第06讲 函数的图象（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦函数图象高考核心考点，涵盖图象变换、辨析及与方程关系，按“知识解构-题型破译”架构系统梳理，通过命题透视、思维建模、知识精讲、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破图象识别与应用难点。 资料以7类题型为载体，结合方法技巧（如由解析式判图象的定义域、奇偶性排除法），培养数学眼光与思维，通过真题溯源和课本典例衔接高考，分层练习设计保障复习效果，助力学生提升数形结合能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第06讲 函数的图象 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的图象 知识点2 图象变换 题型破译 (含超链接） 题型1 作具体函数的图象 题型2 函数的图象变换 题型3 由解析式选择图象 【方法技巧】由解析式判断函数图象的方法 题型4 利用函数图象选解析式 题型5 由函数的图象研究函数的性质 【方法技巧】利用函数图象研究函数的性质的方法 题型6 利用函数的图象解不等式 题型7 函数图象的实际应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数图象的变换 函数图象的辨析 函数图象与方程 全国Ⅰ卷T78（5分） 全国Ⅰ卷T7（5分） 考情分析 函数图像在高考中是高频核心考点，常以选择、填空及解答题形式出现。 近三年考情分析，命题趋势强调数形结合与思维创新，重点考查图像识别、对称性、单调性及零点问题。 复习目标 1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题 2.能熟练运用函数的基本性质判断对应函数图象 3.能运用函数的图象理解和研究函数的性质 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的图象 1.函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象． 2描点法作函数的图象 （1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式； （3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； （4）描点连线，画出函数的图象． 自主检测函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 知识点2 图象变换 1.平移变换 2.对称变换 ①y＝f(x)y＝ ； ②y＝f(x)y＝ ； ③y＝f(x)y＝ ； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝ ． 3.伸缩变换 ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1) ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1) ③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1) ④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1) 4.翻折变换 ①y＝f(x)y＝ . ②y＝f(x)y＝ ． 必记结论 （1）若恒成立，则的图象关于直线对称． （2）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． （3）函数与函数的图象关于直线对称． （4）函数与函数的图象关于直线对称． （5）函数与函数的图象关于点中心对称． （6）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 自主检测定义在区间上的函数的图象如下图所示，则的图象为（    ） A．B．C． D． 题●型●破●译 题型1 作具体函数的图象 例1-1已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 例1-2作出下列各函数的图象． (1)； (2)； (3)． 【变式训练1-1】作出下列函数的图象． (1)； (2)． 【变式训练1-2】已知函数，. (1)在图1同一坐标系中画出函数，的图象： (2)用表示，中的较小者，即  ，画出函数的图象(图2），并求函数 的解析式，写出的单调区间和值域（不需要证明）． (3)若，求的取值范围 题型2 函数的图象变换 例2-1【新思维】（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 例2-2函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 例2-3【新角度】已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2026高二上·北京·学业考试）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【变式训练2-2】（多选题）为了得到函数的图象，只需将函数图象上（    ） A．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．所有点沿y轴向下平移1个单位长度 D．所有点沿x轴向右平移个单位长度 【变式训练2-3·变考法】（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【变式训练2-4·变考法】函数的图象如图所示，那么函数的图象是（    ） A． B．C． D． 【变式训练2-5·变载体】（25-26高三上·河南·月考）（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 题型3 由解析式选择图象 例3-1（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（   ） A． B．C．D． 例3-2（2026·河北衡水·模拟预测）函数在区间上的图象大致为（    ） A．B．C．D． 方法技巧 由解析式判断函数图象的方法 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点)，排除不合要求的图象． 【变式训练3-1】（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2·变考法】若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3·变载体】函数在区间上的大致图象不可能为（    ） A．B．C．D． 【变式训练3-4】（25-26高二下·安徽·期中）（多选）函数的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 题型4 利用函数图象选解析式 例4-1（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 例4-2【新思维】（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-1·变情境】在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】如图，已知函数的图象关于坐标原点O对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】（2026·四川南充·阶段检测）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5·变考法】（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 题型5 由函数的图象研究函数的性质 例5-1【新角度】已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 例5-2（多选）（2026·湖北武汉·二模）已知函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 方法技巧 利用函数图象研究函数的性质的策略 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究: (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值; (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性; (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。 【变式训练5-1·变考法】（多选）（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（   ） A． B．当时，有 C．当时，的最小值为4，则 D．若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零 题型6 利用函数的图象解不等式 例6-1（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-1·变考法】（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知函数的定义域是，其图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2·变载体】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图， 已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧， 则不等式的解集为_____． 题型7 函数图象的实际应用 例7-1一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 例7-2【新情境】在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练7-1】某同学离家去学校，刚开始跑步前进，跑了一段路程后，又放慢速度步行．图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象中，与该同学走法相吻合的是（   ） A．   B．   C． D．   【变式训练7-2·变情境】（2026高三·全国·专题练习）某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量（千克）随时间（天）变化的函数图像如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克． 【变式训练7-3·原创题】如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1. （2026·天津·高考真题）函数部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.如图，①②③④中不属于函数的一个是（ ）. A．① B．② C．③ D．④ 2.如图，①②③④中不属于函数的一个是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 3．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？ 4．指数函数的图象如图所示，求二次函数图象顶点的横坐标的取值范围. 5．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象. （1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义； （2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？ 6．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象. 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 函数的图象 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 函数的图象 知识点2 图象变换 题型破译 (含超链接） 题型1 作具体函数的图象 题型2 函数的图象变换 题型3 由解析式选择图象 【方法技巧】由解析式判断函数图象的方法 题型4 利用函数图象选解析式 题型5 由函数的图象研究函数的性质 【方法技巧】利用函数图象研究函数的性质的方法 题型6 利用函数的图象解不等式 题型7 函数图象的实际应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 函数图象的变换 函数图象的辨析 函数图象与方程 全国Ⅰ卷T78（5分） 全国Ⅰ卷T7（5分） 考情分析 函数图像在高考中是高频核心考点，常以选择、填空及解答题形式出现。 近三年考情分析，命题趋势强调数形结合与思维创新，重点考查图像识别、对称性、单调性及零点问题。 复习目标 1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题 2.能熟练运用函数的基本性质判断对应函数图象 3.能运用函数的图象理解和研究函数的性质 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 函数的图象 1.函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象． 2描点法作函数的图象 （1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式； （3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； （4）描点连线，画出函数的图象． 自主检测函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数. 【详解】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6. 故选：D 知识点2 图象变换 1.平移变换 2.对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)； ②y＝f(x)y＝f(－x)； ③y＝f(x)y＝－f(－x)； ④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． 3.伸缩变换 ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1) ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1) ③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1) ④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1) 4.翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|. ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 必记结论 （1）若恒成立，则的图象关于直线对称． （2）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称． （3）函数与函数的图象关于直线对称． （4）函数与函数的图象关于直线对称． （5）函数与函数的图象关于点中心对称． （6）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”． 自主检测定义在区间上的函数的图象如下图所示，则的图象为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】先利用中心对称得到的图象，再进行平移变换，即得的图象. 【详解】先把函数的图象关于原点对称，可得函数的图象， 再将其向右平移4个单位长度，即得函数的图象. 题●型●破●译 题型1 作具体函数的图象 例1-1已知函数． （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）将函数写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间． 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)，函数图象见解析；单调增区间为：，单调减区间为： 【分析】（1）利用奇函数定义，直接判断的奇偶性即可； （2）讨论和去绝对值，即得到解析式，再利用解析式特征作图，看图得到单调区间即可． 【详解】（1）函数，定义域为， 对于任意的， 故是偶函数； （2）依题意，时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分； 时，，开口向下、对称轴为的抛物线的一部分， 故， 作图如下： 由图象可知，函数的单调增区间为：，单调减区间为：． 例1-2作出下列各函数的图象． (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）将函数的图象向左平移1个单位长度， 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数的图象， 如图①所示． （2）原函数解析式可化为， 故函数图象可由函数的图象向右平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度得到，如图②所示． （3）因为，且函数为偶函数， 先用描点法作出上的图象，再根据对称性作出上的图象， 最后得函数图象如图③所示． 【变式训练1-1】作出下列函数的图象． (1)； (2)． 【详解】（1）因为，先作出的图象，将其图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，即得的图象，如图所示． （2）设，其图象可看作由函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于轴对称得到， 则图象如图示： 【变式训练1-2】已知函数，. (1)在图1同一坐标系中画出函数，的图象： (2)用表示，中的较小者，即  ，画出函数的图象(图2），并求函数 的解析式，写出的单调区间和值域（不需要证明）． (3)若，求的取值范围 【详解】（1）图象如下图所示， （2）令，即， 当时，，解得：；当时，，解得：； 则当时，；当时，；当时，； ；图象法表示如下： 由图象可得： m(x)的单调增区间为；单调减区间为 m(x)的值域为 （3）由得或. 所以由图像可知不等式解集为 题型2 函数的图象变换 例2-1【新思维】（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值. 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度， 得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍， 得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以， 即，解得，. 例2-2函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，可得，其定义域为， 当时，，函数， 故排除A、B选项； 当时，0，故函数，故排除C选项； 当时，函数， 该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到，选项D符合. 故选：D. 例2-3【新角度】已知图 对应的函数为 ，则图 对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数与图象关于轴对称判断B，判断函数，的奇偶性，再结合其与函数的图象关系，判断AC，再根据函数关于原点对称判断D， 【详解】函数的图象与函数的图象关于轴对称，不满足要求，B错误； 设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，A正确； 设，由已知函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 当时，函数的图象与函数的图象相同，且图象关于轴对称，C错误； 函数的图象与函数的图象关于原点对称，D错误； 故选：A. 【变式训练2-1】（2026高二上·北京·学业考试）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【答案】A 【详解】根据图形平移变换 “左加右减”的规则，可得：向左平移一个单位得到的图像. 【变式训练2-2】（多选题）为了得到函数的图象，只需将函数图象上（    ） A．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．所有点沿y轴向下平移1个单位长度 D．所有点沿x轴向右平移个单位长度 【答案】AC 【详解】对于A，函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 可得函数的图象，则选项A正确； 对于B，函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象，故选项B错误； 对于C，，将图象上的所有点沿y轴向下平移1个单位长度，就得到函数的图象，故选项C正确； 对于D，函数图象上所有点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选项 D错误； 故选：AC. 【变式训练2-3·变考法】（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） 【答案】B 【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误； 对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确； 对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误； 对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误. 【变式训练2-4·变考法】函数的图象如图所示，那么函数的图象是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象可由先关于轴对称，再向右平移两个单位得到， 结合各选项，可知只有C选项的图象符合． 【变式训练2-5·变载体】（25-26高三上·河南·月考）（多选）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 【答案】AC 【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将化为，结合函数图象的变换即可进行判断. 【详解】因为， 即,将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象； 又因为， 所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象． 故选：AC． 题型3 由解析式选择图象 例3-1（2026·安徽合肥·三模）当时，函数的图象大致是（   ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 例3-2（2026·河北衡水·模拟预测）函数在区间上的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性排除C，D；利用复合函数的单调性排除B. 【详解】易知函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D； 当时，令，则， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在区间上为增函数，且， 又在区间上为增函数，且， 所以在区间上为增函数，排除B． 方法技巧 由解析式判断函数图象的方法 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点)，排除不合要求的图象． 【变式训练3-1】（2026·天津河北·二模）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值法判断. 【详解】定义域为，且，故为奇函数，可排除C； 又，可排除A、D；故函数的大致图象为B. 故选：B. 【变式训练3-2·变考法】若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值. 【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内， 因此和是方程的两根，可得， 又易知，可得，即，所以. 故选：D 【变式训练3-3·变载体】函数在区间上的大致图象不可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，从而确定参数的值，再判断即可. 【详解】选项A，B中函数图象关于原点对称，则对应的为奇函数， 令，则为偶函数，即，即， 所以，解得，当时，，符合A项， 当时，，符合B项； 选项C，D中函数图象关于轴对称，则对应的为偶函数， 令，则为奇函数， 即，即， 所以，此时，当时，，故D符合，故C不符合. 【变式训练3-4】（25-26高二下·安徽·期中）（多选）函数的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】ABC 【分析】求导可得，分类讨论的取值情况，得出函数对应的单调性，结合选项即可求解. 【详解】因为，所以． 当时，，可能是A中的图象； 当时，恒成立， 所以在上单调递增，可能是B中的图象； 当时，令，得或，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 可能是C中的图象，但不可能是D中的图象． 题型4 利用函数图象选解析式 例4-1（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 对于A，是奇函数，且在上递增，在上递减，在上递减，符合图像，是的一个解析式，A正确. 例4-2【新思维】（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案. 【详解】A选项：，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A不可能. C选项：同A选项判断方法也可判断C选项为偶函数，C错误. D选项：因为，当足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当时，，与图像矛盾. B选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为. 【变式训练4-1·变情境】在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为， 函数的定义域为， 函数与的定义域均为， 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 【变式训练4-2】（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A. 【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 【变式训练4-3】如图，已知函数的图象关于坐标原点O对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象得为奇函数，有，再由图象得函数的定义域为，结合图象即可判断各选项. 【详解】由题意得为奇函数，即，定义域为， A，由定义域为，不符合，错误； B，由定义域为，且， 但趋向于，趋向于，不符合图象，错误； C，由定义域为，且， 但在上恒成立，不符合图象，错误； D，由定义域为，且，符合图象，正确. 故选：D. 【变式训练4-4】（2026·四川南充·阶段检测）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得为奇函数，即可排除A、C，由函数在上的函数值的特征排除D，即可得解. 【详解】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数， 对于A ：定义域为，定义域关于原点对称，， 所以为偶函数，不符合题意，故A错误； 对于C：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数，不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数， 当时，，，所以恒成立，不符合题意，故D错误； 故利用排除法可知选项B符合题意. 故选：B 【变式训练4-5·变考法】（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确. 【详解】由图象可知：为奇函数； 对于A，，为偶函数，A错误； 对于D，，为偶函数，D错误； 对于BC，不妨设，， 令，解得：；令，解得：或； 则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和， ，， 由图象可知：B错误，C正确. 题型5 由函数的图象研究函数的性质 例5-1【新角度】已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 例5-2（多选）（2026·湖北武汉·二模）已知函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】首先利用单调性画出函数的图象，再根据图象，以及函数的单调性判断选项. 【详解】A.时，，时，单调递减，时，单调递增， 所以是的极小值点，故A正确； 如图，画出函数的图象， B.当，，得或 所以当，， 当，单调递增，由增加到1， ，由1减小到，存在点时，，故B错误； C.如图，当时，，，，此时，不满足，故C错误； D.当时，，，此时， ，所以，故D正确. 方法技巧 利用函数图象研究函数的性质的策略 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究: (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值; (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性; (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。 【变式训练5-1·变考法】（多选）（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，，则下列叙述正确的有（   ） A． B．当时，有 C．当时，的最小值为4，则 D．若关于的方程有实数根，则所有实数根之和为零 【答案】ACD 【分析】根据奇偶性可求出函数的解析式，进而可判断A；作出的图象，根据单调性可判断B；根据上的最小值可判断C；根据奇函数图象的对称性可判断D. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，综上可得，所以，故A正确； 画出函数的图象，如图， 当时，单调递增，故当时，有，故B错误； 由图象可知，当时，的最小值为4，则，故C正确； 因为函数和均是定义域为的奇函数， 故方程的所有除0外的实数根成对出现，且关于原点对称， 所以所有实数根之和为零，故D正确. 题型6 利用函数的图象解不等式 例6-1（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像关于对称，可得，结合图像即可求解. 【详解】由题可得，由于图像关于对称，所以，， 得，， 所以不等式，即的解集为. 【变式训练6-1·变考法】（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知函数的定义域是，其图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得或，利用指数函数的单调性与图象可得出原不等式的解集. 【详解】因为函数的定义域为，由可得或， 解不等式组，结合图形可得，得， 解不等式组，结合图形可得，得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【变式训练6-2·变载体】（25-26高三上·北京·阶段检测）如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____． 【答案】或 【分析】根据函数图象可知函数是奇函数，因此找到与的交点即可. 【详解】 由图象可知，函数为奇函数，故原不等式， 在同一坐标系中画出函数的函数图象，当时，求解方程得， 结合图象可得在第一象限， 同理，根据图形对称性，可得在第三象限部分，满足条件， 综上所述，解集为或. 故答案为：或. 题型7 函数图象的实际应用 例7-1一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 例7-2【新情境】在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图象. 【详解】由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”可排除B项． 当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到． 当时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，易得则． 当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，结合所给的图象，故D正确. 故选：D. 【变式训练7-1】某同学离家去学校，刚开始跑步前进，跑了一段路程后，又放慢速度步行．图中轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象中，与该同学走法相吻合的是（   ） A．   B．   C． D．   【答案】A 【分析】根据函数图象呈上升趋势以及上升速度分析可得答案. 【详解】依题意可知，关于的函数图象呈上升趋势，故B和D都错误； 由于该同学是先跑后走，所以关于的函数图象上升速度是先快后慢，故A正确，C错误. 故选：A． 【变式训练7-2·变情境】（2026高三·全国·专题练习）某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量（千克）随时间（天）变化的函数图像如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克． 【答案】 【分析】利用待定系数法先求出前10天的解析式，然后令，即可求出12月26日卖出西红柿的数量. 【详解】前10天满足一次函数关系，设为， 将点和点代入函数解析式得， 解得，，所以， 则当时，． 【变式训练7-3·原创题】如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，设等边的边长为，求得，令，其中，结合导数，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，因为为等边三角形，可得， 设等边的边长为，且，其中， 可得， 又由的面积为，可得， 且， 则的面积为， 令，其中， 可得，所以为单调递增函数， 又由余弦函数的性质得，当时，函数取得最小值， 所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快， 结合选项，可得选项C符合题意. 故选：C. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1. （2026·天津·高考真题）函数部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【分析】由，根据平移法则即可解出． 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 4．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】先分析的图象，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图象即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图象可知的范围；对于④，取，结合图象可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图象为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图象（即半圆）； 当时，，易知其图象是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图象如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图象如下， 因为， 结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图象，特别是当时，的图象为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.如图，①②③④中不属于函数的一个是（ ）. A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】已知其中的三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点，图象②不过点. 故选：B. 2.如图，①②③④中不属于函数的一个是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】，都是上的减函数，只有在上为增函数.又时，，所以③不满足. 故选：C 3．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？ 【答案】题图（1）中的曲线表示厂商希望的供应曲线； 题图（2）中的曲线表示客户希望的需求曲线. 【详解】从题图（1）观察，随着产品数量的上升，单价越来越高，可见是厂商希望的供应曲线；而题图（2）恰恰相反，当产品数量逐渐上升时，单价越来越低，由此判断是客户希望的需求曲线. 4．指数函数的图象如图所示，求二次函数图象顶点的横坐标的取值范围. 【答案】 【详解】由图可知，函数在定义域上单调递减， ，，顶点坐标为， 顶点的横坐标为，，，， 顶点的横坐标的取值范围是. 5．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象. （1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义； （2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？ 【详解】（1）点A的实际意义为：当乘客量为0时，公司亏损1（单位）； 点B的实际意义为：当乘客量为1.5时，公司收支持平； 射线AB上的点的实际意义为：当乘客量小于1.5时，公司将亏损；当乘客量大于1.5时，公司将盈利. （2）题图（2）的建议是：降低成本而保持票价不变； 题图（3）的建议是：提高票价而保持成本不变. 6．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象. 【答案】 【详解】（1）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则， 又，， . （2）当时， 如图，设直线与分别交于、两点，则， 又，， . （3）当时，， 综上所述，. 32 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $