ是两平行金属极板，匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子）从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场，极板间便产生电压。下列说法正确的是（　　） A．极板MN是发电机的正极 B．仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小 C．仅增大等离子体的喷入速率，极板间的电压增大 D．仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压增大 【答案】AC 【详解】A．带正电的离子受到的洛伦兹力向上偏转，极板MN带正电为发电机正极，A正确； BCD．离子受到的洛伦兹力和电场力相互平衡时，此时令极板间距为d，则 可得 因此增大间距U变大，增大速率U变大，U大小和密度无关，BD错误C正确。 故选AC。 【变式3-7】（2025·北京·高考真题）电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体体积。如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线的匀强磁场，磁感应强度为B。液体充满管道并以速度v沿轴线方向流动，圆管壁上的两点连线为直径，且垂直于磁场方向，两点的电势差为。下列说法错误的是（　　） A．N点电势比M点高 B．正比于流量Q C．在流量Q一定时，管道半径越小，越小 D．若直径与磁场方向不垂直，测得的流量Q偏小 【答案】C 【详解】A．根据左手定则可知正离子向下偏，负离子向上偏，故N点电势比M点高，故A正确； BC．设管道半径为r，稳定时，离子受到的洛伦兹力与电场力平衡有 同时有 联立解得 故正比于流量Q；流量Q一定时，管道半径越小，越大； 故B正确，C错误； D．若直径MN与磁场方向不垂直，根据可知此时式中磁场强度为磁感应强度的一个分量，即此时测量时代入的磁场强度偏大，故测得的流量Q偏小； 故D正确。 本题选错误的，故选C。 【变式3-8】（2026·广东·二模）（多选）如图，医院利用电磁流量计监测输液管中药液（药液中含有正负离子）的流量（定义：单位时间内通过横截面的液体体积）。匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，输液管直径为，药液以恒定速度水平向右通过流量计，电压传感器可以检测、间的电压，当电压传感器两端电压高于或低于时，系统会发出警报声，则正常输液过程（　　） A．点的电势低于点的电势 B．点的电势高于点的电势 C．流量的上限为 D．流量的下限为 【答案】BCD 【详解】AB．根据左手定则：向右运动的正离子受到向上的洛伦兹力，向a偏转；负离子受到向下的洛伦兹力，向b偏转，因此a聚集正电荷、b聚集负电荷，a点电势高于b点，A错误，B正确； C．当离子受力平衡时，洛伦兹力等于电场力 解得流速 流量为 其中输液管横截面积 代入得流量 可见与成正比，正常输液要求 上限：当时，，即流量上限为，C正确； D．流量下限：当时，，即流量下限为，D正确。 故选BCD 。 【变式3-9】（2026·辽宁沈阳·一模）（多选）电磁流量计的管道内没有任何阻碍流体流动的结构，所以常用来测量高黏度及强腐蚀性流体的流量。它的优点是测量范围宽、反应快、易与其他自动控制装置配套。如图，在非磁性材料制成圆管中，导电液体以相同的流速流过磁场区域时，管的直径为d，磁感应强度为B，若管中液体的流量为Q，下列说法正确的是（　　） A．M点的电势高于N点的电势 B．M点的电势低于N点的电势 C．NM两点间的电势差为 D．NM两点间的电势差为 【答案】BC 【详解】AB．根据左手定则可知，正电粒子到达下极板，则M点的电势低于N点的电势，故A错误，B正确； CD．导电液体流过磁场区域稳定时，电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡，则有 解得 其中流速为，， 代入解得，故C正确，D错误； 故选BC。 【变式3-10】（2026·福建泉州·模拟预测）（多选）利用霍尔效应制成的磁传感器可将磁场信号转换为电信号。如图甲所示，将这种磁传感器固定在自行车的车架上，并在车轮辐条上固定强磁铁，当车轮转动时磁铁每次经过传感器都会在元件两侧产生一次电势差变化，图乙为该元件的工作原理图，该元件中自由移动的载流子带负电，电源电压为。当自行车匀速行驶时，测得磁传感器的电压随时间t变化如图丙所示，已知自行车车轮半径为r，则以下说法正确的是（     ） A．车轮转一周所用的时间为 B．自行车行驶的速度大小为 C．增大电源电压，测得磁传感器的电压的峰值将增大 D．a端电势低于b端电势 【答案】BC 【详解】AB．自行车转一圈，前进，由图丙可知用时，因此行驶速度大小为。故A错误，B正确； C．当磁铁正对霍尔元件时，加在霍尔元件上的磁场最强，此时，（h是宽度，d是厚度），则对应的最大电压为 其中，因此增大会使霍尔电压的最大值增大。故C正确； D．由左手定则可知，负电荷向端运动，故端电势高于端。故D错误。 故选BC。 【变式3-11】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图所示，长方体金属块放在匀强磁场中，电流通过金属块。则霍尔效应产生的高电势在（　　） A．左侧面 B．右侧面 C．上表面 D．下表面 【答案】D 【详解】A．左侧面、右侧面为电流进出端面,霍尔电势差产生在垂直于电流和磁场的方向上,左侧面不会形成高电势,故A错误; B．右侧面沿电流方向,不是霍尔电荷横向积累形成的高电势面,故B错误; C．金属中电子运动方向与电流方向相反,结合题图磁场方向可知,电子受磁场力偏向上表面,上表面积累负电荷,电势较低,故C错误; D．电子偏向上表面后,上表面带负电,下表面带正电,所以下表面电势较高,故D正确。 故选D。 【变式3-12】（2026·湖北襄阳·模拟预测）（多选）物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，霍尔发现了霍尔效应：如图乙是以电子为载流子的霍尔元件，在薄片的两个侧面、间通以电流时，、两侧会产生电势差，测量电势差可计算磁感应强度。下列说法正确的是（     ） A．甲图中，粒子每旋转一圈加速两次，且所有圆轨迹是同心圆 B．甲图中，其他条件不变，只增大加速电压，则粒子出射的最大动能不变 C．乙图中e侧电势低于侧 D．乙图选用单位体积内自由电荷数更少的薄片，能提高磁感应强度测量灵敏度 【答案】BD 【详解】A．甲图中，粒子每旋转一圈加速两次，但所有圆轨迹不是同心圆，故A错误； B．粒子做圆周运动的最大半径等于D形盒的半径 根据牛顿第二定律可得 粒子射出时的最大动能 可见，粒子射出时的最大动能与加速电压无关，故B正确； C．根据左手定则可知，负电荷偏向f侧，正电荷偏向e侧，因此图乙中，e侧电势高于侧，故C错误； D．设e、f两侧面的厚度为d，e、f两侧会产生最大电势差为U ，则有 结合电流的微观表达式 联立解得 选用单位体积内自由电荷数n更少的薄片, 磁感应强度测量灵敏度增大，故D正确。 故选BD。 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 磁场模型（一） —————————————⏩目录⏪————————————— 模型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动模型 类型1 带电粒子在直边界磁场中运动模型 类型2 带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动模型 类型3 带电粒子在磁场中运动的多解问题模型 类型4 动态圆模型 模型二 电磁仪器模型 类型1 质谱仪模型 类型2 回旋加速器模型 类型3 电场与磁场叠加的应用实例模型 ———————————⏩模型建构⏪———————————— ✡模型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动模型 ▶模型剖析 1.带电粒子在有界匀强磁场中的运动 （1）直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) （2）平行边界(往往存在临界条件，如图所示) （3）圆形边界(进出磁场具有对称性) ①沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 ②不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 2.带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小及方向垂直纸面，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态不唯一或速度大小不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出 运动的往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性 3. 动态圆模型 （1）“平移圆” 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R=，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R=的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 （2）“旋转圆” 适用 条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R=，如图所示 轨迹圆圆 心共圆　 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上 界定 方法 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 （3）“放缩圆” 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆 心共线　 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 ▶模型特训 类型1 带电粒子在直边界磁场中运动模型 【典例1】（2026·河南·高考真题）如图，间距为的两虚线、间存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，虚线上方存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一带电粒子在纸面内垂直于虚线从点射入磁场，一段时间后又从点射出磁场。已知该粒子在下方磁场中运动的圆轨迹半径为，不计重力，则上、下磁场的磁感应强度大小之比为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·河北保定·一模）如图所示，平行虚线MN、PQ间有宽度为L、磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子沿着纸面与MN 夹角为θ=37°的方向以速率 v垂直射入磁场中，恰能垂直PQ边界射出磁场；改变粒子入射速度方向和大小，使粒子均以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，不计粒子的重力， 下列说法正确的是（　　） A．粒子射入磁场的速率 v满足 B．粒子以的速率沿纸面不同方向射入磁场时，粒子在磁场中运动的周期变为原来一半 C．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从PQ边界射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 D．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从 PQ边界射出范围的长度为 【变式1-2】（2026·北京海淀·二模）边界MN上方区域内存在垂直于纸面的匀强磁场，带电粒子a、b垂直于磁场方向（同时垂直于磁场边界）从O点射入，它们的部分运动轨迹如图所示。不计粒子所受重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子a带负电 B．若两粒子射入时的初速度相同，则粒子a先回到磁场边界 C．若两粒子射入时的初动量相同，则粒子b先回到磁场边界 D．若两粒子射入时的初动能相同，则粒子b先回到磁场边界 【变式1-3】（2026·江西宜春·模拟预测）利用电子束轰击芯片的特定区域，可生成不同的图像。如图，边长的正方体内存在沿方向的匀强磁场，在过、中点的长方形区域内（该区域垂直于面），也存在沿方向的匀强磁场偏转区，该区域高为、长为。电子枪连续发出初速度不计的电子，经加速电压（）加速后，从磁场偏转区左边界中点垂直左边界进入磁场偏转区，并从面的中心点进入正方体区域，调节正方体内磁场的磁感应强度大小使电子从面离开，电子的比荷取，电子进入磁场偏转区时速度为，不计电子重力，，。求： (1)加速电压； (2)磁场偏转区的磁感应强度的大小； (3)正方体区域内磁感应强度的大小范围。 【变式1-4】（2026·四川遂宁·模拟预测）（多选）如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一不计重力的带电粒子垂直磁场边界从点射入，从点射出。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．粒子在点速率大于在点速率 C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从点左侧的下边界射出 D．若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 类型2 带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动模型 【典例2】（2026·广西·高考真题）圆心在原点、半径为的圆形匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；质量为、电荷量为的带电粒子以初速度（未知）从磁场外沿轴正方向从点进入磁场，从点射出，出射速度方向与轴正方向夹角为，如图所示。不计粒子的重力，则（     ） A．带电粒子带正电 B．粒子的运动轨迹是抛物线 C．粒子运动速度大小 D．粒子在磁场内的运动时间 【变式2-1】（2026·云南·高考真题）洛伦兹力演示仪示意图如图甲所示，玻璃泡处于励磁线圈产生的磁场中。玻璃泡内有一垂直磁场的竖直圆面，图乙为其放大示意图，其圆心为O、半径为R、最高点为P，区域内的磁场视为匀强磁场。电子枪将电子从O点正下方0.8R处的S点，以速度v水平向左射出，电子在圆面内运动一段时间后到达P点。已知电子质量为m、电荷量为e，不计电子的重力和电子之间的相互作用。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小和方向； (2)电子从S点第一次到达P点所用的时间。 【变式2-2】（2026·河南濮阳·模拟预测）如图所示，圆心在点、半径为的圆形区域内有方向垂直纸面向外的匀强磁场。初速度为0的电子在电子枪中经加速电压为的电场加速后沿方向进入磁场，电子经磁场偏转后从点射出并垂直打在荧光屏上的点，平行于，与的距离为，电子的比荷为，忽略电子间的相互作用。求： (1)电子离开加速电场的速度大小； (2)圆形区域内的磁感应强度大小； (3)若保持电子枪与平行，仅将电子枪在纸面内向下平移至虚线位置，则电子打在荧光屏上的位置与点的距离。 【变式2-3】（2026·广西河池·二模）（多选）如图所示，空间存在某四分之一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度从圆心沿方向射入磁场，恰好从点离开磁场。若电子以初速度从点沿方向射入磁场，恰好从圆弧的中点离开磁场。则（     ） A．的大小为 B．的大小为 C．增大，电子将从边上离开磁场 D．增大，电子将从边上离开磁场 【变式2-4】（2026·河北邢台·二模）（多选）如图所示，在半径为的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，直径和直径相互垂直。现甲、乙两个相同的带电粒子以相同速率从点进入磁场，甲粒子入射速度方向与方向的夹角为，乙粒子入射速度方向与方向的夹角为。粒子甲从圆弧上的点平行于离开磁场，点到直径的距离为，两个粒子的重力及粒子间相互作用力均不计，下列说法正确的是 A．两粒子带正电 B．两粒子的比荷为 C．甲、乙两粒子在磁场中的运动时间之比为 D．乙粒子离开磁场时的位置到直径的距离为 类型3 带电粒子在磁场中运动的多解问题模型 【典例3】（2025·安徽马鞍山·二模）垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）（多选）如图甲所示，、为竖直放置彼此平行两块足够长的平板，板间距离为，两板中央各有一个小孔、且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示（垂直于纸面向里的磁场方向为正方向），有一群正离子在时垂直于板从小孔射入磁场，已知正离子质量为，带电荷量为，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，粒子撞到平板即被吸收，不计离子所受重力，下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小等于 B．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 C．当入射速度大小为时，粒子能从飞出磁场 D．若正离子能从孔垂直于板射出磁场，则当离子做匀速圆周运动的半径为时所用时间最短 【变式3-2】（2025·山西临汾·二模）（多选）如图所示，匀强磁场垂直于xOy平面（纸面）向外，磁场的右边界与x轴垂直，交x轴于P（L，0）点。其中第Ⅰ象限内的磁感应强度为B₁，第Ⅳ象限内的磁感应强度为B₂，且B₂=2B₁（大小均未知）。一质量为m、电荷量为+q的粒子从原点O以速度v进入第Ⅰ象限的磁场，方向与x轴成30°角，粒子从P点离开磁场区域，不计粒子重力，则第Ⅰ象限的磁感应强度B₁的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·河北·模拟预测）（多选）真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】（23-24高三上·辽宁·阶段检测）（多选）如图所示，多边形区域内有磁感应强度为B的垂直纸面向里的匀强磁场（边界处有磁场），粒子源P可以沿底边向右发射质量为m、电荷量为的粒子，粒子速率各不相同；右侧边界中点处有一粒子源Q可以在纸面内沿各个方向向磁场内部发射质量为m、电荷量为、速率为的粒子。下列说法正确的是（    ） A．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为3a B．由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为4a C．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界（除Q所在的边界）的最短时间为 D．由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界的最长时间为 【变式3-5】（2025·贵州遵义）（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ之间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-6】（2025·甘肃兰州）如图所示，边长为的等边三角形区域内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为，方向分别垂直纸面向里、向外，三角形顶点处有一正粒子源，能沿的角平分线发射速度大小不等、方向相同的粒子，所有粒子均能通过点，粒子的比荷，粒子重力不计，粒子间的相互作用可忽略，则粒子的速度可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-7】（2025·海南海口）（多选）如图，在xoy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，为坐标轴上的两个点。现有一电量大小为q、质量为m的带正电粒子（不计重力），以与x轴正向成的速度从P点射出，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对PQ段运动描述正确的是（　　） A．粒子运动的最短时间为 B．粒子运动的总路程可能为 C．粒子在Q点的速度方向可能与y轴垂直 D．粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为 【变式3-8】（2025·河北）如图所示，平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于平面向外的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为的带电粒子以初速度从y轴上点沿x轴正方向开始运动，经过电场后从x轴上的点进入磁场，粒子恰能不经过第Ⅲ象限又回到第Ⅰ象限。不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第8次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过x轴的横坐标。 【变式3-9】（2025·安徽阜阳）（多选）在如图所示的平面内，分界线将宽度为的区域分成两部分，上部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，下部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，与磁场左右边界垂直。离子源从处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与成角。已知离子比荷为，不计重力。若离子从点射出，设出射方向与入射方向相同，则离子的入射速度可能为（　　） A． B． C． D． 类型4 动态圆模型 【典例4】（2026·四川达州）（多选）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，y轴右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第四象限内有垂直于x轴的无限长探测薄板PQ，其与y轴距离，左右两表面均能接收粒子。位于原点O处的粒子源，沿坐标平面内向磁场区域各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子电荷量为q、质量为m、速率均为v，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，粒子撞击薄板后不再反弹。则（     ） A．粒子在磁场中运动的最短时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．薄板左表面接收到粒子的区域长度为 D．薄板右表面接收到粒子的区域长度为 【变式4-1】（2026·湖南郴州）（多选）如图所示，真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界，在上。大量质量为、电荷量为的粒子（不计重力），从点以相同速率沿不同方向垂直磁场射入。入射角的粒子，运动轨迹刚好与边界相切。下列说法正确的是（　　） A．入射角的粒子在磁场中运动时间为 B．粒子在磁场中的轨道半径为 C．若入射角的粒子，速度从0逐渐增大，则粒子从离开磁场的边界长度为 D．若速率不变，入射角由增大到，则粒子从离开磁场的边界长度为 【变式4-2】（2026·河北张家口·二模）（多选）研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为、圆心为的圆形区域内有方向垂直于圆平面向外的匀强磁场，、为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发射最小速率为，大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上点射入磁场，入射速度方向平行于、与夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧逃逸出磁场。已知带电粒子的比荷为（），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，，。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电 B．粒子的最大速度为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为 【变式4-3】（2026·内蒙古赤峰·一模）（多选）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2026·江西上饶·一模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab=bc=L，，且ab//cd。一束带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。已知该粒子的比荷为k，不计粒子之间的相互作用。粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】（2025·全国卷·高考真题）如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 【变式4-6】（2025·安徽·高考真题）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【变式4-7】（2024·广东·二模）如图所示，斜边长度为L的等腰直角三角形区域内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场（三角形边界上也存在磁场）。一电荷量为q，质量为m的带正电的粒子（不计重力）从斜边上的P点进入磁场，速度方向与间的夹角，且。经过一段时间，粒子从上的D点（未画出）离开磁场，则下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于纸面向里 B．粒子的最大速度为 C．D点到P点的最大距离为 D．粒子在磁场中运动的时间为 【变式4-8】（2026·湖南衡阳·模拟预测）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，，，一束带正电的粒子，在纸面内从点垂直于射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为、电荷量为。在磁场中运动时间最长的粒子的速率为（     ） A． B． C． D． 【变式4-9】（2026·重庆）如图所示，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板接收到的粒子数占总粒子数量的 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 ✡模型二 电磁仪器模型 ▶模型剖析 1.质谱仪： 测量带电粒子的质量和分离同位素。 原理(如图所示) (1)加速电场：qU=mv2； (2)偏转磁场：qvB=l=2r； 由以上式子可得r=m==。 2.回旋加速器 如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源。 （1）.原理 交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙就被加速一次。 （2）最大动能 由qvmB=、Ekm=m得Ekm=粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关。 （3）运动时间的计算 ①粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n=粒子在磁场中运动的总时间t1=T=·=。 ②粒子在各狭缝中的运动连在一起为匀加速直线运动，运动时间为t2==。(缝隙宽度为d) ③粒子运动的总时间t=t1+t2=+。 3.电场与磁场叠加的应用实例分析 装置 原理图 规律 速度 选择器 若qv0B=Eq，即v0=则粒子做匀速直线运动 磁流体 发电机 等离子体射入，受洛伦兹力而偏转，使两极板分别带正、负电，两极板间电压为U时稳定，有q=qv0B，即U=Bv0d 电磁 流量计 稳定时有q=qvB，所以v=流量Q=vS= 霍尔 元件 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势差U，q=qvB，I=nqvS，S=hd，联立解得U= ▶模型特训 类型1 质谱仪模型 【典例1】（2026·河北沧州·三模）用如图所示的装置进行实验探究：将比荷均为的正、负粒子，一起注入加速电场的中心，忽略各粒子的初速度，部分粒子经电场加速形成的粒子束从正极板的小孔射出，然后进入磁分析器部分粒子经电场加速后形成粒子束从负极板上的小孔射出，沿半径为的圆弧轨迹通过静电分析器，接着通过速度选择器（已知只有沿直线运动的粒子才能通过速度选择器），最后在磁分析器中沿半圆弧轨迹偏转回到点。其中加速电场的电压大小为，静电分析器中与圆心等距离的各点电场强度大小相等，方向指向圆心，磁分析器中以为圆心的足够大的半圆形区域内，分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场。整个系统处于真空中，磁分析器与静电分析器到加速电场与速度选择器的距离相等，不计重力、粒子间的相互作用力及相对论效应。 (1)求静电分析器中粒子运动轨迹处电场强度的大小。 (2)分析两束粒子是否会相撞，并求磁分析器中匀强磁场的磁感应强度大小。 (3)若速度选择器中磁场的磁感应强度大小为磁分析器中匀强磁场的磁感应强度大小的，则速度选择器中电场的电场强度为多大？ 【变式1-1】（2026·重庆·三模）如图所示，一束质量相同的带电粒子以一定的初速度沿直线通过由相互正交的匀强磁场和匀强电场组成的速度选择器（速度选择器中的电场方向水平向右），然后粒子通过平板S上的狭缝P进入平板下方的匀强磁场，平板下方的磁场方向如图中所示。粒子最终打在S板上，粒子重力不计，则下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带负电 B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里 C．能沿直线通过狭缝P的粒子在通过狭缝P时具有的动量不一定相同 D．粒子打在平板S上的位置离狭缝P越近，粒子的比荷越大 【变式1-2】（2026·北京海淀·三模）质谱仪可用来研究微观粒子的同位素。某质谱仪的结构如图所示，Ⅰ为粒子加速器，Ⅱ为速度选择器，Ⅲ为偏转分离器，Ⅳ为照相底片。速度选择器内磁场与电场正交，磁感应强度大小为B1，两板间电压为U1，距离为d；偏转分离器内磁感应强度大小为B2。有一束电荷量为q的同位素粒子经加速后，恰能沿图中虚线通过速度选择器，从P点进入分离器后打到照相底片上的Q点，PQ之间的距离为x0。不计同位素粒子飘入电场的初速度、粒子所受重力以及粒子间的相互作用。 (1)求离子经过P点时的速度大小v； (2)求离子的质量m； (3)某次实验中，偏转分离器中的磁感应强度在到之间波动，离子打到照相底片上的MN范围内，求： a.求MN的距离xMN； b.在（2）的基础上，若不考虑磁感应强度的波动，求MN范围内离子质量的最大值和最小值之差Δm。 【变式1-3】（2026·广东广州·二模）（多选）如图为质谱仪的原理示意图，现有氕（）、氘（）两种粒子从容器A下方的小孔S无初速度飘入电势差为U的加速电场。加速后垂直进入匀强磁场中，最后打在照相底片D上，形成两条质谱线a、b。关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确的有（　　） A．氕和氘的动能相等 B．氕和氘的动量大小相等 C．氕的运动时间比氘的短 D．质谱线a是由氕形成的 【变式1-4】（2026·北京海淀·二模）质谱仪可用来研究微观粒子的同位素。电荷量均为q的某元素的两种同位素粒子a、b，从容器A下方飘入S1、S2间电压为U的加速电场，加速后从小孔S3垂直于磁场方向进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，最后打到照相底片D上，如图所示。不计同位素粒子飘入电场的初速度、粒子所受重力及粒子间的相互作用。 (1)求同位素粒子a进入匀强磁场时的动能Ek。 (2)若测得该元素的两种同位素粒子a、b打到底片上的位置到小孔S3的距离分别为d1、d2，求同位素粒子a与b的质量之比k1。 (3)调节磁感应强度的大小，同位素粒子打到D上的位置到S3的距离会随之改变。已知同位素粒子a、b的质量分别为m1、m2，D的最左端、最右端到小孔S3的距离分别为L1、L2，为使同位素粒子a、b都能打到D上，求磁感应强度最大值与最小值之比k2。 【变式1-5】（2026·天津河东·二模）质谱仪是最早用来测定微观粒子比荷的精密仪器，其原理如图所示。为粒子加速器，加速电压为，为速度选择器，其中磁场与电场正交，磁场磁感应强度为，两极板间距为，为粒子偏转分离器，磁感应强度为。今有一重力不计、比荷未知的带正电的粒子，从小孔“飘入”（初速度为零）粒子加速器，加速后从小孔以速度进入速度选择器并恰好沿直线通过，粒子从小孔进入分离器后做匀速圆周运动，打在照相底片点上。 (1)求粒子的比荷； (2)计算速度选择器的电压； (3)另有的同位素同样从小孔“飘入”，仅调节的大小使粒子通过速度选择器进入分离器，最后打到照相底片上的点，测出与两点间距离。若同位素两粒子带电量均为，求： ①该同位素两粒子的质量差； ②该同位素两粒子在分离器中运动的时间差。 【变式1-6】（2026·北京东城·一模）如图1为质谱仪的工作原理图，粒子从电离室A中的小孔逸出（初速度不计），经电压恒定为的电场加速后，通过小孔和，从磁场上边界垂直于磁场方向进入磁感应强度为的匀强磁场中，运动半个圆周后打在接收底板上并被吸收。对于不同的带电粒子，可能会在上的不同位置出现谱线。不计带电粒子的重力。 (1)求质量为电荷量为的粒子进入磁场的速度大小 ； (2)某同学观察到，接收底板的刻线旁印有“72  73  74”等数值，他猜想该数值对应于粒子的某种特性，请你判断这些数值是对应于还是，并说明理由； (3)某同学还观察到，“72  73”对应的刻线清晰，“74”对应的刻线因磨损已模糊不清，请在图2中定性画出“74”对应的刻线位置，并说明理由。 【变式1-7】（2026·广东中山·一模）（多选）图甲是粒子检测装置的示意图，图乙为其俯视图，粒子源释放出的经电离后的碳与碳原子核（初速度不计），经直线加速器加速后由中缝进入通道，该通道的上下表面是内半径为、外半径为的半圆环，磁感应强度为的匀强磁场垂直于半圆环，正对着通道出口处放置一张照相底片，能记录粒子从出口射出时的位置。当直线加速器的加速电压为时，原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，下列说法正确的有（　　） A．在图乙中，磁场的方向是垂直于纸面向外 B．若原子核和原子核均能击中照相底片，原子核在磁场中的运动时间一定比在磁场中的运动时间小 C．加速电压为时，原子核所击中的位置比原子核更远离圆心 D．当加速电压时，原子核全部打在外圆环上 【变式1-8】（2025·广西·高考真题）（多选）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 【变式1-9】（2026·福建福州·二模）（多选）如图某一质谱仪由加速电场、静电分析器和磁分析器组成。若加速电场的电压为U，静电分析器通道为四分之一圆弧，中心线的半径为R，通道内存在均匀辐射电场，中心线处的电场强度大小为E。磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，y轴为两个分析器的边界。比荷为k的粒子从静止开始经加速电场加速后，沿中心线MN通过静电分析器，由N点垂直y轴进入磁分析器，最后恰好垂直打在放置于磁分析器下边界（x轴）的探测板上，不计粒子重力。则（    ） A．打在探测板上的带电粒子为负电荷 B．静电分析器中心线处电场强度大小 C．E与B的关系为 D．比荷为2k的带电粒子从离子源飘入质谱仪，将打在探测板距O点2R的位置 类型2 回旋加速器模型 【典例2】（2025·广东·高考真题）某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为、质量为m的离子以初速度从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．第1次加速后，离子的动能增加了 C．第k次加速后，离子的速度大小变为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 【变式2-1】（2026·辽宁朝阳·模拟预测）（多选）如图所示为回旋加速器的示意图，形金属盒半径为，两盒间的狭缝很小，磁感应强度为的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为，加速电压为。A处粒子源产生氦核，不考虑相对论效应和重力的影响，若粒子在磁场中运动的周期与高频交流电周期相等，则下列说法正确的是（　　） A．若加速电压增加为原来4倍，则氦核的最大动能变为原来的4倍 B．若高频交流电的频率减少为原来的，则磁感应强度应变为原来的 C．若该加速器对氚核加速，则高频交流电频率应变为原来的倍 D．若该加速器对氘核加速，则氘核的最大动能是氦核最大动能的 【变式2-2】（2026·江西南昌·二模）回旋加速器的两个半圆形“”型盒之间的距离不可忽略（如图甲所示），将导致被加速的粒子运动一周所用的时间略大于方波交流电（如图乙所示）的周期。若粒子的初速度为零，“”型盒的半径为，匀强磁场的磁感应强度为，不考虑相对论效应，为使粒子能完成加速离开回旋加速器，则加在两“”型盒之间的电压至少为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·浙江金华·二模）（多选）“圈套”常用于冷却高能粒子束。某回旋加速器中，匀强磁场的磁感强度，高频加速电压的频率，带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流，最后粒子束从半径的轨道飞出，进入冷却“圈套”的水中并停止运动。不考虑电磁辐射等其它能量损失，不考虑相对论效应。设“圈套”中水的用量，水的比热容。则（　　） A．回旋加速器正常工作时，高频加速电压频率是粒子回旋频率的2倍 B．粒子的比荷为 C．粒子离开加速器时的速度为 D．可使“圈套”中的水温升高约 【变式2-4】（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）用如图所示的回旋加速器使质子加速，质子从图中点开始加速。下列说法正确的是（     ） A．质子第二次加速前、后在磁场中运动的轨道半径之比为 B．仅增大加速电压，质子飞出D形盒的动能不变 C．仅增大加速电压，质子在磁场中运动的时间减小 D．不改变交流电的周期，用此加速器加速氘核，质子与氘核的最大动能之比为 【变式2-5】（2026·北京昌平·一模）回旋加速器的工作原理如图所示，两个半径为的D形金属盒与一高频交流电源两极相接，两盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为。处的粒子源产生质量为、电荷量为的带电粒子，初速度不计。粒子在两盒之间的缝隙被电场加速，然后在磁场中做圆周运动，最终从D形盒的边缘射出。不计粒子重力和粒子间相互作用，不计粒子经过盒缝的时间。 (1)若粒子每次经过盒缝时都能被加速，求交流电源的频率应满足的条件； (2)求粒子获得的最大动能； (3)有同学认为，只增大交流电源电压即可使粒子获得更高能量。你是否同意该同学的说法？简要说明理由。 【变式2-6】（2026·安徽池州·二模）如图为某回旋加速器的示意图。磁感应强度大小为B的匀强磁场仅分布于两个相同且正对的半圆形中空金属盒内，方向与金属盒表面垂直。交变电源通过I、II分别与相连，仅在缝隙间的狭窄区域产生交变电场，I、II间电势差绝对值始终为U。核和核自加速器中央O处同时由静止释放，经电场加速后，以垂直磁场的速度进入。核和核每次经过缝隙时均被加速（假设粒子经过缝隙的时间和粒子间相互作用可忽略）。则（　　） A．核和核加速后获得的最大动能之比为1：3 B．核和核在加速器内运动的时间之比为3：1 C．核完成三次加速时的动能与此时核的动能之比为3：1 D．核完成三次加速时的动能与此时核的动能之比为9：1 【变式2-7】（2026·江西·模拟预测）（多选）某种回旋加速器的设计方案如图甲所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U。两极板的板面中部各有一沿OP方向的狭长狭缝，带电粒子可通过狭缝穿越极板，如图乙所示。两虚线外侧区域存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S中产生的质量为m、带电量为q的离子，由静止开始被电场加速，经狭缝中的O点进入磁场区域，最终只能从出射孔P射出。如果离子打到器壁或离子源外壁即被吸收。O点到极板右端的距离为D，到出射孔P的距离为bD，图乙磁场的磁感应强度B大小可调，下列说法正确的是（　　） A．离子能从射出，可能的磁感应强度的最小值为 B．若，则离子一定不能从射出 C．若，，离子打到点时在磁场中运动总时间为 D．若，，离子从射出时的动能为 【变式2-8】（2026·湖南长沙）如图甲、乙为两款加速器工作原理的示意图，它们都利用电场加速，最后将高能粒子引出。图乙中磁感应强度为B，加速电压为U，下列说法正确的是（　　） A．两装置所接电源都是交流电源，粒子出射速度都与加速电压的大小有关 B．图甲中粒子在筒中匀速运动，且第n个筒的长度应与n成线性关系 C．若利用图乙加速比荷为k的粒子，则D2中第n个半圆形轨道的半径为 D．用于加速质子的两装置，只要改变输入电压就可用来加速α粒子 【变式2-9】（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）如图为一种改进后的回旋加速器示意图，其中盒缝间的加速电场被限制在A、C板间，且AC之间的距离不可忽略。带电粒子从处以速度沿电场线方向射入加速电场，经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动。对于这种改进后的回旋加速器，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子每运动一周的时间越来越短 B．带电粒子每运动一周被加速两次 C．加速粒子的最大速度与D形盒的尺寸有关 D．AC之间的加速电场应该是交变电场，且周期与粒子在磁场中运动的时间相等 类型3 电场与磁场叠加的应用实例模型 【典例3】（2026·北京顺义·二模）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度的大小为，方向竖直向下。从S点释放初速度为0、电荷量为、质量为的带正电粒子，经M加速后恰好以速度沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计粒子重力。 (1)求粒子加速器M的加速电压； (2)求速度选择器N两板间的磁感应强度的大小，并判断其方向； (3)仍从点释放另一初速度为0、电荷量为、质量为的带正电粒子，粒子离开N时偏离图中虚线的距离为，求该粒子离开N时的动能。 【变式3-1】（2026·湖北武汉·三模）（多选）离子注入是芯片制造的核心工艺之一，工作原理如图所示。电荷量相同、质量不同的混合正离子束由静止经同一电场加速后，进入速度选择器，使具有相同速度的离子垂直进入磁分析器，最后经偏转系统注入晶圆。已知磁分析器内只存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，下列说法正确的是（     ） A．磁分析器利用洛伦兹力改变离子的速度大小，从而实现离子的筛选 B．在离子注入工艺流程中，磁场和加速电场匹配，共同完成对离子的筛选 C．调节磁感应强度的大小，离子的轨道半径与磁分析器匹配后方可进入偏转系统 D．若需质量更大的离子进入偏转系统，应将磁分析器内的磁感应强度减小 【变式3-2】（2026·辽宁锦州·二模）如图所示，某科研装置由加速电场、速度选择器和偏转磁场组成。带正电的粒子从加速电场的点由静止漂入，经电压为的电场加速后，沿直线通过速度选择器，再垂直射入磁感应强度为的匀强磁场Ⅱ中。已知粒子的比荷，速度选择器水平极板长、间距，板间电压，磁场Ⅱ区域的水平宽度为，不计粒子重力。 (1)求速度选择器中磁场Ⅰ的磁感应强度的大小； (2)若仅撤去速度选择器中的磁场Ⅰ，粒子仍从点由静止加速，求粒子在磁场Ⅱ中运动至离开磁场时，沿竖直方向的偏转距离。 【变式3-3】（2026·北京朝阳·一模）一种磁流体发电装置如图甲所示。间距为d的平行金属板M、N之间充满垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。等离子体（高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子）以速度 v 沿垂直于磁场的方向射入磁场，M、N两板间便产生电压。某同学设想了另一种方案：如图乙所示，一细束质量为m、电荷量为q的带正电的离子束以相同的速度v紧邻下极板N射入磁场（N板接地），M、N两板间也同样能够产生电压。已知，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．图甲中M板是电源的负极 B．图甲中M、N板间的最大电压大于Bdv C．图乙中M、N板间的最大电压为 D．图甲与图乙中M、N板间的最大电压均为Bdv 【变式3-4】（2025·黑龙江哈尔滨）磁流体发电机可简化为如下模型：两块长、宽分别为a、b的平行板，彼此相距L，将两板与外电阻R相连，两板间存在一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向与两板平行，板间持续通入速度为v、电导率（电阻率的倒数）为σ的等离子体，等离子体速度方向与磁场方向垂直，如图所示。则（　　） A．产生的电动势为 B．该磁流体发电机模型的内阻为 C．流过外电阻R的电流为 D．该磁流体发电机模型的路端电压为 【变式3-5】（2025·云南·高考真题）磁屏蔽技术可以降低外界磁场对屏蔽区域的干扰。如图所示，区域存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为（未知）。第一象限内存在边长为的正方形磁屏蔽区ONPQ，经磁屏蔽后，该区域内的匀强磁场方向仍垂直平面向里，其磁感应强度大小为（未知），但满足。某质量为m、电荷量为的带电粒子通过速度选择器后，在平面内垂直y轴射入区域，经磁场偏转后刚好从ON中点垂直ON射入磁屏蔽区域。速度选择器两极板间电压U、间距d、内部磁感应强度大小已知，不考虑该粒子的重力。 (1)求该粒子通过速度选择器的速率； (2)求以及y轴上可能检测到该粒子的范围； (3)定义磁屏蔽效率，若在Q处检测到该粒子，则是多少？ 【变式3-6】（2024·湖北·高考真题）（多选）磁流体发电机的原理如图所示，MN和PQ是两平行金属极板，匀强磁场垂直于纸面向里。等离子体（即高温下电离的气体，含有大量正、负带电粒子）从左侧以某一速度平行于极板喷入磁场，极板间便产生电压。下列说法正确的是（　　） A．极板MN是发电机的正极 B．仅增大两极板间的距离，极板间的电压减小 C．仅增大等离子体的喷入速率，极板间的电压增大 D．仅增大喷入等离子体的正、负带电粒子数密度，极板间的电压增大 【变式3-7】（2025·北京·高考真题）电磁流量计可以测量导电液体的流量Q——单位时间内流过管道横截面的液体体积。如图所示，内壁光滑的薄圆管由非磁性导电材料制成，空间有垂直管道轴线的匀强磁场，磁感应强度为B。液体充满管道并以速度v沿轴线方向流动，圆管壁上的两点连线为直径，且垂直于磁场方向，两点的电势差为。下列说法错误的是（　　） A．N点电势比M点高 B．正比于流量Q C．在流量Q一定时，管道半径越小，越小 D．若直径与磁场方向不垂直，测得的流量Q偏小 【变式3-8】（2026·广东·二模）（多选）如图，医院利用电磁流量计监测输液管中药液（药液中含有正负离子）的流量（定义：单位时间内通过横截面的液体体积）。匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，输液管直径为，药液以恒定速度水平向右通过流量计，电压传感器可以检测、间的电压，当电压传感器两端电压高于或低于时，系统会发出警报声，则正常输液过程（　　） A．点的电势低于点的电势 B．点的电势高于点的电势 C．流量的上限为 D．流量的下限为 【变式3-9】（2026·辽宁沈阳·一模）（多选）电磁流量计的管道内没有任何阻碍流体流动的结构，所以常用来测量高黏度及强腐蚀性流体的流量。它的优点是测量范围宽、反应快、易与其他自动控制装置配套。如图，在非磁性材料制成圆管中，导电液体以相同的流速流过磁场区域时，管的直径为d，磁感应强度为B，若管中液体的流量为Q，下列说法正确的是（　　） A．M点的电势高于N点的电势 B．M点的电势低于N点的电势 C．NM两点间的电势差为 D．NM两点间的电势差为 【变式3-10】（2026·福建泉州·模拟预测）（多选）利用霍尔效应制成的磁传感器可将磁场信号转换为电信号。如图甲所示，将这种磁传感器固定在自行车的车架上，并在车轮辐条上固定强磁铁，当车轮转动时磁铁每次经过传感器都会在元件两侧产生一次电势差变化，图乙为该元件的工作原理图，该元件中自由移动的载流子带负电，电源电压为。当自行车匀速行驶时，测得磁传感器的电压随时间t变化如图丙所示，已知自行车车轮半径为r，则以下说法正确的是（     ） A．车轮转一周所用的时间为 B．自行车行驶的速度大小为 C．增大电源电压，测得磁传感器的电压的峰值将增大 D．a端电势低于b端电势 【变式3-11】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图所示，长方体金属块放在匀强磁场中，电流通过金属块。则霍尔效应产生的高电势在（　　） A．左侧面 B．右侧面 C．上表面 D．下表面 【变式3-12】（2026·湖北襄阳·模拟预测）（多选）物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，霍尔发现了霍尔效应：如图乙是以电子为载流子的霍尔元件，在薄片的两个侧面、间通以电流时，、两侧会产生电势差，测量电势差可计算磁感应强度。下列说法正确的是（     ） A．甲图中，粒子每旋转一圈加速两次，且所有圆轨迹是同心圆 B．甲图中，其他条件不变，只增大加速电压，则粒子出射的最大动能不变 C．乙图中e侧电势低于侧 D．乙图选用单位体积内自由电荷数更少的薄片，能提高磁感应强度测量灵敏度 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $