第06讲 双曲线及其性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义围绕双曲线定义、标准方程、几何性质等高考核心考点，按“命题透视-思维建模-知识精讲-真题溯源”逻辑构建知识框架，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节突破离心率、焦点三角形等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“题型破译+方法技巧”为特色，设计变式训练（如变考法、变载体）培养数学思维与建模能力，例如通过构建齐次方程求解离心率，利用焦点三角形面积公式提升解题效率。分层练习配合即时反馈，助力学生短时间内提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第06讲 双曲线及其性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1双曲线的定义 知识点2双曲线的标准方程 知识点3双曲线的简单几何性质 题型破译 (含超链接） 题型1 双曲线的定义及应用 题型2 双曲线的标准方程 题型3 方程表示双曲线的充要条件 题型4 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 题型5 双曲线的渐近线 题型6 双曲线的离心率 【方法技巧】 离心率问题的求解技巧 题型7 焦点三角形问题 题型8 两线段的和与差的最值问题 题型9 双曲线的轨迹方程 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 题型11 双曲线中的最值与范围问题 【方法技巧】 最值、范围问题的求解策略 题型12 双曲线的实际应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 双曲线的方程与性质 全国Ⅰ卷T12（5分） 全国Ⅱ卷T4（5分） 全国Ⅰ卷T3（5分） 全国Ⅱ卷T11（6分） 全国Ⅰ卷T12（5分） 直线与双曲线的位置关系 全国Ⅱ卷T19（17分） 考情分析 双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解. 近三年高考显示，双曲线考查频次高，核心考点聚焦于离心率计算、定义与标准方程以及顶点、渐近线等基础几何性质。试题逐渐反套路，强调知识交汇（如与向量、数列结合），倡导“多想少算”. 复习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)． 3.了解双曲线的简单应用． 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距. 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线； (3)当a＞c时，集合P是 空集. 自主检测已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义与方程运算求解. 【详解】由双曲线的标准方程可得，由满足方程，知点在双曲线的右支上， . 故答案为：4. 知识点2 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 自主检测（多选）已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 【答案】CD 【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】因为曲线：.当时，表示圆；当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线；当或时，表示两条直线.所以CD正确. 故选：CD 知识点3 双曲线的简单几何性质 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1 (－a,0)，A2 (a,0) 顶点坐标：A1 (0，－a)，A2 (0，a) 渐近线 y＝ ±x y＝ ±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ 2a；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b； a叫做双曲线的 实半轴长，b叫做双曲线的 虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 自主检测（1）（2026·重庆九龙坡·一模）双曲线的焦距为，其一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得的值，即可得到双曲线的方程. 【详解】设双曲线的焦距为，则，解得. 所以双曲线的方程为. 故选：A. （2）．（2026·江苏·一模）在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为”是“渐近线方程为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】利用共渐近线的双曲线的方程可求对应的离心率，再结合反例可判断两者之间的条件关系. 【详解】若双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线方程为， 若，则双曲线的标准方程为，故， 故，故；若，则双曲线的标准方程为，故， 故，故；设双曲线的方程为，此时，故离心率为， 此时渐近线的方程为，故“离心率为”推不出“渐近线方程为”；“渐近线方程为”推不出“离心率为”，故“离心率为”是“渐近线方程为”的既不充分又不必要条件， 故选：D. 必记结论 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （3）双曲线焦点三角形面积为 题●型●破●译 题型1 双曲线的定义及应用 例1-1已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 【答案】C 【分析】根据双曲线的概念，判断结果； 【详解】因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 例1-2（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 【变式训练1-1·变考法】若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解. 【详解】， 当点在左支时，的最小值为， 当点在右支时，的最小值为， 因为，则点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义，解得； 当，点在左支时，；在右支时，；推不出； 故为充分不必要条件， 故选：D. 【变式训练1-2·变载体】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切，则，，则，故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 【变式训练1-3·变考法】设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为 ． 【答案】9 【分析】由题意知圆的方程，利用几何的知识可知当点P与M，B三点共线时使得取最大值． 【详解】设两圆和圆心分别为A，B，则A，B正好为双曲线两焦点， ，即最大值为9， 故答案为：9． 题型2 双曲线的标准方程 例2-1（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2，则，即.因为双曲线焦距为，所以.又，所以，解得，.故双曲线方程为. 故选：A． 例2-2（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知渐近线为，即，可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：，该双曲线的方程为． 故选：D. 【变式训练2-1·变考法】（2026·河北张家口·模拟预测）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可. 【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 【变式训练2-2·变载体】（2025·北京东城·模拟预测）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入点运算求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为， 代入点，可得，所以双曲线的方程为. 故选：A. 【变式训练2-3·变载体】动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点，所以，的双曲线的左支， 又，则，故，动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 【变式训练2-4·变载体】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出焦点坐标及直线的倾斜角，再结合双曲线定义及勾股定理求出即可. 【详解】依题意，，直线的倾斜角为，即， 取的中点，连接，由，得，， ，， 则，， 在中，，解得， 所以该双曲线的方程为. 故选：A 【变式训练2-5·变考法】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知是等边三角形，进而可知双曲线浙近线的倾斜角为，进而得到的关系，再将点代入双曲线方程求解即可. 【详解】如图，根据圆的性质可知． 又点在线段中垂线上，则，则是等边三角形， 故双曲线浙近线的倾斜角为．所以，即，则双曲线方程为． 将点代入双曲线方程，得，解得，则双曲线方程为， 故选：C． 题型3 方程表示双曲线的充要条件 例3-1（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则，解得或. 因此实数的取值范围是. 例3-2（2025·四川成都·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出该方程表示双曲线时的的取值范围，再根据必要不充分条件的概念即可找出正确选项． 【详解】若该方程表示双曲线，则 ，即 ，又，解得 ， 对于A，是充要条件，A不是； 对于B，真包含于，则是必要不充分条件，B是； 对于 C，真包含于，则是充分不必要条件，C不是； 对于D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，D不是. 故选：B 【变式训练3-1·变考法】（2025高三·贵州贵阳）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】曲线C是双曲线则与异号，列出不等式求出m的范围，即可进行判断. 【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练3-2·变考法】（2025·四川南充·模拟预测）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若曲线是焦点在轴的双曲线，则，，所以，故必要性成立， 若，满足，但是曲线是焦点在轴的双曲线，故充分性不成立， 所以“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的必要不充分条件. 故选：B 【变式训练3-3】（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】由题意确定的范围，进而逐项判断即可. 【详解】由表示双曲线，得，得，所以焦点在轴上， 又，所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 题型4 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 例4-1双曲线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得， 所以有，双曲线焦点在轴上， 其中，，则，所以， 所以焦点坐标为. 故选：C 例4-2（2026·江苏南京·一模）已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由题意可知，得，因双曲线的渐近线方程为， 即 ​，代入得，所以（为半焦距），即，故焦距为. 故选：D 例4-3（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【分析】通过设等轴双曲线的通用方程，代入已知点求出参数，转化为标准方程后计算实轴长. 【详解】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为， 将点代入方程，得，可得，因此，双曲线的标准方程为， 可得，即，因此，实轴长. 故选：D 【变式训练4-1】（2025·云南昆明·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可． 【详解】解：双曲线的一个焦点坐标为，可得，可得 故选：D 【变式训练4-2】已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】首先判断双曲线的焦点在轴，再由两曲线有共同的焦点得到，即可得解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴，又椭圆与双曲线有共同的焦点，所以，所以. 故选：B. 【变式训练4-3·变载体】（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与直线平行，求得与之间的等量关系，再根据点在曲线上得到与之间的另一个等量关系，解方程组. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为其中一条与直线平行，且直线的斜率为， 所以2，即， 因为双曲线过点，所以，即， ，， 所以双曲线的实轴长． 【变式训练4-4·变考法】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知是双曲线的半焦距，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题中条件，得到，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为是双曲线的半焦距，所以， 则，当且仅当时，等号成立. 故选：C. 【变式训练4-5·变角度】（多选）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（   ） A．的实轴长为 B．的离心率为 C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为 【答案】BC 【分析】由直线方程求得焦点坐标，再求出双曲线的得双曲线标准方程，然后判断各选项． 【详解】直线与坐标轴的交点分别为和， 因此双曲线的一个焦点为，即，又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以， 由，解得，选项A，实轴长为，A错； 选项B，离心率为，B正确； 选项C，双曲线方程为，由解得，即， 右焦点为，则，C正确， 选项D，曲线的顶点坐标为，D错误； 故选：BC． 题型5 双曲线的渐近线 例5-1已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出双曲线的标准方程，求得，即可求出渐近线方程. 【详解】由题可得双曲线的标准方程为：，所以，，则双曲线的渐近线方程为：； 故选：C 例5-2已知双曲线的一条渐近线的方程为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线的斜率列方程即可得解. 【详解】由题知，双曲线焦点在轴上，且其中一条渐近线方程为，所以，解得. 故选：A 【变式训练5-1】（2026·河南许昌·模拟）若直线是双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】双曲线中，则渐近线方程为， 已知直线是该双曲线的一条渐近线，则，解得． 【变式训练5-2】已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线方程为，将代入，求出，可求双曲线的标准方程． 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为，将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 故选：D． 【变式训练5-3】已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】设双曲线的焦距为，则，故，所以双曲线的焦点坐标为，又双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的焦点到渐近线的距离，因为焦点到渐近线的距离为，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 【变式训练5-4·变考法】（多选）已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的离心率为 B．曲线的渐近线方程为 C．若到曲线的渐近线的距离为，则曲线的方程为 D．设为坐标原点，若，则 【答案】AC 【分析】根据待定系数法，求出双曲线参数之间的关系，求出离心率和渐近线方程，判断A，B的正误，根据焦点到渐近线的距离为短轴长，求出双曲线的方程，再根据两点间的距离公式和双曲线的性质求出三角形的面积，判断C，D的正误. 【详解】由题意设双曲线的渐近线方程为，代入点， 解得，则双曲线的离心率，故A正确； 由得双曲线的渐近线方程为，即，故B错误； 若到渐近线的距离为，则，，则双曲线的方程为，故C正确； 设，则由，可得， 解得，三角形的面积，故D错误． 故选：AC． 【变式训练5-5·变考法】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）过原点的直线与双曲线交于两点，为的右顶点，直线与直线的斜率之积为3，则的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的对称性，取双曲线的左顶点为点，易得，设点，由条件推得，再利用点在双曲线上，整体消元后得到即得渐近线方程. 【详解】如图，取双曲线的左顶点为点，连接，因直线过原点， 得四边形为平行四边形， 则，设点，因， 又由可得代入上式，化简可得，则， 故的渐近线方程为. 故答案为：. 题型6 双曲线的离心率 例6-1【新思维】（2026·云南玉溪·二模）已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】计算，再计算的面积和周长得出即可求出. 【详解】令，其中，则，得，因为，所以， 则由双曲线的定义可知，， 则的面积为，周长为， 则，则，则的离心率为. 例6-2（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先根据点到轴，轴的距离之比为得到点横纵坐标的关系，再结合双曲线方程，通过分析得到离心率的取值范围. 【详解】设点，因为点到轴，轴的距离之比为，所以，即. 因为点为双曲线上一动点，将代入双曲线方程可得：，即， 通分可得：，即，因为，所以，即； ，所以，离心率， 因为，故，则，所以，因此，双曲线的离心率范围为. 故选： C． 【变式训练6-1·变考法】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，. 在中，有，整理得，故. 设，在中，有，即，所以的离心率. 故选：D． 【变式训练6-2·变载体】（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可得，由几何关系可得，且，利用余弦定理以及勾股定理化简即可求解. 【详解】、为双曲线右支上两点且，所以， 设，可得，由于且，所以，且 在直角三角形中，， 在中由余弦定理，， 由可得，即， 化简得，可得 可得，所以， 化简得，即，所以， 解得：或（舍去） 所以双曲线的离心率为. 【变式训练6-3·变交汇】（2026·河北保定·二模）已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可. 【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得． 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去）． ，根据双曲线定义可得， ∴，则,∴为直角三角形，且． 在中，，即， ∴，∴．即该双曲线的离心率为． 【变式训练6-4·变考法】（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分别记和的内切圆为，其半径分别为，则；由双曲线的定义及切线的性质，可得和的内切圆圆心的连线与垂直，且，从而求得，由二倍角的正切公式可求得，即直线的斜率，与渐近线斜率比较，并结合，求得关系式，进而得到离心率的取值范围. 【详解】设双曲线的焦距为，则. 分别记和的内切圆为，其半径分别为，则，所以. 设与切于点， 则 又，所以. 即点坐标为， 同理，与切于点，即三点共线，且. 所以， 所以. 又所以， 所以，所以，. 所以，即直线的斜率为. 所以，即，即，所以，所以的离心率的取值范围是. 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解双曲线离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,ca,b,c 的等式或不等式。接着，巧妙运用双曲线的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 a2，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 题型7 焦点三角形问题 例7-1（2026·山东淄博·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【分析】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，即可求解. 【详解】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D 例7-2【多选】（2026·福建福州·模拟）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 例7-3【新思维】（2026·天津河东·三模）是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点A、B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为____________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义结合等边三角形的条件得出关于和的等量关系，即可求出离心率. 【详解】是双曲线的左右焦点，在右支、在左支，根据双曲线定义： 对右支上的：，对左支上的：， 因为，是等边三角形，设，且直线顺次为，因此，代入的定义式：，得；再代入的定义式，得，因此等边边长， 点处，，在的延长线上，因此， 在中，，由余弦定理： ， 代入， 化简得，即，因此离心率. 【变式训练7-1】（2026·陕西西安·检测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定理及余弦定理可求. 【详解】由题设，双曲线的实半轴长，且， 因为，故在右支上且， 而，故， 由余弦定理可得：， 故选：C. 【变式训练7-2·变考法】（多选）（2026·河北唐山·模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（    ） A． B．的离心率为 C．的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的定义、标准方程和几何性质，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：因为，解得，故A正确； B：双曲线，所以，的离心率，故B错误； C：因为，所以，则的面积为，故C正确； D：所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练7-3·原创题】（多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（ ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 【答案】ABD 【分析】先设中心在原点焦点在坐标轴上的双曲线一般方程为，代入已知两点坐标求出双曲线的标准方程与基本量，再结合双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式逐一验证前三个选项，最后通过判断过点的切线和与渐近线平行的直线的数量，验证选项D. 【详解】不妨设双曲线的标准方程为， 将坐标两点代入，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 对于A，由题意知的焦点在轴上，且， 所以，离心率为，故A正确； 对于B，不妨设点在双曲线的右支上，所以， 因为，解得， 所以，故B正确；对于C，， 所以，故C错误．对于D，易知渐近线方程为，画图可得， 过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点， 其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确. 【变式训练7-4·变考法】（2026·山东潍坊·三模）已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，直角三角形内切圆半径公式，勾股定理以及双曲线离心率的计算公式，联立方程求出离心率. 【详解】双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，； ， 的内切圆半径为， ，. ，. ，即； ，即，解得或； 由，得. 题型8 两线段的和与差的最值问题 例8-1已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 例8-2】【新思维】若 为双曲线 的左焦点，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，则 的取值范围是 【答案】 【分析】根据双曲线求出实半轴、虚半轴和和焦距，根据图像的对称性得出，又根据双曲线的定义得到，得到，将其设为关于的函数，利用导数求出函数的极值即可得出取值范围. 【详解】 由得，，， 则左焦点，右焦点，因为题中给出为双曲线的左焦点， 则，，又因为双曲线与过原点的直线都关于原点对称， 所以，又根据双曲线的定义得，所以， 设，所以， 设，，令得（）， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，所以的取值范围为， 则的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练8-1·变考法】（2025·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解. 【详解】由动点P到两定点，的距离之差为定值4， 结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 易得，，由得，则动点P的轨迹方程为， 如图： 又，则，且 故的周长为:， 当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为． 故选：D 【变式训练8-2·变考法】（多选）（2025高三·江西模拟）已知点分别为双曲线的左、右焦点，为的右支上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的定义结合三角形三边之间的关系逐一分析即可. 【详解】由题意可得， 由双曲线的定义可得，则， 所以， 所以，当且仅当共线时等号成立，故A错误，B正确； ， 当且仅当共线且在两点中间时，等号成立，此时点在第四象限， 故C正确； 对于D，因为，所以， 当且仅当共线且在两点中间时，，此时点位于第四象限 当且仅当共线且在两点中间时，，此时点位于第一象限， 因为，双曲线的渐近线方程为， 而，所以共线时，点只能位于第四象限， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【变式训练8-3·变设问】设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值． 【详解】根据题意可得，， ，，所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，，设，， 因为，所以，，所以，即， 所以函数 是上的增函数.所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4.    【变式训练8-4】已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设的左焦点为，根据双曲线的定义可得，即可得解. 【详解】双曲线的右焦点， 设的左焦点为，则， 因为是右支上一点，所以，所以， 当三点共线（在之间）时取等号，故的最小值为. 故答案为： 【变式训练8-5·变考法】（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 题型9 双曲线的轨迹方程 例9-1【新思维】（2026·四川攀枝花·模拟预测）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 【变式训练9-1·变考法】【多选】圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】由题设条件线段和垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）若为圆内的一定点，P是圆O上一个动点，线段AP的垂直平分线l与 直线OP相交于点Q，可得，， 即动点到两定点的距离之和为定值， ①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆； ②当重合时，点的轨迹是以为圆心的圆； （2）若为圆外的一定点，为圆上的一动点，线段的垂直平分线交直线于点， 可得，，即动点到两定点 的距离之差绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是： 以为焦点的双曲线； （3）若为圆上的一定点，为圆上的一动点，此时点的轨迹是圆心. 综上可得即点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故选：ABC 【变式训练9-2】（已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为 A． B． C．（） D．（） 【答案】B 【分析】如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【详解】如图所示：连接，根据垂直平分线知， 故，故轨迹为双曲线， ，，，故，故轨迹方程为. 故选：.    【变式训练9-3·原创题】双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出方程并化简得答案. 【详解】设，依题意，，化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 例10-1（2026·湖南长沙·模拟）已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得双曲线离心率为，则椭圆离心率，进而得到，然后逐一判断即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以椭圆的离心率为，椭圆的方程为， 则该椭圆的长、短半轴长分别为，离心率，解得， 对于A，，符合；对于B，，不符合；对于C，，符合；对于D，，符合. 故选：B. 例10-2（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 【答案】 【解析】因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以. 由直线与的一条渐近线平行可得，所以， 又由双曲线定义可得，所以，得，所以. 由得，即，整理得， 所以，，离心率. 【变式训练10-1·变载体】．（2025·浙江·模拟预测）如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆及双曲线定义，结合等腰直角三角形，计算求解离心率. 【详解】    设左焦点为，则，，，， 在中用勾股定理，化简得，所以 所以，所以. 故选:C. 【变式训练10-2·变载体】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设椭圆：，双曲线：.因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，，因为点在椭圆上， 所以. 又，所以. 又在双曲线上， 所以. 所以.所以双曲线的离心率为：. 故选：A 【变式训练10-3·变融汇】（2026·江苏·一模）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，用定义得，代入余弦定理得的关系，转化为离心率约束，对目标式平方后用基本不等式求最大值，再由等号条件求. 【详解】设为第一象限内的交点，，，焦距为.    椭圆的定义：， 双曲线的定义：（因在第一象限，），解得：，. 在中，，由余弦定理，得， 得，即， 交叉相乘并整理：， 两边除以，结合，，得. . 当且仅当，即， 因，故，则时等号成立，即取最大值. 因此，. 综上所述，当取最大值时，. 故选：C 题型11 双曲线中的最值与范围问题 例11-1【新思维】（2026·河北正定·阶段检测）已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作图，利用点到直线的距离公式结合双曲线的渐近线方程计算求解. 【详解】    如图，由题意，设，则，即． 因为渐近线方程为，所以， 因为，所以. 故选：D. 例11-2（2026·山东烟台·一模）已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】如图，作出符合题意的图形，作出双曲线的右焦点， 作垂直于渐近线，连接，可得， 由题意得，则，由双曲线的定义得，则， 则，当且仅当共线时取等，因为垂直于渐近线，所以垂直于渐近线，由题意得渐近线方程为，由点到直线的距离公式得， 则. 【变式训练11-1·变考法】（2026·山东滨州·检测）已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，根据题干列出等式，求出轨迹方程，再根据与曲线有4个交点，求出参数a的范围. 【详解】设，由题意得，所以，即， 所以点的轨迹为两个双曲线. 双曲线的实半轴长为1，双曲线1的实半轴长为3， 由，得0），表示以原点为圆心，为半径的圆的上半圆， 若曲线与半圆有四个交点，则3，即. 故选：B.    【变式训练11-2·原创题】（多选）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 【变式训练11-3·变考法】已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. (1)求的方程. (2)过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）1 【分析】（1）根据，，结合，可求的值，进而得到双曲线的标准方程. （2）（i）方法一：设，直线，将直线的方程与双曲线方程联立，根据为中点，可求的值. 方法二：涉及中点弦的问题，可用“点差法”证明. （ii）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论.当直线斜率存在时，将直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，表示出，结合二次函数的性质，求最小值即可. 【详解】（1）设E的半焦距为.由题知，，，， ，，的方程为. （2）（i）方法一：设，易知直线l的斜率一定存在，设.    由，得， 设，，则. ，，整理得， ，，，即点P与原点重合. 方法二：设，，. 由，，作差可得. ，，，， 又，. 由题意知，直线l的斜率一定存在，且斜率不能等于，即， ，，即点P与原点重合. （ii）设. 当l与x轴垂直时，，设点，则， ， 又点A在E上，，即，. 当的斜率存在时，由得， 设，，则， ，当时，等号成立. 综上，的最小值为1. 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解双曲线最值与范围问题，核心策略分为几何法与代数法。 1. 常用思路：若题目涉及焦点、渐近线或距离差，优先利用双曲线定义及平面几何性质（如三角形三边关系、共线特征）求解；若无明显几何特征，则建立目标函数，通过配方法、基本不等式或求导来求最值。 2. 范围突破：重点抓住三个抓手：一是双曲线自身的隐含范围（如 ∣x∣≥a）；二是联立直线与双曲线方程，利用判别式及二次项系数构造不等式；三是利用参数间的等量关系，将多变量转化为单变量求解。 3. 易错提醒：解题切忌盲目硬算。务必注意双曲线左右支对横坐标的限制，同时讨论直线斜率不存在的情况，并在联立方程后检验判别式，以防遗漏关键条件。 题型12 双曲线的实际应用 例12-1【新情境】3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点， 以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点. 由题意可知，设，则， 设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为， 所以，所以方程可化简为， 将和的坐标代入式可得，解得， 则笔筒最细处的直径为. 故选：C. 【变式训练12-1·变考法】（2026·广西柳州·阶段测评）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解. 【详解】由题意可知直线，都过点，如图， 则有，， 设，则， 所以，故，所以， 因此，在，，即， 整理得即，解得，所以， 令双曲线半焦距为c， 在中，，即，解得， 所以的离心率为. 故选：B 【变式训练12-2·变考法】某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论. 【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上， 因为、比处同时晚收到信号，所以有， 从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则， 如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，， 所以，双曲线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即点， 从而，所以，直线的倾斜角为， 则在处测得的方向角为北偏东， 故选：A. 【变式训练12-3·变考法】年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm. 【答案】 【分析】根据渐近线倾斜角可得离心率为，代入点坐标计算即可得双曲线方程，求得结果. 【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即可得，因此离心率为；设双曲线的方程为，将代入计算可得， 解得；所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm. 故答案为：；； 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点和代入双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ，所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，， 于是，则，即. 故选：D 3．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 4．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 5．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【答案】(1)， (2)证明如下： 方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 方法二：因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. (3)证明如下： 方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 方法三：由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可； （2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明； （3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路三：利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后证明出即可. 【详解】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）略 （3）略 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】B 【详解】由圆可知，圆心，半径，圆化为标准方程，圆心，半径，因此圆心距，所以两圆相离， 设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为，则满足，所以，即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离， 根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支，即圆心在双曲线的一支上. 故选：B. 2．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于 . 【答案】17. 【详解】首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为16，即可求出点到另一个焦点的距离为17. 3．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在轴上，，经过点； （2）经过、两点． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，将点A的坐标代入双曲线的方程得，解得，因此，双曲线的标准方程为； （2）设双曲线的方程为，将点A、的坐标代入双曲线方程可得，解得，因此，双曲线的标准方程为. 4．已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程： （1）； （2）． 【答案】（1）焦点，离心率，渐近线；（2）焦点，离心率，渐近线. 【详解】（1）将化为标准方程可得，由方程可得，解得，所以渐近线方程为，又，解得，即焦点坐标为，离心率； （2）将化为标准方程可得，由方程可得，解得，所以渐近线方程为，又，解得，即焦点坐标为，离心率； 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，实轴长10，虚轴长8. （2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长8. （3）离心率，经过点. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）根据题意，所求双曲线的实轴长10，虚轴长8，可得，则有，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为：； （2）根据题意，双曲线的焦距是10，虚轴长为8，可得，则，所以，又因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为：； （3）根据题意，双曲线的离心率，即，则有，所以，所以该双曲线为等轴双曲线，设其方程为，又因为双曲线经过点，则有，则， 所以双曲线的标准方程为：. 6．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 【答案】点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线，证明见解析. 解析：连接QA，如图所示： 因为l为PA的垂直平分线，所以，所以为定值，又因为点A在圆外，所以，根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴的双曲线. 7．m，n为何值时，方程表示下列曲线： （1）圆；（2）椭圆；（3）双曲线？ 【答案】（1）；（2），，且；（3） 【详解】（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆； （2）若方程表示椭圆，则，，且，所以当，，且时，方程为椭圆； （3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线. 8．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程. 【答案】 【详解】依题意，双曲线的焦点坐标是，，故双曲线方程可设为，又双曲线的离心率，∴，解之得，，故双曲线的方程为. 9．已知直线与双曲线没有公共点，求的取值范围. 【答案】或 【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：,当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；当时，<0，即或，无公共点. 综上所述：或. 10．当从到变化时，方程表示的曲线怎样变化？ 【答案】（1）当时，表示两条直线；（2）当时，表示圆；（3）当时，表示椭圆；（4）当时，表示双曲线. 【详解】（1）当时，，曲线即，表示两条直线； （2）当时，，曲线，表示圆； （3）当时，，曲线表示椭圆； （4）当时，，曲线表示双曲线. 11.如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程．    【答案】 【分析】如图建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，利用已知条件确定的值，从而可求得双曲线的方程. 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为， 因为，点的横坐标分别为25，13， 所以设（）， 所以，解得， 因为高为55米， 所以，即， 得， 所以所求双曲线方程为.    12．设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为的双曲线. 【详解】设动点，设d为点M到直线l的距离，由题意得，即，左右同时平方，化简可得，所以，令，所以，即，所以动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为的双曲线. 13．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 【答案】， 【详解】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以， 14．已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 【答案】不能，证明见解析. 【详解】当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为x=1，又双曲线，右顶点为（1,0）在直线l上所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意；当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上，所以，两式相减可得，所以，若点为线段AB的中点，则，即，代入上式，所以，则直线l的斜率，所以直线l的方程为，即，将直线l与双曲线联立，可得，，故方程无解，所以不存在这样的直线l，综上，点P不能是线段AB的中点. 4 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 双曲线及其性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1双曲线的定义 知识点2双曲线的标准方程 知识点3双曲线的简单几何性质 题型破译 (含超链接） 题型1 双曲线的定义及应用 题型2 双曲线的标准方程 题型3 方程表示双曲线的充要条件 题型4 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 题型5 双曲线的渐近线 题型6 双曲线的离心率 【方法技巧】 离心率问题的求解技巧 题型7 焦点三角形问题 题型8 两线段的和与差的最值问题 题型9 双曲线的轨迹方程 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 题型11 双曲线中的最值与范围问题 【方法技巧】 最值、范围问题的求解策略 题型12 双曲线的实际应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 双曲线的方程与性质 全国Ⅰ卷T12（5分） 全国Ⅱ卷T4（5分） 全国Ⅰ卷T3（5分） 全国Ⅱ卷T11（6分） 全国Ⅰ卷T12（5分） 直线与双曲线的位置关系 全国Ⅱ卷T19（17分） 考情分析 双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解. 近三年高考显示，双曲线考查频次高，核心考点聚焦于离心率计算、定义与标准方程以及顶点、渐近线等基础几何性质。试题逐渐反套路，强调知识交汇（如与向量、数列结合），倡导“多想少算”. 复习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)． 3.了解双曲线的简单应用． 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是 ； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 ； (3)当a＞c时，集合P是 . 自主检测已知双曲线的左、右焦点分别为、，设点，则的值为 ． 知识点2 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 自主检测（多选）已知曲线，则（   ） A．若，则C是圆 B．若，则C是椭圆 C．若，则C是双曲线 D．若，，则C是两条直线 知识点3 双曲线的简单几何性质 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1 (－a,0)，A2 (a,0) 顶点坐标：A1 (0，－a)，A2 (0，a) 渐近线 y＝ ±x y＝ ±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ 线段B1B2叫做双曲线的 它的长|B1B2|＝ ； a叫做双曲线的 ，b叫做双曲线的 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 自主检测（1）（2026·重庆九龙坡·一模）双曲线的焦距为，其一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． （2）．（2026·江苏·一模）在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为”是“渐近线方程为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 必记结论 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （3）双曲线焦点三角形面积为 题●型●破●译 题型1 双曲线的定义及应用 例1-1已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 例1-2（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式训练1-1·变考法】若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【变式训练1-2·变载体】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3·变考法】设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为 ． 题型2 双曲线的标准方程 例2-1（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 例2-2（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1·变考法】（2026·河北张家口·模拟预测）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2·变载体】（2025·北京东城·模拟预测）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3·变载体】动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4·变载体】已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-5·变考法】已知双曲线的左、右焦点分别为，点为双曲线右支上一点，以坐标原点O为圆心，以为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P，同时点P在线段中垂线上，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 题型3 方程表示双曲线的充要条件 例3-1（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3-2（2025·四川成都·模拟预测）设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1·变考法】（2025高三·贵州贵阳）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-2·变考法】（2025·四川南充·模拟预测）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-3】（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 题型4 双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴 例4-1双曲线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 例4-2（2026·江苏南京·一模）已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 例4-3（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【变式训练4-1】（2025·云南昆明·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练4-2】已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练4-3·变载体】（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-4·变考法】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知是双曲线的半焦距，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5·变角度】（多选）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（   ） A．的实轴长为 B．的离心率为 C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为 题型5 双曲线的渐近线 例5-1已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 例5-2已知双曲线的一条渐近线的方程为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式训练5-1】（2026·河南许昌·模拟）若直线是双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．4 C． D． 【变式训练5-2】已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-4·变考法】（多选）已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的离心率为 B．曲线的渐近线方程为 C．若到曲线的渐近线的距离为，则曲线的方程为 D．设为坐标原点，若，则 【变式训练5-5·变考法】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）过原点的直线与双曲线交于两点，为的右顶点，直线与直线的斜率之积为3，则的渐近线方程为 ． 题型6 双曲线的离心率 例6-1【新思维】（2026·云南玉溪·二模）已知双曲线的左右焦点分别为是上一点，且，若的内切圆半径与的比值为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 例6-2（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1·变考法】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【变式训练6-2·变载体】（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【变式训练6-3·变交汇】（2026·河北保定·二模）已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-4·变考法】（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解双曲线离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,ca,b,c 的等式或不等式。接着，巧妙运用双曲线的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 a2，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 题型7 焦点三角形问题 例7-1（2026·山东淄博·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 例7-2【多选】（2026·福建福州·模拟）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 例7-3【新思维】（2026·天津河东·三模）是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点A、B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为____________． 【变式训练7-1】（2026·陕西西安·检测）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2·变考法】（多选）（2026·河北唐山·模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（    ） A． B．的离心率为 C．的面积为 D． 【变式训练7-3·原创题】（多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（ ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 【变式训练7-4·变考法】（2026·山东潍坊·三模）已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 题型8 两线段的和与差的最值问题 例8-1已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 例8-2】【新思维】若 为双曲线 的左焦点，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，则 的取值范围是 【变式训练8-1·变考法】（2025·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2·变考法】（多选）（2025高三·江西模拟）已知点分别为双曲线的左、右焦点，为的右支上一点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3·变设问】设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【变式训练8-4】已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 . 【变式训练8-5·变考法】（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 题型9 双曲线的轨迹方程 例9-1【新思维】（2026·四川攀枝花·模拟预测）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-1·变考法】【多选】圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式训练9-2】（已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为 A． B． C．（） D．（）   【变式训练9-3·原创题】双曲线的另一种定义：动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是常数，则点的轨迹是一个双曲线.动点与定点的距离和它与定直线：的距离的比是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型10 双曲线与圆、椭圆的融合 例10-1（2026·湖南长沙·模拟）已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（   ） A． B． C． D． 例10-2（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 【变式训练10-1·变载体】．（2025·浙江·模拟预测）如图，椭圆与双曲线有共同的右焦点，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线与双曲线右支的另一个交点为，形成以为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【变式训练10-2·变载体】（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-3·变融汇】（2026·江苏·一模）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（   ） A． B． C． D． 题型11 双曲线中的最值与范围问题 例11-1【新思维】（2026·河北正定·阶段检测）已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例11-2（2026·山东烟台·一模）已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________. 【变式训练11-1·变考法】（2026·山东滨州·检测）已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2·原创题】（多选）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【变式训练11-3·变考法】已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. (1)求的方程. (2)过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解双曲线最值与范围问题，核心策略分为几何法与代数法。 1. 常用思路：若题目涉及焦点、渐近线或距离差，优先利用双曲线定义及平面几何性质（如三角形三边关系、共线特征）求解；若无明显几何特征，则建立目标函数，通过配方法、基本不等式或求导来求最值。 2. 范围突破：重点抓住三个抓手：一是双曲线自身的隐含范围（如 ∣x∣≥a）；二是联立直线与双曲线方程，利用判别式及二次项系数构造不等式；三是利用参数间的等量关系，将多变量转化为单变量求解。 3. 易错提醒：解题切忌盲目硬算。务必注意双曲线左右支对横坐标的限制，同时讨论直线斜率不存在的情况，并在联立方程后检验判别式，以防遗漏关键条件。 题型12 双曲线的实际应用 例12-1【新情境】3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-1·变考法】（2026·广西柳州·阶段测评）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【变式训练12-2·变考法】某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【变式训练12-3·变考法】年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 3．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 4．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上 2．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于 . 3．求适合下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在轴上，，经过点； （2）经过、两点． 4．已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程： （1）； （2）． 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1）焦点在x轴上，实轴长10，虚轴长8. （2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长8. （3）离心率，经过点. 6．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 7．m，n为何值时，方程表示下列曲线： （1）圆；（2）椭圆；（3）双曲线？ 8．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程. 9．已知直线与双曲线没有公共点，求的取值范围. 10．当从到变化时，方程表示的曲线怎样变化？ 11.如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程．    12．设动点M与定点的距离和M到定直线的距离的比是，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 13．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 14．已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 18 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $