精品解析：江苏扬州市新华中学2026-2027学年度高三上学期暑期自主学习评价数学试题

2026—2027学年暑假自主学习评价 数学学科 一、单选题 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 5. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 6. 已知定义域为的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若命题“”是假命题，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 10. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项 D. 有理项共5项 11. 正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内（含边界）一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在唯一的点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 动点到平面的距离的最大值为 D. 若直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为 三、填空题 12. 已知平面向量，若，则__________. 13. 现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有__________种(用数字作答)． 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.结合以上推广，现有函数，则__________. 四、解答题 15. 已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}. （1）若a＝3，求A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围. 16. 元宵节是中国的传统节日，为庆祝元宵节，某大学开展吃元宵、吃酒圆、猜灯谜等一系列活动． （1）为探究元宵节吃汤圆和吃元宵的地域差异，某小组开展调研，得到如下列联表，已知，是否有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关？ 北方 南方 汤圆 16 36 元宵 24 24 （2）在猜灯谜活动中共有10道标有序号的各不相同的题目，甲同学随机抽取其中的5道回答． （i）求抽取的5道题中恰有5道题序号均相邻的概率； （ii）已知：若是两点分布，且，则，若甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，计算的数学期望． 附： 17. 四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为. （1）求学生小杰获得奖品的概率； （2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率； （3）求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望. 19. 已知函数，，， （1）求函数的图像在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间，并求当函数有三个零点时，实数m的取值范围； （3）当时，、分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年暑假自主学习评价 数学学科 一、单选题 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用集合的交运算即可求得结果. 【详解】由题意知，. 故选：C. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式移项通分转化为乘积不等式，结合分母不为零的条件求解解集. 【详解】对移项可得：， 因此不等式等价于，即， 可得；， 又因为分母即， 最终解集为. 3. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】对于正态分布，则正态曲线关于直线对称，然后利用对称性即可求解. 【详解】因为正态分布，所以正态曲线关于直线对称，即， 又因为，所以， 因为和关于对称，所以. 4. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 5. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定一元二次不等式的解集，得到，再利用对应系数相等得到，，最后结合韦达定理得到，进而求出的值即可. 【详解】令，解得或， 而二次函数的二次项系数为正数， 因此不等式的解集为，可得，， 由韦达定理得，解得， 综上可得，故B正确. 故选：B. 6. 已知定义域为的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得的图象关于直线对称，由解析式可得在上单调递增，进而可得结论． 【详解】由可知，函数的图象关于直线对称， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 因为，所以，即． 7. 已知则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 8. 已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到为奇函数，的零点关于原点对称，因此只需研究时的零点个数为2，即可对应得到时的零点个数；当时，得到的具体解析式，令分离出参数；构造关于的新函数，利用导数研究函数的单调性、极值、值域，结合方程解的个数要求，得到时方程有2个解对应的的范围，结合奇函数的性质得到总零点为4个时的范围. 【详解】，的定义域为. ，为奇函数，图象关于原点对称. ，恰有4个零点， 可得时，恰有2个零点；时，恰有2个零点，且这4个零点关于原点对称. ， 当时，，得. 时，， 当且时，令，得，即. 时，恰有2个零点，等价于且时，有2个解； 即与在且时有两个交点. 令（且），则； ； ，； 当且时，，即在和上单调递减； 当时，；时，；，；时，；如图所示： 由图可知，当时，与有两个交点； 恰有4个零点时，实数k的取值范围是． 二、多选题 9. 若命题“”是假命题，则m的值可以是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 【答案】AB 【解析】 【详解】由题意可知：命题“”是真命题， 则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误. 10. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项 D. 有理项共5项 【答案】BD 【解析】 【分析】根据展开式的通向公式以及二项式系数的性质求解判断. 【详解】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误， 令，得所有项的系数和为，故B正确， 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误， 因为展开式通项为， 当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确． 故选：BD． 11. 正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内（含边界）一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在唯一的点，使得平面 B. 过，，三点的平面截正方体所得截面面积是 C. 动点到平面的距离的最大值为 D. 若直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据面面平行的判定定理及面面平行的性质证明即可；对于B，根据平面的性质判断截面形状，结合面积公式求解即可；对于C，根据动点到平面的距离等于动点到的距离乘以平面与平面的夹角的正弦值，结合线面垂直的判定定理、线面垂直的性质、二面角的定义及三角形相似求解即可；对于D，判断动点的轨迹与底面内（含边界）相交的部分，结合弧长公式求解即可. 【详解】对于A，取中点，连接. 正方体中，因为，分别是，的中点， 所以，. 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面，，所以平面平面. 由面面平行的性质得，当点在线段上运动时，平面，故A错误. 对于B，连接，，易知，则为梯形，且，，，共面， 所以过，，三点的平面截正方体所得截面为梯形. 在中，，同理可得. 所以为等腰梯形，又，， 所以，B正确. 对于C，过点作，交的延长线于点，连接. 正方体中，平面， 因为平面，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以，则即为平面与平面的夹角. 易知，则，所以， 在中，. 动点到平面的距离等于动点到的距离乘以平面与平面的夹角的正弦值. 过点作，交于点，易知，当点与点重合时，点到的距离取得最大值，即. 易知，则，所以， 所以动点到平面的距离的最大值为，C错误. 对于D，因为平面，所以即为直线与平面所成角，则， 在中，， 所以动点的轨迹为在平面上，以点为圆心，以为半径的圆. 又，所以点的轨迹与正方形的交点在边，上，设为点，， 则即为点的轨迹与底面内（含边界）相交的部分. 在中，，则， 同理可得，所以， 由弧长公式得，D正确. 三、填空题 12. 已知平面向量，若，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算可得，结合共线向量的坐标表示与平面向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以，即， 解得或，所以或， 所以或. 故答案为：或. 13. 现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有__________种(用数字作答)． 【答案】14 【解析】 【分析】根据要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，可将4名同学分为“1+3”和“2+2”两类，通过分步乘法计数原理，分别求出每一类组合有多少种，再由分类加法计数原理可得答案. 【详解】由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则组合为：“1+3”和“2+2”两类； （1）若为“1+3”组合，将4名同学分为两组，一组1人，另一组3人，有种分组方式； 将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种； （2）若为“2+2”组合，将4名同学分为两组，一组2人，另一组也为2人，有种分组方式； 将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种； 由分类加法计数原理，则不同的报名方式有8+6=14种. 故答案为：14 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.结合以上推广，现有函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意计算可得函数的图象关于点成中心对称，利用函数对称性计算即可得解. 【详解】由且定义域为，则有， 则，故为奇函数， 故函数的图象关于点成中心对称， ， ， 又， . 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}. （1）若a＝3，求A∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）[﹣4，5]；（2）a≥6. 【解析】 【分析】 （1）当a＝3时，化简集合A，利用并集定义求解即可； （2）由“x∈A”是“x∈B”的必要条件，列出不等式解出实数a的取值范围． 【详解】（1）当a＝3时，A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}＝[﹣1，5]， B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]， 所以，A∪B＝[﹣4，5] （2）A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]， 因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件， 所以， 所以，所以a≥6. 所以，当a≥6时，“x∈A”是“x∈B”的必要条件. 16. 元宵节是中国的传统节日，为庆祝元宵节，某大学开展吃元宵、吃酒圆、猜灯谜等一系列活动． （1）为探究元宵节吃汤圆和吃元宵的地域差异，某小组开展调研，得到如下列联表，已知，是否有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关？ 北方 南方 汤圆 16 36 元宵 24 24 （2）在猜灯谜活动中共有10道标有序号的各不相同的题目，甲同学随机抽取其中的5道回答． （i）求抽取的5道题中恰有5道题序号均相邻的概率； （ii）已知：若是两点分布，且，则，若甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，计算的数学期望． 附： 【答案】（1）有的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验公式进行计算，并判断与的大小关系，即可作出判断； （2）（ⅰ）记事件为“抽取的5道题中恰有5道题序号相邻”，利用组合公式计算总的基事件个数和事件包含的基事件个数，再利用古典概型公式计算即可求解； （ⅱ）设随机变量为第题与第题均被选中，为其余情况，结合题中条件进行求解即可. 【小问1详解】 列联表如下： 北方 南方 合计 汤圆 16 36 52 元宵 24 24 48 合计 40 60 100 原假设：吃汤圆或元宵与地域无关． ， 故拒绝，即有95%的把握认定吃汤圆或元宵与地域有关． 【小问2详解】 （ⅰ）记事件A为“抽取的5道题中恰有5道题序号相邻”， 则． （ⅱ）设随机变量为第题与第题均被选中，为其余情况， 则， 由甲抽取的题目中有对相邻序号的题目，则 由定义：若是两点分布，且，则， 则． 17. 四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 18. 某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为. （1）求学生小杰获得奖品的概率； （2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率； （3）求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列： 0 1 2 3 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，事件：学生通过第轮且继续答题，结合全概率公式和，即可求解； （2）根据题意，结合，即可求解； （3）由题意，随机变量可取，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开， 事件：学生通过第轮且继续答题，）， 由题意得，. 记事件：学生获得奖品.则， ， ， ， . 【小问2详解】 学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：. 【小问3详解】 由题意，随机变量可取， 可得， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. 19. 已知函数，，， （1）求函数的图像在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间，并求当函数有三个零点时，实数m的取值范围； （3）当时，、分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）； （2）函数的单调增区间为和，单调减区间为； 实数m的取值范围为． （3）． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得； （2）把代入，求出的导数，确定的解集得单调区间，结合极大值、极小值求出的范围； （3）由导数求出，构造函数并借助导数探讨不等式恒成立即可． 【小问1详解】 函数，所以，得，而， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 当时，，，由，得或， 当或时，，当时，， 因此函数的单调增区间为和，单调减区间为； 极大值，极小值， 又， ， 如图所示，函数有三个零点等价于函数的图象与直线有三个交点， 所以函数有三个零点时的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以 令，得或，解得或， 当或时，，当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，即有， 而，， 又不等式对任意恒成立，于是， 设， 显然，， 令，求导得， 则函数在上严格递减，有， 当时，， 则有函数在上严格递减， ，符合题意； 当时，存在，使得， 当时，，当时，， 因此函数在上严格递增，有，不符合题意， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $