第12讲 静电场的应用模型（模型和方法）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦静电场应用核心考点，涵盖电容器模型（动态分析、充放电与储能）和带电粒子运动模型（电加速、电偏转、等效重力场），按模型建构逻辑梳理知识内在联系。通过模型剖析（定义、公式、动态规律）、方法指导（两类动态分析、运动分解等）、真题特训（高考真题及变式题）的教学环节，帮助学生系统突破难点。 资料以科学思维中的模型建构为核心，创新采用“模型剖析+分层特训”教学策略，如电容器动态分析中对比电压不变与电荷量不变两类情境，引导学生掌握推理方法。设置典例精讲与变式训练，培养学生物理观念和科学探究能力，能有效提升学生解题效率，为教师提供精准复习节奏把控的实用框架。

第12讲 静电场的应用模型 —————————————⏩目录⏪————————————— 模型一 电容器模型 类型1 电容器的动态分析模型 类型2 电容器的充放电与储能模型 模型二 带电粒子在电场中的运动模型 类型1 电加速模型 类型2 电偏转模型 类型3 等效重力场模型 ———————————⏩模型建构⏪———————————— ✡模型一 电容器模型 ▶模型剖析 1.识别电容器 (1)电容器的组成：两个互相靠近、彼此绝缘的导体，导体间可以填充绝缘物质(电介质)。 (2)电容器的表示：在电路中，电容器用字母“C”及电路符号“┤├”表示。 (3)电容器的作用：储存电荷和电场能。 (4)电容器的应用：日光灯启辉器、电视机、照相机、电容式键盘、手机触摸屏中都有电容器。 (5)电容器的电荷量：其中一个极板所带电荷量的绝对值。 2.充电、放电： (1)充电：把电容器的两个极板与电源的正负极相连，使两个极板上带上等量异种电荷的过程。充电后，跟电源正极相连的极板带正电，跟电源负极相连的极板带负电。充电过程如图(a)、(b)所示。 (2)放电：用导线把充电后的电容器的两个极板接通，两个极板上的电荷中和，电容器失去电荷的过程。放电后，电容器任一极板带电荷量均为零。放电过程如图(c)、(d)所示。 (3)从能量的角度区分充电与放电：充电是从电源获得能量储存在电容器中，放电是把电容器中的能量通过电流做功转化为电路中其他形式的能量。 3.电容器的电容：电容器所带电量Q与电容器两极板间的电压U之比。 (1)定义式：C=。 (2)单位：电容的国际单位是法拉，简称法，符号是F，常用的单位还有微法和皮法，1 F=106 μF=1012 pF。 (3)物理意义：电容器的电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量。 (4)公式C=表明，电容器的电容在数值上等于使两极板间的电势差为1 V时电容器需要带的电量。  (5)击穿电压和额定电压 ①击穿电压：电介质不被击穿时加在电容器两极板上的极限电压，若电压超过这一限度，电容器就会损坏。 ②额定电压：电容器外壳上标的电压是工作电压(或称额定电压)，也是电容器正常工作时所能承受的最大电压。 (6)两点提醒 ①电容器的电容取决于电容器本身，与电容器所带的电量Q以及两极板间的电势差U均无关。 ②电容器电容的另一表达式 如图所示，Q-U图像是一条过原点的直线，其中Q为一个极板上所带电量的绝对值，U为两板间的电势差，直线的斜率表示电容大小。因此C=，即电容的大小在数值上等于两极板间的电压增加（或减小）1 V所增加（或减小）的电量。 4.平行板电容器的电容 (1)平行板电容器电容的决定因素：电容C与两极板间电介质的相对介电常数εr成正比，跟两极板的正对面积S成正比，跟两极板间的距离d成反比。 (2)平行板电容器电容的决定式：C=，εr为电介质的相对介电常数，k为静电力常量。当两极板间是真空时，εr=1，空气的相对介电常数十分接近1。 (3)公式C=和C=的比较 C= C= 特点 定义式 决定式 意义 对某电容器Q∝U，但=C不变，反映电容器容纳电荷的本领 反映了影响电容大小的因素 适用范围 任何电容器 平行板电容器 (4)电容器容纳电荷的本领由来量度，由本身的结构(如平行板电容器的εr、S、d等因素)来决定。 5.平行板电容器两类动态分析 如图所示，一平行板电容器与电源E、电阻R和电流表相连接，电源正极接地，初始时电容器不带电。 (1)保持开关闭合，电容器两极板间电压不变 若上极板下移，板间距离d减小，由电容决定式C=，可知电容增大。 ①根据Q=CU，可知电容器所带电荷量增大，故电流表中有从左到右的电流流过。 ②根据E=可知，板间电场强度增大，带电油滴将向上运动； ③根据U'=Ex可知，P点与B板之间的电压增大，而下极板的电势不变，故P点电势升高。 (2)电路稳定后，断开开关S，电容器所带电荷量不变。 若在两极板间插入一块电介质板。 ①由电容决定式C=知，电容增大。 ②根据U=知，两极板间电压减小。 ③根据E=知，极板间电场强度减小，带电油滴将向下运动。 ④根据U'=Ex可知，P点与A板之间电压UAP减小，而A板接地电势不变，UAP=0-φP，故P点电势升高。 若下极板下移，可知电容减小，两极板间电压增大，根据E===可知极板间电场强度不变，故带电油滴保持静止。 ▶模型特训 类型1 电容器的动态分析模型 【典例1】（2026·四川·高考真题）如图所示，金属薄板、、、完全相同，用长导线和开关、连接、与、与平行且间距相等，，均断开。、带等量异种电荷，c、不带电。一质量为、带电量为的微粒，静止在、之间、忽略边缘效应。则（     ） A．闭合、断开，微粒向下运动 B．断开、闭合，微粒向上运动 C．、同时闭合，微粒向下运动 D．、同时闭合，微粒保持静止 【变式1-1】（2026·广东·高考真题）图（a）为某梳齿状可变电容器截面图，上端为固定极板，下端为可上下运动的动极板。将该电容器接入图（b）所示电路，探究其电荷量、极板电压和电容的变化。过程为：①当动极板运动到最高处，开关接端，电源向电容器充电；②充电结束后接 端空置，动极板向下运动；③当动极板运动到最低处，接端，电容器通过放电。关于该过程，下列图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·全国卷·高考真题）电容器的形状变化会导致其电容变化，这一性质可用于设计键盘，简化原理图如图所示。键盘按键下的装置可视为平行板电容器，电容器的极板面积为、间距为，电容（为常量）。按下键盘按键时，极板间的距离变为按压前的倍；撤去按压，按键在弹力作用下复位。电容器充电后： (1)若按压按键不改变电容器所带的电荷量，则按压后极板间的电压变为按压前的多少倍？ (2)若按压按键不改变电容器极板间的电压，则按压后极板间的电场强度大小变为按压前的多少倍？ 【变式1-3】（2025·江苏·高考真题）如图所示，平行金属板与电源连接。一点电荷由a点移动到b点的过程中，电场力做功为W。现将上、下两板分别向上、向下移动，使两板间距离增大为原来的2倍，再将该电荷由a移动到b的过程中，电场力做功为（    ） A． B．W C． D． 【变式1-4】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板压力F的过程中，F较小时弹性结构易被压缩，极板间距d容易减小；F较大时弹性结构闭合，d难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2026·河北·三模）为监测土壤湿度，某智慧农业系统采用电容式湿度传感器，其原理简化图如图所示，连接在电路中的平行金属板电容器的两极板插入土壤（视为电介质）中。已知土壤的相对介电常数随着土壤中含水量的增大而增大。闭合开关后，当土壤逐渐变干燥时，下列说法正确的是（     ） A．电容器的电容增大 B．电容器两板间的电压增大 C．电容器带的电荷量减小 D．通过电流表的电流方向为从到 【变式1-6】（2026·吉林长春·模拟预测）某湿度传感器利用平行板电容器测量空气湿度。电容器上极板（可移动）与固定支架间嵌入一种吸湿材料，当环境湿度增加时，吸湿材料体积膨胀，反之则体积缩小。将该电容器与恒压电源、电流表连接成如图所示的电路，闭合开关。下列说法正确的是（    ） A．空气湿度降低时，电容器的电容会变大 B．空气湿度降低时，极板间电场强度变大 C．空气湿度一定时，滑片向上移动，电容器所带电荷量会增加 D．保持滑片位置不变，若出现从到的电流，说明环境湿度升高 【变式1-7】（2026·宁夏银川·模拟预测）如图所示，M、N是平行板电容器的两个极板，其下端浸没在下方储罐中的不导电液体中，P是两极板间的一点，N极板接地。电容器与理想二极管串联后，接在电动势恒定的电源两端。关于该电路，下列判断正确的是（    ） A．液面上升一小段高度，电容器所带的电荷量不变 B．液面下降一小段高度，P点的电势降低 C．将M板向左移一小段距离，P点的电场强度减小 D．将N板向左移一小段距离，P点的电势降低 类型2 电容器的充放电与储能模型 【典例2】（2026·河南郑州·一模）把干电池、电阻箱、电容器、电流表、单刀双掷开关按图电路图连成实验电路并将电阻箱调到合适阻值。先使开关接1，电源给电容器充电，电容器充电完毕，断开开关，然后将开关接2，电容器放电。在放电过程中，电路中的电流大小为，电容器所带电荷量为，电容器两极板电势差为，电容器的电容为。下面关于、、、随时间的变化的图像，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，单刀双掷开关与1端相连，电源（内阻不计）向电容器充电，充电结束后再把开关掷向2端，电容器通过电阻R放电。分别描绘充、放电时通过电阻R的电流大小随时间变化的图像和两板电势差随电流大小变化的图像。下列图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·重庆九龙坡·模拟预测）超级电容公交车其内部的储能装置可视为一个电容较大的电容器。图甲所示为某次对该电容器充电时的简化电路图，图乙所示为该次充电过程中电流随时间变化的图像，图线与坐标轴所围面积约为8个单元格。已知电源电动势为，充电前电容器电荷量为0，则（     ） A．时刻，电容器两端电压为0 B．为减小充电时间，应增大电阻 C．该次充电完成电容存储的电荷量约为 D．电容器的电容约为 【变式2-3】（2026·山东枣庄·二模）（多选）如图甲所示，输液报警器能自动判定输液管中是否有药液。其内部电路如图乙所示，电源的电压恒定，为定值电阻，单刀双掷开关S不断在1、2之间自动切换，系统监测每次充电电流随时间的变化情况，有药液时，报警器中电容器的电容值大。图丙中的曲线a、b为两次监测的结果。下列说法正确的是（　　） A．两次监测结果中，没有药液的是图线a B．充电时，两极板间的电场强度保持不变 C．充电过程中定值电阻中的电流从左向右 D．减小的电阻值，充满电时两极板间的电压变大 【变式2-4】（2026·吉林白山·一模）如图甲所示为包含电容器的电路，当单刀双掷开关S掷向1端，电源向电容器充电。然后把开关掷向2端，电容器通过电阻R放电，传感器将电流信息传入计算机，屏幕上显示出如图乙所示的电流随时间变化曲线。下列说法正确的是（　　） A．当开关S接1，充电过程中电流表示数逐渐增大后不变 B．开关S掷向2端时，流经电流传感器的电流方向从B到A C．放电过程中电容器的电荷量Q、电压U、电容C都变小 D．I-t曲线与坐标轴围成的面积表示电容器储存的电荷量 【变式2-5】（2025·安徽蚌埠·三模）如图所示，电路中电源电动势为E，内阻为r，R0、R2为定值电阻，R1为光敏电阻，其阻值随光照强度的增加而减小。若照射光敏电阻的光照强度减弱，电压表示数的变化量绝对值为ΔU，电流表示数的变化量绝对值为ΔI，两电表均为理想电表。下列说法正确的是（　　） A．电流表的示数变大，电压表的示数变小 B． C．有从右向左的电流流过R2 D．R0的功率变小，电源的输出功率也变小 【变式2-6】（2025·江西·高考真题）超级电容器可集成到太阳能发电系统中，通过超级电容器储存和释放能量，优化功率输出，提升电网稳定性。关于超级电容器储存能量过程中所带电荷量Q和两极板间电压U的变化，下列说法正确的是（　　） A．Q增大，U增大 B．Q减小，U减小 C．Q减小，U增大 D．Q增大，U减小 【变式2-7】（2025·海南·模拟预测）某同学用如图所示的电路，借助电流传感器研究不同元件通电时的电流变化情况，实验室提供的元件有小灯泡、定值电阻、电感线圈和电容器。时刻闭合开关S，测得通过不同元件的电流随时间变化的图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．图甲对应的元件为电感线圈 B．图乙对应的元件为定值电阻 C．图丙对应的元件为小灯泡 D．图丁对应的元件为电容器 ✡模型二 带电粒子在电场中的运动模型 ▶模型剖析 1.带电粒子(带电体)在电场中的直线运动 (1)带电粒子的分类及受力特点 ①电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力。 ②质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 (2)分析带电粒子在电场力作用下加速运动的两种方法 ①利用牛顿第二定律F＝ma和运动学公式，只能用来分析带电粒子的匀变速运动。 ②利用动能定理：qU＝mv2-mv。若初速度为零，则qU＝mv2，对于匀变速运动和非匀变速运动都适用。 2.带电粒子在电场中的偏转 如图所示，质量为m、电量为＋q的粒子以初速度v0垂直于电场方向射入两极板间，两平行板间存在方向竖直向下的匀强电场，已知板长为l，板间电压为U，板间距离为d，不计粒子的重力。 (1)运动分析及规律应用 粒子在板间做类平抛运动，应用运动分解的知识进行分析处理。 ①在初速度方向：做匀速直线运动； ②在电场力方向：做初速度为零的匀加速直线运动。 (2)过程分析 如图所示，设粒子不与平行板相撞 初速度方向：粒子通过电场的时间t＝ 电场力方向：加速度a＝＝ 离开电场时垂直于板方向的分速度vy＝at＝U 速度与初速度方向夹角的正切值tan θ＝＝U 离开电场时沿电场力方向的偏移量y＝at2＝U。 (3)两个重要推论 ①粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子沿初速度方向位移的中点。 ②位移方向与初速度方向间夹角α的正切值为速度偏转角θ正切值的，即tan α＝tan θ。 3.解决电场和重力场中的圆周运动问题的方法 (1)首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。 (2)用“等效法”的思想找出带电体在电场和重力场中的等效“最高点”和“最低点”。 ①等效重力法 将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“等效重力”，F合的方向为“等效重力”的方向，即等效重力场中的“竖直向下”方向。a=视为等效重力场中的“等效重力加速度”。 ②几何最高点(最低点)与物理最高点(最低点) 几何最高点(最低点)：是指图形中所画圆的最上(下)端，是符合人视觉习惯的最高点(最低点)。 物理最高点(最低点)：是指“等效重力F合”的反向延长线过圆心且与圆轨道的交点，即物体在圆周运动过程中速度最小(大)的点。 ▶模型特训 类型1 电加速模型 【典例1】（2026·江苏镇江·二模）静电复印简化模型中，复印纸与感光鼓之间形成水平方向的匀强电场，将墨粉颗粒从靠近感光鼓的位置由静止释放，不计重力和空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．墨粉颗粒带负电 B．墨粉颗粒在飞往复印纸的过程中，电势能不断增大 C．带电量相同，质量越大的墨粉颗粒，打在复印纸上的速度越大 D．若仅减小感光鼓与复印纸间距，墨粉颗粒打在复印纸上的速率不变 【变式1-1】（2026·陕晋青宁卷·高考真题）飞行时间质谱仪可用于创新药物研发等领域，其简化工作原理如图。开关S闭合，在真空室内，电容器极板AB间加速电压为U，两极板中央开有小孔，C为接收端，BC间为无场漂移区域。有一质量为m、电荷量为q（）的带电大分子（不计重力），自漂入（忽略初速度）A极板小孔起，经加速区域和漂移区域到达C端结束，时间探测器显示整个过程时间为t，则（     ） A．保持S闭合，仅变大，t变长 B．保持S闭合，仅U增大，t变长 C．保持S闭合，AC位置不变，仅B极板向右移动，t变长 D．将S断开，AC位置不变，仅B极板向右移动，t变长 【变式1-2】（2026·浙江·三模）如图所示，真空中放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，二板间电势差恒为U。现有一质量为m、电荷量为q（q>0）的微粒，固定在两极板中央O点。若微粒与极板碰撞前后瞬间速率不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。则（     ） A．若上板向右平移一小位移，微粒的电势能增大 B．若释放微粒，微粒第一次到达下极板所需时间 C．若释放微粒，微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小 D．微粒在二极板间来回运动一次，电源消耗的电能为Uq 【变式1-3】（2026·安徽淮南·模拟预测）三块平行放置的带电金属板、、，板中央各有一个小孔、、，板接地，相邻两板之间的距离均为。质子在时刻从点由静止释放，时刻恰好能到达点。不计质子的重力，以点为坐标原点，以连线为正方向建立轴。下列关于质子的速度、加速度随的变化，以及电势能、动能随时间的变化图像，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2026·江苏苏州·三模）如图所示，相互平行的水平金属板、、分别与两个相同的电源相连，、两板上开的小孔在同一竖直线上。一电子从靠近板的位置由静止开始运动，恰好能到达板，不计电子重力。将板上移至水平虚线处，由处静止释放的电子（　　） A．到达板时速度减小 B．能穿过板上的小孔 C．到达板的时间不变 D．到达板的时间增大 【变式1-5】（2026·广西贵港·模拟预测）（多选）近20多年来，中国的粒子加速器发展迅速，在规模和应用方向上走进了世界先进行列。加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用。如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管（漂移管）组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变。设质子进入漂移管时速度为，进入漂移管时速度为，电源频率为，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的，质子的荷质比取。则（    ） A．第个漂移管与第个漂移管的长度之比为 B．漂移管的长度0.4m C．相邻漂移管间的加速电压为 D．漂移管之前还有9个漂移管 【变式1-6】（2026·江西宜春·一模）（多选）某实验小组设计了一个装置，左边由1块金属板和5个中间开有小孔的金属筒组成，彼此间存在很窄的狭缝，右侧有一个接收屏，距离右侧出口上方处固定一个电荷量为的点电荷。现让带电量，质量的粒子从紧挨金属板右侧虚线处静止释放，同时接通如图所示交流电，且初始时奇数筒电势高。粒子在每个狭缝中都能一直加速，最后从右侧射出后，最终打在接收屏上。已知点电荷周围电势为，不计点电荷对左侧区域的影响，忽略粒子的重力，则（　　） A．粒子在左侧区域，一直做加速运动 B．各筒长可能满足 C．接收屏接收粒子位置在出口上方处 D．粒子在右侧区域飞行的时间为 【变式1-7】（2026·北京房山·一模）飞行时间质谱仪可以通过测量离子飞行的时间，测量离子质量、比荷（电荷量与质量之比）。 (1)如图甲所示，激光脉冲照射到样品板O处，会产生不同种类的带正电离子。离子在O处的初速度不计，经过电压为U的静电场加速后，射入长为L的漂移管，在管中沿轴线做匀速直线运动。某一电荷量为q的离子在漂移管中的运动时间为T1，不考虑离子的重力和离子间的相互作用力，求该离子的质量m； (2)为了增大离子在漂移管中的飞行路程，在右端增加电场强度为E、方向如图乙所示的匀强电场反射区域BC，让离子穿过漂移管后，受电场的作用返回漂移管，再回到A端。求反射区域BC的最小间距x； (3)改进后，若测得离子从进入A端至首次返回A端的飞行时间为T2，能否测出离子的比荷？若能，请计算出离子的比荷；若不能，请说明理由。 【变式1-8】（2025·云南昆明）某些肿瘤可以用 “质子疗法” 进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后通过偏转磁场和聚集磁场将质子引向肿瘤并产生轰击作用，杀死恶性细胞。如图甲所示为质子加速的示意图，在金属圆筒0、A、B、C、D、E之间加如图乙所示大小恒定为的交变电压，使质子恰好经过圆筒轴线间的间隙时加速，进入圆筒后做匀速直线运动，圆筒的长度设计必须遵循一定的规律。已知质子由0位置处静止释放加速，质子的电荷量为，质量为，若忽略质子的重力、质子经过圆筒间隙的时间及质子的相对论效应。求： (1)质子刚好飞出圆筒E时速度的大小； (2)圆筒B与圆筒D的长度之比。 【变式1-9】（2026·安徽亳州·模拟预测）中国聚变工程BEST装置（“人造太阳”）预计在2027年建成，在“人造太阳”（托卡马克装置）前端直线加速系统实验中，采用平行极板加速器形成匀强电场来加速带电粒子。其基本原理如图所示，真空中两块平行极板正对放置，极板的正中央各有一小孔，某次带正电粒子p从左侧正极板小孔由静止出发，直线加速后从右侧极板小孔离开，不计粒子所受重力，若保持两板间电压恒定，将两板间距离增大到原来的2倍，相同粒子p仍从左侧正极板小孔由静止出发，则（　　） A．板间电场强度变为原来2倍 B．粒子p在电场中的加速时间变为原来2倍 C．粒子p在电场中的加速度变为原来2倍 D．粒子p出右侧极板时速度变为原来2倍 类型2 电偏转模型 【典例2】（2026·贵州·高考真题）如图，密闭真空中，有一竖直放置的金属靶和水平放置的两平行极板，极板与金属靶受光面垂直，板间存在竖直向上的匀强电场。用频率为和的光分别照射靶时，垂直靶面逸出最大初动能分别为和的光电子，经狭缝、后进入电场，分别落到下极板M、N处。忽略极板边缘效应及电子间的相互作用，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-1】（2026·河南·高考真题）反射式飞行时间质谱仪是通过测量离子在真空中的飞行时间来对其进行质量分析的仪器。原理如图所示，离子源 产生不同种类、初速度为零的正离子，离子经匀强电场加速后从 点射出，进入无场区做直线运动，然后从 点进入匀强反射电场，最后从反射电场射出。已知 、 间的距离为；加速电场和反射电场两极板间的电压分别为和（），间距分别为和；反射电场方向与 的夹角为。不计离子重力。 (1)证明从离子源 产生的正离子都能从同一点射出反射电场； (2)测得两种离子从 到射出反射电场所用时间之比，求其比荷之比。 【变式2-2】（2026·河南平顶山·三模）如图所示，两组平行板电容器垂直放置于同一竖直平面内，其中A、B间存在电势差为的加速电场，C、D间存在电势差为的偏转电场。现将氕（）、氘（）、氚（）、氦（）四个粒子从O点由静止释放，经A、B间电场加速后沿中线进入偏转电场，离开偏转电场时均未碰到极板。若忽略粒子间相互作用及粒子重力，则离开电场时速度相同的粒子是（     ） A．、 B．、 C．、 D．、 【变式2-3】（2026·江西吉安·模拟预测）（多选）如图，平行板电容器上下两极板长L，两板之间的距离也是L，存在竖直向下的匀强电场，两个质量均为m电荷量为q（q>0）的粒子甲和乙从电场的右边界射入电场，其中甲粒子从右边界的中点射入，速度的大小为，乙粒子从右边界的最下方射入，速度的大小为。两粒子都恰能从上极板的左端水平飞出，飞出的速度大小对应为和。那么（     ） A．粒子进入电场时 B．粒子进入电场时 C．粒子离开电场时 D．粒子离开电场时 【变式2-4】（2026·山东青岛·三模）（多选）在电子显微技术中经常要将粒子源发射的电子转变为平行电子束。如图所示，在坐标平面的第一象限内存在沿轴正向的匀强电场，图中虚线为半椭圆，椭圆在原点处与轴相切，椭圆的半长轴为，半短轴为，点坐标为。原点处有一电子源，向第一象限平面内各个方向均匀发射速率均为的电子，电子质量为、电荷量为，电子仅在电场力作用下运动，经过椭圆时速度方向均沿轴正向。下列说法正确的是（    ） A．匀强电场的电场强度为 B．匀强电场的电场强度为 C．从椭圆上点上方和下方射出的电子数之比为1：1 D．从椭圆上点上方和下方射出的电子数之比为2：1 【变式2-5】（2026·新疆·三模）如图，动能为1J的电荷垂直射入有左、右边界的匀强电场，电荷在运动中只受电场力作用，电荷射出电场时的动能为5J。若电荷以4J的动能垂直射入电场，其射出电场时的动能为（　　） A．25J B．20J C．8J D．5J 【变式2-6】（2026·天津宝坻·三模）（多选）如图所示的矩形区域ABCD内分布有平行于AD方向的匀强电场，，P为CD中点。质量相同的带电粒子a、b分别从A点和D点平行于AB同时进入电场，并同时到达P、B点，二者的运动轨迹交于O点（图中未标出）。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用。则带电粒子a、b（     ） A．具有相同的比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达O点所用的时间之比为 D．到达P、B点时的速度之比为 【变式2-7】（2026·福建三明·二模）如图，一平行板电容器上方MN、PQ之间的区域有方向水平向右、大小为的匀强电场。一带正电粒子从平行板电容器下极板a点静止释放，经加速后从b点垂直进入匀强电场，带电粒子最终从MN上的c点离开。已知电容器电容带电量粒子比荷 MN、PQ之间的距离d=0.2m，，不计粒子的重力，求： (1)电容器的电压U； (2)粒子经b点时的速度大小； (3)b、c点间水平距离x。 【变式2-8】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）在如图甲所示的平行金属板、上加如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期为，现有一电子时刻以平行于极板的速度从两板中央射入。电子比荷为，不计电子的重力，则（     ） A．若时电子恰好能从板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为 B．若电子恰能平行于极板飞出，则极板长可能是 C．若电子在时刻射出极板，两极板间距至少为 D．若电子恰能平行轴线方向飞出极板，两极板间距至少为 类型3 等效重力场模型 【典例3】（2026·河南濮阳·一模）如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，其中有一个半径为的竖直光滑圆环，环内有两根光滑的弦轨道和，点所在的半径与竖直直径成角。质量为、电荷量为的带电小球（可视为质点）从点由静止释放，分别沿弦轨道和到达圆周的运动时间相同。现去掉弦轨道和，如图乙所示，给小球一个初速度，让小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化，重力加速度为，下列说法正确的是（ ） A．小球经过点时对轨道的压力为零 B．匀强电场的电场强度大小为 C．小球做圆周运动经过点时动能最大 D．小球做圆周运动过程中对环的压力的最大值为 【变式3-1】（2026·湖北·一模）如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带电小球，小球静止在M点。现给小球一垂直于OM的初速度，使其在竖直面内绕O点沿顺时针方向恰好能做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知A点电势为0，OM与竖直方向的夹角，重力加速度大小为g。则（    ） A．电场强度E的大小为 B．小球电势能最大值为 C．小球在M点初速度为 D．小球运动到B点时突然剪断细线后，小球运动过程中速度的最小值为 【变式3-2】（2026·重庆渝中·模拟预测）光滑绝缘的水平桌面上方有沿水平方向的匀强电场， 一带负电的小球受该匀强电场的电场力及另一水平力F 作用而在桌面上做匀速圆周运动，从圆周轨迹上的 A点开始运动一周，其电势能与时间的关系图像如图所示， 下列说法正确的是（    ） A．小球在A点受到的力F最大 B．电场强度的方向由C指向 A C．小球在C点受到的力F一定小于电场力 D．小球在B、D两点受到的力F大小相等、方向相反 【变式3-3】（2026·吉林·三模）竖直平面内有一圆形区域PQNK，PN、KQ分别是圆的水平和竖直直径，M是圆弧QN的中点。匀强电场平行于该平面，方向如图所示，电场强度大小为。一个电荷量为、质量为m的小球多次从圆周上的P点以相同的速率向各个方向发射，小球能到达圆周上的所有位置，下列说法正确的是（    ） A．小球到达圆周上N点时的速率最小 B．小球在M点的电势能最大、机械能最小 C．小球在K点的电势能与动能之和最大 D．小球从P点到达圆周各个位置的时间均不同 【变式3-4】（2026·四川凉山·二模）如图所示，在竖直平面内有水平向左场强的匀强电场，在匀强电场中有一根长为的绝缘细线，细线一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球。在点让小球获得一定的初速度且恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为，小球带负电，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 B．小球对细绳的最大拉力为 C．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 D．小球做圆周运动过程中动能的最小值为 【变式3-5】（2026·四川南充·二模）如图，竖直面上固定一个圆形光滑绝缘，半径为。，连线是水平直径，，连线是竖直直径，在轨道所在的竖直面分布着与水平方向夹角的匀强电场。一个质量为、带电荷量为的绝缘小球从点以某一速度竖直向下沿轨道内侧运动，若小球在轨道内侧运动时恰好不脱离轨道，并从点开始水平向左做直线运动，重力加速度为。求： (1)匀强电场场强的大小； (2)小球在轨道上的最小速率； (3)小球在点对轨道压力的大小。 【变式3-6】（2026·黑龙江双鸭山·一模）如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为R，A、B两点分别是圆形轨道的最低点和最高点，圆形轨道上C、D两点的连线过圆心O且OC与竖直向下方向的夹角为60°。空间存在方向水平向右且平行圆形轨道所在平面的匀强电场，一质量为m的带负电小球（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的圆周运动，且小球通过D点时的速度最小。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球受到的电场力大小为2mg B．小球通过D点时的速度大小为 C．小球在运动过程中的最大速度为 D．小球通过C点时所受轨道的作用力大小为12mg 【变式3-7】（2025·广东深圳·模拟预测）如图所示，竖直平面内有固定的光滑绝缘圆形轨道，匀强电场的方向平行于轨道平面水平向右，、分别为轨道上的最高点和最低点，、是轨道上与圆心等高的点。质量为、电荷量为的带负电的小球在处以速度水平向右射出，恰好能在轨道内做完整的圆周运动，已知重力加速度大小为，轨道半径为，电场强度大小。则下列说法中正确的是（　　） A．在轨道上运动时，小球动能最大的位置在圆弧的中点 B．小球在点的初速度 C．从点出发，运动一周回到点的过程中，机械能先减小再增大 D．若增大小球在点的速度，则经过、两点时小球所受轨道弹力大小的差值也会增大 【变式3-8】（2026·四川广安·模拟预测）（多选）如图所示，竖直平面内，固定一根光滑绝缘杆，其中是半径为的半圆，圆心为点，最高点为点，水平足够长杆与在点相切，整个空间有水平向左的匀强电场，电场强度，重力加速度为。现有一套在杆上质量为、电荷量为的小圆环，在距点为的位置由静止释放，若小环恰能到达点。下列说法正确的是（     ） A．小环从释放到点，小环的电势能一直减小 B． C．小环从释放到点，最大压力为 D．小环从释放到点，最大压力为 【变式3-9】（2026·山东潍坊·模拟预测）如图所示，空间中存在着大小为E的匀强电场，电场方向与水平方向的夹角为30°半径为R的竖直半圆形光滑轨道固定在水平地面上，圆心为O，与地面相切于M点。质量为m、电荷量为+q的小球从M点以一定速度沿切线方向进入半圆形轨道，刚好运动至最高点N，已知，重力加速度为g. (1)小球在N点的速度为多大？ (2)小球的最大动能为多大？在哪个位置？ (3)小球与轨道间的最大弹力为多大？ 【变式3-10】（2026·广东·高考真题）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 静电场的应用模型 —————————————⏩目录⏪————————————— 模型一 电容器模型 类型1 电容器的动态分析模型 类型2 电容器的充放电与储能模型 模型二 带电粒子在电场中的运动模型 类型1 电加速模型 类型2 电偏转模型 类型3 等效重力场模型 ———————————⏩模型建构⏪———————————— ✡模型一 电容器模型 ▶模型剖析 1.识别电容器 (1)电容器的组成：两个互相靠近、彼此绝缘的导体，导体间可以填充绝缘物质(电介质)。 (2)电容器的表示：在电路中，电容器用字母“C”及电路符号“┤├”表示。 (3)电容器的作用：储存电荷和电场能。 (4)电容器的应用：日光灯启辉器、电视机、照相机、电容式键盘、手机触摸屏中都有电容器。 (5)电容器的电荷量：其中一个极板所带电荷量的绝对值。 2.充电、放电： (1)充电：把电容器的两个极板与电源的正负极相连，使两个极板上带上等量异种电荷的过程。充电后，跟电源正极相连的极板带正电，跟电源负极相连的极板带负电。充电过程如图(a)、(b)所示。 (2)放电：用导线把充电后的电容器的两个极板接通，两个极板上的电荷中和，电容器失去电荷的过程。放电后，电容器任一极板带电荷量均为零。放电过程如图(c)、(d)所示。 (3)从能量的角度区分充电与放电：充电是从电源获得能量储存在电容器中，放电是把电容器中的能量通过电流做功转化为电路中其他形式的能量。 3.电容器的电容：电容器所带电量Q与电容器两极板间的电压U之比。 (1)定义式：C=。 (2)单位：电容的国际单位是法拉，简称法，符号是F，常用的单位还有微法和皮法，1 F=106 μF=1012 pF。 (3)物理意义：电容器的电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量。 (4)公式C=表明，电容器的电容在数值上等于使两极板间的电势差为1 V时电容器需要带的电量。  (5)击穿电压和额定电压 ①击穿电压：电介质不被击穿时加在电容器两极板上的极限电压，若电压超过这一限度，电容器就会损坏。 ②额定电压：电容器外壳上标的电压是工作电压(或称额定电压)，也是电容器正常工作时所能承受的最大电压。 (6)两点提醒 ①电容器的电容取决于电容器本身，与电容器所带的电量Q以及两极板间的电势差U均无关。 ②电容器电容的另一表达式 如图所示，Q-U图像是一条过原点的直线，其中Q为一个极板上所带电量的绝对值，U为两板间的电势差，直线的斜率表示电容大小。因此C=，即电容的大小在数值上等于两极板间的电压增加（或减小）1 V所增加（或减小）的电量。 4.平行板电容器的电容 (1)平行板电容器电容的决定因素：电容C与两极板间电介质的相对介电常数εr成正比，跟两极板的正对面积S成正比，跟两极板间的距离d成反比。 (2)平行板电容器电容的决定式：C=，εr为电介质的相对介电常数，k为静电力常量。当两极板间是真空时，εr=1，空气的相对介电常数十分接近1。 (3)公式C=和C=的比较 C= C= 特点 定义式 决定式 意义 对某电容器Q∝U，但=C不变，反映电容器容纳电荷的本领 反映了影响电容大小的因素 适用范围 任何电容器 平行板电容器 (4)电容器容纳电荷的本领由来量度，由本身的结构(如平行板电容器的εr、S、d等因素)来决定。 5.平行板电容器两类动态分析 如图所示，一平行板电容器与电源E、电阻R和电流表相连接，电源正极接地，初始时电容器不带电。 (1)保持开关闭合，电容器两极板间电压不变 若上极板下移，板间距离d减小，由电容决定式C=，可知电容增大。 ①根据Q=CU，可知电容器所带电荷量增大，故电流表中有从左到右的电流流过。 ②根据E=可知，板间电场强度增大，带电油滴将向上运动； ③根据U'=Ex可知，P点与B板之间的电压增大，而下极板的电势不变，故P点电势升高。 (2)电路稳定后，断开开关S，电容器所带电荷量不变。 若在两极板间插入一块电介质板。 ①由电容决定式C=知，电容增大。 ②根据U=知，两极板间电压减小。 ③根据E=知，极板间电场强度减小，带电油滴将向下运动。 ④根据U'=Ex可知，P点与A板之间电压UAP减小，而A板接地电势不变，UAP=0-φP，故P点电势升高。 若下极板下移，可知电容减小，两极板间电压增大，根据E===可知极板间电场强度不变，故带电油滴保持静止。 ▶模型特训 类型1 电容器的动态分析模型 【典例1】（2026·四川·高考真题）如图所示，金属薄板、、、完全相同，用长导线和开关、连接、与、与平行且间距相等，，均断开。、带等量异种电荷，c、不带电。一质量为、带电量为的微粒，静止在、之间、忽略边缘效应。则（     ） A．闭合、断开，微粒向下运动 B．断开、闭合，微粒向上运动 C．、同时闭合，微粒向下运动 D．、同时闭合，微粒保持静止 【推理演示】带电量为q的微粒，静止在a、 b之间，说明重力与电场力平衡，电场力向上。 A．S2断开，b的带电量保持不变，根据电容器极板电荷等量关系，a的带电量不变，因此ab间电场强度不变，电场力仍等于重力，微粒保持静止，A错误； B．同理可得，B错误； CD．S1、S2同时闭合相当于ab、cd两个电容器并联，电荷均匀分布在两个电容器的极板上，ab电容器带电量减小，板间场强减小，电场力小于重力，微粒向下运动，故C正确，D错误。 故选C。 【变式1-1】（2026·广东·高考真题）图（a）为某梳齿状可变电容器截面图，上端为固定极板，下端为可上下运动的动极板。将该电容器接入图（b）所示电路，探究其电荷量、极板电压和电容的变化。过程为：①当动极板运动到最高处，开关接端，电源向电容器充电；②充电结束后接 端空置，动极板向下运动；③当动极板运动到最低处，接端，电容器通过放电。关于该过程，下列图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．由题意可知①过程为电容器充电过程，电容器两端电势差逐渐增大，根据可知电容器电荷量逐渐增大；②过程接端，则电容器Q不变，动极板向下运动，S减小，根据可知U增大，C减小；③过程为放电过程，动极板在最低处电容为更小的恒定值，故对应Q-U图线为过原点、斜率更小的直线，A正确，B错误； CD．通过前面的分析可知①过程的电容C大于③过程的电容C，②过程中Q不变，因为，所以U与C成反比，图像为双曲线的一支，故CD均错误。 故选A。 【变式1-2】（2025·全国卷·高考真题）电容器的形状变化会导致其电容变化，这一性质可用于设计键盘，简化原理图如图所示。键盘按键下的装置可视为平行板电容器，电容器的极板面积为、间距为，电容（为常量）。按下键盘按键时，极板间的距离变为按压前的倍；撤去按压，按键在弹力作用下复位。电容器充电后： (1)若按压按键不改变电容器所带的电荷量，则按压后极板间的电压变为按压前的多少倍？ (2)若按压按键不改变电容器极板间的电压，则按压后极板间的电场强度大小变为按压前的多少倍？ 【答案】(1)倍 (2)倍 【详解】（1）根据平行板电容器公式，电容的定义式 设按压前电容为，电压为U1，电荷量为Q，则 按压后极板间距离变为按压前的倍，即，此时电容 因为按压不改变电荷量Q，所以按压后电压 所以有 即按压后极板间的电压变为按压前的倍。 （2）对于平行板电容器，极板间的电场强度； 设按压前电压为U，极板间距离为d1，则电场强度 按压后极板间距离变为，且电压不变仍为U，此时电场强度 所以有 按压后极板间的电场强度大小变为按压前的倍。 【变式1-3】（2025·江苏·高考真题）如图所示，平行金属板与电源连接。一点电荷由a点移动到b点的过程中，电场力做功为W。现将上、下两板分别向上、向下移动，使两板间距离增大为原来的2倍，再将该电荷由a移动到b的过程中，电场力做功为（    ） A． B．W C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知，电容器与电源保持连接，电容器两端电压不变，现将电容器两极板间距增大至原来的两倍，由公式可知，极板间电场强度变为原来的，则有可知，再把电荷由a移至b，则电场力做功变为原来的，即电场力做功为。 故选A。 【变式1-4】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板压力F的过程中，F较小时弹性结构易被压缩，极板间距d容易减小；F较大时弹性结构闭合，d难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U与F的关系曲线可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据公式和电容的决定式 可得 根据题意F较小时易被压缩，故可知当F较小时，随着F的增大，d在减小，且减小的越来越慢，与电源断开后Q不变，故此时极板间的电势差U在减小，且减小的越来越慢；当F增大到一定程度时，再增大F后，d基本不变，故此时U保持不变，结合图像，最符合情境的是D选项。 故选D。 【变式1-5】（2026·河北·三模）为监测土壤湿度，某智慧农业系统采用电容式湿度传感器，其原理简化图如图所示，连接在电路中的平行金属板电容器的两极板插入土壤（视为电介质）中。已知土壤的相对介电常数随着土壤中含水量的增大而增大。闭合开关后，当土壤逐渐变干燥时，下列说法正确的是（     ） A．电容器的电容增大 B．电容器两板间的电压增大 C．电容器带的电荷量减小 D．通过电流表的电流方向为从到 【答案】C 【详解】A．当土壤逐渐变干燥时，土壤的相对介电常数减小，根据平行板电容器的决定式 可知电容器的电容减小，故A错误； B．电容器两板间的电压等于电源电动势，土壤逐渐变干燥时，两板间的电压保持不变，故B错误； C．根据电容器的定义式 土壤逐渐变干燥时，电容器两板间的电压不变，电容器的电容减小，可知电容器带的电荷量减小，故C正确； D．由选项C分析可知电容器放电，电容器左板带正电，因此通过电流表的电流方向为从M到N，故D错误。 故选C。 【变式1-6】（2026·吉林长春·模拟预测）某湿度传感器利用平行板电容器测量空气湿度。电容器上极板（可移动）与固定支架间嵌入一种吸湿材料，当环境湿度增加时，吸湿材料体积膨胀，反之则体积缩小。将该电容器与恒压电源、电流表连接成如图所示的电路，闭合开关。下列说法正确的是（    ） A．空气湿度降低时，电容器的电容会变大 B．空气湿度降低时，极板间电场强度变大 C．空气湿度一定时，滑片向上移动，电容器所带电荷量会增加 D．保持滑片位置不变，若出现从到的电流，说明环境湿度升高 【答案】C 【详解】A．环境湿度降低时，吸湿材料体积缩小，极板间距d增大，根据可知，电容变小，故A错误； B．电源保持电压恒定（滑动变阻器未调节），环境湿度降低时，吸湿材料体积缩小，极板间距d增大，根据电场强度可知，极板间电场强度变小，故B错误； C．空气湿度一定时，滑片向上移动，由电路图可知电容器两端电压增大，根据可知，电容器所带电荷量会增加，故C正确； D．若电流计示数为从a到b，说明电容器放电，则电容减小，d增大说明湿度降低，故D错误。 故选C。 【变式1-7】（2026·宁夏银川·模拟预测）如图所示，M、N是平行板电容器的两个极板，其下端浸没在下方储罐中的不导电液体中，P是两极板间的一点，N极板接地。电容器与理想二极管串联后，接在电动势恒定的电源两端。关于该电路，下列判断正确的是（    ） A．液面上升一小段高度，电容器所带的电荷量不变 B．液面下降一小段高度，P点的电势降低 C．将M板向左移一小段距离，P点的电场强度减小 D．将N板向左移一小段距离，P点的电势降低 【答案】B 【详解】A．液面上升一小段高度，两极板的正对面积S变大，平均介电常数增加，根据平行板电容器的决定式，可知电容器的电容变大，电容器两极板间电压U不变，根据电容的定义式，C变大，U不变，所以电容器所带的电荷量增加，A错误； B．液面下降，平均介电常数减小，两极板的正对面积S减小，根据平行板电容器的决定式，可知电容器的电容减小，二极管阻止电容器放电，因此不变。板间电场强度 根据电容的定义式 根据平行板电容器的决定式 联立解得,Q不变,S与减小，因此E增大。N接地，则，电场方向由指向M，P到N的距离不变，因此P点电势，E增大，降低。故B正确； C．M左移，极板间距增大，减小，Q不变（二极管阻止放电）。由，可知E不变。C错误； D．N左移，d减小，C增大，二极管导通，U等于电源电动势不变，，E增大。设到M距离为，则，因此增大。故D错误。 故选B 。 类型2 电容器的充放电与储能模型 【典例2】（2026·河南郑州·一模）把干电池、电阻箱、电容器、电流表、单刀双掷开关按图电路图连成实验电路并将电阻箱调到合适阻值。先使开关接1，电源给电容器充电，电容器充电完毕，断开开关，然后将开关接2，电容器放电。在放电过程中，电路中的电流大小为，电容器所带电荷量为，电容器两极板电势差为，电容器的电容为。下面关于、、、随时间的变化的图像，正确的是（　　） A． B． C． D． 【推理演示】D．放电过程中，电容器电容保持不变，故D错误； ABC．放电过程中，电容器所带电量逐渐减小，根据电容定义式可知电容器两极板间电压逐渐减小，则放电电流逐渐减小，根据可知Q−t图像的切线斜率绝对值逐渐减小，故B正确，AC错误。 故选B。 【变式2-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，单刀双掷开关与1端相连，电源（内阻不计）向电容器充电，充电结束后再把开关掷向2端，电容器通过电阻R放电。分别描绘充、放电时通过电阻R的电流大小随时间变化的图像和两板电势差随电流大小变化的图像。下列图像可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．电容器在充放电过程中电流均随时间减小，电流的变化率也在减小，图像如图所示 所以，AB错误； C．电源内阻不计，根据闭合电路欧姆定律 整理得，图像为斜率为负的直线，C正确； D．放电时，电容器两端电压等于电阻的电压，即，图像为一条过原点的直线，D错误； 故选C。 【变式2-2】（2026·重庆九龙坡·模拟预测）超级电容公交车其内部的储能装置可视为一个电容较大的电容器。图甲所示为某次对该电容器充电时的简化电路图，图乙所示为该次充电过程中电流随时间变化的图像，图线与坐标轴所围面积约为8个单元格。已知电源电动势为，充电前电容器电荷量为0，则（     ） A．时刻，电容器两端电压为0 B．为减小充电时间，应增大电阻 C．该次充电完成电容存储的电荷量约为 D．电容器的电容约为 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，时刻，电容器充电完成，电容器两端电压为电源电动势，故A错误； B．根据可知，为减小充电时间，应减小电阻，故B错误； C．根据可知，图线与坐标轴所围面积表示电荷量，所以该次充电完成电容存储的电荷量约为，故C正确； D．电容器的电容约为，故D错误。 故选C。 【变式2-3】（2026·山东枣庄·二模）（多选）如图甲所示，输液报警器能自动判定输液管中是否有药液。其内部电路如图乙所示，电源的电压恒定，为定值电阻，单刀双掷开关S不断在1、2之间自动切换，系统监测每次充电电流随时间的变化情况，有药液时，报警器中电容器的电容值大。图丙中的曲线a、b为两次监测的结果。下列说法正确的是（　　） A．两次监测结果中，没有药液的是图线a B．充电时，两极板间的电场强度保持不变 C．充电过程中定值电阻中的电流从左向右 D．减小的电阻值，充满电时两极板间的电压变大 【答案】AC 【详解】A．根据可知，图线与坐标轴所围面积表示电荷量，根据可知，没有药液时电容器的电容小，电荷量小，图线与坐标轴所围面积小，即没有药液的是图线a，故A正确； B．充电时，根据可知，两极板间的电压不断增大，根据可知，两极板间的电场强度不断增大，故B错误； C．由图乙可知，充电过程中定值电阻R中的电流从左向右，故C正确； D．充满电时两极板间的电压等于电源电动势，与定值电阻R的阻值无关，故D错误。 故选AC。 【变式2-4】（2026·吉林白山·一模）如图甲所示为包含电容器的电路，当单刀双掷开关S掷向1端，电源向电容器充电。然后把开关掷向2端，电容器通过电阻R放电，传感器将电流信息传入计算机，屏幕上显示出如图乙所示的电流随时间变化曲线。下列说法正确的是（　　） A．当开关S接1，充电过程中电流表示数逐渐增大后不变 B．开关S掷向2端时，流经电流传感器的电流方向从B到A C．放电过程中电容器的电荷量Q、电压U、电容C都变小 D．I-t曲线与坐标轴围成的面积表示电容器储存的电荷量 【答案】D 【详解】A．开关S接1，给电容器充电，电流表的示数先增大，电容器电压增大到一定值时，电流表示数开始减小，所以电流表示数先增大后减小，故A错误； B．电容器充电后，上极板带正电，下极板带负电，开关S接2时，电容器放电所以电流方向从到，故B错误； C．无论充电还是放电，电容器的电容不变，放电过程电容器电荷量、极板间电压减小，故C错误； D．根据电流强度的定义，可得 即图像中图线与坐标轴围成的面积表示流过电流传感器的电荷量，即电容器储存的电荷量，故D正确。 故选D。 【变式2-5】（2025·安徽蚌埠·三模）如图所示，电路中电源电动势为E，内阻为r，R0、R2为定值电阻，R1为光敏电阻，其阻值随光照强度的增加而减小。若照射光敏电阻的光照强度减弱，电压表示数的变化量绝对值为ΔU，电流表示数的变化量绝对值为ΔI，两电表均为理想电表。下列说法正确的是（　　） A．电流表的示数变大，电压表的示数变小 B． C．有从右向左的电流流过R2 D．R0的功率变小，电源的输出功率也变小 【答案】C 【详解】A．若照射光敏电阻的光照强度减弱，则增大，根据串反并同规律可知，电流表的示数变小，电压表的示数变大，故A错误； B．根据闭合电路欧姆定律有 即 故，故B错误； C．据电路可知，电容器右极板带正电，左极板带负电，电容器两极板间电压增大，故电容器充电，有从右向左的电流流过，故C正确； D．因流过的电流减小，根据 可知的功率变小，因不知道与的大小关系，故电源的输出功率如何变化无法确定，故D错误。 故选C。 【变式2-6】（2025·江西·高考真题）超级电容器可集成到太阳能发电系统中，通过超级电容器储存和释放能量，优化功率输出，提升电网稳定性。关于超级电容器储存能量过程中所带电荷量Q和两极板间电压U的变化，下列说法正确的是（　　） A．Q增大，U增大 B．Q减小，U减小 C．Q减小，U增大 D．Q增大，U减小 【答案】A 【详解】超级电容器储存能量时处于充电过程，电荷量Q增加。根据电容公式，若电容C不变（由结构决定，题目未提及变化），则Q与U成正比。因此，Q增大时，U必然增大。 故选A。 【变式2-7】（2025·海南·模拟预测）某同学用如图所示的电路，借助电流传感器研究不同元件通电时的电流变化情况，实验室提供的元件有小灯泡、定值电阻、电感线圈和电容器。时刻闭合开关S，测得通过不同元件的电流随时间变化的图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．图甲对应的元件为电感线圈 B．图乙对应的元件为定值电阻 C．图丙对应的元件为小灯泡 D．图丁对应的元件为电容器 【答案】D 【详解】闭合开关后，通过定值电阻的电流不变，应该对应图甲。由于小灯泡的电阻率会随温度的升高而升高，所以通过小灯泡的电流会逐渐减少，但不会为0，应该对应图乙。电阻线圈由于自感，所以闭合开关瞬间电流为0，然后慢慢增大，对应图丙。电容器在闭合开关瞬间处于充电状态，然后慢慢减少，充电结束，电流为0，对应图丁。 故选D。 ✡模型二 带电粒子在电场中的运动模型 ▶模型剖析 1.带电粒子(带电体)在电场中的直线运动 (1)带电粒子的分类及受力特点 ①电子、质子、α粒子、离子等基本粒子，一般都不考虑重力。 ②质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 (2)分析带电粒子在电场力作用下加速运动的两种方法 ①利用牛顿第二定律F＝ma和运动学公式，只能用来分析带电粒子的匀变速运动。 ②利用动能定理：qU＝mv2-mv。若初速度为零，则qU＝mv2，对于匀变速运动和非匀变速运动都适用。 2.带电粒子在电场中的偏转 如图所示，质量为m、电量为＋q的粒子以初速度v0垂直于电场方向射入两极板间，两平行板间存在方向竖直向下的匀强电场，已知板长为l，板间电压为U，板间距离为d，不计粒子的重力。 (1)运动分析及规律应用 粒子在板间做类平抛运动，应用运动分解的知识进行分析处理。 ①在初速度方向：做匀速直线运动； ②在电场力方向：做初速度为零的匀加速直线运动。 (2)过程分析 如图所示，设粒子不与平行板相撞 初速度方向：粒子通过电场的时间t＝ 电场力方向：加速度a＝＝ 离开电场时垂直于板方向的分速度vy＝at＝U 速度与初速度方向夹角的正切值tan θ＝＝U 离开电场时沿电场力方向的偏移量y＝at2＝U。 (3)两个重要推论 ①粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子沿初速度方向位移的中点。 ②位移方向与初速度方向间夹角α的正切值为速度偏转角θ正切值的，即tan α＝tan θ。 3.解决电场和重力场中的圆周运动问题的方法 (1)首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。 (2)用“等效法”的思想找出带电体在电场和重力场中的等效“最高点”和“最低点”。 ①等效重力法 将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“等效重力”，F合的方向为“等效重力”的方向，即等效重力场中的“竖直向下”方向。a=视为等效重力场中的“等效重力加速度”。 ②几何最高点(最低点)与物理最高点(最低点) 几何最高点(最低点)：是指图形中所画圆的最上(下)端，是符合人视觉习惯的最高点(最低点)。 物理最高点(最低点)：是指“等效重力F合”的反向延长线过圆心且与圆轨道的交点，即物体在圆周运动过程中速度最小(大)的点。 ▶模型特训 类型1 电加速模型 【典例1】（2026·江苏镇江·二模）静电复印简化模型中，复印纸与感光鼓之间形成水平方向的匀强电场，将墨粉颗粒从靠近感光鼓的位置由静止释放，不计重力和空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．墨粉颗粒带负电 B．墨粉颗粒在飞往复印纸的过程中，电势能不断增大 C．带电量相同，质量越大的墨粉颗粒，打在复印纸上的速度越大 D．若仅减小感光鼓与复印纸间距，墨粉颗粒打在复印纸上的速率不变 【推理演示】A．由题图可知，感光鼓带正电，复印纸带负电，板间电场方向水平向右。墨粉颗粒由静止释放后向右运动，说明所受电场力方向向右，与电场方向相同，所以墨粉颗粒带正电，故A错误； B．墨粉颗粒在飞往复印纸的过程中，电场力方向与运动方向相同，电场力做正功，电势能不断减小，故B错误； C．根据动能定理有 解得 若带电量q相同，质量m越大的墨粉颗粒，打在复印纸上的速度越小，故C错误； D．若仅减小感光鼓与复印纸间距，由于感光鼓与复印纸间的电势差U保持不变，根据可知，墨粉颗粒打在复印纸上的速率不变，故D正确。 故选D。 【变式1-1】（2026·陕晋青宁卷·高考真题）飞行时间质谱仪可用于创新药物研发等领域，其简化工作原理如图。开关S闭合，在真空室内，电容器极板AB间加速电压为U，两极板中央开有小孔，C为接收端，BC间为无场漂移区域。有一质量为m、电荷量为q（）的带电大分子（不计重力），自漂入（忽略初速度）A极板小孔起，经加速区域和漂移区域到达C端结束，时间探测器显示整个过程时间为t，则（     ） A．保持S闭合，仅变大，t变长 B．保持S闭合，仅U增大，t变长 C．保持S闭合，AC位置不变，仅B极板向右移动，t变长 D．将S断开，AC位置不变，仅B极板向右移动，t变长 【答案】C 【详解】A．根据题意，设A、B距离为，B、C距离为，且，在A、B间有，， 解得，， 在B、C间有 则整个过程时间 保持S闭合，不变，仅变大，变短，故A错误； B．结合A分析可知，保持S闭合，仅增大，变短，故B错误； C．结合A分析可知，保持S闭合，不变，AC位置不变，仅B极板向右移动，则增大，减小，不变，变长，故C正确； D．将S断开，极板上电荷量不变，AC位置不变，仅B极板向右移动，A、B间电场强度不变，则加速度不变，则有，， 则整个过程时间 由于增大且小于，减小，不变，根据数学知识可知，当时，有最小值，故随着增大，减小，总时间减小，D错误。 故选C。 【变式1-2】（2026·浙江·三模）如图所示，真空中放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，二板间电势差恒为U。现有一质量为m、电荷量为q（q>0）的微粒，固定在两极板中央O点。若微粒与极板碰撞前后瞬间速率不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。则（     ） A．若上板向右平移一小位移，微粒的电势能增大 B．若释放微粒，微粒第一次到达下极板所需时间 C．若释放微粒，微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小 D．微粒在二极板间来回运动一次，电源消耗的电能为Uq 【答案】C 【详解】A．由电容定义式及决定式， ，又 解得 若上板向右平移一小位移，电容器内的电场强度不变，O点电势不变（其中为O点距离下极板的距离），微粒的电势能不变，故A错误； B．由牛顿第二定律 由运动学公式 联立可得微粒第一次到达下极板所需的时间为，故B错误； C．微粒第一次到达下极板时的速度大小为 由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变，设微粒碰后第一次到达上极板时的速度大小为，满足 代入解得 同理可得微粒第一次从上极板回到点时的速度大小为，满足 代入解得 故微粒第一次从上极板回到点时的动量大小为，故C正确； D．微粒在二极板间来回运动一次，电源消耗的电能为，故D错误。 故选C。 【变式1-3】（2026·安徽淮南·模拟预测）三块平行放置的带电金属板、、，板中央各有一个小孔、、，板接地，相邻两板之间的距离均为。质子在时刻从点由静止释放，时刻恰好能到达点。不计质子的重力，以点为坐标原点，以连线为正方向建立轴。下列关于质子的速度、加速度随的变化，以及电势能、动能随时间的变化图像，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．因为AB之间和BC之间都形成匀强电场，则质子在两极板之间的加速度大小不变，但方向不同，即质子在AB之间先做匀加速运动，在BC之间做匀减速运动，则在两部分的a-t图像为平行x轴的直线；根据可知，在AB部分的v-x图像为开口向右的抛物线的一部分，AB错误； C．质子的电势能 可知在AB之间运动时的Ep-t图像为开口向下的抛物线的一部分，同理在BC板间运动时也如此，则C正确； D．因质子在两极板间运动时动能和电势能之和守恒，电势能减小时动能增加，可知Ek-t图像形状也为抛物线形状，D错误。 故选C。 【变式1-4】（2026·江苏苏州·三模）如图所示，相互平行的水平金属板、、分别与两个相同的电源相连，、两板上开的小孔在同一竖直线上。一电子从靠近板的位置由静止开始运动，恰好能到达板，不计电子重力。将板上移至水平虚线处，由处静止释放的电子（　　） A．到达板时速度减小 B．能穿过板上的小孔 C．到达板的时间不变 D．到达板的时间增大 【答案】C 【详解】A．电子从O到B板，根据动能定理 AB间电压始终为，因此到达B板的速度，A错误； B．对电子从O到C板全过程，动能定理 总功始终为0，因此电子到达C板时速度仍为0，恰好到达C板，不能穿过小孔，B错误； CD．AB段匀加速：加速度 位移 解得​​，即​与​成正比。 BC段匀减速：加速度大小 同理可得减速到0的时间，即与​成正比。 总时间，不变，因此总时间不变，C正确，D错误。 故选 C。 【变式1-5】（2026·广西贵港·模拟预测）（多选）近20多年来，中国的粒子加速器发展迅速，在规模和应用方向上走进了世界先进行列。加速器是人类揭示物质本源的关键设备，在放射治疗、食品安全、材料科学等方面有广泛应用。如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管（漂移管）组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速，加速电压视为不变。设质子进入漂移管时速度为，进入漂移管时速度为，电源频率为，漂移管间缝隙很小，质子在每个管内运动时间视为电源周期的，质子的荷质比取。则（    ） A．第个漂移管与第个漂移管的长度之比为 B．漂移管的长度0.4m C．相邻漂移管间的加速电压为 D．漂移管之前还有9个漂移管 【答案】BC 【详解】A．第个漂移管对应次加速，由 得 长度 ，因此第个与第个漂移管长度比为 ，A错误； B．漂移管的长度为，B正确； C．质子由管至管，经过了三次电场的加速， 解得，故C正确； D．若从静止开始加速，经过次加速后进入漂移管，由 解得，可见漂移管之前漂移管个数达不到9个，D错误。 故选BC。 【变式1-6】（2026·江西宜春·一模）（多选）某实验小组设计了一个装置，左边由1块金属板和5个中间开有小孔的金属筒组成，彼此间存在很窄的狭缝，右侧有一个接收屏，距离右侧出口上方处固定一个电荷量为的点电荷。现让带电量，质量的粒子从紧挨金属板右侧虚线处静止释放，同时接通如图所示交流电，且初始时奇数筒电势高。粒子在每个狭缝中都能一直加速，最后从右侧射出后，最终打在接收屏上。已知点电荷周围电势为，不计点电荷对左侧区域的影响，忽略粒子的重力，则（　　） A．粒子在左侧区域，一直做加速运动 B．各筒长可能满足 C．接收屏接收粒子位置在出口上方处 D．粒子在右侧区域飞行的时间为 【答案】BD 【详解】A．在金属筒内，由于静电屏蔽内部场强为0，此时为匀速直线运动，故A错误； B．若在每个筒内飞行时间均为则可以满足每次在狭缝中均为加速。又在筒中存在 即速度比为 匀速飞行，则长度比为，故B正确； C．从5号筒飞出后动能为， 速度为 势能为，设飞至接收屏时离Q的距离为b，存在 类比天体运动特点还应存在 联立可得 则接收粒子位置应为出口上方处，C错误； D．类比天体运动，飞行周期应与半径为的圆周运动周期一致。则有 可得 则飞行时间为，故D正确。 故选BD。 【变式1-7】（2026·北京房山·一模）飞行时间质谱仪可以通过测量离子飞行的时间，测量离子质量、比荷（电荷量与质量之比）。 (1)如图甲所示，激光脉冲照射到样品板O处，会产生不同种类的带正电离子。离子在O处的初速度不计，经过电压为U的静电场加速后，射入长为L的漂移管，在管中沿轴线做匀速直线运动。某一电荷量为q的离子在漂移管中的运动时间为T1，不考虑离子的重力和离子间的相互作用力，求该离子的质量m； (2)为了增大离子在漂移管中的飞行路程，在右端增加电场强度为E、方向如图乙所示的匀强电场反射区域BC，让离子穿过漂移管后，受电场的作用返回漂移管，再回到A端。求反射区域BC的最小间距x； (3)改进后，若测得离子从进入A端至首次返回A端的飞行时间为T2，能否测出离子的比荷？若能，请计算出离子的比荷；若不能，请说明理由。 【答案】(1) (2) (3)能， 【详解】（1）设离子经过加速电场加速后的速度大小为v，根据动能定理可得 离子在漂移管中做匀速直线运动，则 联立解得 （2）根据动能定理，有 所以 （3）能，离子在漂移管中的速度为 在反射区运动平均速度为，有 离子从进入A端至首次返回A端的时间为 联立解得 【变式1-8】（2025·云南昆明）某些肿瘤可以用 “质子疗法” 进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后通过偏转磁场和聚集磁场将质子引向肿瘤并产生轰击作用，杀死恶性细胞。如图甲所示为质子加速的示意图，在金属圆筒0、A、B、C、D、E之间加如图乙所示大小恒定为的交变电压，使质子恰好经过圆筒轴线间的间隙时加速，进入圆筒后做匀速直线运动，圆筒的长度设计必须遵循一定的规律。已知质子由0位置处静止释放加速，质子的电荷量为，质量为，若忽略质子的重力、质子经过圆筒间隙的时间及质子的相对论效应。求： (1)质子刚好飞出圆筒E时速度的大小； (2)圆筒B与圆筒D的长度之比。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）质子在圆筒间的电场力作用下加速运动，在圆筒中做匀速直线运动，刚好飞出圆筒E时，质子一共经历了5次加速，飞出时的速度大小满足 解得 （2）在圆筒中由于金属的静电屏蔽作用，质子做匀速直线运动，为保证质子每次到达间隙时均能被加速，其在圆筒中运动的时间应为交变电压周期的一半，质子进入圆筒B的速度大小满足 解得 质子进入圆筒D的速度大小满足     解得 故圆筒B与圆筒D的长度之比满足 【变式1-9】（2026·安徽亳州·模拟预测）中国聚变工程BEST装置（“人造太阳”）预计在2027年建成，在“人造太阳”（托卡马克装置）前端直线加速系统实验中，采用平行极板加速器形成匀强电场来加速带电粒子。其基本原理如图所示，真空中两块平行极板正对放置，极板的正中央各有一小孔，某次带正电粒子p从左侧正极板小孔由静止出发，直线加速后从右侧极板小孔离开，不计粒子所受重力，若保持两板间电压恒定，将两板间距离增大到原来的2倍，相同粒子p仍从左侧正极板小孔由静止出发，则（　　） A．板间电场强度变为原来2倍 B．粒子p在电场中的加速时间变为原来2倍 C．粒子p在电场中的加速度变为原来2倍 D．粒子p出右侧极板时速度变为原来2倍 【答案】B 【详解】A．板间电场强度为可知，将两板间距离增大到原来的2倍，板间电场强度变为原来倍，故A错误； C．根据牛顿第二定律可得由A分析可知，板间电场强度变为原来倍，所以粒子p在电场中的加速度变为原来倍，故C错误； B．根据，整理可得 即粒子p在电场中的加速时间与两板间距离成正比，也变为原来2倍，故B正确； D．根据动能定理，解得 则粒子p出右侧极板时速度与两板间距离无关，即粒子p出右侧极板时速度不变，故D错误。 故选B。 类型2 电偏转模型 【典例2】（2026·贵州·高考真题）如图，密闭真空中，有一竖直放置的金属靶和水平放置的两平行极板，极板与金属靶受光面垂直，板间存在竖直向上的匀强电场。用频率为和的光分别照射靶时，垂直靶面逸出最大初动能分别为和的光电子，经狭缝、后进入电场，分别落到下极板M、N处。忽略极板边缘效应及电子间的相互作用，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【推理演示】光电子进入匀强电场后做类平抛运动， 竖直方向：加速度 对所有电子，竖直方向加速度和位移均相同，根据可知，运动时间相同 水平方向做匀速运动，则落在M的电子初速度较小，即 对光电效应过程，根据爱因斯坦光电效应方程，可知。 故选A。 【变式2-1】（2026·河南·高考真题）反射式飞行时间质谱仪是通过测量离子在真空中的飞行时间来对其进行质量分析的仪器。原理如图所示，离子源 产生不同种类、初速度为零的正离子，离子经匀强电场加速后从 点射出，进入无场区做直线运动，然后从 点进入匀强反射电场，最后从反射电场射出。已知 、 间的距离为；加速电场和反射电场两极板间的电压分别为和（），间距分别为和；反射电场方向与 的夹角为。不计离子重力。 (1)证明从离子源 产生的正离子都能从同一点射出反射电场； (2)测得两种离子从 到射出反射电场所用时间之比，求其比荷之比。 【答案】(1)设离子电荷量为q、质量为m，经加速电场加速后速度为v，由动能定理有 离子进入反射电场，沿电场方向分速度 加速度大小 离子在反射电场中垂直电场方向分速度 反射电场往返时间 可得垂直电场方向位移 与离子比荷无关，结合沿电场方向最大位移与比荷无关，可得出所有正离子均从同一点射出反射电场。 (2) 【详解】（1）设离子电荷量为q、质量为m，经加速电场加速后速度为v，由动能定理有 离子进入反射电场，沿电场方向分速度 加速度大小 离子在反射电场中垂直电场方向分速度 由于则粒子在反射电场往返时间 可得垂直电场方向位移 与离子比荷无关，结合沿电场方向最大位移与比荷无关，可得出所有正离子均从同一点射出反射电场。 （2）在加速电场中，根据位移时间关系 其中 可得加速电场中运动时间 无场区运动时间 离子从到射出反射电场所用时间 可知，即 可得 【变式2-2】（2026·河南平顶山·三模）如图所示，两组平行板电容器垂直放置于同一竖直平面内，其中A、B间存在电势差为的加速电场，C、D间存在电势差为的偏转电场。现将氕（）、氘（）、氚（）、氦（）四个粒子从O点由静止释放，经A、B间电场加速后沿中线进入偏转电场，离开偏转电场时均未碰到极板。若忽略粒子间相互作用及粒子重力，则离开电场时速度相同的粒子是（     ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【详解】粒子在加速度电场中做匀加速直线运动，进入CD电场中的初动能为 粒子出偏转电场时的动能为 在偏转电场中沿电场运动的距离为y，则（其中d为偏转电场两极板的距离） （其中l为偏转电场的长度） 联立解得 由此可得所有的粒子在偏转电场中偏转的距离y相同，故相同，，即比荷相同的粒子速度相同。 故选C。 【变式2-3】（2026·江西吉安·模拟预测）（多选）如图，平行板电容器上下两极板长L，两板之间的距离也是L，存在竖直向下的匀强电场，两个质量均为m电荷量为q（q>0）的粒子甲和乙从电场的右边界射入电场，其中甲粒子从右边界的中点射入，速度的大小为，乙粒子从右边界的最下方射入，速度的大小为。两粒子都恰能从上极板的左端水平飞出，飞出的速度大小对应为和。那么（     ） A．粒子进入电场时 B．粒子进入电场时 C．粒子离开电场时 D．粒子离开电场时 【答案】BC 【详解】CD．根据牛顿第二定律可知 可见粒子在电场中的加速度相等，粒子在电场中做类似斜抛物体运动，把它看成自左向右的类平抛运动，有， 解得 将，代入解得， 则粒子离开电场时，故C正确，D错误； AB．根据速度的合成有， 竖直方向有， 解得， 则粒子进入电场时，故B正确，A错误。 故选BC。 【变式2-4】（2026·山东青岛·三模）（多选）在电子显微技术中经常要将粒子源发射的电子转变为平行电子束。如图所示，在坐标平面的第一象限内存在沿轴正向的匀强电场，图中虚线为半椭圆，椭圆在原点处与轴相切，椭圆的半长轴为，半短轴为，点坐标为。原点处有一电子源，向第一象限平面内各个方向均匀发射速率均为的电子，电子质量为、电荷量为，电子仅在电场力作用下运动，经过椭圆时速度方向均沿轴正向。下列说法正确的是（    ） A．匀强电场的电场强度为 B．匀强电场的电场强度为 C．从椭圆上点上方和下方射出的电子数之比为1：1 D．从椭圆上点上方和下方射出的电子数之比为2：1 【答案】AC 【详解】AB．依题意，电子仅在电场力作用下运动，经过椭圆时速度方向均沿轴正向，则沿轴方向，电子做匀速直线运动，有 沿轴方向，电子做匀减速直线运动，直到速度减为0，有，，其中 解得，A正确，B错误； CD．设恰好从点射出的电子，其初速度与轴的夹角为，则有，代入中，且 得，则当时，对应电子的射出角度范围为，当时，对应电子的射出角度范围为，电子沿第一象限均匀发射时，电子数之比等于角度范围之比，即，C正确，D错误。 故选AC。 【变式2-5】（2026·新疆·三模）如图，动能为1J的电荷垂直射入有左、右边界的匀强电场，电荷在运动中只受电场力作用，电荷射出电场时的动能为5J。若电荷以4J的动能垂直射入电场，其射出电场时的动能为（　　） A．25J B．20J C．8J D．5J 【答案】D 【详解】电荷垂直射入匀强电场，做类平抛运动；设电场沿初速度方向的宽度为，初动能 运动时间 沿电场方向偏转位移 由动能定理，电场力做功，即电场力做功（动能增量）与初动能成反比； 第一次初动能，末动能，动能增量 第二次初动能，电场力做功（动能增量）与初动能成反比，则动能增量 射出时动能 故选D。 【变式2-6】（2026·天津宝坻·三模）（多选）如图所示的矩形区域ABCD内分布有平行于AD方向的匀强电场，，P为CD中点。质量相同的带电粒子a、b分别从A点和D点平行于AB同时进入电场，并同时到达P、B点，二者的运动轨迹交于O点（图中未标出）。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用。则带电粒子a、b（     ） A．具有相同的比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达O点所用的时间之比为 D．到达P、B点时的速度之比为 【答案】AC 【详解】A．带电粒子a、b同时到达P、B点，沿电场方向的位移大小相等，由可知两粒子的加速度大小相等，由牛顿第二定律可得 解得 所以两粒子的比荷相等，故A正确； B．带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误； C．带电粒子a、b同时到达P、B点，沿垂直电场方向的位移大小为1:2，由可知两粒子的初速度大小之比为1:2，带电粒子a、b到达O点的垂直电场方向的位移大小相等，所用的时间之比为2:1，故C正确； D．带电粒子a、b同时到达P、B点，沿电场方向的位移大小相等，由，可知带电粒子a、b同时到达P、B点沿电场方向的速度大小相等；对b粒子，到达B点，有， 所以 由于带电粒子a、b的初速度大小之比为1:2，所以 到达P、B点时的速度之比为，故D错误。 故选AC。 【变式2-7】（2026·福建三明·二模）如图，一平行板电容器上方MN、PQ之间的区域有方向水平向右、大小为的匀强电场。一带正电粒子从平行板电容器下极板a点静止释放，经加速后从b点垂直进入匀强电场，带电粒子最终从MN上的c点离开。已知电容器电容带电量粒子比荷 MN、PQ之间的距离d=0.2m，，不计粒子的重力，求： (1)电容器的电压U； (2)粒子经b点时的速度大小； (3)b、c点间水平距离x。 【答案】(1)200V (2) (3)0.1m 【详解】（1）根据电容的定义式 解得 （2）粒子在电容器中加速，由动能定理 解得 （3）粒子进入偏转电场后做类平抛运动， 竖直方向匀速运动 水平方向初速度为0的匀加速直线运动，加速度 水平位移 联立解得 【变式2-8】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）在如图甲所示的平行金属板、上加如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期为，现有一电子时刻以平行于极板的速度从两板中央射入。电子比荷为，不计电子的重力，则（     ） A．若时电子恰好能从板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为 B．若电子恰能平行于极板飞出，则极板长可能是 C．若电子在时刻射出极板，两极板间距至少为 D．若电子恰能平行轴线方向飞出极板，两极板间距至少为 【答案】B 【详解】A．若时电子恰好能从板的边缘飞出，只有电场力做功，由动能定理得 代入​ 解得，故A错误； B．电子恰能平行极板飞出，说明飞出时竖直方向总速度为0。时刻射入的电子，在垂直于极板方向上做匀加速运动，向正极板方向偏转，半个周期后电场方向反向，电子继续在该方向上做匀减速运动，再经过半个周期，电场方向上的速度减到零，此时实际速度等于初速度，方向平行于极板，以后继续重复这样的运动，要使电子恰能平行于极板飞出，因此飞行时间 所以极板长度 当时， 因此极板长可能为，故B正确； C．由牛顿第二定律有 可得电子在垂直于极板方向上的加速度 若射出，在​时间内的位移 在时间内的位移 在时间内的位移 总位移 刚好不碰极板时 代入 解得，故C错误； D．电子恰能平行轴线方向飞出极板，最小间距对应飞行时间为 则总位移 代入 解得，故D错误。 故选B。 类型3 等效重力场模型 【典例3】（2026·河南濮阳·一模）如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，其中有一个半径为的竖直光滑圆环，环内有两根光滑的弦轨道和，点所在的半径与竖直直径成角。质量为、电荷量为的带电小球（可视为质点）从点由静止释放，分别沿弦轨道和到达圆周的运动时间相同。现去掉弦轨道和，如图乙所示，给小球一个初速度，让小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化，重力加速度为，下列说法正确的是（ ） A．小球经过点时对轨道的压力为零 B．匀强电场的电场强度大小为 C．小球做圆周运动经过点时动能最大 D．小球做圆周运动过程中对环的压力的最大值为 【推理演示】ABC．图甲结合等时圆知识，重力与电场力合力必须指向AO，根据合成与分解知识 解得 等效最高点在A点，压力最小为零；等效最低点在AO延长线与圆轨道交点，等效最低点速度最大，动能最大，故ABC错误； D．因为重力与电场力均为恒力，所以二者的合力大小为 小球做圆周运动，则在其等效最高点，有 小球从等效最高点至等效最低点过程中，由动能定理得 在等效最低点小球对圆环压力最大，由牛顿第二定律得 代入数据解得 由牛顿第三定律可知小球做圆周运动的过程中对环的最大压力是7.5mg，故D正确。 故选D。 【变式3-1】（2026·湖北·一模）如图所示，在水平向左且足够大的匀强电场中，一长为L的绝缘细线一端固定于O点，另一端系着一个质量为m、电荷量为q的带电小球，小球静止在M点。现给小球一垂直于OM的初速度，使其在竖直面内绕O点沿顺时针方向恰好能做完整的圆周运动，AB为圆的竖直直径。已知A点电势为0，OM与竖直方向的夹角，重力加速度大小为g。则（    ） A．电场强度E的大小为 B．小球电势能最大值为 C．小球在M点初速度为 D．小球运动到B点时突然剪断细线后，小球运动过程中速度的最小值为 【答案】D 【详解】A．小球静止在点，受力分析如图，可知小球带正电。由平衡条件有 解得，故A错误。 B．带电小球运动到最右侧的时候电势能最大，此时带电小球距离点沿电场方向的距离为，所以带电小球的电势能为，即，故B错误。 C．带电小球恰能完成完整的圆周运动，则在等效最高点有 从点到等效最高点过程，根据动能定理有 代入解得，故C错误。 D．剪断细线后，小球相对于合力方向做类斜抛运动，当小球在合力方向上的分速度为0时，合速度最小。从到，由动能定理有 解得 剪断细线后，当速度与合外力垂直时速度最小，则最小速度，故D正确。 故选D。 【变式3-2】（2026·重庆渝中·模拟预测）光滑绝缘的水平桌面上方有沿水平方向的匀强电场， 一带负电的小球受该匀强电场的电场力及另一水平力F 作用而在桌面上做匀速圆周运动，从圆周轨迹上的 A点开始运动一周，其电势能与时间的关系图像如图所示， 下列说法正确的是（    ） A．小球在A点受到的力F最大 B．电场强度的方向由C指向 A C．小球在C点受到的力F一定小于电场力 D．小球在B、D两点受到的力F大小相等、方向相反 【答案】A 【详解】AB．由题可知，小球在 A 点电势能最小，在 C 点电势能最大。对于负电荷，电势能越小电势越高，故 φA>φC，电场强度方向由 A 指向 C， 如图所示 负电荷受到的电场力方向与场强方向相反，即由 C 指向 A。小球做匀速圆周运动，合外力提供向心力，方向始终指向圆心。在 A 点，电场力背离圆心，向心力指向圆心（向上），则有 此时 F 最大，故A正确， B错误； C．同理，在 C 点电势能最大，电场力指向圆心，合力提供向心力，则有， 即，故C正确； D．在 B、D 两点，电势相等，电场力大小相等，方向关于AC对称，因此受到的外力F大小相等，但方向关于竖直轴对称，并不相反，故D错误。 故选A。 【变式3-3】（2026·吉林·三模）竖直平面内有一圆形区域PQNK，PN、KQ分别是圆的水平和竖直直径，M是圆弧QN的中点。匀强电场平行于该平面，方向如图所示，电场强度大小为。一个电荷量为、质量为m的小球多次从圆周上的P点以相同的速率向各个方向发射，小球能到达圆周上的所有位置，下列说法正确的是（    ） A．小球到达圆周上N点时的速率最小 B．小球在M点的电势能最大、机械能最小 C．小球在K点的电势能与动能之和最大 D．小球从P点到达圆周各个位置的时间均不同 【答案】C 【详解】A．对小球受力分析： 重力竖直向下，电场力 方向斜向右上。将电场力分解，水平分量（向右） 竖直分量（向上），与竖直向下的重力抵消。因此总合力为水平向右的恒力，加速度水平向右。 根据动能定理，初动能相同，合外力做功越少，动能越小、速率越小。合外力水平向右，点是圆周最右端，从到合外力做正功最多，动能最大、速率最大，故A错误； B．正电荷电势能，沿电场线方向电势降低，电场方向斜向右上，点沿电场方向最远，电势最低，因此正电荷在点电势能最小；机械能变化等于电场力做功，电场力对做功最多，因此点机械能最大，故B错误； C．总能量守恒（恒量） 因此 （向上为正） 点在圆周最底端，最小，最小，因此最大，故C正确； D．小球加速度仅水平向右，竖直方向加速度为0，竖直方向做匀速直线运动 结合初速率大小不变，可推得：同一时间可对应两个不同位置（同一，两个相反的），因此存在到达不同位置的时间相同的情况，故D错误。 故选C。 【变式3-4】（2026·四川凉山·二模）如图所示，在竖直平面内有水平向左场强的匀强电场，在匀强电场中有一根长为的绝缘细线，细线一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球。在点让小球获得一定的初速度且恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为，小球带负电，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 B．小球对细绳的最大拉力为 C．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 D．小球做圆周运动过程中动能的最小值为 【答案】D 【详解】A．小球带负电，受到的电场力水平向右，根据功能关系可知，小球的机械能变化等于电场力做功；小球向右运动时，电场力做正功，小球机械能增加；小球向左运动时，电场力做负功，小球机械能减少；所以小球运动至圆周轨迹的水平直径最左侧时，机械能最小，故A错误； C．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，所以其电势能先减小后增大再减小，故C错误； BD．由于，则电场力与重力的合力大小为 电场力与重力的合力方向与竖直方向的夹角满足 解得 如图所示 可知图中M点为等效最高点，N点为等效最低点；小球恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，可知小球经过M点时细绳拉力为0，则有 可得小球做圆周运动过程中动能的最小值为 小球经过N点时的速度最大，受到的细绳拉力最大，从M点到N点过程，根据动能定理可得 在N点由牛顿第二定律可得 联立解得 可知小球对细绳的最大拉力为，故B错误，D正确。 故选D。 【变式3-5】（2026·四川南充·二模）如图，竖直面上固定一个圆形光滑绝缘，半径为。，连线是水平直径，，连线是竖直直径，在轨道所在的竖直面分布着与水平方向夹角的匀强电场。一个质量为、带电荷量为的绝缘小球从点以某一速度竖直向下沿轨道内侧运动，若小球在轨道内侧运动时恰好不脱离轨道，并从点开始水平向左做直线运动，重力加速度为。求： (1)匀强电场场强的大小； (2)小球在轨道上的最小速率； (3)小球在点对轨道压力的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球从 点开始水平向左做直线运动，说明小球在 点之后受到的合力方向水平向左。小球受重力 和电场力 ，由于小球带负电，电场力方向与电场线方向相反，即斜向左上方，与水平方向夹角为 。要使合力水平向左，竖直方向分力必须平衡，即 解得 （2）小球受到的重力和电场力的合力 水平向左，大小为 该合力即为等效重力，方向水平向左。轨道上等效最高点为最右端点，此处速率最小。小球恰好不脱离轨道，说明在点轨道弹力为零，由合力提供向心力，有 即 解得 （3） 点为等效最低点。从点运动到点，合力做正功，位移为。由动能定理得 代入 和 ，解得 在点，指向圆心的合力提供向心力，轨道弹力指向圆心，合力背离圆心，由牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律，小球对轨道压力大小为 。 【变式3-6】（2026·黑龙江双鸭山·一模）如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为R，A、B两点分别是圆形轨道的最低点和最高点，圆形轨道上C、D两点的连线过圆心O且OC与竖直向下方向的夹角为60°。空间存在方向水平向右且平行圆形轨道所在平面的匀强电场，一质量为m的带负电小球（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的圆周运动，且小球通过D点时的速度最小。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球受到的电场力大小为2mg B．小球通过D点时的速度大小为 C．小球在运动过程中的最大速度为 D．小球通过C点时所受轨道的作用力大小为12mg 【答案】D 【详解】A．小球在通过D点时的速度最小，则在该点电场力与重力的合力沿半径方向，则小球受到的电场力大小为，故A错误； B．小球在通过D点时的速度最小，则D点为竖直平面内圆周运动的等效最高点，恰好能完整的做圆周运动，在等效最高点有最小速度，此时电场力与重力的合力刚好提供向心力，则有 解得，故B错误； CD．小球在等效最低点C点的速度最大，故小球从D到C的过程中，由动能定理得 解得 在C点，由牛顿第二定律得 解得，故C错误，D正确。 故选D。 【变式3-7】（2025·广东深圳·模拟预测）如图所示，竖直平面内有固定的光滑绝缘圆形轨道，匀强电场的方向平行于轨道平面水平向右，、分别为轨道上的最高点和最低点，、是轨道上与圆心等高的点。质量为、电荷量为的带负电的小球在处以速度水平向右射出，恰好能在轨道内做完整的圆周运动，已知重力加速度大小为，轨道半径为，电场强度大小。则下列说法中正确的是（　　） A．在轨道上运动时，小球动能最大的位置在圆弧的中点 B．小球在点的初速度 C．从点出发，运动一周回到点的过程中，机械能先减小再增大 D．若增大小球在点的速度，则经过、两点时小球所受轨道弹力大小的差值也会增大 【答案】B 【详解】A．由题意可知，小球在复合场中做圆周运动，则小球在等效最低点的位置小球动能最大，小球带负电，电场力方向水平向左，大小 重力竖直向下，大小，因此等效重力大小为 方向斜向左下方，与竖直方向成，因此等效最低点的位置在圆弧的中点，如图所示 因此在轨道上运动时，小球动能最大的位置在圆弧的中点点，A错误； B．恰好做完整圆周运动的条件为等效最高点点时轨道弹力为0，等效重力提供向心力 由几何关系可知与竖直方向夹角为，从到点过程，由动能定理有 解得，B正确； C．机械能变化等于电场力做功，小球运动一周，电场力向左，从到，电场力做负功，机械能减小；从到，电场力做正功，机械能增大；从到，电场力做负功，机械能减小，因此运动一周回到点的过程中，机械能先减小，再增大，再减小，C错误； D．从到，有动能定理得 在点有 解得 在 点有 解得 联立解得小球所受轨道弹力大小的差值 故差值为定值，与初速度无关，D错误。 故选B。 【变式3-8】（2026·四川广安·模拟预测）（多选）如图所示，竖直平面内，固定一根光滑绝缘杆，其中是半径为的半圆，圆心为点，最高点为点，水平足够长杆与在点相切，整个空间有水平向左的匀强电场，电场强度，重力加速度为。现有一套在杆上质量为、电荷量为的小圆环，在距点为的位置由静止释放，若小环恰能到达点。下列说法正确的是（     ） A．小环从释放到点，小环的电势能一直减小 B． C．小环从释放到点，最大压力为 D．小环从释放到点，最大压力为 【答案】BC 【详解】A．小环从释放到D点，电场力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，故A错误； B．小环从释放点到D点，根据动能定理有 解得x0=2R，故B正确； CD．对小环受力分析，可知其等效“重力”为 解得 在等效最低点，小环的速度最大，故压力最大，从释放点到等效最低点，根据动能定理有 小环在等效最低点，根据牛顿第二定律有 其中 联立解得 根据牛顿第三定律，可知最大压力为，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式3-9】（2026·山东潍坊·模拟预测）如图所示，空间中存在着大小为E的匀强电场，电场方向与水平方向的夹角为30°半径为R的竖直半圆形光滑轨道固定在水平地面上，圆心为O，与地面相切于M点。质量为m、电荷量为+q的小球从M点以一定速度沿切线方向进入半圆形轨道，刚好运动至最高点N，已知，重力加速度为g. (1)小球在N点的速度为多大？ (2)小球的最大动能为多大？在哪个位置？ (3)小球与轨道间的最大弹力为多大？ 【答案】(1) (2)，在圆弧上与圆心连线和竖直方向成夹角右下方的位置 (3) 【详解】（1）小球刚好运动至最高点，意味着此时小球与轨道间的弹力为零，对点的小球进行受力分析，小球受重力为，受电场力为，设竖直向下的方向为正方向，根据牛顿第二定律有 已知电场强度为 解得小球在点的速度为 （2）设电场力与重力的合力为有效重力，根据力的合成法则可知有效重力的大小为 设有效重力方向与竖直向下方向的夹角为，根据几何关系有 解得有效重力的偏角为 因此，有效重力方向与竖直向下方向成夹角偏右，小球动能最大的位置即为有效重力场中的等效物理最低点，该位置在圆弧上与圆心连线和竖直方向成夹角右下方，从小球在点运动到点（最大动能处）的过程中，根据动能定理有 解得最大动能为 （3）小球在有效最低点时，速度达到最大，与轨道间的向心弹力也最大，设最大弹力为，根据牛顿第二定律有 由于最大动能公式为 解得最大弹力为 【变式3-10】（2026·广东·高考真题）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【详解】（1）当小球刚好到金属板时，受力分析如图所示 根据几何关系可得 可得 根据平衡条件有 其中 联立可得 （2）小球从金属板到金属板过程，根据动能定理 小球第一次碰撞前瞬间，受力分析如图所示 对小球根据牛顿第二定律 联立解得 （3）如图所示 要使小球仍能沿着圆弧往复运动，即绳子拉力大于零，需要满足 解得 根据（2）分析可知当时，小球到达金属板时，电场力和重力的合力与绳子的合力方向相同，当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏上，如图所示 绳子拉力对小球不做功，可知小球所受的重力和电场力的合力与小球位移的夹角一直为锐角，当小球到达金属板时，动能最大，根据动能定理有 可得 当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏下，如图所示 当小球速度与小球所受的重力和电场力的合力方向垂直时，速度最大，该点为等效最低点，设此时与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 根据数学知识可得， 根据动能定理有 解得 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 静电场的应用模型 ✡模型一 电容器模型 类型1 电容器的动态分析模型 【典例1】【答案】C 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】(1)倍 (2)倍 【详解】（1）根据平行板电容器公式，电容的定义式 设按压前电容为，电压为U1，电荷量为Q，则 按压后极板间距离变为按压前的倍，即，此时电容 因为按压不改变电荷量Q，所以按压后电压 所以有 即按压后极板间的电压变为按压前的倍。 （2）对于平行板电容器，极板间的电场强度； 设按压前电压为U，极板间距离为d1，则电场强度 按压后极板间距离变为，且电压不变仍为U，此时电场强度 所以有 按压后极板间的电场强度大小变为按压前的倍。 【变式1-3】【答案】A 【变式1-4】【答案】D 【变式1-5】【答案】C 【变式1-6】【答案】C 【变式1-7】【答案】B 类型2 电容器的充放电与储能模型 【典例2】【答案】B 【变式2-1】【答案】C 【变式2-2】【答案】C 【变式2-3】【答案】AC 【变式2-4】【答案】D 【变式2-5】【答案】C 【变式2-6】【答案】A 【变式2-7】【答案】D ✡模型二 带电粒子在电场中的运动模型 类型1 电加速模型 【典例1】【答案】D 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】C 【变式1-4】【答案】C 【变式1-5】【答案】BC 【变式1-6【答案】BD 【变式1-7】【答案】(1) (2) (3)能， 【详解】（1）设离子经过加速电场加速后的速度大小为v，根据动能定理可得 离子在漂移管中做匀速直线运动，则 联立解得 （2）根据动能定理，有 所以 （3）能，离子在漂移管中的速度为 在反射区运动平均速度为，有 离子从进入A端至首次返回A端的时间为 联立解得 【变式1-8】【答案】(1) (2) 【详解】（1）质子在圆筒间的电场力作用下加速运动，在圆筒中做匀速直线运动，刚好飞出圆筒E时，质子一共经历了5次加速，飞出时的速度大小满足 解得 （2）在圆筒中由于金属的静电屏蔽作用，质子做匀速直线运动，为保证质子每次到达间隙时均能被加速，其在圆筒中运动的时间应为交变电压周期的一半，质子进入圆筒B的速度大小满足 解得 质子进入圆筒D的速度大小满足     解得 故圆筒B与圆筒D的长度之比满足 【变式1-9】【答案】B 类型2 电偏转模型 【典例2】【答案】A 【变式2-1】【答案】(1)设离子电荷量为q、质量为m，经加速电场加速后速度为v，由动能定理有离子进入反射电场，沿电场方向分速度 加速度大小 离子在反射电场中垂直电场方向分速度 反射电场往返时间 可得垂直电场方向位移 与离子比荷无关，结合沿电场方向最大位移与比荷无关，可得出所有正离子均从同一点射出反射电场。 (2) 【详解】（1）设离子电荷量为q、质量为m，经加速电场加速后速度为v，由动能定理有 离子进入反射电场，沿电场方向分速度 加速度大小 离子在反射电场中垂直电场方向分速度 由于则粒子在反射电场往返时间 可得垂直电场方向位移 与离子比荷无关，结合沿电场方向最大位移与比荷无关，可得出所有正离子均从同一点射出反射电场。 （2）在加速电场中，根据位移时间关系 其中 可得加速电场中运动时间 无场区运动时间 离子从到射出反射电场所用时间 可知，即 可得 【变式2-2】【答案】C 【变式2-3】【答案】BC 【变式2-4】【答案】AC 【变式2-5】【答案】D 【变式2-6】【答案】AC 【变式2-7】【答案】(1)200V (2) (3)0.1m 【详解】（1）根据电容的定义式 解得 （2）粒子在电容器中加速，由动能定理 解得 （3）粒子进入偏转电场后做类平抛运动， 竖直方向匀速运动 水平方向初速度为0的匀加速直线运动，加速度 水平位移 联立解得 【变式2-8】【答案】B 类型3 等效重力场模型 【典例3】【答案】D 【变式3-1】【答案】D 【变式3-2】【答案】A 【变式3-3】【答案】C 【变式3-4】【答案】D 【变式3-5】【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球从 点开始水平向左做直线运动，说明小球在 点之后受到的合力方向水平向左。小球受重力 和电场力 ，由于小球带负电，电场力方向与电场线方向相反，即斜向左上方，与水平方向夹角为 。要使合力水平向左，竖直方向分力必须平衡，即 解得 （2）小球受到的重力和电场力的合力 水平向左，大小为 该合力即为等效重力，方向水平向左。轨道上等效最高点为最右端点，此处速率最小。小球恰好不脱离轨道，说明在点轨道弹力为零，由合力提供向心力，有 即 解得 （3） 点为等效最低点。从点运动到点，合力做正功，位移为。由动能定理得 代入 和 ，解得 在点，指向圆心的合力提供向心力，轨道弹力指向圆心，合力背离圆心，由牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律，小球对轨道压力大小为 。 【变式3-6】【答案】D 【变式3-7】【答案】B 【变式3-8】【答案】BC 【变式3-9】【答案】(1) (2)，在圆弧上与圆心连线和竖直方向成夹角右下方的位置 (3) 【详解】（1）小球刚好运动至最高点，意味着此时小球与轨道间的弹力为零，对点的小球进行受力分析，小球受重力为，受电场力为，设竖直向下的方向为正方向，根据牛顿第二定律有 已知电场强度为 解得小球在点的速度为 （2）设电场力与重力的合力为有效重力，根据力的合成法则可知有效重力的大小为 设有效重力方向与竖直向下方向的夹角为，根据几何关系有 解得有效重力的偏角为 因此，有效重力方向与竖直向下方向成夹角偏右，小球动能最大的位置即为有效重力场中的等效物理最低点，该位置在圆弧上与圆心连线和竖直方向成夹角右下方，从小球在点运动到点（最大动能处）的过程中，根据动能定理有 解得最大动能为 （3）小球在有效最低点时，速度达到最大，与轨道间的向心弹力也最大，设最大弹力为，根据牛顿第二定律有 由于最大动能公式为 解得最大弹力为 【变式3-10】【答案】(1) (2) (3) (3)当时，；当时， 【详解】（1）当小球刚好到金属板时，受力分析如图所示 根据几何关系可得 可得 根据平衡条件有 其中 联立可得 （2）小球从金属板到金属板过程，根据动能定理 小球第一次碰撞前瞬间，受力分析如图所示 对小球根据牛顿第二定律 联立解得 （3）如图所示 要使小球仍能沿着圆弧往复运动，即绳子拉力大于零，需要满足 解得 根据（2）分析可知当时，小球到达金属板时，电场力和重力的合力与绳子的合力方向相同，当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏上，如图所示 绳子拉力对小球不做功，可知小球所受的重力和电场力的合力与小球位移的夹角一直为锐角，当小球到达金属板时，动能最大，根据动能定理有 可得 当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏下，如图所示 当小球速度与小球所受的重力和电场力的合力方向垂直时，速度最大，该点为等效最低点，设此时与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 根据数学知识可得， 根据动能定理有 解得 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $