第16讲 磁场模型（二）（模型和方法）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习教案聚焦磁场模型专题，覆盖带电粒子在组合场（磁场-电场、电场-磁场等类型）和叠加场（直线运动、匀速圆周运动等）的核心考点，按运动情境分类型梳理知识内在联系，通过模型剖析、典例精讲、变式训练等环节，帮助学生构建磁场问题的解题框架，体现复习的系统性和针对性。 资料以科学思维和模型建构为核心，创新采用对比分析（如磁偏转与电偏转比较表）和情境图例辅助理解，设置典例与多梯度变式题分层训练，有效培养学生运动分析和规律应用能力。通过精准对接高考命题规律，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供实用教学资源。

第15讲 磁场模型（二） —————————————⏩目录⏪————————————— 模型一 带电粒子在组合场中的运动模型 类型1 粒子由磁场进入电场模型 类型2 粒子由电场进入磁场模型 类型3 粒子在电场和磁场中的往复运动模型 类型4 带电粒子在组合场中的立体空间问题模型 模型二 带电粒子在叠加场中的运动模型 类型1 带电粒子在叠加场中做直线运动模型 类型2 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动模型 类型3 带电粒子在叠加场中做较复杂的曲线运动模型 ———————————⏩模型建构⏪———————————— ✡模型一 带电粒子在组合场中的运动模型 ▶模型剖析 1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现。 分析思路 (1)画运动轨迹:根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点:确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程:将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 2.“磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v0⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 只受恒定的电场力F=qE 只受大小恒定的洛伦兹力F=qvB 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 求解方法 利用类平抛运动的规律得x=v0t，y=at2，a=，tan θ= 根据牛顿第二定律和向心力公式可得qvB=m，T=，t=T 动能 静电力做的功等于动能变化量 洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不变 3.组合场运动情形图例 在匀强电场中：匀变速直线运动(速度方向与电场方向平行) 在匀强磁场中：匀速圆周运动(速度方向与磁场方向垂直) 在匀强电场中：类平抛运动(初速度方向与电场方向垂直) 在匀强磁场中：匀速圆周运动(速度方向与磁场方向垂直) 4.分析带电粒子在组合场中运动的基本思路 (1)划分过程：将粒子的运动过程划分为几个不同的阶段，对不同阶段选取不同的规律处理。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度是解决该类问题的关键。 (3)画运动轨迹：根据动力学分析，大致画出粒子运动的轨迹图。 ▶模型特训 类型1 粒子由磁场进入电场模型 【典例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）（多选）如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从边界上O点射入磁场，入射方向与边界成45°角。当粒子第一次运动到电场中的P点时速度大小为、方向与边界平行，且P点与O点水平方向相距3L，P点与边界相距L。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子从O点射入磁场时的速度大小为 B．粒子第一次射入电场时的速度大小为 C．匀强电场的场强大小为 D．匀强磁场的磁感应强度大小为 【变式1-1】（2026·天津·三模）如图所示，半径的圆形区域Ⅰ内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，圆形区域正下方有宽的水平条形区域，内有水平向右的匀强电场，其上边界与区域Ⅰ相切，电场强度，在其下方是一水平条形匀强磁场区域Ⅱ，磁感应强度与区域Ⅰ相同。从圆形边界上与圆心O等高的P点有一带正电的粒子以的速度正对圆心O射入区域Ⅰ，粒子的比荷为，粒子恰好从区域Ⅰ与电场边界的切点射入电场，粒子由区域Ⅱ的下边界射出时的位置与进入区域Ⅱ时的位置位于同一竖直线上。粒子重力不计，求： (1)粒子在区域Ⅰ运动的速度大小； (2)粒子从电场下边界射出的速度的大小，以及速度方向与水平方向的夹角； (3)粒子在区域Ⅱ中的运动时间。 【变式1-2】（2026·江西·模拟预测）如图所示，在xOy坐标系中，第二、四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场，质量为m、电荷量为q的粒子以速度v0从A（-L，0）点垂直x轴射入第二象限，后与x轴方向成θ=45°角射入第四象限，粒子进入电场时速度方向与y轴成45°角，最终粒子从x轴上的C点（图中未画出）垂直x轴回到第二象限，不计粒子重力，求： (1)第二、四象限匀强磁场的磁感应强度大小B1、B2； (2)匀强电场的电场强度大小E； (3)A、C两点间的距离d； (4)粒子从A点运动到C点的时间t。 【变式1-3】（2026·天津·一模）如图所示，一半径为L的圆与x轴相切于原点O，圆内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，与x轴垂直的竖直虚线与磁场最右端相切于N点，其右侧的第I象限内存在沿方向的匀强电场。现有一束比荷为带正电粒子沿着+y方向从原点O射入磁场，粒子由N点离开磁场，方向沿x轴正方向，进入电场后，经电场偏转打到x轴上M点，且与x轴正方向成45°，不计粒子的重力。求： (1)粒子射入磁场时的速度和其在磁场中的运动时间； (2)电场强度的大小和M点的坐标。 【变式1-4】（2025·湖南永州·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内有半径的圆形区域，圆与轴相切于点，点坐标，，圆形区域内存在磁感应强度大小、方向垂直纸面向外的匀强磁场。点处有一粒子源，有大量质量，电荷量的粒子以相同的速率在平面内沿不同方向从点射入磁场，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。在匀强磁场的右侧存在一有界匀强电场，电场强度大小、方向沿轴负方向，电场左边界为轴，右边界与轴的距离。求： (1)若某个粒子从点沿轴正方向射入磁场，则该粒子离开磁场的位置坐标； (2)射入磁场时速度方向与轴正方向成的粒子在磁场中运动的时间（结果可用表示）； (3)若某个粒子经磁场与电场的偏转能通过电场右边界与轴的交点，求该粒子从点运动到点的总时间（结果可用表示）。 类型2 粒子由电场进入磁场模型 【典例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）在芯片制造工艺中，离子注入是精确掺杂半导体材料的关键技术，其简化原理如图所示；质量为m、电荷量为q的正一价磷离子从离子源由静止释放，经电压为U的加速电场加速后进入静电分析器。静电分析器内部为四分之一圆弧形真空通道，中心线半径为R1=R0，通道内存在均匀辐向电场。离子沿中心线做匀速圆周运动，通过静电分析器的离子，从P点沿PQ方向（磁场区域的竖直直径）进入半径为R2=R0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B大小可调，方向垂直纸面向外。右侧硅片到PQ的距离为，与PQ等高且平行于PQ。忽略离子重力及离子间相互作用，求： (1)离子进入圆形磁场区域时的速度大小v； (2)静电分析器通道内中心线处的电场强度大小E； (3)为保证离子能打到硅片上，求圆形区域内磁感应强度B的取值范围。 【变式2-1】（2025·甘肃天水·模拟预测）2024年9月14日消息，今年1月至7月，我国集成电路芯片出口同比大幅上涨，在运行情况与发展质量上取得长足进步。在芯片加工制作中，需要对带电粒子的运动进行精准调控。图为某一精准调控简化模型，第一、四象限内存在垂直于平面向里的匀强磁场，第二象限内有沿轴负方向的匀强电场。一比荷为的带负电的粒子（不计粒子重力）从轴的点沿y轴正方向以初速度进入第二象限，经电场偏转从轴上的点进入第一象限，又经匀强磁场从轴上的点进入第四象限。求： (1)带电粒子从点出发到点的时间； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小和匀强电场的场强的大小。 【变式2-2】（2026·江西·模拟预测）某款粒子探测仪由直线加速器、半圆环磁场区和底片组成，结构简图如图甲所示，俯视图如图乙所示。粒子源不断释放质量为、电荷量为带正电的粒子（初速度不计），经直线加速器加速后，垂直半圆环磁场区的左侧中心线进入磁场区，经磁场偏转后打在磁场区的内圆或底片上。已知直线加速器的加速电压可以调节，半圆环磁场区的外圆半径为，内圆半径为，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向上，底片正对着半圆环磁场区右侧出口，宽度为。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求： (1)若直线加速器加速电压为，则粒子进入磁场区时的速度的大小为多少？ (2)调节加速电压，使粒子都能打在底片上，则加速电压的调节范围为多少？ (3)调节加速电压，使粒子打在磁场区的内圆上，则粒子在磁场中运动的最短时间为多少？ 【变式2-3】（2025·广西柳州）如图所示，一个质量为、电荷量为的微粒，在点（0，3m）以初速度平行轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，点（6m，0）和点（8m，0）分别是微粒第一、二次经过轴上的点。已知该微粒的比荷为，微粒重力不计，求： (1)微粒在电场中加速度的大小及电场强度的大小； (2)微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角； (3)磁感应强度的大小及微粒从运动到的时间。 【变式2-4】（2026·北京丰台·二模）如图所示，粒子发射源S向外释放质量为m、电荷量为q的带电粒子。粒子的初速度为零，经加速电场加速后，以速度v垂直于磁场方向，并垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角θ=60°，忽略重力对带电粒子运动的影响，求： (1)加速电场的电压U； (2)磁场的磁感应强度的大小B； (3)若在磁场区域再施加一匀强电场，使粒子做匀速直线运动。求匀强电场的电场强度E的大小和方向。 类型3 粒子在电场和磁场中的往复运动模型 【典例3】（2026·湖北·高考真题）如图所示，在平面内，区域存在匀强电场，电场强度大小为、方向沿轴负方向；在区域，有一个以为圆心、为半径的半圆形区域，半圆形区域内既无电场也无磁场，半圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于平面向里。一质量为、电荷量为的带正电粒子从坐标为的点静止释放，之后从坐标为的点第一次射出磁场。不计重力，求： (1)粒子第一次进入磁场时的速度大小； (2)磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第二次射出磁场时的位置坐标。 【变式3-1】（2026·天津红桥·二模）一个带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x正方向成的方向射入第一象限内磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿x轴负方向。不计粒子重力，求： (1)带电粒子的比荷； (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标； (3)带电粒子从开始到第三次经过y轴所需要的时间t。 【变式3-2】（2026·浙江温州）直角坐标系第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第四象限内有垂直纸面向内的匀强磁场，质量、带电量的粒子从轴的点以速度垂直轴入射第一象限，进入磁场时速度方向与轴正方向的夹角，已知点到坐标原点的距离为，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度的大小； (2)粒子从点出发经多长时间粒子第二次经过轴； (3)粒子第99次经过轴时的位置与点的距离。 【变式3-3】（2026·江苏·模拟预测）跑道式回旋加速器的工作原理如图所示，两个磁感应强度大小为B的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ的边界 平行，相距为L。P、Q之间存在匀强加速电场E，方向与磁场边界垂直。质量为m、带电荷量为+q 的粒子从P点注入电场（初速度为0），多次经电场加速和磁场偏转后，恰好从边界上距离Q点为L 的出射口K引出，不计带电粒子的重力，则粒子引出前在磁场中运动的总时间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·江苏南京·一模）如图所示xOy平面内，虚线y=h上方存在垂直平面向外的匀强磁场、下方存在沿y轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为+q的带电粒子从P（2h，h）点以速度大小v0、方向与x轴正方向间的夹角θ=45°射入磁场。一段时间后，粒子第1次从虚线上的Q（0，h）点进入电场，在电场中的运动恰好不通过x轴，粒子重力不计。求： (1)磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从P点射入至第2次经过虚线所用的时间t； 类型4 带电粒子在组合场中的立体空间问题模型 【典例4】（2026·云南昆明·一模）如图所示，在三维坐标系中存在一长方体，平面左侧存在沿轴负方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，右侧存在沿方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度从点沿平面进入磁场，经点垂直平面进入右侧磁场，此时撤去平面左侧的磁场，换上电场强度为（未知）的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在棱上。已知、，，粒子的电量为，质量为（重力不计）。求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子经过平面的坐标； (3)电场强度的大小。 【变式4-1】（2026·广东广州·一模）如图空间直角坐标系O-xyz将y≥0的空间划分为四个区域，IV区域存在沿z轴负方向的匀强电场，Ⅱ、Ⅲ区域存在沿y轴负方向的匀强磁场。在xOy平面内x>0区域放置一足够大的吸收屏，吸收屏下方紧靠P（l，0，0）处有一粒子源可向x轴负方向发射速率为v0、质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）。粒子运动经过Q（0，0，）点且刚好打在屏上P点，粒子打在吸收屏上即被吸收且不影响空间电、磁场分布。 (1)求匀强电场的电场强度大小E0； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小B0； (3)若在I区域加沿y轴正方向、电场强度大小为2E0的匀强电场，同时调节IV区域中电场强度大小为kE0（电场方向不变），求粒子打在吸收屏上落点的坐标。 【变式4-2】（2025·江苏扬州）如图所示，在空间建立直角坐标系区域有匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度大小为，方向均沿轴负方向。一电子枪在点向面角范围内均匀发射电子，单位时间发射电子数为，速度大小在之间。在处垂直于轴放置一足够大的荧光屏，电子打到屏上后立即被吸收。电子质量为、电荷量为，不计电子之间的相互作用以及电子的重力。求： (1)初速度为的电子在场中运动时所受合外力的大小； (2)屏所受到的垂直撞击力的大小；（碰撞瞬间，电场力可忽略） (3)为何值时，屏上接收到电子的区域面积最大？并求出最大面积。 【变式4-3】（2025·山东日照·三模）如图甲所示，足够大的两平行板P、Q水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。t=0时刻，一质量为m、带电量为+q的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移； (2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的位移大小。 【变式4-4】（2023·山东聊城·模拟预测）如图所示，空间直角坐标系内有一由正方体和半圆柱体拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内存在沿轴负方向的匀强磁场、分别为、的中点，、分别为、的中点，、分别为半圆弧、的中点，为的中点。质量为、电荷量为的带正电粒子在竖直平面内由点斜向上射入匀强电场，入射的初速度大小为，方向与轴正方向夹角为。一段时间后，粒子垂直于竖直平面射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为，匀强磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力，， (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)求粒子自射入电场到离开磁场时的运动时间； (3)若粒子以相同的初速度自点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。 ✡模型二 带电粒子在叠加场中的运动模型 ▶模型剖析 1.叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零： qE=mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 ▶模型特训 类型1 带电粒子在叠加场中做直线运动模型 【典例1】（2026·河南驻马店·三模）（多选）如图所示，粗细均匀的光滑玻璃管固定在正交的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的电场强度大小为，方向水平向右，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直电场水平向里，玻璃管在垂直于磁场的竖直面内，与电场方向的夹角为角。一个带电量为、直径比管径略小的小球在管内下端由静止释放，小球沿管向上做匀加速运动，中途将管在竖直面内转动，当管与电场方向夹角为时，管内球恰好做匀速直线运动，球出管后仍然做直线运动，重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．小球带负电 B． C．小球的质量等于 D．小球在管中匀速运动的速度大小为 【变式1-1】（2025·福建·高考真题）（多选）  如图，真空中存在一水平向右的匀强电场，同时存在一水平且垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电量为q（q>0）的带电微粒从M点以初速度v入射，沿着MN做匀速直线运动。微粒到N点时撤去磁场，一段时间后微粒运动到P点。已知M、N、 P三点处于同一竖直平面内，MN与水平方向呈45°，N点与P等高，重力加速度为,则（　　） A．电场强度大小为 B．磁感应强度大小为 C．N、P两点的电势差为 D．从N点运动到P的过程中，微粒到直线NP的最大距离为 【变式1-2】（2026·海南·模拟预测）（多选）如图所示，竖直面内有正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为、方向水平向右，磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里，虚线为带电小球在竖直平面内的运动轨迹，该轨迹为直线，与水平方向的夹角为。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．带电小球沿虚线斜向下运动 B．带电小球的比荷为 C．带电小球的速率为 D．运动中带电小球的电势能不断减少 【变式1-3】（2026·福建福州·二模）如图，固定的两异种点电荷的带电量均为，绝缘竖直平面过两点电荷连线的中点且与连线垂直，、、三点位于同一竖直线上，，点电荷到点的距离也为。一带电量为质量为的物块（可视为质点），从点静止释放，沿直线运动到点时速度为。已知物块与竖直平面的动摩擦因数为，静电力常量为，重力加速度为，求： (1)物块在点时加速度的大小； (2)物块通过点的速度大小； (3)若撤去电荷，在空间加上磁感应强度大小为、方向水平向外的匀强磁场，物块仍从点静止释放，到达点时开始做匀速运动，则从点运动到点过程中物块克服摩擦力做的功。 【变式1-4】（2026·河南郑州·一模）如图，从电子源释放的电子（初速度视为零）经电压为的电场加速后，沿方向射入水平放置的平行极板、间，两板间存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为。已知极板长度和间距均为到两极板的距离相等，电子比荷为。 (1)若电子沿通过极板区域，求加速电压的大小； (2)撤去极板间的匀强电场，仅保留匀强磁场，若所有电子均能打在极板上，求加速电压的取值范围。 类型2 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动模型 【典例2】（2026·贵州·高考真题）如图，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场及从点沿径向向外的电场，某处电场强度大小，为常量，为该处到的距离。一带负电粒子在纸面内沿逆时针方向做匀速圆周运动。当磁感应强度大小为时，粒子运动半径为，速率为，电势能为；当磁感应强度大小为（）时，粒子运动半径为，速率仍为，电势能为。取无限远处的电势为零，不计粒子重力，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（2026·吉林长春·模拟预测）（多选）如图所示，空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，磁场磁感应强度大小为，一个带电液滴在其中做速率为的匀速圆周运动，其轨迹半径为，不计空气阻力，重力加速度大小为，则下列说法中正确的是（    ） A．液滴沿逆时针方向圆周运动 B．匀强电场的电场强度为 C．若突然仅撤去匀强磁场，带电液滴的机械能一定不变 D．若突然仅撤去匀强电场，带电液滴的机械能一定不变 【变式2-2】（2026·四川广元·二模）如图，两个定值电阻的阻值分别为和，直流电源电压恒定，内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，极板间有水平向里的匀强磁场。质量为m、带电量为的小球以初速度v沿水平方向从电容器下板左侧边缘进入电容器做匀速圆周运动，恰好从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。则下列说法不正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动的半径为 B．小球在两极板间的运动时间为 C．两极板间磁场的磁感应强度 D．电源的电动势 【变式2-3】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第二、三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。一带正电、电荷量为、质量为的粒子从点射入磁场，速度方向与轴正方向夹角，之后粒子从点射出磁场。已知粒子在磁场中运动的时间为，静电力常量为，忽略粒子重力及磁场边缘效应，粒子可视为质点。 (1)求匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)若在平面内固定一个带负电的点电荷，粒子仍然沿（1）中的轨迹从运动到，已知此时粒子射入磁场的速度大小为，求点电荷的位置坐标和电荷量； (3)在（2）的场景下，粒子从点射出后，在一、四象限运动过程中，到点电荷的最远距离为，经过一段时间，粒子的速度方向首次与经过点时的速度方向相反。求这段时间是多少（在本问中，点电荷的电荷量可直接用表示）。 【变式2-4】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，在y轴竖直的直角坐标系xOy中，的区域内有方向沿纸面且与x轴正方向成角斜向上的匀强电场；的区域内有一个半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心在x轴上且边界与y轴相切，圆形区域内的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小。一个质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从x轴负半轴上的A点由静止开始沿AO方向做直线运动，通过O点时的速度大小为v，此时在圆形区域内立刻加上方向竖直向上、电场强度大小的匀强电场，带电小球经圆形磁场偏转后继续运动到磁场右侧的最高点P。已知重力加速度大小为g，空气阻力不计。求： (1)的区域内的电场强度大小E以及A、O两点间的距离L； (2)小球在圆形磁场区域内的运动时间； (3)P点到y轴的距离d。 类型3 带电粒子在叠加场中做较复杂的曲线运动模型 【典例3】（2025·山西·二模）如图所示，在竖直平面内有一半径为的固定光滑绝缘圆环，空间中有水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，一质量为、带电量为的带电小球沿圆环外侧做圆周运动，AC为竖直直径，初始时带电小球位于圆环最高点A，具速度大小为的水平初速度，带电小球能够不脱离圆环做完整的圆周运动，重力加速度。则下列说法正确的有（　　） A．小球在A点的速度方向向右 B．小球在A点受到圆环的支持力为0 C．小球在C点速度大小为4m/s D．小球在C点对圆环的压力大小为10N 【变式3-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，在竖直的xOy平面内，在水平x轴上方存在匀强电场，场强大小，方向平行于x轴向右，在x轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场和大小方向都未知的匀强电场，时将一荷质比为10C/kg的带正电小球从y轴上的P点无初速度释放，释放后小球从第一象限进入第四象限做匀速圆周运动，恰好从坐标原点再次返回第一象限，已知重力加速度为，磁感应强度。求： (1)匀强电场的大小与方向； (2)P点的纵坐标L； (3)小球第8次穿过x轴时的位置坐标。 【变式3-2】（2026·北京房山·一模）如图所示，两个带等量异种电荷的平行金属板，板间加垂直纸面向里的匀强磁场，一粒子以某一速度垂直电场方向和磁场方向进入，运动轨迹为图中实线。已知磁感应强度为B，电场强度为E，下列说法正确的是（　　） A．粒子运动轨迹是抛物线 B．粒子射入的速度一定大于 C．粒子射出时的速度一定大于射入时的速度 D．若粒子从右侧进入一定不能沿直线从左侧离开 【变式3-3】（2026·广东梅州·一模）（多选）如图所示，真空中坐标系所在的空间存在一正交的匀强电磁场。匀强磁场方向垂直于坐标系向里，磁感应强度大小为；匀强电场方向沿轴负方向，电场强度大小为。一群质量均为，带电荷量均为的正电粒子，以大小不同的初速度从坐标原点沿轴正方向射出，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．若初速度，粒子恰好能做匀速直线运动 B．若初速度，粒子每隔时间就会返回轴一次 C．若初速度，粒子偏离轴的最远距离为 D．当粒子离轴最远时，速度达到最大 【变式3-4】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）在磁约束聚变装置中，平行场配置至关重要。如图，整个空间存在沿轴正方向的匀强电场和匀强磁场。质子以某一初速度从坐标原点沿轴正方向射出，不计重力，则（　　） A．质子的动能不变 B．质子周期性的经过坐标原点 C．质子的速度沿轴方向的分量随时间按余弦规律变化 D．把质子换成电子，其运动轨迹和质子的运动轨迹关于平面对称 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 磁场模型（二） —————————————⏩目录⏪————————————— 模型一 带电粒子在组合场中的运动模型 类型1 粒子由磁场进入电场模型 类型2 粒子由电场进入磁场模型 类型3 粒子在电场和磁场中的往复运动模型 类型4 带电粒子在组合场中的立体空间问题模型 模型二 带电粒子在叠加场中的运动模型 类型1 带电粒子在叠加场中做直线运动模型 类型2 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动模型 类型3 带电粒子在叠加场中做较复杂的曲线运动模型 ———————————⏩模型建构⏪———————————— ✡模型一 带电粒子在组合场中的运动模型 ▶模型剖析 1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现。 分析思路 (1)画运动轨迹:根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点:确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程:将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 2.“磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v0⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 只受恒定的电场力F=qE 只受大小恒定的洛伦兹力F=qvB 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 求解方法 利用类平抛运动的规律得x=v0t，y=at2，a=，tan θ= 根据牛顿第二定律和向心力公式可得qvB=m，T=，t=T 动能 静电力做的功等于动能变化量 洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不变 3.组合场运动情形图例 在匀强电场中：匀变速直线运动(速度方向与电场方向平行) 在匀强磁场中：匀速圆周运动(速度方向与磁场方向垂直) 在匀强电场中：类平抛运动(初速度方向与电场方向垂直) 在匀强磁场中：匀速圆周运动(速度方向与磁场方向垂直) 4.分析带电粒子在组合场中运动的基本思路 (1)划分过程：将粒子的运动过程划分为几个不同的阶段，对不同阶段选取不同的规律处理。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度是解决该类问题的关键。 (3)画运动轨迹：根据动力学分析，大致画出粒子运动的轨迹图。 ▶模型特训 类型1 粒子由磁场进入电场模型 【典例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）（多选）如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从边界上O点射入磁场，入射方向与边界成45°角。当粒子第一次运动到电场中的P点时速度大小为、方向与边界平行，且P点与O点水平方向相距3L，P点与边界相距L。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子从O点射入磁场时的速度大小为 B．粒子第一次射入电场时的速度大小为 C．匀强电场的场强大小为 D．匀强磁场的磁感应强度大小为 【推理演示】AB．若粒子第一次在电场中到达最高点P，则其运动轨迹如图所示 粒子在O点时的速度大小为v，OQ段为圆周，QP段为抛物线，根据对称性可知，粒子在Q点时的速度大小也为v，方向与x轴正方向成45°角，可得 解得，选项A正确，B错误； C．在粒子从Q运动到P的过程中，由动能定理得 解得，选项C正确； D．在匀强电场由Q到P的过程中，水平方向的位移为 竖直方向的位移为 可得， 由 故粒子在OQ段圆周运动的半径 及 解得，选项D正确。 故选ACD。 【变式1-1】（2026·天津·三模）如图所示，半径的圆形区域Ⅰ内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，圆形区域正下方有宽的水平条形区域，内有水平向右的匀强电场，其上边界与区域Ⅰ相切，电场强度，在其下方是一水平条形匀强磁场区域Ⅱ，磁感应强度与区域Ⅰ相同。从圆形边界上与圆心O等高的P点有一带正电的粒子以的速度正对圆心O射入区域Ⅰ，粒子的比荷为，粒子恰好从区域Ⅰ与电场边界的切点射入电场，粒子由区域Ⅱ的下边界射出时的位置与进入区域Ⅱ时的位置位于同一竖直线上。粒子重力不计，求： (1)粒子在区域Ⅰ运动的速度大小； (2)粒子从电场下边界射出的速度的大小，以及速度方向与水平方向的夹角； (3)粒子在区域Ⅱ中的运动时间。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）设粒子在区域Ⅰ内圆周运动的半径为r，由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）粒子进入电场后做类平抛运动，垂直电场方向有 根据牛顿第二定律有 设粒子飞出电场时沿电场方向的速度为，则 设粒子从电场中飞出时的速度大小为，则 速度与水平方向的夹角满足 联立可得， （3）粒子在区域Ⅱ内的运动周期为T，则 运动时间为 联立解得 【变式1-2】（2026·江西·模拟预测）如图所示，在xOy坐标系中，第二、四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场，质量为m、电荷量为q的粒子以速度v0从A（-L，0）点垂直x轴射入第二象限，后与x轴方向成θ=45°角射入第四象限，粒子进入电场时速度方向与y轴成45°角，最终粒子从x轴上的C点（图中未画出）垂直x轴回到第二象限，不计粒子重力，求： (1)第二、四象限匀强磁场的磁感应强度大小B1、B2； (2)匀强电场的电场强度大小E； (3)A、C两点间的距离d； (4)粒子从A点运动到C点的时间t。 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 根据几何关系，有 解得 由几何关系可得 洛伦兹力提供向心力，有 解得。 （2）粒子在电场中沿电场方向有 沿轴方向有 根据牛顿第二定律，有 速度为 联立解得，， （3）A、C两点间的距离 解得。 （4）根据位移关系，有 粒子从A点运动到C点的时间 解得 【变式1-3】（2026·天津·一模）如图所示，一半径为L的圆与x轴相切于原点O，圆内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，与x轴垂直的竖直虚线与磁场最右端相切于N点，其右侧的第I象限内存在沿方向的匀强电场。现有一束比荷为带正电粒子沿着+y方向从原点O射入磁场，粒子由N点离开磁场，方向沿x轴正方向，进入电场后，经电场偏转打到x轴上M点，且与x轴正方向成45°，不计粒子的重力。求： (1)粒子射入磁场时的速度和其在磁场中的运动时间； (2)电场强度的大小和M点的坐标。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹为圆周，轨迹半径为，由洛伦兹力提供向心力得 由图可知 解得 粒子在磁场中圆周运动周期   由图可知 解得 （2）粒子进入电场做类平抛运动，沿方向做匀加速直线运动，其位移大小等于L；沿方向做匀速直线运动，在M点分解速度有， 且， 联立解得 根据 解得 所以M点的坐标为 【变式1-4】（2025·湖南永州·一模）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内有半径的圆形区域，圆与轴相切于点，点坐标，，圆形区域内存在磁感应强度大小、方向垂直纸面向外的匀强磁场。点处有一粒子源，有大量质量，电荷量的粒子以相同的速率在平面内沿不同方向从点射入磁场，不考虑粒子间的相互作用，不计粒子的重力。在匀强磁场的右侧存在一有界匀强电场，电场强度大小、方向沿轴负方向，电场左边界为轴，右边界与轴的距离。求： (1)若某个粒子从点沿轴正方向射入磁场，则该粒子离开磁场的位置坐标； (2)射入磁场时速度方向与轴正方向成的粒子在磁场中运动的时间（结果可用表示）； (3)若某个粒子经磁场与电场的偏转能通过电场右边界与轴的交点，求该粒子从点运动到点的总时间（结果可用表示）。 【答案】(1)（，） (2) (3) 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力得 可得 设粒子从点沿轴正方向射入磁场时，离开磁场的位置坐标为（，），则有 ， 可知粒子离开磁场的位置坐标为（，）。 （2）设射入磁场时速度方向与轴正方向成的微粒从点射出，其轨迹如图所示 由几何关系可得轨迹对应的圆心角 则粒子在磁场中的运动时间为 解得 （3）要使粒子经过点，轴方向有 轴方向有， 联立解得， 该粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 由几何关系可知， 可得 轨迹对应的圆心角为 则粒子在磁场中的运动时间为 粒子在磁场与电场之间的运动时间为 则粒子从点运动到点的总时间 类型2 粒子由电场进入磁场模型 【典例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）在芯片制造工艺中，离子注入是精确掺杂半导体材料的关键技术，其简化原理如图所示；质量为m、电荷量为q的正一价磷离子从离子源由静止释放，经电压为U的加速电场加速后进入静电分析器。静电分析器内部为四分之一圆弧形真空通道，中心线半径为R1=R0，通道内存在均匀辐向电场。离子沿中心线做匀速圆周运动，通过静电分析器的离子，从P点沿PQ方向（磁场区域的竖直直径）进入半径为R2=R0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B大小可调，方向垂直纸面向外。右侧硅片到PQ的距离为，与PQ等高且平行于PQ。忽略离子重力及离子间相互作用，求： (1)离子进入圆形磁场区域时的速度大小v； (2)静电分析器通道内中心线处的电场强度大小E； (3)为保证离子能打到硅片上，求圆形区域内磁感应强度B的取值范围。 【推理演示】（1）离子在加速电场中，由动能定理得 解得 （2）离子在静电分析器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，则 解得 （3）离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 则 能打到硅片上的粒子，运动轨迹范围如图所示 若离子刚好打在硅片底部，则有 其中解得 代入，可得 若离子刚好打在硅片顶部，由几何知识可知离子在磁场中做圆周运动的圆心刚好为，则 代入，可得 所以圆形区域内磁感应强度的取值范围为 【变式2-1】（2025·甘肃天水·模拟预测）2024年9月14日消息，今年1月至7月，我国集成电路芯片出口同比大幅上涨，在运行情况与发展质量上取得长足进步。在芯片加工制作中，需要对带电粒子的运动进行精准调控。图为某一精准调控简化模型，第一、四象限内存在垂直于平面向里的匀强磁场，第二象限内有沿轴负方向的匀强电场。一比荷为的带负电的粒子（不计粒子重力）从轴的点沿y轴正方向以初速度进入第二象限，经电场偏转从轴上的点进入第一象限，又经匀强磁场从轴上的点进入第四象限。求： (1)带电粒子从点出发到点的时间； (2)匀强磁场的磁感应强度的大小和匀强电场的场强的大小。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）带电粒子从点出发到的过程，方向受电场力作用，做匀加速直线运动，满足 方向粒子做匀速直线运动，满足 联立解得， 进入磁场时带电粒子速度，方向与轴正方向成角 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设粒子轨迹圆的半径为，则粒子的轨迹圆圆心坐标， 根据几何关系可知 得 可知粒子的轨迹圆圆心处于轴上，粒子的运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，满足 解得 从点到点时间。 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有 代入， 得匀强磁场的磁感应强度的大小 在电场中，根据动能定理有 得匀强电场的场强的大小 【变式2-2】（2026·江西·模拟预测）某款粒子探测仪由直线加速器、半圆环磁场区和底片组成，结构简图如图甲所示，俯视图如图乙所示。粒子源不断释放质量为、电荷量为带正电的粒子（初速度不计），经直线加速器加速后，垂直半圆环磁场区的左侧中心线进入磁场区，经磁场偏转后打在磁场区的内圆或底片上。已知直线加速器的加速电压可以调节，半圆环磁场区的外圆半径为，内圆半径为，磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向上，底片正对着半圆环磁场区右侧出口，宽度为。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求： (1)若直线加速器加速电压为，则粒子进入磁场区时的速度的大小为多少？ (2)调节加速电压，使粒子都能打在底片上，则加速电压的调节范围为多少？ (3)调节加速电压，使粒子打在磁场区的内圆上，则粒子在磁场中运动的最短时间为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理有 解得 （2）设粒子进入磁场中的速度大小为，在电场中，根据动能定理有 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得 为了使粒子源释放的粒子都能打在底片上，根据几何关系，可知最小圆周运动半径为 最大圆周运动半径为 又， 解得， 直线加速器电压的范围为 （3）粒子打在内圆环上，轨迹与内圆环交于点，如图 当时，圆弧对应的圆心角最小，用时最短，根据几何关系可知，最小圆心角， 根据洛伦兹力提供向心力，则有 又 运动的时间为 联立解得 【变式2-3】（2025·广西柳州）如图所示，一个质量为、电荷量为的微粒，在点（0，3m）以初速度平行轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，点（6m，0）和点（8m，0）分别是微粒第一、二次经过轴上的点。已知该微粒的比荷为，微粒重力不计，求： (1)微粒在电场中加速度的大小及电场强度的大小； (2)微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角； (3)磁感应强度的大小及微粒从运动到的时间。 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）微粒平行于轴正方向射入电场区域，在电场中从到的过程做类平抛运动，其在轴方向上做的是匀速直线运动，则有 解得微粒从到的运动时间为 微粒在轴方向做从静止开始的匀加速直线运动，设其加速度为，则有 解得 由牛顿第二定律有 解得电场强度的大小为 （2）设微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角为，沿轴方向的速度为，则有， 联立解得 则有 所以微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角为。 （3）根据题意，画出微粒的运动轨迹，如图所示： 微粒进入磁场时的速度为 由几何关系可知，微粒在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由牛顿第二定律有 解得磁感应强度的大小为 微粒在磁场中做匀速圆周运动的周期为 由几何关系可知，微粒在磁场中做匀速圆周运动从P到Q转过的圆心角为，则微粒在磁场中从P到Q的运动时间为 所以微粒从运动到的时间为 【变式2-4】（2026·北京丰台·二模）如图所示，粒子发射源S向外释放质量为m、电荷量为q的带电粒子。粒子的初速度为零，经加速电场加速后，以速度v垂直于磁场方向，并垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角θ=60°，忽略重力对带电粒子运动的影响，求： (1)加速电场的电压U； (2)磁场的磁感应强度的大小B； (3)若在磁场区域再施加一匀强电场，使粒子做匀速直线运动。求匀强电场的电场强度E的大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，方向沿磁场边界方向向左 【详解】（1）对粒子，在加速电场中加速的过程中，根据动能定理 解得 （2）对粒子，在磁场中偏转的过程中，轨迹如图所示 由几何关系 解得 粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得 （3）根据左手定则可知，该带电粒子带负电，若粒子做匀速直线运动，增加电场后粒子受力平衡，根据平衡条件可得 解得 方向沿磁场边界方向向左。 类型3 粒子在电场和磁场中的往复运动模型 【典例3】（2026·湖北·高考真题）如图所示，在平面内，区域存在匀强电场，电场强度大小为、方向沿轴负方向；在区域，有一个以为圆心、为半径的半圆形区域，半圆形区域内既无电场也无磁场，半圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于平面向里。一质量为、电荷量为的带正电粒子从坐标为的点静止释放，之后从坐标为的点第一次射出磁场。不计重力，求： (1)粒子第一次进入磁场时的速度大小； (2)磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第二次射出磁场时的位置坐标。 【推理演示】（1）粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得 解得加速度大小为 粒子从坐标为的M 点静止释放，沿y轴负方向的位移大小为 由匀变速直线运动速度与位移的关系得 联立解得粒子第一次进入磁场的速度大小为 （2）粒子第一次进入磁场的坐标为，第一次出磁场的坐标为，粒子在匀强磁场中的运动轨迹如图所示 设粒子的轨迹半径变为r0，由几何关系得 解得 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 （3）设粒子第一次出磁场时速度与x 轴负方向的夹角为θ，由几何关系得 则 粒子沿x 轴和y轴的速度分别为 解得， 粒子沿y轴方向做类竖直上抛运动，由竖直上抛运动规律，可得运动时间 沿x 轴方向做匀速直线运动，有 联立解得沿x 轴方向的位移为 粒子第二次进入磁场时，x 坐标为 沿x 轴方向的速度为 由运动的对称性，可知沿y轴方向的速度为 则粒子与x 轴负方向的夹角仍满足 因此粒子两次在磁场中的运动轨迹关于y轴对称，如图所示 则粒子第二次出磁场的坐标，即为粒子第一次进入磁场的坐标。 【变式3-1】（2026·天津红桥·二模）一个带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x正方向成的方向射入第一象限内磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿x轴负方向。不计粒子重力，求： (1)带电粒子的比荷； (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标； (3)带电粒子从开始到第三次经过y轴所需要的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得 粒子运动轨迹如图所示 由几何知识得 联立解得 （2）粒子离开磁场时，离O的竖直距离为 粒子在电场中做匀减速直线运动 其中 解得 故粒子速度第一次为零时的坐标为 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的总时间 粒子从y轴进入电场至速度为0的过程中，可得， 解得 粒子从P点射入到第三次经过y轴的总时间 【变式3-2】（2026·浙江温州）直角坐标系第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第四象限内有垂直纸面向内的匀强磁场，质量、带电量的粒子从轴的点以速度垂直轴入射第一象限，进入磁场时速度方向与轴正方向的夹角，已知点到坐标原点的距离为，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度的大小； (2)粒子从点出发经多长时间粒子第二次经过轴； (3)粒子第99次经过轴时的位置与点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子进入磁场时速度为，则 解得 由动能定理有 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动的时间为，以向下为正方向，由动量定理 解得 粒子在磁场中做圆周运动的周期 在磁场中做运动的时间，由几何关系可知，粒子运动轨迹圆的圆心角为，则 粒子第二次经过轴的时间： （3）粒子在电场中做类平抛运动，水平位移方向的 解得 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，有 解得 在磁场中的水平位移 根据粒子运动的周期性，故粒子第99次经过轴时的位置与点的距离 解得 【变式3-3】（2026·江苏·模拟预测）跑道式回旋加速器的工作原理如图所示，两个磁感应强度大小为B的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ的边界 平行，相距为L。P、Q之间存在匀强加速电场E，方向与磁场边界垂直。质量为m、带电荷量为+q 的粒子从P点注入电场（初速度为0），多次经电场加速和磁场偏转后，恰好从边界上距离Q点为L 的出射口K引出，不计带电粒子的重力，则粒子引出前在磁场中运动的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，则， 可得周期 周期与粒子速度无关，故每运动半圆的时间为 粒子最终从K点引出，最后一次偏转的直径为，因此最大半径 洛伦兹力提供向心力 解得 粒子每次经过电场加速，电场做功为，加速次后，由动能定理有 解得加速次数 n次加速对应个半圆弧，故总时间为 代入可得 故选B。 【变式3-4】（2026·江苏南京·一模）如图所示xOy平面内，虚线y=h上方存在垂直平面向外的匀强磁场、下方存在沿y轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为+q的带电粒子从P（2h，h）点以速度大小v0、方向与x轴正方向间的夹角θ=45°射入磁场。一段时间后，粒子第1次从虚线上的Q（0，h）点进入电场，在电场中的运动恰好不通过x轴，粒子重力不计。求： (1)磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从P点射入至第2次经过虚线所用的时间t； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子轨迹如图 由几何关系得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，则 解得 （2）设粒子从P点射入至第2次经过虚线，在磁场中运动的时间为t1，则 在电场中运动的时间为t2，则竖直方向上有 则 粒子从P点射入至第2次经过虚线的时间 类型4 带电粒子在组合场中的立体空间问题模型 【典例4】（2026·云南昆明·一模）如图所示，在三维坐标系中存在一长方体，平面左侧存在沿轴负方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，右侧存在沿方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度从点沿平面进入磁场，经点垂直平面进入右侧磁场，此时撤去平面左侧的磁场，换上电场强度为（未知）的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在棱上。已知、，，粒子的电量为，质量为（重力不计）。求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子经过平面的坐标； (3)电场强度的大小。 【推理演示】（1）带电粒子在yOz平面左侧磁场中做圆周运动，由几何关系得 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）在右侧磁场中由洛伦兹力提供向心力得 解得 则有， 即坐标为 （3）粒子在电场中做类平抛运动，x轴方向上 y轴方向上 解得 【变式4-1】（2026·广东广州·一模）如图空间直角坐标系O-xyz将y≥0的空间划分为四个区域，IV区域存在沿z轴负方向的匀强电场，Ⅱ、Ⅲ区域存在沿y轴负方向的匀强磁场。在xOy平面内x>0区域放置一足够大的吸收屏，吸收屏下方紧靠P（l，0，0）处有一粒子源可向x轴负方向发射速率为v0、质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）。粒子运动经过Q（0，0，）点且刚好打在屏上P点，粒子打在吸收屏上即被吸收且不影响空间电、磁场分布。 (1)求匀强电场的电场强度大小E0； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小B0； (3)若在I区域加沿y轴正方向、电场强度大小为2E0的匀强电场，同时调节IV区域中电场强度大小为kE0（电场方向不变），求粒子打在吸收屏上落点的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从P到Q做类平抛运动，设运动时间为t1 x方向有 z方向有 其中 联立三式得： （2）设粒子到达Q点时，速度方向与x轴成θ角，由得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，从Q点进入磁场，从M点离开磁场。设粒子圆周运动半径为r，速度，由洛伦兹力提供向心力有 并且 粒子打在P点，有 联立三式得 （3）调节I、IV区域的电场分布后，设粒子从Q'点进入磁场，再从M'点离开磁场 由前面分析可知，与IV区域电场强度大小无关。 粒子要进入I区域，打在吸收屏上，需满足，即 粒子到达M'点时，z方向的分速度 粒子在I区域运动，设经历时间t2，落点在吸收屏上坐标设为（x，y，0）有 得 故， 所以打在吸收屏的坐标是 【变式4-2】（2025·江苏扬州）如图所示，在空间建立直角坐标系区域有匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度大小为，方向均沿轴负方向。一电子枪在点向面角范围内均匀发射电子，单位时间发射电子数为，速度大小在之间。在处垂直于轴放置一足够大的荧光屏，电子打到屏上后立即被吸收。电子质量为、电荷量为，不计电子之间的相互作用以及电子的重力。求： (1)初速度为的电子在场中运动时所受合外力的大小； (2)屏所受到的垂直撞击力的大小；（碰撞瞬间，电场力可忽略） (3)为何值时，屏上接收到电子的区域面积最大？并求出最大面积。 【答案】(1) (2) (3)，为非负整数；最大面积 【详解】（1）初速度为的电子在场中运动时仅仅受到电场力的作用，合外力的大小 （2）沿轴方向做匀加速直线运动，垂直于轴方向做圆周运动，两个方向的速度垂直，沿轴方向由动能定理得 解得 时间内，有个电子撞击荧光屏，速度变为，由动量定理 解得 （3）沿轴从前向后看，初速度为的电子在垂直于轴的平面做匀速圆周运动，有 解得 由，得圆周运动周期 周期相同，所有不同初速度大小但同方向的电子从原点到平面的时间相同，圆周运动角度相同，在荧光屏上形成直线；不同方向不同速度大小的电子的位置在荧光屏上形成一个角度为的扇形区域，扇形区域的最大半径为电子位置离荧光屏与轴交点的最大距离 屏上接收到电子的区域的最大面积 沿轴方向，由动量定理 解得从原点到的时间 时间满足，为非负整数 解得，为非负整数 【变式4-3】（2025·山东日照·三模）如图甲所示，足够大的两平行板P、Q水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。t=0时刻，一质量为m、带电量为+q的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移； (2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的位移大小。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）若只加磁场且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图 由图可知 解得 水平距离 圆周运动的周期 运动时间 （2）若同时加电场和磁场，且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图 圆周运动的周期 粒子在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为零，要使粒子垂直打到P板上，有 解得 粒子沿电场方向的位移大小 在磁场中的位移 粒子在板间运动的位移大小 【变式4-4】（2023·山东聊城·模拟预测）如图所示，空间直角坐标系内有一由正方体和半圆柱体拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内存在沿轴负方向的匀强磁场、分别为、的中点，、分别为、的中点，、分别为半圆弧、的中点，为的中点。质量为、电荷量为的带正电粒子在竖直平面内由点斜向上射入匀强电场，入射的初速度大小为，方向与轴正方向夹角为。一段时间后，粒子垂直于竖直平面射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为，匀强磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力，， (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)求粒子自射入电场到离开磁场时的运动时间； (3)若粒子以相同的初速度自点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3)（，，） 【详解】（1）粒子在电场中运动时，设运动时间为，沿轴方向有 解得 沿轴方向有 由牛顿第二定律可知粒子在电场中的加速度大小 解得 （2）粒子进入匀强磁场后，由牛顿第二定律可知 解得轨迹半径 由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为，粒子在磁场中运动的周期 粒子在匀强磁场中运动的时间 故 （3）若粒子以相同的初速度自点射入匀强电场，在匀强电场中运动的时间 进入磁场时，沿轴方向的速度大小为 沿轴方向的速度大小为 粒子在水平面做匀速圆周运动，轨迹半径 沿轴方向做匀速直线运动，因粒子做圆周运动的轨迹半径不变，故在磁场中运动的时间不变，在磁场中沿轴方向运动的位移大小为 在电场中沿轴方向运动的位移大小为 故粒子离开磁场时，坐标为 坐标为 坐标为 即粒子离开磁场时的位置坐标为（，，）。 ✡模型二 带电粒子在叠加场中的运动模型 ▶模型剖析 1.叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零： qE=mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 ▶模型特训 类型1 带电粒子在叠加场中做直线运动模型 【典例1】（2026·河南驻马店·三模）（多选）如图所示，粗细均匀的光滑玻璃管固定在正交的匀强电场和匀强磁场中，匀强电场的电场强度大小为，方向水平向右，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直电场水平向里，玻璃管在垂直于磁场的竖直面内，与电场方向的夹角为角。一个带电量为、直径比管径略小的小球在管内下端由静止释放，小球沿管向上做匀加速运动，中途将管在竖直面内转动，当管与电场方向夹角为时，管内球恰好做匀速直线运动，球出管后仍然做直线运动，重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．小球带负电 B． C．小球的质量等于 D．小球在管中匀速运动的速度大小为 【推理演示】A．若小球带负电，则小球在管中由静止释放后将向下运动，故A错误； BC．当管的倾角为θ时，因小球沿管向上做匀加速运动，故电场力沿管向上的分力大于球的重力沿管向下的分力，即 在垂直管方向，根据平衡条件可得 因此得到，，故B正确，C错误； D．小球在管中匀速运动时的速度与出管后匀速运动的速度相同，则有 解得，故D正确。 故选BD。 【变式1-1】（2025·福建·高考真题）（多选）  如图，真空中存在一水平向右的匀强电场，同时存在一水平且垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、电量为q（q>0）的带电微粒从M点以初速度v入射，沿着MN做匀速直线运动。微粒到N点时撤去磁场，一段时间后微粒运动到P点。已知M、N、 P三点处于同一竖直平面内，MN与水平方向呈45°，N点与P等高，重力加速度为,则（　　） A．电场强度大小为 B．磁感应强度大小为 C．N、P两点的电势差为 D．从N点运动到P的过程中，微粒到直线NP的最大距离为 【答案】BC 【详解】AB、带电体在复合场中能沿着做匀速直线运动，可知粒子受力情况如图所示。 由受力平衡可知 解得电场强度，磁感应强度，故A错误，B正确。 C、在点撤去磁场后，粒子受力方向与运动方向垂直，做类平抛运动，如图所示。 且加速度 粒子到达点时，位移偏转角为，故在点，速度角的正切值 所以粒子在点的速度 到过程，由动能定理，有 解得两点间的电势差，C正确； D、将粒子在点的速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可知粒子在竖直方向做竖直上抛运动，且 故粒子能向上运动的最大距离 D错误； 故选BC。 【变式1-2】（2026·海南·模拟预测）（多选）如图所示，竖直面内有正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为、方向水平向右，磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里，虚线为带电小球在竖直平面内的运动轨迹，该轨迹为直线，与水平方向的夹角为。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．带电小球沿虚线斜向下运动 B．带电小球的比荷为 C．带电小球的速率为 D．运动中带电小球的电势能不断减少 【答案】CD 【详解】ABC．带电小球做直线运动，受力分析如图，由左手定则可知，小球带负电，小球一定沿虚线斜向上做匀速直线运动，在水平和竖直方向分别有 联立解得，则AB错误，C正确； D．粒子在运动过程中静电力做正功，则电势能不断减小，D正确。 故选CD。 【变式1-3】（2026·福建福州·二模）如图，固定的两异种点电荷的带电量均为，绝缘竖直平面过两点电荷连线的中点且与连线垂直，、、三点位于同一竖直线上，，点电荷到点的距离也为。一带电量为质量为的物块（可视为质点），从点静止释放，沿直线运动到点时速度为。已知物块与竖直平面的动摩擦因数为，静电力常量为，重力加速度为，求： (1)物块在点时加速度的大小； (2)物块通过点的速度大小； (3)若撤去电荷，在空间加上磁感应强度大小为、方向水平向外的匀强磁场，物块仍从点静止释放，到达点时开始做匀速运动，则从点运动到点过程中物块克服摩擦力做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）作出两异种点电荷在点的场强，如图所示 根据电场强度叠加原理，可得点的电场强度的大小为 根据牛顿第二定律有 又， 联立解得 （2）假设物块从到克服摩擦力做功为。物块从到，根据动能定理有 物块从到，根据动能定理有 联立解得 （3）物块做匀速运动时，根据平衡条件有 解得 当物块下滑到点的过程中，假设克服摩擦力做功为，根据动能定理有 解得 【变式1-4】（2026·河南郑州·一模）如图，从电子源释放的电子（初速度视为零）经电压为的电场加速后，沿方向射入水平放置的平行极板、间，两板间存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为。已知极板长度和间距均为到两极板的距离相等，电子比荷为。 (1)若电子沿通过极板区域，求加速电压的大小； (2)撤去极板间的匀强电场，仅保留匀强磁场，若所有电子均能打在极板上，求加速电压的取值范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）电子在极板间做匀速直线运动，则 由动能定理 联立解得 （2）电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律 得 又 联立得 若电子打在PQ最左端边缘，电子的轨道半径为   此时 若电子打在最右端边缘，由勾股定理 解得电子的轨道半径 此时 加速电压的取值范围是 类型2 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动模型 【典例2】（2026·贵州·高考真题）如图，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场及从点沿径向向外的电场，某处电场强度大小，为常量，为该处到的距离。一带负电粒子在纸面内沿逆时针方向做匀速圆周运动。当磁感应强度大小为时，粒子运动半径为，速率为，电势能为；当磁感应强度大小为（）时，粒子运动半径为，速率仍为，电势能为。取无限远处的电势为零，不计粒子重力，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【推理演示】带负电粒子在纸面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，则根据左手定则洛伦兹力背离圆心，电场力指向圆心，两力的合力提供向心力。 当磁感应强度大小为时，粒子运动半径为，速率为，此时有 当磁感应强度大小为时，粒子运动半径为，速率仍为，此时有 联立可得 因为，所以 又沿电场方向电势降低，电子在电势低处电势能大，故。 故选C。 【变式2-1】（2026·吉林长春·模拟预测）（多选）如图所示，空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，磁场磁感应强度大小为，一个带电液滴在其中做速率为的匀速圆周运动，其轨迹半径为，不计空气阻力，重力加速度大小为，则下列说法中正确的是（    ） A．液滴沿逆时针方向圆周运动 B．匀强电场的电场强度为 C．若突然仅撤去匀强磁场，带电液滴的机械能一定不变 D．若突然仅撤去匀强电场，带电液滴的机械能一定不变 【答案】BD 【详解】A．带电液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动，可知液滴所受重力与电场力平衡，即电场力方向竖直向上，与电场方向相反，故液滴带负电；洛伦兹力提供向心力，根据左手定则可知粒子顺时针方向运动，故A错误； B．液滴所受重力与电场力平衡有 根据左手定则可判断带电液滴沿顺时针运动，对液滴有 联立解得，故B正确； C．若突然仅撤去磁场，重力和电场力平衡，液滴做匀速直线运动，机械能变化等于电场力做功。若液滴沿竖直向下方向运动，电场力向上，电场力做负功，机械能减小，故C错误； D．撤去电场后，液滴只受重力和洛伦兹力，洛伦兹力始终不做功，只有重力做功，因此机械能一定不变，故D正确。 故选BD。 【变式2-2】（2026·四川广元·二模）如图，两个定值电阻的阻值分别为和，直流电源电压恒定，内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为，极板间有水平向里的匀强磁场。质量为m、带电量为的小球以初速度v沿水平方向从电容器下板左侧边缘进入电容器做匀速圆周运动，恰好从电容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。则下列说法不正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动的半径为 B．小球在两极板间的运动时间为 C．两极板间磁场的磁感应强度 D．电源的电动势 【答案】B 【详解】A．小球在电磁场中做匀速圆周运动的运动轨迹，如图所示 设小球在电磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系，得 解得，故A正确，不符合题意； B．由几何关系可得，运动轨迹对应的圆心角 弧长 运动时间，故B错误，符合题意； C．小球做匀速圆周运动，说明重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，有 代入，解得，故C正确，不符合题意； D．重力与电场力平衡，有 电路中​、​串联，电容器电压等于​两端电压 联立解得，故D正确，不符合题意。 故选B。 【变式2-3】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第二、三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。一带正电、电荷量为、质量为的粒子从点射入磁场，速度方向与轴正方向夹角，之后粒子从点射出磁场。已知粒子在磁场中运动的时间为，静电力常量为，忽略粒子重力及磁场边缘效应，粒子可视为质点。 (1)求匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)若在平面内固定一个带负电的点电荷，粒子仍然沿（1）中的轨迹从运动到，已知此时粒子射入磁场的速度大小为，求点电荷的位置坐标和电荷量； (3)在（2）的场景下，粒子从点射出后，在一、四象限运动过程中，到点电荷的最远距离为，经过一段时间，粒子的速度方向首次与经过点时的速度方向相反。求这段时间是多少（在本问中，点电荷的电荷量可直接用表示）。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）粒子进入磁场做匀速圆周运动的速度为，由牛顿第二定律有 又有 从A到B，为圆，圆心角为，则 联立解得磁感应强度大小为 （2）因粒子仍按（1）中的轨迹做圆周运动，所以圆周运动半径及圆心不变，点电荷P必处于圆心位置，故位置坐标为，由几何关系可得 由牛顿第二定律可得 所以 （3）出磁场后，粒子仅受库仑力，洛伦兹力消失，做椭圆运动，可类比行星绕太阳做椭圆运动的规律，B点为近日点，首次与B点速度方向相反是远日点，椭圆半长轴 由类比开普勒第三定律，有 运动时间为椭圆的周期一半 故 【变式2-4】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，在y轴竖直的直角坐标系xOy中，的区域内有方向沿纸面且与x轴正方向成角斜向上的匀强电场；的区域内有一个半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心在x轴上且边界与y轴相切，圆形区域内的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小。一个质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）从x轴负半轴上的A点由静止开始沿AO方向做直线运动，通过O点时的速度大小为v，此时在圆形区域内立刻加上方向竖直向上、电场强度大小的匀强电场，带电小球经圆形磁场偏转后继续运动到磁场右侧的最高点P。已知重力加速度大小为g，空气阻力不计。求： (1)的区域内的电场强度大小E以及A、O两点间的距离L； (2)小球在圆形磁场区域内的运动时间； (3)P点到y轴的距离d。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）如图所示 小球在AO方向做直线运动，则， 根据速度位移关系可得 联立可得， （2）由于 则小球在圆形区域中做匀速圆周运动，设小球在磁场中的偏转角为α，根据洛伦兹力提供向心力 根据几何关系可得 所以小球在圆形区域中运动的时间 （3）小球离开圆形区域后运动到最高点P，有，， 联立解得 类型3 带电粒子在叠加场中做较复杂的曲线运动模型 【典例3】（2025·山西·二模）如图所示，在竖直平面内有一半径为的固定光滑绝缘圆环，空间中有水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，一质量为、带电量为的带电小球沿圆环外侧做圆周运动，AC为竖直直径，初始时带电小球位于圆环最高点A，具速度大小为的水平初速度，带电小球能够不脱离圆环做完整的圆周运动，重力加速度。则下列说法正确的有（　　） A．小球在A点的速度方向向右 B．小球在A点受到圆环的支持力为0 C．小球在C点速度大小为4m/s D．小球在C点对圆环的压力大小为10N 【推理演示】A．小球要做完整圆周运动，在C点进行受力分析，可判断洛伦兹力向上，可知在C点速度方向向右，在A点速度方向向左，A错误； B．对A点受力分析 可，B错误； C．由动能定理有 解得C点速度为，C错误； D．在C点根据牛顿第二定律得 又根据牛顿第三定律，得10N，D正确。 故选D。 【变式3-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，在竖直的xOy平面内，在水平x轴上方存在匀强电场，场强大小，方向平行于x轴向右，在x轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场和大小方向都未知的匀强电场，时将一荷质比为10C/kg的带正电小球从y轴上的P点无初速度释放，释放后小球从第一象限进入第四象限做匀速圆周运动，恰好从坐标原点再次返回第一象限，已知重力加速度为，磁感应强度。求： (1)匀强电场的大小与方向； (2)P点的纵坐标L； (3)小球第8次穿过x轴时的位置坐标。 【答案】(1)，方向竖直向上 (2)0.2m (3) 【详解】（1）小球在第四象限受重力、电场力和洛伦兹力做匀速圆周运动，则有 代入数据得 方向竖直向上。 （2）粒子运动轨迹如图所示 水平方向，根据牛顿第二定律，有 解得 竖直方向，根据牛顿第二定律，有 解得 即水平和竖直方向均做加速度为，初速度为0的匀加速运动，进入第四象限时坐标为，设小球进入第四象限时速度为v，根据速度-位移公式，有， 解得 则 速度与轴的夹角为，则 解得 小球在第四象限做匀速圆周运动，有 解得 由几何关系可知 联立以上解得P点的纵坐标 （3）小球进入电场后竖直方向做上抛运动，水平方向做加速度为的匀加速运动，每次在电场中运动时间相等 从点进入电场中水平初速度和竖直速度相等 三次在电场中运动位移 在磁场中每次向左运动距离 每次进入磁场不变，恒为，则 第八次经过轴时 所以坐标为 【变式3-2】（2026·北京房山·一模）如图所示，两个带等量异种电荷的平行金属板，板间加垂直纸面向里的匀强磁场，一粒子以某一速度垂直电场方向和磁场方向进入，运动轨迹为图中实线。已知磁感应强度为B，电场强度为E，下列说法正确的是（　　） A．粒子运动轨迹是抛物线 B．粒子射入的速度一定大于 C．粒子射出时的速度一定大于射入时的速度 D．若粒子从右侧进入一定不能沿直线从左侧离开 【答案】D 【详解】ABC．假设粒子带正电，则电场力就向下，则由左手定则知所受洛伦兹力方向向上，由受力分析结合运动轨迹知 则 将速度沿水平方向和竖直方向正交分解，其中水平分速度满足 水平方向以此速度做匀速直线运动，同时粒子以的速率在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动（两板间距足够大），故合运动为螺旋线； 运动过程洛伦兹力不做功，电场力做负功，则粒子速度减少，粒子射出时的速度小于射入时的速度； 若粒子带负电，电场力向上，则由左手定则知所受洛伦兹力方向向下，由受力分析结合运动轨迹知 则,运动过程洛伦兹力不做功，电场力做正功，则粒子速度增加，粒子射出时的速度大于射入时的速度，故ABC 错误； D．若粒子从右侧进入，则不论粒子带正电还是负电，粒子受到的电场力和洛伦兹力都同向，不能满足二力平衡，故粒子不可能做直线运动，故D正确。 故选D。 【变式3-3】（2026·广东梅州·一模）（多选）如图所示，真空中坐标系所在的空间存在一正交的匀强电磁场。匀强磁场方向垂直于坐标系向里，磁感应强度大小为；匀强电场方向沿轴负方向，电场强度大小为。一群质量均为，带电荷量均为的正电粒子，以大小不同的初速度从坐标原点沿轴正方向射出，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则下列说法正确的是（　　） A．若初速度，粒子恰好能做匀速直线运动 B．若初速度，粒子每隔时间就会返回轴一次 C．若初速度，粒子偏离轴的最远距离为 D．当粒子离轴最远时，速度达到最大 【答案】AB 【详解】A．带正电的粒子不计重力，受向上的洛伦兹力和向下的电场力，若，则qvB=qE 故粒子恰好能做匀速直线运动，故A正确； BC．若初速度，粒子的运动规律表现出周期性，可将速度分解为一个和另一个，即可将粒子的运动分解为两个分运动：向右的匀速运动和圆周运动，每经历圆周运动的一个周期，粒子将返回x轴一次，粒子做圆周运动的半径为，则粒子偏离轴的最远距离为，故B正确，C错误； D．正粒子的速度若满足，电场力小于洛伦兹力，粒子向上偏转，电场力做负功，当粒子离x轴最远时，电场力做负功最多，其速度达到最小；若满足，电场力大于洛伦兹力，粒子将向下偏转，当粒子离x轴最远时，电场力做正功最多，其速度达到最大，故D错误。 故选AB。 【变式3-4】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）在磁约束聚变装置中，平行场配置至关重要。如图，整个空间存在沿轴正方向的匀强电场和匀强磁场。质子以某一初速度从坐标原点沿轴正方向射出，不计重力，则（　　） A．质子的动能不变 B．质子周期性的经过坐标原点 C．质子的速度沿轴方向的分量随时间按余弦规律变化 D．把质子换成电子，其运动轨迹和质子的运动轨迹关于平面对称 【答案】C 【详解】A．质子沿轴正方向做匀加速直线运动，在平面内做匀速圆周运动，可知质子的动能变大，故A错误； B．质子不再经过坐标原点，故B错误； C．如图所示，质子的速度沿轴方向的分量，可知随时间按余弦规律变化，故C正确； D．把质子换成电子，其受电场力和洛伦兹力的方向都与质子相反，可知电子沿轴负方向做匀加速直线运动，在面内做匀速圆周运动，但是两者的比荷不同，运动半径不同，故其运动轨迹和质子的运动轨迹不是关于平面对称，故D错误。 故选C。 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 磁场模型（二） ✡模型一 带电粒子在组合场中的运动模型 类型1 粒子由磁场进入电场模型 【典例1】【答案】ACD 【变式1-1】【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）设粒子在区域Ⅰ内圆周运动的半径为r，由几何关系得 由洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）粒子进入电场后做类平抛运动，垂直电场方向有 根据牛顿第二定律有 设粒子飞出电场时沿电场方向的速度为，则 设粒子从电场中飞出时的速度大小为，则 速度与水平方向的夹角满足 联立可得， （3）粒子在区域Ⅱ内的运动周期为T，则 运动时间为 联立解得 【变式1-2】【答案】(1)， (2) (3) (4) 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 根据几何关系，有 解得 由几何关系可得 洛伦兹力提供向心力，有 解得。 （2）粒子在电场中沿电场方向有 沿轴方向有 根据牛顿第二定律，有 速度为 联立解得，， （3）A、C两点间的距离 解得。 （4）根据位移关系，有 粒子从A点运动到C点的时间 解得 【变式1-3】【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹为圆周，轨迹半径为，由洛伦兹力提供向心力得 由图可知 解得 粒子在磁场中圆周运动周期   由图可知 解得 （2）粒子进入电场做类平抛运动，沿方向做匀加速直线运动，其位移大小等于L；沿方向做匀速直线运动，在M点分解速度有， 且， 联立解得 根据 解得 所以M点的坐标为 【变式1-4】【答案】(1)（，） (2) (3) 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力得 可得 设粒子从点沿轴正方向射入磁场时，离开磁场的位置坐标为（，），则有 ， 可知粒子离开磁场的位置坐标为（，）。 （2）设射入磁场时速度方向与轴正方向成的微粒从点射出，其轨迹如图所示 由几何关系可得轨迹对应的圆心角 则粒子在磁场中的运动时间为 解得 （3）要使粒子经过点，轴方向有 轴方向有， 联立解得， 该粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 由几何关系可知， 可得 轨迹对应的圆心角为 则粒子在磁场中的运动时间为 粒子在磁场与电场之间的运动时间为 则粒子从点运动到点的总时间 类型2 粒子由电场进入磁场模型 【典例2】【答案】(1) (2) (3) 【推理演示】（1）离子在加速电场中，由动能定理得 解得 （2）离子在静电分析器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，则 解得 （3）离子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 则 能打到硅片上的粒子，运动轨迹范围如图所示 若离子刚好打在硅片底部，则有 其中解得 代入，可得 若离子刚好打在硅片顶部，由几何知识可知离子在磁场中做圆周运动的圆心刚好为，则 代入，可得 所以圆形区域内磁感应强度的取值范围为 【变式2-1】【答案】(1) (2)， 【详解】（1）带电粒子从点出发到的过程，方向受电场力作用，做匀加速直线运动，满足 方向粒子做匀速直线运动，满足 联立解得， 进入磁场时带电粒子速度，方向与轴正方向成角 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设粒子轨迹圆的半径为，则粒子的轨迹圆圆心坐标， 根据几何关系可知 得 可知粒子的轨迹圆圆心处于轴上，粒子的运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，满足 解得 从点到点时间。 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有 代入， 得匀强磁场的磁感应强度的大小 在电场中，根据动能定理有 得匀强电场的场强的大小 【变式2-2】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理有 解得 （2）设粒子进入磁场中的速度大小为，在电场中，根据动能定理有 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得 为了使粒子源释放的粒子都能打在底片上，根据几何关系，可知最小圆周运动半径为 最大圆周运动半径为 又， 解得， 直线加速器电压的范围为 （3）粒子打在内圆环上，轨迹与内圆环交于点，如图 当时，圆弧对应的圆心角最小，用时最短，根据几何关系可知，最小圆心角， 根据洛伦兹力提供向心力，则有 又 运动的时间为 联立解得 【变式2-3】【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）微粒平行于轴正方向射入电场区域，在电场中从到的过程做类平抛运动，其在轴方向上做的是匀速直线运动，则有 解得微粒从到的运动时间为 微粒在轴方向做从静止开始的匀加速直线运动，设其加速度为，则有 解得 由牛顿第二定律有 解得电场强度的大小为 （2）设微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角为，沿轴方向的速度为，则有， 联立解得 则有 所以微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角为。 （3）根据题意，画出微粒的运动轨迹，如图所示： 微粒进入磁场时的速度为 由几何关系可知，微粒在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由牛顿第二定律有 解得磁感应强度的大小为 微粒在磁场中做匀速圆周运动的周期为 由几何关系可知，微粒在磁场中做匀速圆周运动从P到Q转过的圆心角为，则微粒在磁场中从P到Q的运动时间为 所以微粒从运动到的时间为 【变式2-4】【答案】(1) (2) (3)，方向沿磁场边界方向向左 【详解】（1）对粒子，在加速电场中加速的过程中，根据动能定理 解得 （2）对粒子，在磁场中偏转的过程中，轨迹如图所示 由几何关系 解得 粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得 （3）根据左手定则可知，该带电粒子带负电，若粒子做匀速直线运动，增加电场后粒子受力平衡，根据平衡条件可得 解得 方向沿磁场边界方向向左。 类型3 粒子在电场和磁场中的往复运动模型 【典例3】【答案】(1) (2) (3) 【推理演示】（1）粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得 解得加速度大小为 粒子从坐标为的M 点静止释放，沿y轴负方向的位移大小为 由匀变速直线运动速度与位移的关系得 联立解得粒子第一次进入磁场的速度大小为 （2）粒子第一次进入磁场的坐标为，第一次出磁场的坐标为，粒子在匀强磁场中的运动轨迹如图所示 设粒子的轨迹半径变为r0，由几何关系得 解得 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 解得 （3）设粒子第一次出磁场时速度与x 轴负方向的夹角为θ，由几何关系得 则 粒子沿x 轴和y轴的速度分别为 解得， 粒子沿y轴方向做类竖直上抛运动，由竖直上抛运动规律，可得运动时间 沿x 轴方向做匀速直线运动，有 联立解得沿x 轴方向的位移为 粒子第二次进入磁场时，x 坐标为 沿x 轴方向的速度为 由运动的对称性，可知沿y轴方向的速度为 则粒子与x 轴负方向的夹角仍满足 因此粒子两次在磁场中的运动轨迹关于y轴对称，如图所示 则粒子第二次出磁场的坐标，即为粒子第一次进入磁场的坐标。 【变式3-1】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得 粒子运动轨迹如图所示 由几何知识得 联立解得 （2）粒子离开磁场时，离O的竖直距离为 粒子在电场中做匀减速直线运动 其中 解得 故粒子速度第一次为零时的坐标为 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的总时间 粒子从y轴进入电场至速度为0的过程中，可得， 解得 粒子从P点射入到第三次经过y轴的总时间 【变式3-2】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子进入磁场时速度为，则 解得 由动能定理有 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动的时间为，以向下为正方向，由动量定理 解得 粒子在磁场中做圆周运动的周期 在磁场中做运动的时间，由几何关系可知，粒子运动轨迹圆的圆心角为，则 粒子第二次经过轴的时间： （3）粒子在电场中做类平抛运动，水平位移方向的 解得 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，有 解得 在磁场中的水平位移 根据粒子运动的周期性，故粒子第99次经过轴时的位置与点的距离 解得 【变式3-3】【答案】B 【变式3-4】【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子轨迹如图 由几何关系得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，则 解得 （2）设粒子从P点射入至第2次经过虚线，在磁场中运动的时间为t1，则 在电场中运动的时间为t2，则竖直方向上有 则 粒子从P点射入至第2次经过虚线的时间 类型4 带电粒子在组合场中的立体空间问题模型 【典例4】【答案】(1) (2) (3) 【推理演示】（1）带电粒子在yOz平面左侧磁场中做圆周运动，由几何关系得 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）在右侧磁场中由洛伦兹力提供向心力得 解得 则有， 即坐标为 （3）粒子在电场中做类平抛运动，x轴方向上 y轴方向上 解得 【变式4-1】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从P到Q做类平抛运动，设运动时间为t1 x方向有 z方向有 其中 联立三式得： （2）设粒子到达Q点时，速度方向与x轴成θ角，由得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，从Q点进入磁场，从M点离开磁场。设粒子圆周运动半径为r，速度，由洛伦兹力提供向心力有 并且 粒子打在P点，有 联立三式得 （3）调节I、IV区域的电场分布后，设粒子从Q'点进入磁场，再从M'点离开磁场 由前面分析可知，与IV区域电场强度大小无关。 粒子要进入I区域，打在吸收屏上，需满足，即 粒子到达M'点时，z方向的分速度 粒子在I区域运动，设经历时间t2，落点在吸收屏上坐标设为（x，y，0）有 得 故， 所以打在吸收屏的坐标是 【变式4-2】【答案】(1) (2) (3)，为非负整数；最大面积 【详解】（1）初速度为的电子在场中运动时仅仅受到电场力的作用，合外力的大小 （2）沿轴方向做匀加速直线运动，垂直于轴方向做圆周运动，两个方向的速度垂直，沿轴方向由动能定理得 解得 时间内，有个电子撞击荧光屏，速度变为，由动量定理 解得 （3）沿轴从前向后看，初速度为的电子在垂直于轴的平面做匀速圆周运动，有 解得 由，得圆周运动周期 周期相同，所有不同初速度大小但同方向的电子从原点到平面的时间相同，圆周运动角度相同，在荧光屏上形成直线；不同方向不同速度大小的电子的位置在荧光屏上形成一个角度为的扇形区域，扇形区域的最大半径为电子位置离荧光屏与轴交点的最大距离 屏上接收到电子的区域的最大面积 沿轴方向，由动量定理 解得从原点到的时间 时间满足，为非负整数 解得，为非负整数 【变式4-3】【答案】(1)， (2) 【详解】（1）若只加磁场且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图 由图可知 解得 水平距离 圆周运动的周期 运动时间 （2）若同时加电场和磁场，且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图 圆周运动的周期 粒子在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为零，要使粒子垂直打到P板上，有 解得 粒子沿电场方向的位移大小 在磁场中的位移 粒子在板间运动的位移大小 【变式4-4】【答案】(1) (2) (3)（，，） 【详解】（1）粒子在电场中运动时，设运动时间为，沿轴方向有 解得 沿轴方向有 由牛顿第二定律可知粒子在电场中的加速度大小 解得 （2）粒子进入匀强磁场后，由牛顿第二定律可知 解得轨迹半径 由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为，粒子在磁场中运动的周期 粒子在匀强磁场中运动的时间 故 （3）若粒子以相同的初速度自点射入匀强电场，在匀强电场中运动的时间 进入磁场时，沿轴方向的速度大小为 沿轴方向的速度大小为 粒子在水平面做匀速圆周运动，轨迹半径 沿轴方向做匀速直线运动，因粒子做圆周运动的轨迹半径不变，故在磁场中运动的时间不变，在磁场中沿轴方向运动的位移大小为 在电场中沿轴方向运动的位移大小为 故粒子离开磁场时，坐标为 坐标为 坐标为 即粒子离开磁场时的位置坐标为（，，）。 ✡模型二 带电粒子在叠加场中的运动模型 类型1 带电粒子在叠加场中做直线运动模型 【典例1】【答案】BD 【变式1-1】【答案】BC 【变式1-2】【答案】CD 【变式1-3】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）作出两异种点电荷在点的场强，如图所示 根据电场强度叠加原理，可得点的电场强度的大小为 根据牛顿第二定律有 又， 联立解得 （2）假设物块从到克服摩擦力做功为。物块从到，根据动能定理有 物块从到，根据动能定理有 联立解得 （3）物块做匀速运动时，根据平衡条件有 解得 当物块下滑到点的过程中，假设克服摩擦力做功为，根据动能定理有 解得 【变式1-4】【答案】(1) (2) 【详解】（1）电子在极板间做匀速直线运动，则 由动能定理 联立解得 （2）电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律 得 又 联立得 若电子打在PQ最左端边缘，电子的轨道半径为   此时 若电子打在最右端边缘，由勾股定理 解得电子的轨道半径 此时 加速电压的取值范围是 类型2 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动模型 【典例2】【答案】C 【变式2-1】【答案】BD 【变式2-2】【答案】B 【变式2-3】【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）粒子进入磁场做匀速圆周运动的速度为，由牛顿第二定律有 又有 从A到B，为圆，圆心角为，则 联立解得磁感应强度大小为 （2）因粒子仍按（1）中的轨迹做圆周运动，所以圆周运动半径及圆心不变，点电荷P必处于圆心位置，故位置坐标为，由几何关系可得 由牛顿第二定律可得 所以 （3）出磁场后，粒子仅受库仑力，洛伦兹力消失，做椭圆运动，可类比行星绕太阳做椭圆运动的规律，B点为近日点，首次与B点速度方向相反是远日点，椭圆半长轴 由类比开普勒第三定律，有 运动时间为椭圆的周期一半 故 【变式2-4】【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）如图所示 小球在AO方向做直线运动，则， 根据速度位移关系可得 联立可得， （2）由于 则小球在圆形区域中做匀速圆周运动，设小球在磁场中的偏转角为α，根据洛伦兹力提供向心力 根据几何关系可得 所以小球在圆形区域中运动的时间 （3）小球离开圆形区域后运动到最高点P，有，， 联立解得 类型3 带电粒子在叠加场中做较复杂的曲线运动模型 【典例3】【答案】D 【变式3-1】【答案】(1)，方向竖直向上 (2)0.2m (3) 【详解】（1）小球在第四象限受重力、电场力和洛伦兹力做匀速圆周运动，则有 代入数据得 方向竖直向上。 （2）粒子运动轨迹如图所示 水平方向，根据牛顿第二定律，有 解得 竖直方向，根据牛顿第二定律，有 解得 即水平和竖直方向均做加速度为，初速度为0的匀加速运动，进入第四象限时坐标为，设小球进入第四象限时速度为v，根据速度-位移公式，有， 解得 则 速度与轴的夹角为，则 解得 小球在第四象限做匀速圆周运动，有 解得 由几何关系可知 联立以上解得P点的纵坐标 （3）小球进入电场后竖直方向做上抛运动，水平方向做加速度为的匀加速运动，每次在电场中运动时间相等 从点进入电场中水平初速度和竖直速度相等 三次在电场中运动位移 在磁场中每次向左运动距离 每次进入磁场不变，恒为，则 第八次经过轴时 所以坐标为 【变式3-2】【答案】D 【变式3-3】【答案】AB 【变式3-4】【答案】C 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $