27.3 实际问题与反比例函数（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，衔接反比例函数概念与图象性质，通过分析实际问题中变量关系，引导学生识别反比例关系、建立函数模型并确定自变量取值范围，涵盖行程、工程、几何及物理等多领域应用。 资料特色在于跨学科整合与分层设计，结合压强、电阻等物理情境及密度、抗体浓度等实际问题，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过题型分类与易错辨析，提升数学思维与建模表达能力，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 课标要点 1. 能够分析实际问题中的数量关系，识别出成反比例的两个变量，建立反比例函数模型，写出函数关系式，并能确定实际情境下自变量的取值范围。 2. 会利用反比例函数的表达式、图象性质解决实际问题，能解释函数关系式、函数值在实际问题中的现实意义。 3. 可以结合图象分析实际问题，根据自变量的值求对应函数值，也可根据实际要求的函数值求出自变量，会分析变量的变化趋势。 4. 能解决几何、工程、压强、路程等背景下的反比例实际应用题，体会反比例函数作为刻画现实世界的数学模型。 学习重难点 重点： 1. 分析实际问题的等量关系，建立反比例函数解析式，确定自变量取值范围。 2. 利用反比例函数解析式进行计算：已知自变量求函数值、根据实际条件求自变量。 3. 读懂实际问题对应的反比例函数图象，理解图象上点的实际含义。 难点： 1. 从文字情境中挖掘隐藏的等量关系，准确判断变量之间是否为反比例关系。 2. 结合现实约束正确写出自变量取值范围，区分数学上x≠0与实际问题x>0。 3. 利用反比例函数增减性分析实际问题，理解变量变化趋势，注意只能在同一取值范围内分析增减。 4. 综合类实际问题，结合几何、物理背景建立模型，处理多条件限制。 知识点 实际问题与反比例函数 一、建模判定：判断是否可以用反比例函数解决 核心条件 1.题目中存在一个固定不变的常量(定值)。 2.有两个变化的变量，两个变量的乘积等于这个定值：一个变量变大，另一个变量随之变小。 3.区分两类函数： 正比例关系：两个变量的比值固定, 反比例关系：两个变量的乘积固定 实际约束 1.在现实生活场景，自变量一般不能取负数和0，大多要求。 2.部分场景(人数、件数)自变量只能取正整数，不能取小数。 注意：不是看到两个变量此消彼长就一定是反比例，必须验证乘积是否始终等于同一个定值。 二、建立反比例函数模型完整步骤 1.审题找定值 读题，找出题目里面保持不变的量；分清哪一个是自变量，哪一个是因变量。例：路程120千米保持不变，速度v、时间t是变化量。 2.设函数解析式 设反比例函数 3.求比例系数k 把题目给出一组已知的x、y对应数值代入解析式，计算出k的值。 4.写出完整函数关系式 写出解析式的同时，必须写上实际问题下自变量的取值范围，这是实际应用题得分关键点。 示例：路程固定120，速度v，时间t，得 三、常见实际问题模型 1.行程模型 总路程固定，速度与时间成反比例。 公式：路程=速度×时间，路程不变，速度越大，所用时间越短。 2.工程模型 工作总量固定，工作效率与工作时间成反比例。 公式：工作总量=工作效率×工作时间，总量不变，效率越高，完成时间越短。 3.几何模型 图形面积固定，两条边长成反比例。 例：矩形面积固定，长×宽=面积；面积不变，长越大，宽越小。 4.物理背景模型 压强：压力一定，受力面积越大，压强越小； 杠杆平衡：阻力×阻力臂=动力×动力臂； 电学：电压一定，电流与电阻成反比。 易错辨析 1.区分数学定义与实际取值 数学定义只要求x≠0；但是实际应用题，大多数情况自变量x>0，不要直接写x≠0。 2.不要主观臆断反比例 不能看到一个增大一个减小就判定反比例，一定要确认变量乘积等于定值。 3.解出来的结果要符合现实意义 算出的自变量如果出现负数、0，或者不符合题意小数(如人数)，要舍去。 4.写函数解析式，漏写自变量取值范围是考试高频丢分点。 随学随练 1．（25-26八年级下·河南南阳·期末）为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 4．（2026·浙江金华·模拟预测）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 拓展 物理背景下的反比例函数实际应用 核心原理 物理公式中，某一个物理量保持定值不变时，另外两个变量乘积等于这个定值，则这两个变量成反比例关系，可以用建模。 k就是物理当中固定不变的那个常量；物理问题自变量一般都是正数。 通用解题思路(步骤) 1.写出对应的物理公式，找出定值 分清：哪个量是固定不变(定值，对应k),哪两个是变化的变量。 2.变形公式，整理成反比例形式 把公式变形为：变量，变量对应反比例函数 3.设函数，代入已知数据求出k k就是物理定值，也可由题目给一组条件计算得到。 4.写出完整函数解析式，带上自变量取值范围 物理实际问题，自变量大于0： 5.根据问题计算求解 已知自变量，直接代入求函数值； 已知函数值，列方程反向求自变量； 结合反比例增减性解释物理现象。 6.检验结果是否符合物理现实，舍去不合理答案(负数、0要舍去) 活学活用 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 2．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 题型一 反比例函数跨学科应用之压强问题 ▌例1（25-26八年级下·江西赣州·期中）某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）． (1)求这个函数的解析式； (2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ ▌对点练1-1．（2026·贵州遵义·二模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． ▌对点练1-2．（2026·河南三门峡·二模）小明在野外考察时，准备利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，小明知道，当压力不变时，压强与受力面积存在一定的函数关系，为研究这个关系，小明借助自身体重，利用若干大小不同的木板（质量不计）和电子压强计进行实验，每次实验小明均竖直站立在木板上，用电子压强计测量木板对地面的压强，经过多次实验，得到了木板对地面的压强与木板面积的部分对应值，如下表： 木板面积 0.5 1 1.5 2 2.5 3 木板对地面的压强 600 300 150 120 100 (1)求与之间的函数关系式及表中的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． (3)资料显示：这片烂泥湿地所能承受的最大压强为．小明若用一块面积为的木板，则他能否安全通过这片烂泥湿地？若能，求湿地所承受的压强；若不能，则木板面积至少需要比原来增加多少平方米才能安全通过？ 题型二 反比例函数跨学科应用之电压电阻问题 ▌例2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． ▌对点练2-1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ ▌对点练2-2．（25-26八年级下·上海金山·期末）在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 题型三 反比例函数跨学科应用之密度问题 ▌例3（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． ▌对点练3-1．（2026·宁夏银川·三模）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境： 某科技小组学习了测量密度后，查阅相关资料，自制了一个如图所示的简易吸管密度计（圆柱形），并进行了调试实验，将吸管密度计浸入液体中，静止后浸入液体的深度记为，该液体的密度记为，部分实验数据如下表： 液体 号 号 号 建立模型： (1)根据调试数据发现是的反比例函数，求与之间的函数关系式； (2)问题解决：为了验证自制吸管密度计的准确性，小组成员将自制吸管密度计浸入到已知密度为的液体中，静止后浸入液体的深度稳定在约多少厘米可说明此自制吸管密度计较准确？ (3)调试结束之后，小组成员确定此吸管密度计最多可浸入液体的深度为，最少浸入液体的深度需才能保持测量状态稳定，请直接写出这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围． 题型四 反比例函数跨学科应用之杠杆问题 ▌例4（25-26八年级下·福建泉州·期末）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂=动力×动力臂，如图1，即），受桔槔汲水的启发，小明同学组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．      10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B对绳子的拉力为______N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小明同学准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的拉力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是____________． ②完成表格：______；______． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）中所求函数的图象上存在点C，当阻力臂移动到某个位置时，点C到原点O的距离最小，请确定点C的坐标，并说明理由． … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … ▌对点练4-1．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 题型五 反比例函数跨学科应用之频率问题 ▌例5（2026·河南平顶山·二模）科学家麦克斯韦在1864年建立了完整的电磁波理论，1887年物理学家赫兹用实验证实了电磁波的存在，现在电磁波已经应用到了通信、医疗、能源等领域．已知电磁波的本质完全相同，只是波长和频率有差别，下表是数学兴趣小组通过实验收集到的部分电磁波的波长和频率的对应数据： 项目 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 … 波长 300 500 600 1000 1500 … 频率 1000 600 450 300 200 … (1)根据表中的数据特征可判断频率f是波长的___________函数（填“一次”“二次”“反比例”），表中数据收集错误的是第___________组． (2)求频率关于波长的函数关系式． (3)若手机的电磁波的波长范围是，可见光的波长范围大约是，请你判断手机的电磁波的频率与可见光的频率的大小关系，并说明理由． ▌对点练5-1．（2026·北京·模拟预测）小明探究琴弦振动频率与弦长的关系，他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为（单位：Hz），2号弦的振动频率为（单位：Hz），部分数据如下： cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180 Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画与L，与L之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当弦长为25cm时，1号弦的振动频率为为______Hz（结果保留整数）； (3)当频率为400Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）； (4)要使1号弦的频率是2号弦的频率的倍，1号弦的弦长与2号弦的弦长的比是否为定值；若是，请求出比值，若不是，请说明理由． ▌对点练5-2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）我国嫦娥六号探测器与地球之间的通信是通过无线电波实现的，电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化，已知某段电磁波在宇宙中，波长入与频率f的部分对应值如下表： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长（m） 60 30 20 15 12 10 (1)选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式： (2)嫦娥六号探测器与地球之间的通信要求电磁波的频率f大于，求它的波长的取值范围． 题型六 反比例函数跨学科应用之小孔成像问题 ▌例6（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． ▌对点练6-1．（25-26九年级下·吉林松原·阶段检测）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． ▌对点练6-2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置，图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，． (1)求y关于x的反比例函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y； (3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？ 题型七 反比例函数应用之有效时间问题 ▌例7（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【背景素材】 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量（）与释放时间（）成一次函数；释放后，与成反比例如图所示，且时，室内每立方米空气中的含药量（）达到最大值． 某兴趣小组记录部分（）与（）的测量数据如表．满足的自变量（）的取值范围为有效消毒时间段． 【解决问题】 （1）求关于的函数表达式． （2）求“药熏消毒”的有效消毒时间． （3）若在实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． ▌对点练7-1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）为预防“甲流”传播，学校用某种含氯消毒剂对教室实施了药物喷洒消毒．在教室内，消毒药物在空气中的浓度y（）随时间x（min）变化的函数关系如图所示，药物喷洒阶段y与x成正比例函数关系；喷洒结束后药物浓度逐渐下降，y与x成反比例函数关系． (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)当教室内的药物浓度不低于时，才能有效灭活病毒．则此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是多久？ ▌对点练7-2．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 题型八 反比例函数应用之饮水问题 ▌例8（25-26九年级上·广东江门·期末）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．如图，楼道里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温与时间的关系如图所示．         (1)分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式． (2)求在一个循环内水温高于的时间． (3)若饮水机早上已加满水，开机温度是，为了使下课时水温达到及以上，并节约能源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适． ▌对点练8-1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． ▌对点练8-2．（2025·浙江杭州·二模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小王在通电开机后即外出散步，分钟后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围． 题型九 反比例函数应用之销售问题 ▌例9（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销， 试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量（千克） 50 60 75 90 100 (1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）; (2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ ▌对点练9-1．（四川省成都市锦江区七中育才学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）校园超市以5元/件购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值（销售金额＝售价×销售量），其中某天该物品的售价为10元/件时，销售量为30件． (1)设售价为x元/件时，销售量为y件，请写出y与x的函数关系式； (2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为50元，则该物品的售价应定为多少元/件？ ▌对点练9-2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 题型十 反比例函数应用之行程问题 ▌例10（25-26八年级上·上海·阶段检测）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． ▌对点练10-1．（26-27九年级上·全国·单元复习）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是_____________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． ▌对点练10-2（25-26九年级上·全国·随堂练习）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 基础通关 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东泰安·三模）某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 3．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A．B．C． D． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 5．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 6．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 7．（2026·河南平顶山·三模）某项目化学习小组设计了一款用于监测一氧化碳（）浓度的安全断路器，其电路图如图1所示．装置由控制电路（含电源、气敏电阻、定值电阻、电磁铁E等）和机械传动部分（含闸刀开关、轻质杠杆、铁块C等）组成，电磁铁E位于铁块C的正上方．当控制电路中的电流I超过设定值时，铁块C被电磁铁E吸起，杠杆偏转，带动细绳拉开闸刀开关，自动切断电路．已知电源电压U为，定值电阻的阻值为，．电磁铁E对铁块C的吸引力与通过控制电路中的电流I的关系如图2所示，气敏电阻的阻值与浓度的关系如图3所示，则下列说法不正确的是（     ） A．气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小 B．浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大 C．当电磁铁E对铁块C的吸引力为时，的浓度为 D．使用一段时间后，由于电源电压U减小，闸刀开关被拉开时一氧化碳实际的浓度会偏大 8．（26-27九年级上·北京·课后作业）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 10．（25-26八年级下·山西临汾·期末）“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 11．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 12．（2026·江苏泰州·三模）过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 13．（25-26九年级下·山西·阶段检测）如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 14．（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 素养提升 1．（2026·内蒙古·中考真题）已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 2．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山西临汾·期中）某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 4．（2026·河南平顶山·三模）公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（   ） A．动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示 B．当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N C．若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m D．利用此杠杆时，动力臂越长越省力 5．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 6．（2026·河南三门峡·三模）如图1所示的电路图．已知电源的电压U（V）保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻，电流表的读数即电流发生改变．测得电路中总电阻R和通过的电流I之间的关系如图2所示（提示：总电阻灯泡电阻+滑动变阻器电阻），下列说法错误的是（     ） A．电流I（A）关于电路中的总电阻的函数关系为 B．当经过灯泡的电流为时，电路中的总电阻为 C．当电路中I为时，则滑动变阻器的阻值为 D．由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共40个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元．若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花352元 7．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间（分钟）是潜水深度（米）的反比例函数．当潜水深度为米时，气瓶可用时间为分钟．为保证安全，要求气瓶可用时间不少于分钟，则潜水深度最大为______米． 8．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽 ，则底部直径的长为____． 9．（2026·浙江杭州·二模）假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______． 10．（2026·河北邯郸·三模）如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 11．（25-26八年级下·山东泰安·期末）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 12．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 迁移创新 1．（2026·河南·模拟预测）打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 2．（2026·北京海淀·模拟预测）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象： (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 课标要点 1. 能够分析实际问题中的数量关系，识别出成反比例的两个变量，建立反比例函数模型，写出函数关系式，并能确定实际情境下自变量的取值范围。 2. 会利用反比例函数的表达式、图象性质解决实际问题，能解释函数关系式、函数值在实际问题中的现实意义。 3. 可以结合图象分析实际问题，根据自变量的值求对应函数值，也可根据实际要求的函数值求出自变量，会分析变量的变化趋势。 4. 能解决几何、工程、压强、路程等背景下的反比例实际应用题，体会反比例函数作为刻画现实世界的数学模型。 学习重难点 重点： 1. 分析实际问题的等量关系，建立反比例函数解析式，确定自变量取值范围。 2. 利用反比例函数解析式进行计算：已知自变量求函数值、根据实际条件求自变量。 3. 读懂实际问题对应的反比例函数图象，理解图象上点的实际含义。 难点： 1. 从文字情境中挖掘隐藏的等量关系，准确判断变量之间是否为反比例关系。 2. 结合现实约束正确写出自变量取值范围，区分数学上x≠0与实际问题x>0。 3. 利用反比例函数增减性分析实际问题，理解变量变化趋势，注意只能在同一取值范围内分析增减。 4. 综合类实际问题，结合几何、物理背景建立模型，处理多条件限制。 知识点 实际问题与反比例函数 一、建模判定：判断是否可以用反比例函数解决 核心条件 1.题目中存在一个固定不变的常量(定值)。 2.有两个变化的变量，两个变量的乘积等于这个定值：一个变量变大，另一个变量随之变小。 3.区分两类函数： 正比例关系：两个变量的比值固定, 反比例关系：两个变量的乘积固定 实际约束 1.在现实生活场景，自变量一般不能取负数和0，大多要求。 2.部分场景(人数、件数)自变量只能取正整数，不能取小数。 注意：不是看到两个变量此消彼长就一定是反比例，必须验证乘积是否始终等于同一个定值。 二、建立反比例函数模型完整步骤 1.审题找定值 读题，找出题目里面保持不变的量；分清哪一个是自变量，哪一个是因变量。例：路程120千米保持不变，速度v、时间t是变化量。 2.设函数解析式 设反比例函数 3.求比例系数k 把题目给出一组已知的x、y对应数值代入解析式，计算出k的值。 4.写出完整函数关系式 写出解析式的同时，必须写上实际问题下自变量的取值范围，这是实际应用题得分关键点。 示例：路程固定120，速度v，时间t，得 三、常见实际问题模型 1.行程模型 总路程固定，速度与时间成反比例。 公式：路程=速度×时间，路程不变，速度越大，所用时间越短。 2.工程模型 工作总量固定，工作效率与工作时间成反比例。 公式：工作总量=工作效率×工作时间，总量不变，效率越高，完成时间越短。 3.几何模型 图形面积固定，两条边长成反比例。 例：矩形面积固定，长×宽=面积；面积不变，长越大，宽越小。 4.物理背景模型 压强：压力一定，受力面积越大，压强越小； 杠杆平衡：阻力×阻力臂=动力×动力臂； 电学：电压一定，电流与电阻成反比。 易错辨析 1.区分数学定义与实际取值 数学定义只要求x≠0；但是实际应用题，大多数情况自变量x>0，不要直接写x≠0。 2.不要主观臆断反比例 不能看到一个增大一个减小就判定反比例，一定要确认变量乘积等于定值。 3.解出来的结果要符合现实意义 算出的自变量如果出现负数、0，或者不符合题意小数(如人数)，要舍去。 4.写函数解析式，漏写自变量取值范围是考试高频丢分点。 随学随练 1．（25-26八年级下·河南南阳·期末）为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 2．（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案； （2）结合所求解析式，把代入求出答案． 【详解】（1）解：设时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 所以， 当时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 综上，y与之间的函数关系式是； （2）当时，，解得：， 体内抗体浓度不高于140微克/是从注射药物第40天开始． 4．（2026·浙江金华·模拟预测）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 【答案】(1)生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要 (2)①，； ②小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗，计算说明如下： 在中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗． 【分析】（1）根据生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要建立方程组求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②在中，分别求出和时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要． 根据题意得， 解得， 答：生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要； （2）解：①设当时，，当时，， 由题意得，， 解得， ∴，． ②略 拓展 物理背景下的反比例函数实际应用 核心原理 物理公式中，某一个物理量保持定值不变时，另外两个变量乘积等于这个定值，则这两个变量成反比例关系，可以用建模。 k就是物理当中固定不变的那个常量；物理问题自变量一般都是正数。 通用解题思路(步骤) 1.写出对应的物理公式，找出定值 分清：哪个量是固定不变(定值，对应k),哪两个是变化的变量。 2.变形公式，整理成反比例形式 把公式变形为：变量，变量对应反比例函数 3.设函数，代入已知数据求出k k就是物理定值，也可由题目给一组条件计算得到。 4.写出完整函数解析式，带上自变量取值范围 物理实际问题，自变量大于0： 5.根据问题计算求解 已知自变量，直接代入求函数值； 已知函数值，列方程反向求自变量； 结合反比例增减性解释物理现象。 6.检验结果是否符合物理现实，舍去不合理答案(负数、0要舍去) 活学活用 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． 【详解】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． 2．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) (3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，， 得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． 题型一 反比例函数跨学科应用之压强问题 ▌例1（25-26八年级下·江西赣州·期中）某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）． (1)求这个函数的解析式； (2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ 【答案】(1) (2)120千帕 【分析】（1）设反比例函数为，将A点坐标代入求解即可； （2）把立方米代入计算即可． 【详解】（1）解：设反比例函数为， 将代入得， 解得：， 即； （2）解：把立方米代入中，得千帕． ▌对点练1-1．（2026·贵州遵义·二模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． ▌对点练1-2．（2026·河南三门峡·二模）小明在野外考察时，准备利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，小明知道，当压力不变时，压强与受力面积存在一定的函数关系，为研究这个关系，小明借助自身体重，利用若干大小不同的木板（质量不计）和电子压强计进行实验，每次实验小明均竖直站立在木板上，用电子压强计测量木板对地面的压强，经过多次实验，得到了木板对地面的压强与木板面积的部分对应值，如下表： 木板面积 0.5 1 1.5 2 2.5 3 木板对地面的压强 600 300 150 120 100 (1)求与之间的函数关系式及表中的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． (3)资料显示：这片烂泥湿地所能承受的最大压强为．小明若用一块面积为的木板，则他能否安全通过这片烂泥湿地？若能，求湿地所承受的压强；若不能，则木板面积至少需要比原来增加多少平方米才能安全通过？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)不能，木板面积至少需要比原来增加才能安全通过 【分析】（1）根据表格中数据可判断与之间是反比例函数关系，设，代入一组对应值求得的值即可；将代入关系式，求的值． （2）根据表格中数据描点，用平滑曲线顺次连接这些点可得反比例函数的图象． （3）求出时的值，与最大压强比较，即可判断能否安全通过；求出时的值，进而计算木板面积的增加量． 【详解】（1）解：由表格中数据可知，与之间是反比例函数关系， 设与之间的函数关系式为， 把代入，得， 解得， 故与之间的函数关系式为． 当时， ； （2）解：描点、画出该函数图象如图所示． （3）解：不能． 将代入，得． ∴小明不能安全通过． 由（1）可知时，． 结合图象可知，当时，， 故木板面积最小为， ， 故木板面积至少需要比原来增加才能安全通过． 题型二 反比例函数跨学科应用之电压电阻问题 ▌例2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． 【详解】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． ▌对点练2-1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2)完成表格如下： … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … 8 6 4.8 4 3 2.4 2 … 函数的图象为： (3)不低于 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先把表格中自变量的值分别代入（1）中的函数解析式，求出对应的函数值，然后描点连线可得函数的图象； （3）由题意可知电流的值满足小于等于10A，据此列不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵电流是电阻的反比例函数， ∴设， ∵时，， ∴， 解得， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内． ▌对点练2-2．（25-26八年级下·上海金山·期末）在探究通过导体的电流与电阻的关系时，小华得出如下结论：当导体两端的电压保持不变时，通过导体的电流（单位：）与导体的电阻（单位：）满足关系．实验中，当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)利用关于的函数表达式，说明当电阻增大为原来的倍（）时，通过导体的电流将如何变化． 【答案】(1) (2)电流变为原来的 【分析】（1）将已知的、数值代入，求出常数，再写出关于的函数表达式． （2）设原来电阻为，表示出原电流；再表示电阻增大为原来的倍后的电阻，求出新电流，对比得出电流变化规律． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2）解：设原电阻为，原电流． 电阻增大为原来的倍后，新电阻． ， ， ， 电流变为原来的． 题型三 反比例函数跨学科应用之密度问题 ▌例3（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) (3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，， 得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． ▌对点练3-1．（2026·宁夏银川·三模）浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度 8.5 14 10 1 (1)__________，__________； (2)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用求函数值的方法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）液体密度（单位：）是浸没深度（单位：）的反比例函数， 设反比例函数解析式为， 把 ，代入得， ， 当 时， ； 当时， ； （2）当时， ， 当时， ， ， 当时，随着的增大而减小， ． ▌对点练3-2．（25-26九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境： 某科技小组学习了测量密度后，查阅相关资料，自制了一个如图所示的简易吸管密度计（圆柱形），并进行了调试实验，将吸管密度计浸入液体中，静止后浸入液体的深度记为，该液体的密度记为，部分实验数据如下表： 液体 号 号 号 建立模型： (1)根据调试数据发现是的反比例函数，求与之间的函数关系式； (2)问题解决：为了验证自制吸管密度计的准确性，小组成员将自制吸管密度计浸入到已知密度为的液体中，静止后浸入液体的深度稳定在约多少厘米可说明此自制吸管密度计较准确？ (3)调试结束之后，小组成员确定此吸管密度计最多可浸入液体的深度为，最少浸入液体的深度需才能保持测量状态稳定，请直接写出这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围． 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)静止后浸入液体的深度稳定在约厘米可说明此自制吸管密度计较准确； (3)这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围是 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （）由题意设与之间的函数关系式为，然后将，代入即可求解； （）将代入解析式即可求解； （）分别求出当时，；当时，，从而求出取值范围． 【详解】（1）解：由题意设与之间的函数关系式为， 将，代入得，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：∵与之间的函数关系式为； ∴将代入得：，解得：， 答：静止后浸入液体的深度稳定在约厘米可说明此自制吸管密度计较准确； （3）解：当时，；当时，； ∴这个吸管密度计能够测量的液体密度的取值范围是． 题型四 反比例函数跨学科应用之杠杆问题 ▌例4（25-26八年级下·福建泉州·期末）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂=动力×动力臂，如图1，即），受桔槔汲水的启发，小明同学组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．      10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B对绳子的拉力为______N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小明同学准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的拉力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是____________． ②完成表格：______；______． ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）中所求函数的图象上存在点C，当阻力臂移动到某个位置时，点C到原点O的距离最小，请确定点C的坐标，并说明理由． 【答案】(1) (2)① ②4，（或1.6） ③如下图即为所求： (3) 点C坐标为或， 理由：∵点C在函数的图像上； ∴设点C的坐标为； 则点C到原点的距离： 当且仅当，时，d取最小值为（或）； ∴（或）； ∴点C坐标为或； 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）根据题意，直接根据求解即可； （2）①由公式可得关于的函数解析式；②将和代入①中解析式中求解即可；③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （3）由题意，设点C的坐标为，可得点C到原点的距离：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∴重物B所受拉力为， （2）解：①由得，则， ∴y关于x的函数解析式为， 故答案为：； ②当时，； 当时，，故答案为：4，（或1.6）； ③列表如下． … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … 描点：3．连线，可得该函数的图象． （3）略 ▌对点练4-1．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）【综合实践】 如图1所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图2所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图2，即） … b … … 8 a 2 … (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 N； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则： ①y关于x的函数关系式是 ． ②完成表格： ； ． ③借助表格，在图3的直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，若点A的坐标为，点B的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点C，使得，请求出点C的坐标． 【答案】(1) (2)①；②4；； ③函数图象如下所示： ； (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据①求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图像即可； （3）设，连接，，，根据三角形的面积求出a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由①得，， 填表如下： … … … 8 4 2 … 故答案为：4，； ③略 （3）解：点A的坐标为，B的坐标为，C为反比例函数上一点， 设，连接，，， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， 解得，， 经检验，或是原方程的根， ∴时；时，， ∴点C的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反比例函数的性质和图像，正确理解题意是解题的关键． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 【答案】小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求出反比例函数式是解题的关键．根据阻力阻力臂动力动力臂，可得出F与l的函数关系式；将代入可求出l即可． 【详解】解：依题意，得， ∴． 当时，， 解得． 答：小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 题型五 反比例函数跨学科应用之频率问题 ▌例5（2026·河南平顶山·二模）科学家麦克斯韦在1864年建立了完整的电磁波理论，1887年物理学家赫兹用实验证实了电磁波的存在，现在电磁波已经应用到了通信、医疗、能源等领域．已知电磁波的本质完全相同，只是波长和频率有差别，下表是数学兴趣小组通过实验收集到的部分电磁波的波长和频率的对应数据： 项目 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 … 波长 300 500 600 1000 1500 … 频率 1000 600 450 300 200 … (1)根据表中的数据特征可判断频率f是波长的___________函数（填“一次”“二次”“反比例”），表中数据收集错误的是第___________组． (2)求频率关于波长的函数关系式． (3)若手机的电磁波的波长范围是，可见光的波长范围大约是，请你判断手机的电磁波的频率与可见光的频率的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)反比例，三 (2) (3)，理由如下： ， ∴当时，随的增大而减小． ， ∴， ， ． 【分析】（1）根据波长与频率的乘积是定值可判断频率f是波长的反比例函数，据此再判断表中数据收集错误是哪组即可； （2）设频率关于波长的函数关系式为，把代入求解即可； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴频率f是波长的反比例函数． ∵， 表中数据收集错误的是第三组； （2）解：设频率关于波长的函数关系式为． 把代入，得， ． ∴频率关于波长的函数关系式为； （3）略． ▌对点练5-1．（2026·北京·模拟预测）小明探究琴弦振动频率与弦长的关系，他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为（单位：Hz），2号弦的振动频率为（单位：Hz），部分数据如下： cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180 Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画与L，与L之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当弦长为25cm时，1号弦的振动频率为为______Hz（结果保留整数）； (3)当频率为400Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）； (4)要使1号弦的频率是2号弦的频率的倍，1号弦的弦长与2号弦的弦长的比是否为定值；若是，请求出比值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)720 (3)15 (4)是定值，比值为 【分析】(1)根据表格数据描点、连线即可． (2) 观察数据表，发现为定值，故与成反比例关系，将代入求值． (3) 分别令和，求出对应的弦长，再求差． (4) 由代入两个反比例函数表达式，化简后判断与的比值是否为定值． 【详解】（1）由数据表验证： 解： ， 与成反比例关系，， 在坐标系中描点、、、、、、、、， 用光滑曲线依次连接各点，得到的图象． （2）解：观察数据表，发现为定值，故与成反比例关系，， 当cm时， （Hz）， 琴弦1的振动频率为． （3）解：由数据表验证：， ， 当Hz时，（cm）， 当Hz时，（cm）， （cm）， 即琴弦2与琴弦1的长度之差为． （4）解：设琴弦1的长度为，琴弦2的长度为， 由题意：， ， ， 琴弦1与琴弦2的长度之比为定值，比值为． ▌对点练5-2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）我国嫦娥六号探测器与地球之间的通信是通过无线电波实现的，电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化，已知某段电磁波在宇宙中，波长入与频率f的部分对应值如下表： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长（m） 60 30 20 15 12 10 (1)选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式： (2)嫦娥六号探测器与地球之间的通信要求电磁波的频率f大于，求它的波长的取值范围． 【答案】(1) (2)波长取值范围为 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键． （1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可； （2）解方程，由反比例函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由表格可知，， ； （2）解：∵， 当电磁波的频率为时， ∴， 由反比例函数的性质知，当电磁波的频率大于时，， 答：波长取值范围为． 题型六 反比例函数跨学科应用之小孔成像问题 ▌例6（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据题意设出反比例函数解析式，代入已知条件求出比例系数，再代入新的函数值求解自变量． 设反比例函数解析式（）；代入已知x，y值求；将待求值代入解析式求对应值． 【详解】解：∵ 火焰的像高是物距的反比例函数， ∴ 设解析式为（）． 将，代入得． 解得． ∴ 反比例函数解析式为． 当时，代入解析式得． 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为． ▌对点练6-1．（25-26九年级下·吉林松原·阶段检测）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 【答案】(1) (2)火焰的像高为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确列出函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把代入解析式中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：． 把代入，得．解得． 关于的函数表达式为； （2）解：把代入，得． 火焰的像高为； ▌对点练6-2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置，图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，． (1)求y关于x的反比例函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y； (3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？ 【答案】(1) (2)火焰的像高为 (3)至少是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可设，然后用待定系数法即可解答； （2）把代入中，进行计算即可解答； （3）当时，，再利用反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设，把，代入中， 解得． y关于x的函数表达式为． （2）解：把代入中，解得． 火焰的像高为． （3）解：当时，． 由的图象可得，当时，y随x的增大而减小， 若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是． 题型七 反比例函数应用之有效时间问题 ▌例7（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【背景素材】 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量（）与释放时间（）成一次函数；释放后，与成反比例如图所示，且时，室内每立方米空气中的含药量（）达到最大值． 某兴趣小组记录部分（）与（）的测量数据如表．满足的自变量（）的取值范围为有效消毒时间段． 【解决问题】 （1）求关于的函数表达式． （2）求“药熏消毒”的有效消毒时间． （3）若在实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 【答案】（1）；；（2）有效消毒时间段为；（3）实际生活中有效消毒的时间段为 或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得时，对应的x的值，根据图象即可求解； （3）分当和、时，三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：设当药物释放阶段（即）时， 设， 把，代入， 得，解得， ∴； 设当药物释放后（即）时，设， 把代入， 得， 解得， ∴； （2）把分别代入，得， 解得， 由图象，得； （3）当时， 把代入，得， 解得； 把代入，得，满足题意； ． （2）时，把代入， 得， 解得（舍去）； ∴无解； （3）时，（即） ①把代入，得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴； ②把代入， 得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴ 综上， 或 ▌对点练7-1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）为预防“甲流”传播，学校用某种含氯消毒剂对教室实施了药物喷洒消毒．在教室内，消毒药物在空气中的浓度y（）随时间x（min）变化的函数关系如图所示，药物喷洒阶段y与x成正比例函数关系；喷洒结束后药物浓度逐渐下降，y与x成反比例函数关系． (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)当教室内的药物浓度不低于时，才能有效灭活病毒．则此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是多久？ 【答案】(1) (2)此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是 【分析】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法，将点代入即可； （2）求出正比例关系阶段的函数表达式，求出当时对应的时间，即可得出有效杀灭病毒的持续时间． 【详解】（1）解：当时，设函数的表达式为， 将代入上式得， 并解得， 即函数表达式为． （2）解：当时，设该段函数的表达式为， 将代入上式得：， 解得， 故该段的函数表达式为， 当时，解得； 当时， 时，得； ∵（min） 即此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是． ▌对点练7-2．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量与释放时间成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且持续时间不低于，才能达到有效消毒．这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 这次“药熏消毒”是有效消毒，理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：，利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，设y与x的函数关系式为：， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：将代入得：，解得：， 代入得，解得：． 综上，或； （3）略 题型八 反比例函数应用之饮水问题 ▌例8（25-26九年级上·广东江门·期末）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．如图，楼道里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温与时间的关系如图所示．         (1)分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式． (2)求在一个循环内水温高于的时间． (3)若饮水机早上已加满水，开机温度是，为了使下课时水温达到及以上，并节约能源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适． 【答案】(1)水温上升：关于的函数关系式为；水温下降：关于的函数关系式为； (2)在一个循环内水温高于的时间为分钟； (3)开机接通电源比较合适． 【分析】此题主要考查了实际问题与反比例函数，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据函数图像分为当时和当时，分别求出函数关系式即可； （）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可； （）由题意可得，当时，，解得：，从而求解． 【详解】（1）解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图像可得：，解得：， ∴关于的函数关系式为； 水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图像可得：，解得：， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，，解得； ，解得； ∴在一个循环内水温高于的时间为（分钟）； （3）解：由题意可得，当时，，解得：， ∴，即开机接通电源比较合适． ▌对点练8-1．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3) ，理由：时，． 答：小明回到家中时，饮水机内的水温约为80℃． 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次(反比例)函数解析式以及一次(反比例)函数图象上点的坐标特征； （1）根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式； （2）由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可； （3）将代入反比例函数关系式中求出值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为．将、代入中，得： ， 解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为． （2）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为 ， 将代入 中，得： ，解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为 ． 当 时，， 图中的值为． （3）略 ▌对点练8-2．（2025·浙江杭州·二模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小王在通电开机后即外出散步，分钟后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）利用待定系数法求出下降过程中水温与开机时间（分）的函数关系式并将坐标代入，求出t即可； （3）分别求出加热和放热过程中温度为时对应的时间，即水温从加热到需要的时间，继续加热到再降到需要的时间，从而计算当时，加热过程中水温为时对应的时间和放热过程中水温为时对应的时间，再根据图象直接写出这个时间段内饮水机内温度不低于时t的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 此函数解析式为：； （2）解：当，设水温与开机时间（分）的函数关系式为：， 依据题意，得：， 即， 故， 当时，， 解得：； （3）解：当时： 当时，解得， 当时，解得， ∴水温从加热到需要分钟，继续加热到再降到需要20分钟， ∴当时，加热过程中水温为时对应的时间为（分），放热过程中水温为时对应的时间为（分）， 根据图象，要使得回家时饮水机内温度不低于，t的取值范围为． 题型九 反比例函数应用之销售问题 ▌例9（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销， 试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量（千克） 50 60 75 90 100 (1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出的取值范围）; (2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 【答案】(1) (2)新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可． 【详解】（1）与之间满足反比例函数关系，设解析式为． 把代入，得． 关于的函数表达式为． （2）试销6天共销售苹果千克 苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为90千克， 销售10天后，还剩下苹果（千克）． 由，得． 把代入中得， ，随的增大而减小， 当时，， 新的售价最高可以定为6元/千克， 答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完． ▌对点练9-1．（四川省成都市锦江区七中育才学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）校园超市以5元/件购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值（销售金额＝售价×销售量），其中某天该物品的售价为10元/件时，销售量为30件． (1)设售价为x元/件时，销售量为y件，请写出y与x的函数关系式； (2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为50元，则该物品的售价应定为多少元/件？ 【答案】(1) (2)6元/件 【分析】本题考查了反比例函数的应用， （1）根据售价为x元/件时，销售量为y件，设，把代入计算即可； （2）根据函数值，代入计算x的值即可． 【详解】（1）根据售价为x元/件时，销售量为y件，设，把代入得， ， 故y与x的函数关系式为． （2）∵函数关系式为．销售利润为50元，校园超市以5元/件购进某物品， ∴，解得： 故该物品的售价应定为6元/件． ▌对点练9-2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 【答案】(1)反比例函数关系； (2) 能达到800元． 理由：依题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，并且符合题意， 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，分式方程的实际应用，正确的列出函数关系式和分式方程，是解题的关键： （1）观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系． 设与之间的函数表达式为， 当时， ． 把其余各组对应值代入上式均成立，故与之间的函数表达式为； （2）略． 答：当售价为9元/千克时，超市销售草莓的日利润可达到800元． 题型十 反比例函数应用之行程问题 ▌例10（25-26八年级上·上海·阶段检测）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键． （1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域． （2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内． 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． ▌对点练10-1．（26-27九年级上·全国·单元复习）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度v（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如表： 速度v（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是_____________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知q，v，k满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【答案】(1)③ (2)当该路段的车流速度为30千米/时时，流量达到最大值1800辆/时 (3)当时，该路段将出现轻度拥堵 【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的特征分析即可得出结果； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）求出，再结合一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由表格可得，随着的变化，先增大后减小， 函数①，随的增大而增大，显然不符合题意； 函数②，时，随的增大而减小，显然不符合题意； 函数③，随先增大后减小，符合题意； 故刻画，关系最准确的是③； （2）解：由（1）知，． ， 时，q达到最大值，最大值为1800， 即当该路段的车流速度为30千米/时时，流量达到最大值1800辆/时； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，此时， 当时，此时， ∴当时，该路段将出现轻度拥堵． ▌对点练10-2（25-26九年级上·全国·随堂练习）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 【答案】(1)， (2)当它所受的牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时 (3)若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合函数图像分析出相关信息是解题的关键． （1）函数图像过点， 将点的坐标代入函数关系式，即可求得功率，进而写出函数解析式； （2）将代入函数解析式，即可求出速度v的大小； （3）汽车的速度不超过30米/秒，即，结合函数解析式，解不等式即可求出F的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，反比例函数表达式为， 把代入，得， （瓦）， ∴． （2）解：当牛时， （米/秒）（千米/时）， 即当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时． （3）解：由，得． 所以，若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛． 基础通关 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式． 【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系， ∴设函数解析式为（为常数，）， ∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系， ∴排除， 将，代入，得， ∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符． 2．（2026·山东泰安·三模）某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，变形得． 3．（2026九年级下·湖南益阳·专题练习）面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式列出与的函数关系式，再根据的取值范围确定图象所在的象限及形状． 【详解】解： 的面积为，一边长为，这边上的高为， ， ， 表示三角形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支， 观察选项，只有C选项符合． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 【答案】C 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 5．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 6．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【答案】D 【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可. 【详解】解：设喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为， 把分别代入，得，， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当时，，故喷洒完成后，当时，药液浓度为，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为的时间点有2个，故选项C错误； 当时，；当时，， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过；故选项D正确. 7．（2026·河南平顶山·三模）某项目化学习小组设计了一款用于监测一氧化碳（）浓度的安全断路器，其电路图如图1所示．装置由控制电路（含电源、气敏电阻、定值电阻、电磁铁E等）和机械传动部分（含闸刀开关、轻质杠杆、铁块C等）组成，电磁铁E位于铁块C的正上方．当控制电路中的电流I超过设定值时，铁块C被电磁铁E吸起，杠杆偏转，带动细绳拉开闸刀开关，自动切断电路．已知电源电压U为，定值电阻的阻值为，．电磁铁E对铁块C的吸引力与通过控制电路中的电流I的关系如图2所示，气敏电阻的阻值与浓度的关系如图3所示，则下列说法不正确的是（     ） A．气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小 B．浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大 C．当电磁铁E对铁块C的吸引力为时，的浓度为 D．使用一段时间后，由于电源电压U减小，闸刀开关被拉开时一氧化碳实际的浓度会偏大 【答案】C 【分析】根据，结合图象逐项分析即可． 【详解】解：A、由图3，可知气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小，A选项说法正确； B、由图3，可知浓度越大，阻值越小，由，可知阻值越小，I越大，由图2，可知随I的增大而增大，即浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大，B选项说法正确； C、由图2，可知当时，，代入，即，解得．由图3，可知当时，浓度为，C选项说法错误； D、闸刀开关被拉开时，通过控制电路中的电流I不变，根据，可知当电源电压U减小，偏小，即偏小，由图3，可知此时浓度偏大，D选项说法正确． 8．（26-27九年级上·北京·课后作业）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【分析】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可． 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 【答案】20 【分析】根据反比例函数的定义设出函数解析式，利用待定系数法求出的值，将值代入求解即可． 【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数， ∴设该函数为， 将，代入，得， 解得， ， 当时，，解得． 10．（25-26八年级下·山西临汾·期末）“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 【答案】4 【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 11．（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 12．（2026·江苏泰州·三模）过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【答案】(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【分析】（1）由求正比例函数关系式，代入反比例函数，求反比例函数关系式； （2）分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式，求出相应的时间，再把时间差和7分钟比较，超过7分钟则能达到消毒的效果． 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 13．（25-26九年级下·山西·阶段检测）如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 【答案】要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为120mL 【详解】解：由题得，即． 当时，， 解得． 答：要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为． 14．（25-26九年级下·辽宁盘锦·期中）为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)药物燃烧时y关于x的函数关系式为；药物燃烧后y关于x的函数关系式为 (2)30分钟 (3)有效，理由如下： 把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的． 【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧后y与x的函数关系式为． （2）解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室． （3）略 素养提升 1．（2026·内蒙古·中考真题）已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可． 【详解】，且为定值 是的反比例函数，且，图象位于第一象限 排除选项A、B 将，代入 得 函数解析式为 对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意 对于D选项，当时，，不符合题意． 2．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 3．（25-26八年级下·山西临汾·期中）某款节能冰箱的耗电功率为千瓦（忽略特殊情况的耗电量），其中冰箱内部温度随时间的变化情况如图所示．通过观察发现：当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升到时，冰箱再次运行（升温过程的温度与时间成反比例关系），如此循环．则以下结论不正确的是（     ） A．当时，是的一次函数： B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出和时的解析式，可判断A，B；再把代入时的解析式，可判定C，D． 【详解】解：设当时，关于的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，是的一次函数，故A选项正确，不符合题意； 设当时，关于的函数表达式为， 将代入得，， ∴时，是的反比例函数，故B选项正确，不符合题意． 当时，， 解得， ∴，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 4．（2026·河南平顶山·三模）公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（   ） A．动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示 B．当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N C．若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m D．利用此杠杆时，动力臂越长越省力 【答案】C 【分析】根据杠杆原理公式，代入已知的阻力和阻力臂的数值，推导得到关于的函数表达式，明确函数类型与自变量取值范围． A选项，将推导得到的函数特征和图3的图象特征对比，验证是否一致．B选项，把给定的动力臂数值代入函数表达式，计算对应的动力．C选项，先确定阻力一半的数值，将其作为的上限代入函数，求解对应的动力臂最小值，再计算动力臂与阻力臂的差值．D选项，根据反比例函数的增减性，判断动力随动力臂变化的趋势． 【详解】对于A，∵，阻力和阻力臂不变， ∴， 即动力与动力臂成反比例函数关系， 此说法正确，不符合题意； 对于B，由图象知，反比例函数的解析式为， 当动力臂时， 撬动石头需要的力量． 此说法正确，不符合题意； 对于C，当时，，， ∴若动力不超过阻力1000N的一半，则动力臂要比阻力臂长至少0.5． 此说法错误，符合题意； 对于D，设动力与动力臂的函数关系式为． 根据反比例函数的性质可知，动力随动力臂的增大而减小， ∴动力臂越长越省力， 此说法正确，不符合题意． 综上，故选C． 5．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 【答案】B 【分析】分别求出喷雾阶段函数解析式为，喷雾结束后函数解析式为，再结合反比例函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， 此阶段函数解析式为； A、在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意； B、每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是，故此选项符合题意； C、喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项不符合题意； D、在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 6．（2026·河南三门峡·三模）如图1所示的电路图．已知电源的电压U（V）保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻，电流表的读数即电流发生改变．测得电路中总电阻R和通过的电流I之间的关系如图2所示（提示：总电阻灯泡电阻+滑动变阻器电阻），下列说法错误的是（     ） A．电流I（A）关于电路中的总电阻的函数关系为 B．当经过灯泡的电流为时，电路中的总电阻为 C．当电路中I为时，则滑动变阻器的阻值为 D．由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共40个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元．若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花352元 【答案】C 【分析】根据函数图象，运用待定系数法求出电流强度I与总电阻R之间的函数解析式为，再把代入计算，得出，把数值代入滑动变阻器电阻=总电阻灯泡电阻计算，得当电路中I为时，则滑动变阻器的阻值为，设购买电流表x个，则滑动变阻器个，再列出不等式得出，然后得出学校的总花销，根据一次函数的性质分析，即可作答． 【详解】解：∵电源两端电压U（单位：V）保持不变，电流强度I与总电阻R成反比， ∴可设，将代入，得， ∴电流强度I与总电阻R之间的函数解析式为， ∴故选项A说法正确，不符合题意； 当时，，故选项B说法正确，不符合题意； 当时，， 则滑动变阻器电阻=总电阻灯泡电阻 故选项C说法不正确，符合题意； 设购买电流表x个，则滑动变阻器个， 则，得， 学校的总花销， ∵ ∴学校的总花销随着的增大而增大 ∴当时，则（元）， ∴至少需要花销元 故选项D说法正确，不符合题意． 7．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间（分钟）是潜水深度（米）的反比例函数．当潜水深度为米时，气瓶可用时间为分钟．为保证安全，要求气瓶可用时间不少于分钟，则潜水深度最大为______米． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据 列出不等式求出的取值范围即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，把，代入得， ， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由题意得， ∴ ， 解得 ， ∴潜水深度最大为米． 8．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽 ，则底部直径的长为____． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵ ， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 9．（2026·浙江杭州·二模）假设圆锥的体积不变，当圆锥的高发生变化时，圆锥的底面积也随之变化．（圆锥体积，其中表示圆锥的底面积，表示圆锥的高线长）．某工厂要制作一系列等体积的圆锥模型，测得其中一个圆锥模型的底面半径为，高线长为．当高线长限定为时，底面积的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，灵活运用圆锥体积公式及反比例函数的增减性是解题的关键．根据圆锥体积公式，先求出圆锥的体积，进而得到底面积关于高的反比例函数表达式，再结合反比例函数的性质及的取值范围，求出底面积的取值范围． 【详解】解：由题意得，已知圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的底面积：， ∴圆锥体积：， 圆锥体积不变， ， 整理得， 是关于的反比例函数，比例系数， 当时，随的增大而减小， ∵， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最大值，为， 此底面积的取值范围为． 10．（2026·河北邯郸·三模）如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台（水平）与x轴的距离为8，与y轴交于B点，与滑道交于A，且，轴，测得，P到x轴的距离为4，设． (1)k的值为________，点P的坐标是________，________； (2)一小球从B点出发沿抛物线运动，落在滑道上P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为． ①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道是否还能相交； ②在x轴上有线段，若小球恰好能被接住，则向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？ 【答案】(1)24，，12 (2)①， 抛物线G与滑道不能再相交，理由： ∵，轴， ∴当时，， ∴抛物线G与滑道不能再相交； ②向上平移距离d的最大值为，最小值为4 【分析】（1）由题意得到点A的坐标，代入即可求出k值，得到，将点P的纵坐标和分别代入求解即可； （2）①由抛物线G的最高点Q的坐标写出抛物线的顶点式，将代入求出a值，即可得到抛物线的解析式；求出抛物线上时对应的y值，判断此点在点M的上方还是下方，即可得出抛物线与是否相交； ②首先得到，然后得到点和在抛物线上，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵平台（水平）与x轴的距离为8，， ∴， 将代入得，， ∴； ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵，， ∴， 将代入得， 解得； （2）解：①； 抛物线G与滑道不能再相交，理由如下： ∵最高点Q的坐标为， 设抛物线G的解析式为， ∵点在抛物线G上， ∴． 解得， ∴抛物线G的解析式为； 抛物线G与滑道不能再相交，理由略； ②∵， ∴， 当时，， 若小球恰好能被点N接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； 若小球恰好能被点C接住， ∵抛物线G上有点， ∴向上平移距离； ∴向上平移距离d的最大值为，最小值为4． 11．（25-26八年级下·山东泰安·期末）教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热：；第一次降温： (3)能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【详解】（1）略 （2）解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； （3）略 12．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图象如图所示： y与x之间的函数关系为 (2)托盘与点的距离是 (3)在移动前托盘B中的砝码质量为 【分析】（1）根据表格描点、连线即可，然后根据图象求函数表达式即可； （2）利用（1）函数表达式直接求解即可； （3）根据函数表达式求解即可，需要注意托盘运动前后仪器始终平衡． 【详解】（1）解：画图略； 观察图象可知，函数可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， ∴， 经检验，其余各个点的坐标均满足 ∴该函数表达式为； （2）解：由（1）可知函数表达式为 ∴当时，代入函数表达式得， 解得， ∴托盘与点的距离是； （3）解：设移动前托盘中的砝码质量为，托盘与点的距离为， 由题意，得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 迁移创新 1．（2026·河南·模拟预测）打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 【答案】(1)（）；（） (2)10 (3)25.1 【分析】（1）根据题意分别设第一次煅烧和锻造的函数解析式为与，再结合图象找出其经过的点，最后利用待定系数法求解即可； （2）利用（1）中求出的第一次锻造的函数解析式，分别算出与时的自变量取值，再作差求解即可； （3）设第二次煅烧时的函数解析式为，根据每次煅烧温度上升的速度相同，得到，再结合图象利用待定系数法求出第二次煅烧时的函数解析式，最后求出当时，自变量的值，即可解题． 【详解】（1）解：第一次煅烧时温度y（）与时间x（）成一次函数关系， 设此时函数解析式为，由图象可知，该函数经过和两点， 即，解得， 即（）， 第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系， 设此时函数解析式为， 由图象可知，该函数经过点，即，解得， 即（）； （2）解：当时，，解得：， 当时，， （）， 所以第一次锻造操作的时长是10； （3）解：每次煅烧温度上升的速度相同， 设第二次煅烧时温度y（）与时间x（）的函数解析式为， 由题意得，即函数解析式为，此函数经过点， 代入可得，， ，即， 当时，， 所以第二次开始锻造的时间约为第25.1． 2．（2026·北京海淀·模拟预测）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象： (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 【答案】(1) 函数的图象： (2) (3)①丙；②乙，60 【分析】（1）描点，连线，画出函数图象即可； （2）直接根据图象作答即可； （3）①根据图象直接作答即可；②根据图象可知，甲香料的香气强度下降的最快，乙香料的作用较强，消散较慢，丙香料的香气强度较弱，持续作用久，进行作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知： 当放置时，甲香料的香气强度约为；丙香料的香气强度约为； （3）解：①由图象可知，当放置时，该时刻起主要作用的香料为丙； ②由图象可知，总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料是乙，该香料起主要作用的时长为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $