江苏省江都中学2026-2027学年高三第一学期开学检测数学试题

2027届高三年级开学检测 数学 　　　　　　　　 2026.8 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若与垂直，则等于（ ） A． B． C． D． 3．已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的离心率为，点在上，则（ ） A． B． C． D． 5．将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，则这块空地共需大理石（ ） A．160片 B．170片 C．180片 D．190片 7．若在上始终成立，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．从1，2，3，…，10这十个数中随机抽取一个数记为，再从1，2，…，这个数中随机抽取一个数记为，则数学期望（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，均在抛物线上，是的焦点，则（ ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 10．已知空间四边形中，，，且，，设 与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ） A． B． C．的最小值为 D． 11．函数交轴于点，，交轴于点，则（ ） A．取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知一组数据，，，，的平均数为4，则的值是_______． 13．现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同的报名方案有_______种（用数字作答）． 14．在中，若，则的最大值为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点，分别为，的中点．求证： （1）； （2）平面． 16．（15分） 已知数列的前项和为，，，，． （1）若，，求的值； （2）若数列的前项成公差不为的等差数列，求的最大值； 17．（15分） 设，，． （1）化简：； （2）已知．记．证明：能被整除． 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆：短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率分别为，．已知． ①求的值； ②当的面积最大时，求直线的方程． 19．（17分） 对于定义在上的函数，若存在，使恒成立，则称为“型函数”；若存在，使恒成立，则称为“型函数”．已知函数． （1）设函数．若，且为“型函数”，求的取值范围； （2）设函数．证明：当，为“型函数”； （3）若，证明存在唯一整数，使得为“型函数”． 学科网（北京）股份有限公司 $